Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Χώροι. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών

Κεφάλαιο 2 ιανυσµατικοι Χωροι Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα ορίσουµε την πολύ ϐασική έννοια του διανυσµατικού χώρου πάνω από ένα σώµα Θα µελετήσουµε τις κυριότερες ιδιότητες διανυσµατικών χώρων και ϑα διαπραγµατευθούµε µια πληθώρα ϐασικών πα- ϱαδειγµάτων επί των οποίων ϑα εφαρµοσθεί η ϑεωρία η οποία ϑα αναπτυχθεί στα επόµενα Κεφάλαια Τέλος ϑα αναπτύξουµε µια σειρά ϑεµελιωδών κατασκευών επί διανυσµατικών χώρων οι οποίες ϑα µας είναι πολύ χρήσιµες στα επόµενα Κεφάλαια 21 ιανυσµατικοί Χώροι : Ορισµός και Στοιχειώδεις Ιδιότητες Από τώρα και στο εξής σταθεροποιούµε ένα σώµα K Υπενθυµίζουµε από το Κεφάλαιο 1 ότι µε το όρο σώµα ϑα εννοούµε ένα υποσύνολο K C των µιγαδικών αριθµών το οποίο περιέχει το 0 και το 1 και είναι κλειστό στην πρόσθεση, πολλαπλασιασµό, και την ύπαρξη αντιστρόφου (δηλαδή αν k K και k 0, τότε k 1 K ιαισθητικά ένας διανυσµατικός χώρος είναι ένα σύνολο διανυσµάτων στο οποίο µπορούµε να ορίσουµε πρόσθεση καθώς και πολλαπλασιασµό µε αριθµούς από ένα σώµα, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι γνωστοί αλγεβρικοί νόµοι που ισχύουν στο σύνολο των ελευθέρων διανυσµάτων του επιπέδου ή του χώρου Περισσότερο αυστηρά και µε ϐάση τα όσα ισχύουν στην Αναλυτική ή Ευκλείδεια γεωµετρία οδηγούµαστε στον ακόλουθο ορισµό Ορισµός 211 Ενας διανυσµατικός χώρος πάνω από ένα σώµα K είναι ένα µη-κενό σύνολο V, του οποίου τα στοιχεία ϑα καλούµε διανύσµατα και ϑα τα συµβολίζουµε µε x, y, z,, το οποίο είναι εφοδιασµένο µε δύο πράξεις : 13

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ (a) Μία εσωτερική πράξη + : V V V, η οποία στέλνει το Ϲεύγος διανυσµάτων ( x, y) V V σε ένα νέο διάνυσµα x + y V, την οποία καλούµε Πρόσθεση (διανυσµάτων του V) (b) Μία εξωτερική πράξη : K V V, η οποία στέλνει το Ϲεύγος (k, x) K V σε ένα νέο διάνυσµα k x V, την οποία καλούµε Βαθµωτό Πολλαπλασιασµό (στοιχείων του σώµατος K µε διανύσµατα του V) Το σύνολο V µαζί µε την πράξη της πρόσθεσης + και του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού, απαιτούµε να ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώµατα : ( Χ1) Προσεταιριστική Ιδιότητα της Πρόσθεσης ηλαδή : x, y, z V : ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ( Χ2) Αντιµεταθετική Ιδιότητα Πρόσθεσης ηλαδή : x, y V : x + y = y + x ( Χ3) Υπαρξη Μηδενικού ιανύσµατος ηλαδή υπάρχει ένα διακεκριµένο στοιχείο 0 του V, το οποίο καλείται µηδενικό διάνυσµα, έτσι ώστε να ικανοποιείται η ακόλουθη ιδιότητα : x V : x + 0 = x = 0 + x ( Χ4) Υπαρξη Αντιθέτου ιανύσµατος ηλαδή για κάθε διάνυσµα x του V υπάρχει ένα νέο διάνυσµα x του V, το οποίο καλείται αντίθετο διάνυσµα του x, έτσι ώστε να ικανοποιείται η ακόλουθη ιδιότητα : x V, ( x ) V : x + ( x ) = 0 = ( x) + x ) ( Χ5) Επιµεριστική Ιδιότητα του Βαθµωτού Πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση στοιχείων του K ηλαδή : x V, κ, λ K : (κ + λ) x = κ x + λ x ( Χ6) Επιµεριστική Ιδιότητα του Βαθµωτού Πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση διανυσµάτων του V ηλαδή : x, y V, κ K : κ ( x + y ) = κ x + κ y

21 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ : ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΕΙΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ15 ( Χ7) Μικτή Προσεταιριστική Ιδιότητα ηλαδή : x V, κ, λ K : κ (λ x ) = (κλ) x ( Χ8) Μοναδιαία Ιδιότητα ηλαδή : x V : 1 x = x Σχόλιο 211 1 Σηµειώνουµε ότι ένας διανυσµατικός χώρος είναι µια τριάδα (V, +, ) που ικανοποιεί τα παραπάνω αξιώµατα και όχι απλά ένα σύνολο V Χάριν απλότητας όµως ϑα παραλείπουµε τα σύµβολα των πράξεων +,, όταν οι πράξεις είναι ευκόλως εννοούµενες ή έχουν ανα- ϕερθεί/ορισθεί προηγούµενα, και ϑα λέµε ότι το σύνολο V είναι ένας διανυσµατικός χώρος 2 Στον ορισµό 211 δεν ϑα πρέπει να συγχέουµε την πρόσθεση αριθµών από το σώµα K µε την πρόσθεση διανυσµάτων του V, αν και οι δύο πράξεις εµ- ϕανίζονται στα αξιώµατα µε το ίδιο σύµβολο Ετσι πχ στο Αξίωµα ( Χ5), το σύµβολο + στην αριστερή πλευρά συµβολίζει πρόσθεση αριθµών στο σώµα K και το το σύµβολο + στην δεξιά πλευρά συµβολίζει πρόσθεση διανυσµάτων στον V 3 Αν x είναι ένα διάνυσµα του V, τότε το διάνυσµα x, την ύπαρξη του οποίου µας εξασφαλίζει το Αξίωµα ( Χ4), συµβολίζει ένα νέο διάνυσµα Θα δούµε άργότερα ότι το x είναι ίσο µε το διάνυσµα ( 1) x 4 Το Αξίωµα ( Χ1) µας επιτρέπει να απαλείφουµε παρενθέσεις Ετσι από τώρα και στο εξής η σχέση x + ( y + z) ϑα γράφεται x + y + z καθώς ο άλλος δυνατός τρόπος για να προσθέσουµε τα διανύσµατα x, y, z, δηλαδή ο ( x+ y)+ z δίνει σύµφωνα µε το Αξίωµα ( Χ1) το ίδιο αποτέλεσµα Γενικότερα αν έχουµε να προσθέσουµε µια πεπερασµένη συλλογή διανυσµάτων x 1, x 2,, x n, τότε όλοι οι δυνατοί τρόποι για να τα προσθέσουµε δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα (να το δείξετε σαν Ασκηση χρησιµοποιώντας επαγωγή), το οποίο από τώρα και στο εξής ϑα γράφουµε ως : x 1 + x 2 + + x n 5 Το Αξίωµα ( Χ2) µας επιτρέπει να αλλάζουµε την σειρά µε την οποία προσθέτουµε διανύσµατα Ετσι για παράδειγµα έχουµε x 1 + x 2 + x 3 = x 3 + x 1 + x 2 = x 2 + x 3 + x 1, κοκ Πριν προχωρήσουµε σε παραδείγµατα διανυσµατικών χώρων Θα δούµε δούµε κάποιες ιδιότητες που απορρέουν σχετικά άµεσα από τον ορισµό 211

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ και οι οποίες ϑα µας επιτρέψουν να απλοποιήσουµε τον συµβολισµό και να αποφεύγουµε περιττές επαναλήψεις επιχειρηµάτων Από τώρα σταθεροποιούµε έναν διανυσµατικό χώρο V πάνω από ένα σώµα K Συµβολισµός 212 Αν x, y V, τότε ϑα γράφουµε : x + ( y) := x y όπου y είναι το αντίθετο του διανύσµατος y Σηµειώνουµε ότι η παραπάνω γραφή είναι απλά ένας συµβολισµός, καθώς τυπικά δεν έχουµε ορίσει αφαίρεση διανυσµάτων Μπορεί όµως κανείς να ϑεωρήσει τον παραπάνω συµβολισµό ως ορισµό αφαίρεσης διανυσµάτων στον V Λήµµα 212 Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες 1 κ, λ K, x V: (κ λ) x = κ x λ x 2 κ K, x, y V: κ ( x y) = κ x κ y 3 x V: 0 x = 0 4 x V: ( 1) x = x 5 x V: ( x) = x 6 x, y V: ( x + y) = x y 7 κ K: κ 0 = 0 8 Αν λ K και x V και ισχύει λ x = 0, τότε : είτε λ = 0 ή x = 0 Απόδειξη : 1 Εάν προσθέσουµε στο διάνυσµα (κ λ) x το διάνυσµα λ x και χρησιµοποιήσουµε το Αξίωµα ( Χ5) ϑα έχουµε : (κ λ) x+λ x = (κ λ+λ) x = κ x Αν στην τελευταία σχέση προσθέσουµε και στα δύο µέλη το διάνυσµα (λ x) και χρησιµοποιήσουµε διαδοχικά τα Αξιώµατα ( Χ1), ( Χ4), ( Χ3) ϑα έχουµε την Ϲητούµενη σχέση : κ x λ x = [(κ λ) x + λ x] (λ x) = (κ λ) x + [λ x (λ x)] = (κ λ) x + 0 = (κ λ) x

21 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ : ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΕΙΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ17 2 Αν προσθέσουµε στο διάνυσµα κ ( x y) το διάνυσµα κ y, ϑα έχουµε το διάνυσµα κ ( x y) + κ y Χρησιµοποιώντας διαδοχικά τα Αξίωµατα ( Χ1), ( Χ4), ( Χ3) ϑα έχουµε : κ ( x y) + κ y = κ [( x y) + y] = κ [ x + ( y) + y)] = κ ( x + 0) = κ x Αν τώρα στην σχέση κ ( x y) + κ y = κ x προσθέσουµε και στα δύο µέλη το διάνυσµα (κ y) και χρησιµοποιήσουµε διαδοχικά τα Αξίωµατα ( Χ1), ( Χ4), ( Χ3) ϑα έχουµε τελικά την Ϲητούµενη σχέση : [κ ( x y) + κ y] (κ y) = κ x κ y = κ ( x y) + (κ y κ y) = κ x κ y = κ ( x y) + 0 = κ x κ y = κ ( x y) = κ x κ y 3 Στην σχέση 1 που αποδείξαµε ϑέτουµε κ = λ Τότε ϑα έχουµε την σχέση 0 x = κ x κ x, το δεύτερο µέλος της οποίας είναι το µηδενικό διάνυσµα 0 σύµφωνα µε το Αξίωµα ( Χ4) Εποµένως 0 x = 0 4 Στην σχέση 1 που αποδείξαµε ϑέτουµε κ = 0 και λ = 1 Τότε ϑα έχουµε την σχέση ( 1) x = (1 x), το δεύτερο µέλος της οποίας είναι ίσο µε το διάνυσµα x σύµφωνα µε το Αξίωµα ( Χ8) Εποµένως ( 1) x = x 5 Από την ιδιότητα 4 η σχέση ( x) γράφεται ισοδύναµα ( 1) [( 1) x)] Χρησιµοποιώντας τα Αξιώµατα ( Χ7) και ( Χ8), ϑα έχουµε ( x) = ( 1) [( 1) x)] = [( 1)( 1)] x = 1 x = x 6 Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα 4, και το Αξίωµα ( Χ6), ϑα έχουµε : ( x + y) = ( 1) ( x + y) = ( 1) x + ( 1) y = x y 7 Στην σχέση 2 που αποδείξαµε ϑέτουµε x = y Τότε ϑα έχουµε την σχέση κ ( x x) = κ x κ x, το δεύτερο µέλος της οποίας είναι το µηδενικό διάνυσµα 0 και το πρώτο µέλος είναι ίσο µε το διάνυσµα κ 0, σύµφωνα µε το Αξίωµα ( Χ4) Εποµένως κ 0 = 0 8 Υποθέτουµε ότι κ 0 και δείχνουµε ότι αναγκαστικά ϑα πρέπει να ισχύει x = 0 Επειδή κ 0, ο αριθµός κ K είναι αντιστρέψιµος και

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ εποµένως υπάρχει ο αντίστροφος του κ 1 K και ισχύει κκ 1 = 1 = κ 1 κ Πολλαπλασιάζοντας ϐαθµωτά και από τα δύο µέλη την δοθείσα σχέση κ x = 0 µε κ 1, ϑα έχουµε την σχέση κ 1 (κ x) = κ 1 0 ( ) Χρησιµοποιώντας διαδοχικά τα Αξιώµατα ( Χ7) και ( Χ8), το πρώτο µέλος της σχέσης ( ) είναι ίσο µε (κ 1 κ) x) = 1 x = x Το δεύτερο µέλος της σχέσης ( ) είναι ίσο µε το µηδενικό διάνυσµα 0 σύµφωνα µε την ιδιότητα 5 που αποδείξαµε παραπάνω Εποµένως x = 0 Είναι εύλογο να αναρωτηθούµε αν το µηδενικό διάνυσµα 0 και το αντίθετο ενός δοθέντος διανύσµατος x του V, την ύπαρξη των οποίων µας εξασφαλίζουν τα Αξιώµατα ( Χ3) και ( Χ4), είναι µοναδικά Αυτό πράγµατι ισχύει όπως ϑα δείξουµε στο επόµενο Λήµµα το οποίο περιέχει και δύο ιδιότητες οι οποίες µας επιτρέπουν να απλοποιήσουµε περαιτέρω τις πράξεις µε διανύσµατα Λήµµα 213 1 Αν 0 1 και 0 2 είναι δύο διανύσµατα του V τα οποία ικανοποιούν το Αξίωµα ( Χ3), δηλαδή x + 0 1 = x και x + 0 2 = x, x V, τότε : 0 1 = 0 2 2 Εστω x V και υποθέτουµε ότι υπάρχουν δύο διανύσµατα x 1 και x 2 τα οποία ικανοποιούν το Αξίωµα ( Χ4), δηλαδή x + x 1 = 0 και x + x 2 = 0 Τότε x 1 = x 2 3 Εστω λ K, µε λ 0, και x, y V Αν λ x = λ y, τότε x = y 4 Εστω λ 1, λ 2 K και x V µε x 0 Αν λ 1 x = λ 2 x, τότε λ 1 = λ 2 Απόδειξη : 1 Θέτοντας x = 0 1 στο Αξίωµα ( Χ3) και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι το 0 2 ικανοποιεί αυτό το Αξίωµα, έχουµε : 0 1 + 0 2 = 0 1 Παρόµοια ϑέτοντας x = 0 2 στο Αξίωµα ( Χ3) και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι το 0 1 ικανοποιεί αυτό το Αξίωµα, έχουµε : 0 2 + 0 1 = 0 2 Οµως από το Αξίωµα ( Χ2) έχουµε 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 Εποµένως 0 1 = 0 2 2 Προσθέτοντας στην σχέση x + x 1 = 0 το διάνυσµα x 2 ϑα έχουµε την σχέση ( x + x 1 ) + x 2 = 0 + x 2, το δεύτερο µέλος της οποίας είναι ίσο µε το x 2 σύµφωνα µε το Αξίωµα ( Χ3) Εφαρµόζοντας διαδοχικά τα Αξιώµατα ( Χ1), ( Χ2), ( Χ3), και την σχέση x + x 2 = 0, ϑα έχουµε : x 2 = ( x + x 1 ) + x 2 = x + ( x 1 + x 2 ) = x + ( x 2 + x 1 ) = ( x + x 2 ) + x 1 = 0 + x 1 = x 1 + 0 = x 1

21 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ : ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΕΙΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ19 3 Προσθέτοντας και στα δύο µέλη της σχέσης λ x = λ y το διάνυσµα (λ y) ϑα έχουµε την σχέση λ x (λ y) = λ y (λ y) = 0 Εποµένως η αρχική σχέση γράφεται ισοδύναµα λ ( x y) = 0 Επειδή λ 0, από την ιδιότητα 8 του Λήµµατος 212, έπεται ότι x y = 0 Προσθέτοντας στην τελευταία σχέση το διάνυσµα y ϑα έχουµε x y + y = y + 0 και εποµένως x + 0 = x = y 4 Σκεπτόµενοι όπως στην απόδειξη του 3 η σχέση λ 1 x = λ 2 x γράφεται ισοδύναµα (λ 1 λ 2 ) x = 0 Επειδή λ 1 λ 2, από την ιδιότητα 8 του Λήµµατος 212, έπεται ότι x = 0 Πρόχειρη οκιµασία 1 Να δείξετε ότι το Αξίωµα ( Χ2) προκύπτει από τα τα υπόλοιπα αξιώµατα (Υπόδειξη : Θεωρείστε δύο τυχόντα διανύσµατα x, y του V και εκφράστε το διάνυσµα (1 + 1) ( x + y) µε δύο διαφορετικούς τρόπους, χρησιµοποιώντας τα Αξιώµατα ( Χ5), ( Χ6) ) 2 Στο σύνολο R 2 = {(κ, λ) κ, λ R}, ορίζουµε πρόσθεση + : R 2 R 2 R 2 ως εξής : (κ 1, κ 2 ) + (λ 1, λ 2 ) = (κ 1 + λ 1, κ 2 + λ 2 ) Επίσης ορίζουµε βαθµωτό πολλαπλασιασµό : R R 2 R 2 ως εξής : λ (κ 1, κ 2 ) = (λκ 1, 0) Να δείξετε ότι η τριάδα (R 2, +, ) ικανοποιεί όλα τα Αξιώµατα του ορισµού 211, εκτός από το Αξίωµα ( Χ8) (Υπόδειξη : Για το ( Χ8) ϑεωρείστε τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό 1 (1, 1) ) 3 Στο σύνολο R 2 ορίζουµε πρόσθεση : R 2 R 2 R 2 ως εξής : (κ 1, κ 2 )+(λ 1, λ 2 ) = (κ 1 +λ 1 +1, κ 2 +λ 2 +1) Επίσης ορίζουµε βαθµωτό πολλαπλασιασµό : R R 2 R 2 ως εξής : λ (κ 1, κ 2 ) = (λκ 1, λκ 2 ) Να εξετασθεί αν η τριάδα (R 2,, ) είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από το R Ποια Αξιώµατα ισχύουν και ποιά όχι ; 4 Εστω R + το σύνολο των ϑετικών πραγµατικών αριθµών Ορίζουµε πρόσθεση : R + R + R + ως εξής : κ λ := κλ Επίσης ορίζουµε βαθµωτό πολλαπλασιασµό : R R + R + ως εξής : r κ := κ r Να δείξετε ότι η τριάδα (R +,, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το R - Απο τωρα και στο εξης θα χρησιµοποιουµε τις ιδιοτητες που αποδειξαµε στο Ληµµα 212 χωρις περαιτερω αναφορα

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 22 Κατασκευές και Παραδείγµατα ιανυσµατικών Χώ- ϱων Στην παρούσα ενότητα ϑα αναπτύξουµε µια σειρά παραδειγµάτων διανυσµατικών χώρων Αυτά τα παραδείγµατα, καθώς και πολλά άλλα τα οποία ϑα αναφέρουµε στην συνέχεια, ϑα τα χρησιµοποιούµε καθ όλη την διάρκεια των σηµειώσεων σαν πρότυπα εφαρµογής της ϑεωρίας την οποία ϑα αναπτύξουµε Παράδειγµα 221 Εστω K ένα σώµα Για παράδειγµα µπορούµε να ϑεωρήσουµε το σώµα Q των ϱητών αριθµών ή το σώµα R των πραγµατικών αριθµών ή το σώµα C των µιγαδικών αριθµών Τότε η πρόσθεση K K K, (κ, λ) κ+λ του K, και ο πολλαπλασιασµός K K K, (κ, λ) κλ του K (τον οποίον για την περίσταση ϑεωρούµε ως εξωτερική πράξη), ικανοποιούν τα Αξιώµατα του ορισµού 211 ( να το δειξετε σαν Ασκηση) Εποµένως κάθε σώµα K µπορεί να ϑεωρηθεί σαν διανυσµατικός χώρος πάνω από το K Οπως µπορεί να διαπιστωθεί εύκολα το µηδενικό διάνυσµα είναι ο αριθµός 0 και το αντίθετο διάνυσµα του κ K είναι το κ Το επόµενο αποτελεί κατά κάποιο τρόπο γενίκευση του παραπάνω παραδείγµατος Παράδειγµα 222 Εστω K ένα σώµα και n ένας ϕυσικός αριθµός (n 1) Θεωρούµε το ακόλουθο σύνολο : K n := K K K = {(κ 1, κ 2,, κ n ) κ i K, i = 1, 2,, n} Χρησιµοποιώντας την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό αριθµών στο K, µπο- ϱούµε να ορίσουµε µια πράξη πρόσθεσης + : K n K n K n και µια πράξη ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού : K K n K n στο σύνολο K n, ως εξής Αν α = (k 1, k 2,, k n ), β = (l 1, l 2,, l n ) K n, και r K, τότε ορίζουµε : α + β = (k 1 + l 1, k 2 + l 2,, k n + l n ) και r κ = (rk 1, rk 2,, rk n ) Τότε η τριάδα (K n, +, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το σώµα K Οπως µπορεί να διαπιστωθεί εύκολα το µηδενικό διάνυσµα είναι 0 = (0, 0,, 0) και επιπρόσθετα το αντίθετο του διανύσµατος α = (k 1, k 2,, k n ) είναι το διάνυσµα α = ( k 1, k 2,, k n ) Για παράδειγµα ας αποδείξουµε ότι ισχύει το Αξίωµα ( Χ5) Εστω r, s K και α = (k 1, k 2,, k n ) K n Τότε : (r + s) α = (r + s) (k 1, k 2,, k n ) = ((r + s)k 1, (r + s)k 2,, (r + s)k n ) = (rk 1 + sk 1, rk 2 + sk 2,, rk n + sk n ) =

22 ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ 21 (rk 1, rk 2,, rk n ) + (sk 1, sk 2,, sk n ) = r (k 1, k 2,, k n ) + s (k 1, k 2,, k n ) = r α + s α Πρόχειρη οκιµασία Επαληθεύστε τα υπόλοιπα αξιώµατα στο Παράδειγµα 222 Το ακόλουθο παράδειγµα δείχνει ότι ένα σύνολο µπορεί να είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από δύο διαφορετικά σώµατα Παράδειγµα 223 Στο Παράδειγµα 221 είδαµε ότι κάθε σώµα είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από τον εαυτό του Ετσι το σώµα C των µιγαδικών αριθ- µών είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από το C µε πράξεις αυτές που ορίσθηκαν στο Παράδειγµα 221 ιατηρώντας την πράξη της πρόσθεσης +, ορίζουµε έναν ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό : R C C ως εξής Αν r R και z C, τότε r z = rz ηλαδή αν z = a + bi, τότε r z = ra + rbi Τότε είναι εύκολο να δειχθεί ότι η τριάδα (C, +, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το R (δειξτε το σαν Ασκηση) Σχόλιο 224 Ταυτίζοντας το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών µε το σύνολο R 2, µέσω της 1-1 και επί απεικόνισης C R 2 η οποία στέλνει τον µιγαδικό αριθµό z = a + bi στο Ϲεύγος πραγµατικών αριθµών (a, b), είναι ϕανερό ότι η πρόσθεση και ο ϐαθµωτός πολλαπλασιασµός στα σύνολα C και R 2 αντιστοιχούν µε κανονικό τροπο, και εποµένως µπορούµε να ταυτίσουµε το C µε το R 2 σαν διανυσµατικού χώρους Θα δούµε αργότερα µια πιο αυστηρή διατύπωση αυτού του ισχυρισµού Θα δούµε τώρα µια γενίκευση του Παραδείγµατος 222 Εστω ότι V 1, V 2,, V n είναι n το πλήθος διανυσµατικοί χώροι πάνω από το ίδιο σώµα K Συµβολίζουµε µε τα ίδια σύµβολα τις πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού στους διανυσµατικούς χώρους V i Αυτή η σύµβαση δεν ϑα µας δηµιουργήσει σύγχυση, καθώς ϑα είναι ϕανερό από τα συµφραζόµενα σε ποιόν διανυσµατικό χώρο ϑα αναφέροµαστε Θεωρούµε τώρα το καρτεσιανό γινόµενο των συνόλων V 1, V 2,, V n : V 1 V 2 V n := {( x 1, x 2,, x n ) x i V i, i = 1, 2,, n} στο οποίο ορίζουµε νέα πράξη πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού ως εξής : 1 Πρόσθεση: Αν α = ( x 1, x 2,, x n ) και β = ( y 1, y 2,, y n ) είναι δύο στοιχεία του V 1 V 2 V n, τότε : α + β := ( x 1 + y 1, x 2 + y 2, x n + y n ) V 1 V 2 V n

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 2 Βαθµωτός Πολλαπλασιασµός: Αν α = ( x 1, x 2,, x n ) είναι ένα στοιχείο του V 1 V 2 V n και k K, τότε : k α := (k x 1, k x 2,, k x n ) V 1 V 2 V n Αν και χρησιµοποιούµε το ίδιο σύµβολο για τις πράξεις πρόσθεσης και ϐαθ- µωτού πολλαπλασιασµού στα σύνολα V 1, V 2,, V n και V 1 V 2 V n δεν ϑα δηµιουργείται σύγχιση καθώς ϑα είναι ϕανερό κάθε ϕορά σε ποιά σύνολα αναφέρονται οι πράξεις Θεώρηµα 221 Εστω ότι V 1, V 2,, V n είναι n το πλήθος διανυσµατικοί χώ- ϱοι πάνω από το ίδιο σώµα K Τότε εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού, το καρτεσιανό γινόµενο V 1 V 2 V n είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το K Απόδειξη : Θα αποδείξουµε τα Αξιώµατα ( Χ1), ( Χ3), ( Χ4), ( Χ6), ( Χ7) Η απόδειξη των Αξιωµάτων ( Χ2), ( Χ5), ( Χ8) είναι παρόµοια και αφήνεται σαν άσκηση στον αναγνώστη Στο υπόλοιπο της απόδειξης ϑέτουµε για συντοµία V = V 1 V 2 V n Εστω α = ( x 1, x 2,, x n ), β = ( y 1, y 2,, y n ) και γ = ( z 1, z 2,, z n ) τρία στοιχεία του V, και έστω k K 1 Χρησιµοποιώντας ότι το Αξίωµα ( Χ1) ισχύει στους διανυσµατικούς χώρους V i, i = 1, 2,, n, ϑα έχουµε διαδοχικά : α + (β + γ) = ( x 1, x 2,, x n ) + [( y 1, y 2,, y n ) + ( z 1, z 2,, z n )] = ( x 1, x 2,, x n ) + ( y 1 + z 1, y 2 + z 2,, y n + z n ) = ( x 1 + ( y 1 + z 1 ), x 2 + ( y 2 + z 2 ),, x n + ( y n + z n )) = (( x 1 + y 1 ) + z 1, ( x 2 + y 2 ) + z 2,, ( x 2 + y 2 ) + z 2 ) = ( x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x 2 + y 2 ) + ( z 1, z 2,, z n ) = [( x 1, x 2,, x n ) + ( y 1, y 2,, y n )] + ( z 1, z 2,, z n ) = (α + β) + γ 2 Θεωρούµε το διάνυσµα 0 := ( 0 1, 0 2,, 0 n ), όπου 0 i είναι το µηδενικό διάνυσµα του διανυσµατικού χώρου V i Τότε χρησιµοποιώντας ότι το Αξίωµα ( Χ3) ισχύει στους διανυσµατικούς χώρους V i, i = 1, 2,, n, ϑα έχουµε διαδοχικά : α + 0 = ( x 1, x 2,, x n ) + ( 0 1, 0 2,, 0 n ) = ( x 1 + 0 1, x 2 + 0 2,, x n + 0 n ) = ( x 1, x 2,, x n ) = α

22 ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ 23 Παρόµοια 0 + α = α Άρα το διάνυσµα 0 είναι το µηδενικό διάνυσµα του V 3 Θεωρούµε το διάνυσµα α := ( x 1, x 2,, x n ) Χρησιµοποιώντας ότι το Αξίωµα ( Χ4) ισχύει στους διανυσµατικούς χώρους V i, i = 1, 2,, n, ϑα έχουµε διαδοχικά : α + ( α) = ( x 1, x 2,, x n ) + ( x 1, x 2,, x n ) = ( x 1 + ( x 1 ), x 2 + ( x 2 ),, x n + ( x n )) = ( 0 1, 0 2,, 0 n ) = 0 Παρόµοια ( α) + α = 0 Άρα το διάνυσµα α είναι το αντίθετο διάνυσµα του α 4 Χρησιµοποιώντας ότι το Αξίωµα ( Χ6) ισχύει στους διανυσµατικούς χώρους V i, i = 1, 2,, n, ϑα έχουµε διαδοχικά : k (α + β) = k [( x 1, x 2,, x n ) + ( y 1, y 2,, y n )] = k ( x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) = (k ( x 1 + y 1 ), k ( x 2 + y 2 ),, k ( x n + y n )) = (k x 1 + k y 1, k x 2 + k y 2,, k x n + k y n ) = (k x 1, k x 2,, k x n ) + (k y 1, k y 2,, k y n ) = k ( x 1, x 2,, x n ) + k ( y 1, y 2,, y n ) = k α + k β 5 Χρησιµοποιώντας ότι το Αξίωµα ( Χ7) ισχύει στους διανυσµατικούς χώρους V i, i = 1, 2,, n, ϑα έχουµε διαδοχικά : k (l α) = k [l ( x 1, x 2,, x n )] = k (l x 1, l x 2,, l x n ) = (k (l x 1 ), k (l x 2 ),, k (l x n )) = (kl x 1, kl x 2,, kl x n ) = kl ( x 1, x 2,, x n ) = kl α Παράδειγµα 225 1 ιαλέγοντας V i = K, i = 1, 2,, n στο Θεώρη- µα 221, έχουµε το παράδειγµα 222 2 Αν V είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το σώµα K, τότε διαλέγοντας V i = V, i = 1, 2,, n στο Θεώρηµα 221, ϑα έχουµε ότι το καρτεσιανό γινόµενο V V V του V µε τον εαυτό του n ϕορές, είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το V 3 Θεωρούµε τους διανυσµατικούς χώρους R και C πάνω από το R όπως στα Παράδείγµατα 221 και 223 Τότε το καρτεσιανό γινόµενο R C είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το R

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Πρόχειρη οκιµασία Εστω K ένα σώµα και έστω L K ένα υποσύνολο του Υποθέτουµε ότι το L περιέχει τα 0, 1, είναι κλειστό στην πράξη της πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού του K, και ισχύει ότι l 1 L, αν l L\{0} Να δείξετε ότι περιορίζοντας τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού του K στο L, το σύνολο L είναι ένα σώµα και το K είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από το L Για παράδειγµα µπορούµε να διαλέξουµε σαν L το σύνολο Q των ϱητών αριθµών και σαν K είτε το σώµα R των πραγµατικών αριθµών ή το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών οθέντος ενός διανυσµατικού χώρου V πάνω από ένα σώµα K, υπάρχουν δύο γενικές µέθοδοι κατασκευής νέων διανυσµατικών χώρων Η µία µέθοδος µας εφοδιάζει µε νέους διανυσµατικούς χώρους επεκτείνοντας µε κάποιον τρόπο τον V, και η άλλη µέθοδος µας εφοδιάζει µε νέους διανυσµατικούς χώρους οι οποίοι είναι υποσύνολα του V Ετσι µπορούµε να πούµε ότι το Παράδειγµα 222 ανήκει στην πρώτη µέθοδο και η παραπάνω Πρόχειρη οκιµασία στην δεύτερη µέθοδο Στην παρούσα ενότητα ϑα ασχοληθούµε κυρίως µε την πρώτη µέθοδο Η δεύτερη ϑα αναπτυχθεί στην επόµενη ενότητα 221 ιανυσµατικοί Χώροι Συναρτήσεων Στην παρούσα υπο-ενότητα ϑα δούµε κάποια παραδείγµατα διανυσµατικών χώρων τα στοιχεία των οποίων (δηλαδή τα διανύσµατα τους) είναι συναρτήσεις Υπενθυµίζουµε ότι αν f, g : S T είναι δύο συναρτήσεις µεταξύ δύο συνόλων S, T, τότε ισχύει εξ ορισµού : f = g αν και µόνον αν f(s) = g(s), s S Ξεκινάµε µε ένα απλό παράδειγµα Παράδειγµα 226 Θεωρούµε το ακόλουθο σύνολο συναρτήσεων F(R, R) := {f : R R η f είναι συνάρτηση} Χρησιµοποιώντας την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό αριθµών στο R, ορί- Ϲουµε στο σύνολο F(R, R) πράξη πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού ως εξής : f, g F(R, R), r R, f F(R, R), f + g : R R, x (f + g)(x) := f(x) + g(x) r f : R R, x (r f)(x) := rf(x) Τότε η τριάδα (F(R, R), +, ) είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από το R Το µηδενικό διάνυσµα του F(R, R) είναι η µηδενική συνάρτηση 0 : R R, η οποία ορίζεται ως εξής : 0(x) = 0 Το αντίθετο διάνυσµα του διανύσµατος f F(R, R) είναι η συνάρτηση f : R R, η οποία ορίζεται ως εξής : ( f)(x) = f(x)

22 ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ 25 Το Παράδειγµα 226 είναι ειδική περίπτωση ενός γενικότερου αποτελέσµατος το οποίο ϑα συζητήσουµε τώρα Εστω S ένα τυχαίο σύνολο και V = (V, +, ) ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από ένα σώµα K Θεωρούµε το σύνολο των συναρτήσεων από το σύνολο S στον διανυσµατικό χώρο V: F(S, V) := {f : S V η f είναι συνάρτηση} Στο σύνολο F(S, V) ορίζουµε µια πράξη πρόσθεσης ως εξής : f, g F(S, V), f + g : S V, s (f + g)(s) := f(s) + g(s) (21) Επίσης ορίζουµε µια πράξη ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού του σώµατος K στο σύνολο F(S, V) ως εξής : k K, f F(S, V), k f : S V, s (k f)(s) := k f(s) (22) Εδώ ϑα πρέπει να είµαστε προσεκτικοί Στην σχέση (f + g)(s) = f(s) + g(s) το σύµβολο + στην αριστερή πλευρά συµβολίζει την νέα πράξη πρόσθεσης στο σύνολο F(S, V), και το σύµβολο + στην δεξιά πλευρά συµβολίζει την πράξη πρόσθεσης στον διανυσµατικό χώρο V Παρόµοια στην σχέση (k f)(s) = k f(s) το σύµβολο στην αριστερή πλευρά συµβολίζει την νέα πράξη ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού στο σύνολο F(S, V), και το σύµβολο στην δεξιά πλευρά συµβολίζει την πράξη ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού στον διανυσµατικό χώρο V εν εισάγουµε νέα σύµβολα για τις νέες πράξεις (α) για να µην ϐαρύνουµε τον συµβολισµό µας, και (β) ϑα είναι πάντοτε ϕανερό από τα συµφραζόµενα για ποια πράξη πρόκειται Μπορούµε τώρα να αποδείξουµε τώρα το ακόλουθο γενικό αποτέλεσµα Θεώρηµα 222 Εστω S ένα τυχαίο σύνολο και V = (V, +, ) ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από ένα σώµα K Τότε µε τις παραπάνω πράξεις 21 και 22 το σύνολο F(S, V) όλων των συναρτήσεων από το S στον V είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το σώµα K Το µηδενικό διάνυσµα του F(S, V) είναι η συνάρτηση 0 : S V, s 0(x) = 0 και το αντίθετο διάνυσµα του f F(S, V) είναι η συνάρτηση f : S V, s ( f)(s) = f(s) Απόδειξη : Λαµβάνοντας υπ όψιν το πως ορίσθηκαν οι πράξεις στο σύνολο F(S, V), η ιδέα της απόδειξης ϐασίζεται στο ότι τα Αξιώµατα ( Χ1),, ( Χ8) ισχύουν στον διανυσµατικό χώρο V Εστω f, g, h : S V τρείς τυχούσες συναρτήσεις, και έστω k, l K

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 1 Ισχύει f + (g + h) = (f + g) + h αν-ν για κάθε x S έχουµε [f + (g + h)](x) = [(f + g)h](x) Οµως [f + (g + h)](x) = f(x) + (g + h)(x) = f(x) + [g(x) + h(x)] Χρησιµοποιώντας ότι το Αξίωµα ( Χ1) ισχύει στον V, το δεύτερο µέλος της τελευταία σχέσης είναι ίσο µε [f(x) + g(x)] + h(x) = (f + g)(x) + h(x) = [(f + g) + h](x) Εποµένως [f + (g + h)](x) = [(f + g) + h](x) Επειδή αυτό ισχύει για κάθε x V, έπεται ότι f + (g + h) = (f + g) + h 2 Η απόδειξη της σχέσης f + g = g + f είναι παρόµοια µε την αποδειξη της 1 3 Θεωρούµε την συνάρτηση 0 : S V, µε 0(x) = 0 Τότε για κάθε x S, έχουµε (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 Επειδή f(x) V, από το Αξίωµα ( Χ3) για τον V, ϑα έχουµε f(x) + 0 = f(x) Εποµένως (f + 0)(x) = f(x), x S, το οποίο σηµαίνει ότι f + 0 = f Παρόµοια 0 + f = f 4 Θεωρούµε την συνάρτηση f : S V η οποία ορίζεται ως εξής : ( f)(x) := f(x) Τότε [f + ( f)](x) = f(x) + ( f)(x) = f(x) f(x) = 0 = 0(x) Εποµένως f +( f) = 0 και παρόµοια αποδεικνύεται ότι ( f) + f = 0 5 Ισχύει (k + l) f = k f + l f αν-ν για κάθε x S έχουµε [(k + l) f](x) = (k f + l f)(x) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της πρόσθεσης και του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού στο σύνολο F(S, V) και την ισχύ του Αξιώµατος ( Χ5) στον V, έχουµε : [(k + l) f](x) = (k + l) f(x) = k f(x) + l f(x) = (k f)(x) + (l f)(x) = (k f + l f)(x) Εποµένως (k + l) f = k f + l f 6 Η απόδειξη της σχέσης k (f + g) = k f + k g είναι παρόµοια µε την απόδειξη της 5 7 Ισχύει k (l f) = (kl) f αν-ν για κάθε x S έχουµε : [k (l f)](x) = [(kl) f](x) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού στο σύνολο F(S, V) και την ισχύ του Αξιώµατος ( Χ7) στον V, έχουµε : [k (l f)](x) = k [(l f)(x)] = k [l f(x)] = (kl) f(x) = [(kl) f](x) Εποµένως ισχύει η σχέση k (l f) = (kl) f 8 Ισχύει 1 f = f αν-ν για κάθε x S έχουµε : (1 f)(x) = f(x) Επειδή το Αξίωµα ( Χ8) ισχύει στον V, ϑα έχουµε : (1 f)(x) = 1 f(x) = f(x) Άρα 1 f = f

22 ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ 27 Ετσι ϑέτοντας στο Θεώρηµα 222, S = [0, 2π] ή S = [0, 1] και K = R, αντίστοιχα K = C, έπεται ότι τα σύνολα F([0, 2π], R), F([0, 1], R), αντίστοιχα F([0, 2π], C) και F([0, 1], C), είναι διανυσµατικοί χώροι πάνω από το R, αντίστοιχα πάνω από το C 222 Ο Χώρος των Ακολουθιών Μια σηµαντική ειδική περίπτωση του Θεώρηµατος 222 αποτελεί ο διανυσµατικός χώρος των ακολουθιών µε στοιχεία απο ένα σώµα K, που ϑα συζητήσουµε τώρα Θεωρούµε το σύνολο N 0 = {0, 1, 2, 3,, n, n + 1, } των ϕυσικών αριθ- µών µαζί µε το 0, και έστω K ένα σώµα Ορισµός 223 Μια ακολουθία µε στοιχεία στο σώµα K είναι µια συνάρτηση α : N 0 K Εστω A(K) το σύνολο των ακολουθιών µε στοιχεία στο σώµα K Αν α A(K), τότε συµβολίζουµε την τιµή α(n) της συνάρτησης α : N 0 K στον ϕυσικό αριθµό n µε α(n) := α n Επειδή η συνάρτηση α καθορίζεται πλήρως από τις τιµές της, έπεται ότι η α καθορίζεται πλήρως από τα στοιχεία {α 0, α 1,, α n, } Ετσι ϑα συµβολίζουµε µια ακολουθία µε στοιχεία στο σώµα K και ως εξής : (α n ) n 0 Τα στοιχεία α n, n 0, καλούνται όροι της ακολουθίας Πόρισµα 224 Το σύνολο A(K) των ακολουθιών µε στοιχεία από ένα σώµα K αποτελεί διανυσµατικό χώρο πάνω από το K µε τις ακόλουθες πράξεις : 1 Πρόσθεση: Αν (α n ) n 0, (β n ) n 0 A(K), τότε : (α n ) n 0 + (β n ) n 0 := (γ n ) n 0, όπου γ n := α n + β n, n 0 2 Βαθµωτός Πολλαπλασιασµός: Αν (α n ) n 0 A(K) και k K, τότε : k (α n ) n 0 := (δ n ) n 0 όπου δ n := kα n, n 0 Απόδειξη : Θέτοντας S = N 0 και V = K στο Θεώρηµα 222, παρατηρούµε ότι A(K) = F(S, K) Επίσης η πρόσθεση (α n ) n 0 + (β n ) n 0 των ακολουθιών (α n ) n 0, (β n ) n 0 συµπίπτει µε την πρόσθεση α + β των συναρτήσεων n α(n) = α n και n β(n) = β n Παρόµοια ο ϐαθµωτός πολλαπλασιασµός

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ k (α n ) n 0 συµπιπτει µε τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό k α της συνάρτησης n α(n) = α n µε το k Επειδή, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 222, µε τις παραπάνω πράξεις το σύνολο F(S, K) είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από το K, έπεται ότι και το σύνολο A(K) είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από το K 23 ιανυσµατικοί Χώροι Πολυωνύµων και Πινάκων Θα δούµε τώρα δύο πολύ σπουδαίες ειδικές περιπτώσεις του Θεώρηµατος 222 ή εναλλακτικά του Πορίσµατος 224 231 Ο Χώρος των Πινάκων Από τώρα και στο εξής συµβολίζουµε µε N n := {1, 2, 3,, n} το σύνολο των n πρώτων ϕυσικών αριθµών Εστω K ένα σώµα Ορισµός 231 Ενας m n-πίνακας µε στοιχεία από το σώµα K είναι µια συνάρτηση A : N m N n K, A(i, j) := α ij Ετσι σύµφωνα µε τον παραπάνω ορισµό ένας πίνακας A, δηλαδή µιά συνάρτηση A : N m N n K, καθορίζεται από τις τιµές της οι οποίες είναι οι mn το πλήθος αριθµοί {a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,,, a m1, a m2,, a mn } από το σώµα K Χάριν ευκολίας και για καλύτερη εποπτεία, συνήθως τις τιµές αυτές τις τοποθετούµε σε µια ορθογώνια διάταξη όπως ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα : a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Ετσι µπορούµε να πούµε ότι ένας m n-πίνακας πάνω από το σώµα K είναι µια διάταξη mn αριθµών από το σώµα K τους οποίους έχουµε διατάξει και πα- ϱαστήσει όπως παραπάνω ηλαδή ταυτίζουµε το στοιχείο a ij της διάταξης µε την τιµή της απεικόνισης A στο στοιχείο (i, j) N m N n Η τιµή a ij καλείται το στοιχείο του πίνακα A στην (i, j)-ϑέση Χάριν συντοµίας συνήθως έναν m n-πίνακα A τον συµβολίζουµε ως εξής : A = (a ij ), όπου i = 1, 2,, m και j = 1, 2,, n Εστω A = (a ij ) ένας m n πίνακας µε στοιχεία από τό σώµα K

23 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΩΝ 29 Στήλες Για κάθε j = 1, 2,, n, η j-στήλη του πίνακα A είναι η ακόλουθη διάταξη m αριθµών : a 1j a 2j A j := a ij a mj Ετσι µπορούµε να πούµε ότι ο m n πίνακας A αποτελείται από n στήλες A 1, A 2,, A n κάθε µία από τις οποίες αποτελείται απο m αριθµούς Γραµµές Για κάθε i = 1, 2,, m, η j-γραµµή του πίνακα A είναι η ακόλουθη διάταξη m αριθµών : A i := ( a i1 a i2 a ij a im ) Ετσι µπορούµε να πούµε ότι ο m n πίνακας A αποτελείται από m γραµµες A 1, A 2,, A m κάθε µία από τις οποίες αποτελείται απο n αριθµούς Παρατηρούµε ότι το στοιχείο a ij του πίνακα A ϐρίσκεται στην τοµή της i- γραµµής µε την j-στήλη Συµβολίζουµε µε M m n (K) το σύνολο των m n-πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K: M m n (K) = { A = (a ij ) a ij K, i = 1, 2, m, j = 1, 2,, n } Για παράδειγµα έστω οι πίνακες : A = ( ) 1 0 5, B = 3 4 2 D = 7 4 5 2 3 1 2 0 4 8 9 1 ( i 2, E = 1, C = ( 1 0 2 ), 1 + 2i Τότε A M 2 3 (R), B M 4 2 (R), C M 1 3 (R), D M 4 1 (R), και E M 2 2 (C) Στο σύνολο M m n (K) των m n-πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K ορίζουµε πράξη πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού ως εξής : )

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 1 Πρόσθεση: Αν A = (a ij ), B = (b ij ) M m n (K), τότε A + B είναι ο m n-πίνακας (a ij + b ij ) Σχηµατικά : a 11 a 1j a 1n b 11 b 1j b 1n a 21 a 2j a 2n b 21 b 2j b 2n a i1 a ij a in + b i1 b ij b in a m1 a mj a mn b m1 b mj b mn a 11 + b 11 a 1j + b ij a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 2j + b 2j a 2n + b 2n = a i1 + b i1 a ij + b ij a in + b in a m1 + b m1 a mj + b mj a mn + b mn 2 Βαθµωτός Πολλαπλασιασµός: Αν A = (a ij ) M m n (K), και k K, τότε k A είναι ο m n-πίνακας (ka ij ) Σχηµατικά : a 11 a 1j a 1n ka 11 ka 1j ka 1n a 21 a 2j a 2n ka 21 ka 2j ka 2n k a i1 a ij a in = ka i1 ka ij ka in a m1 a mj a mn ka m1 ka mj ka mn Οπως και στην περίπτωση των χώρων συναρτήσεων, παρατηρούµε ότι αν ϑεω- ϱήσουµε τους m n-πίνακες ως συναρτήσεις : N m N n K, τότε η πρόσθεση και ο ϐαθµωτός πολλαπλασιασµός που ορίσαµε παραπάνω συµπίπτει µε την πρόσθεση και τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό συναρτήσεων Με ϐάση αυτή την παρατήρηση το ακόλουθο πόρισµα είναι άµεση απόρροια του ϑεωρήµατος 222 Πόρισµα 232 Το σύνολο M m n (K) των m n-πινάκων µε στοιχεία από ένα σώµα K εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού, είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το K Το µηδενικό

23 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΩΝ 31 διάνυσµα του M m n (K) είναι ο m n-πίνακας 0 όλα τα στοιχεία του οποίου είναι ίσα µε 0: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 Το αντίθετο διάνυσµα του m n-πίνακα A = (a ij ) είναι ο m n-πίνακας A = ( a ij ): a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Απόδειξη : Θέτουµε S = N m N n και V = K στο Θεώρηµα 222, και εργαζό- µαστε όπως στο Πόρισµα 224 Ο πίνακας 0 καλείται ο µηδενικός m n πίνακας, και αν A M m n (K), τότε ο πίνακας A = ( a ij ) καλείται ο αντίθετος πίνακας του A Ενας m n πίνακας A = (a ij ) καλείται τετραγωνικός αν m = n Σπουδαίες κλάσεις τετραγωνικών πινάκων αποτελούν οι διαγώνιοι και οι ϐαθµωτοί πίνακες Ενας τετραγωνικός n n πίνακας A = (a ij ) καλείται διαγώνιος αν a ij = 0, i j ηλαδή αν ο A είναι της µορφής : a 11 0 0 0 0 a 22 0 0 A = 0 0 a ii 0 0 0 0 a nn

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Για παράδειγµα ο µοναδιαίος n n πίνακας 1 0 0 0 0 1 0 0 I n = 0 0 1 0 0 0 0 1 είναι διαγώνιος Γενικά ένας διαγώνιος πίνακας A καλείται ϐαθµωτός αν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του µοναδιαίου : A = ki n, δηλαδή αν είναι της µορφής : k 0 0 0 0 k 0 0 A = ki n = 0 0 k 0 0 0 0 k Θα µελετήσουµε διεξοδικότερα τον χώρο των πινάκων και τον ϱόλο που διαδραµατίζουν στην Γραµµική Άλγεβρα σε επόµενο Κεφάλαιο 232 Ο Χώρος των Πολυωνύµων Εστω A(K) ο διανυσµατικός χώρος των ακολουθιών µε στοιχεία αριθµούς από ένα σώµα K όπως αυτός ορίσθηκε στην υποενότητα 222 Θεωρού- µε το υποσύνολο του S(K) το οποίο αποτελείται από όλες τις ακολουθίες (a n ) n 0 A(K) οι οποίες έχουν πεπερασµένο πλήθος από µη-µηδενικούς όρους ηλαδή : K[t] := { (a n ) n 0 A(K) k N 0 : a n = 0, n > k } (23) Ορισµός 233 Μία ακολουθία (a n ) n 0 στοιχείων του σώµατος K η οποία έχει πεπερασµένο πλήθος από µη-µηδενικούς όρους, δηλαδή ανήκει στο υποσύνολο K[t] του A(K), καλείται πολυώνυµο πάνω από το σώµα K Τα µη-µηδενικα στοιχεία της ακολουθίας καλούνται συντελεστές του πολυωνύµου Οι ακολουθίες-πολυώνυµα που ϑα ορίσουµε τώρα διαδραµατίζουν σπουδαίο ϱόλο στην ϑεωρία πολυωνύµων

23 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΩΝ 33 Ορισµός 234 1 Η ακολουθία (a n ) n 0 µε a 0 = 1 και a n = 0, n 0, η οποία προφανώς ανήκει στο K[t], συµβολίζεται µε t 0 και καλείται µοναδιαίο πολυώνυµο ηλαδή το t 0 είναι το πολυώνυµο : t 0 := (1, 0, 0, 0,, 0, ) K[t] 2 Η ακολουθία (a n ) n 0 µε a 1 = 1 και a n = 0, n 1, η οποία προ- ϕανώς ανήκει στο K[t], ϑα συµβολίζεται µε t και καλείται µεταβλητή ή απροσδιόριστη ηλαδή η t είναι το πολυώνυµο : t := (0, 1, 0, 0,, 0, ) K[t] 3 Αν m 1, η m-οστή δύναµη t m της µεταβλητής t ορίζεται να είναι το πολυώνυµο (a n ) n 0 µε a m = 1 και a n = 0, n m ηλαδή : t m := (0, 0, 0,, 0, 1, 0, ) K[t] όπου το 1 εµφανίζεται σαν ο όρος της ακολουθίας στην m + 1 ϑέση Είναι ϕανερό ότι αν δύο ακολουθίες (a n ) n 0, (b n ) n 0 ανήκουν στο υποσύνολο K[t], δηλαδή είναι πολυώνυµα, τότε και το άθροισµα τους (a n ) n 0 + (b n ) n 0 ανήκει στο K[t], και άρα είναι πολυώνυµο Πραγµατικά αν a n = 0, n > k και b n = 0, n > l, τότε a n + b n = 0, n > max{k, l} Παρόµοια αν η ακολουθία (a n ) n 0 ανήκει στο υποσύνολο K[t] και k K είναι ένα στοιχείο του K, τότε και η ακολουθία k (a n ) n 0 = (ka n ) n 0 ανήκει στο K[t] Εποµένως µπορούµε να ορίσουµε πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού στο υποσύνολο K[t], περιορίζοντας τις πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού του διανυσµατικού χώρου A(K) στο υποσύνολο του K[t]: (a n ) n 0, (b n ) n 0 K[t] : (a n ) n 0 +(b n ) n 0 := (a n +b n ) n 0 K[t] (24) (a n ) n 0, k K : k (a n ) n 0 := (ka n ) n 0 K[t] (25) Χρησιµοποιώντας ότι το σύνολο A(K) είναι διανυσµατικός χώρος, είναι εύκολο να δούµε ότι το σύνολο K[t] εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις 24, 25 είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το σώµα K Ο διανυσµατικός χώρος K[t] καλείται ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων µε συντελεστές από το σώµα K Προφανώς το µηδενικό διάνυσµα του K[t] είναι το πολυώνυµο (a n ) n 0 µε a n = 0, n 0 το οποίο καλείται µηδενικό πολυώνυµο Το αντίθετο διάνυσµα του πολυωνύµου (a n ) n 0 είναι το πολυώνυµο ( a n ) n 0

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Συµβολισµός 231 Από τώρα και στο εξής το µοναδιαίο πολυώνυµο, δηλαδή το πολυώνυµο t 0 := (1, 0, 0,, ) ϑα το συµβολίζουµε απλά µε 1 Το µηδενικό πολυώνυµο ϑα το συµβολίζουµε απλά µε 0 Παρατηρούµε ότι το πολυώνυµο (k, 0, 0, ) είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του µοναδιαίου πολυωνυµου : (k, 0, 0, ) = k (1, 0, 0, ) = k 1 Ενα πολυώνυµο καλείται σταθερό αν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του µοναδιαίου, δηλαδή είναι της µορφής (k, 0, 0, ), όπου k K Το γεγονός ότι για ένα πολυώνυµο (a n ) n 0 K[t] υπάρχει ενας αριθµός m N 0 έτσι ώστε a n = 0, n > m, µας επιτρέπει να ορίσουµε την έννοια του ϐαθµού ενός πολυωνύµου Ορισµός 235 Εστω (a n ) n 0 K[t] ένα µη-µηδενικό πολυώνυµο µε συντελεστές από το σώµα K Ο ϐαθµός του (a n ) n 0 ορίζεται να είναι ο µεγαλύτερος ϕυσικός αριθµός n για τον οποίο ισχύει a n 0 και συµβολίζεται µε deg(a n ) n 0 ηλαδή : deg(a n ) n 0 = max{n N a n 0} Στο µηδενικό πολυώνυµο δεν επισυνάπτουµε ϐαθµό Παράδειγµα 232 1 Το πολυώνυµο t n έχει ϐαθµό n: deg t n = n 2 Το πολυώνυµο (k, 0, 0, ), όπου k K, έχει ϐαθµό 0 3 Αν K = R, το πολυώνυµο (1, 0, 4, 2, 3, 0, 0, ), έχει ϐαθµό 4 Σχόλιο 233 Μπορούµε να ορίσουµε και µια άλλη εσωτερική πράξη στον διανυσµατικό χώρο K[t] η οποία είναι γνωστή ως πολλαπλασιασµός ή γινόµενο πολυωνύµων Πραγµατικά έστω (a n ) n 0 και (b n ) n 0 δύο πολυώνυµα µε συντελεστές από το σώµα K Το γινόµενο τους (a n ) n 0 (b n ) n 0 ορίζεται να είναι η ακολουθία (c n ) n 0 όπου c n := a i b j Περισσότερο αναλυτικά : c 0 = a 0 b 0 c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0 c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 i+j=n c n = a 0 b n + a 1 b n 1 + a 2 b n 2 + + a n 1 b 1 + a n b 0

23 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΩΝ 35 Η ακολουθία (c n ) n 0 = (a n ) n 0 (b n ) n 0 είναι πολυώνυµο Πραγµατικά αν a n = 0, n > k και b n = 0, n > l, τότε όπως είναι ϕανερό από την τελευταία σχέση όλοι οι όροι της ακολουθίας (c n ) n 0 µηδενίζονται µετά τον όρο που ϐρίσκεται στην k + l ϑέση Επίσης είναι εύκολο να δειχθεί ότι η m-οστή δύναµη t m της µεταβλητής t δεν είναι παρά το γινόµενο της t t t t m ϕορές (Να το δειξετε σαν Ασκηση) Ο συνηθισµένος συµβολισµός πολυωνύµων Θα δούµε τώρα πως ο παραπάνω ορισµός πολυωνύµων οδηγεί στον συνη- ϑισµένο (διαισθητικό) ορισµό και συµβολισµό πολυωνύµων Εστω (a n ) n 0 K[t] ένα πολυώνυµο µε συντελεστές από το σώµα K Τότε σύµφωνα µε τον ορισµό 233, υπάρχει m 0 έτσι ώστε a n = 0, n > m Εποµένως το πολυώνυµο (a n ) n 0 έχει την µορφή : (a n ) n 0 = (a 0, a 1, a 2,, a m 1, a m, 0, 0, ), Χρησιµοποιώντας την µεταβλητή t, και τον ορισµό της πρόσθεσης και του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού στον διανυσµατικό χώρο K[t] µπορούµε να γράψουµε το πολυώνυµο (a n ) n 0 διαδοχικά ως εξής : (a 0, a 1, a 2,, a m 1, a m, 0, 0, ) = (a 0, 0, 0 ) Εποµένως ϑα έχουµε + (0, a 1, 0, ) + (0, 0, a 2, 0, ) + (0, 0,, 0, a m 1, 0, ) + (0, 0,, 0, 0, a m, 0, ) = a 0 (1, 0, 0, ) + a 1 (0, 1, 0, ) + a 2 (0, 0, 1, 0, ) + a m 1 (0, 0,, 0, 1, 0, ) + a m (0, 0,, 0, 0, 1, 0, ) (a n ) n 0 = a 0 1 + a 1 t + a 2 t 2 + + a m 1 t m 1 + a m t m (26)

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Η σχέση 26 δείχνει ότι ένα πολυώνυµο µε συντελεστές από το σώµα K είναι µια τυπική έκφραση της µορφής a 0 1 + a 1 t + a 2 t 2 + + a m 1 t m 1 + a m t m όπου τα a i είναι αριθµοί από το σώµα K και m είναι κάποιος ϕυσικός αριθµός ηλαδή έχουµε την γνωστό µας διαισθητικό ορισµό και τρόπο γραφής πολυωνύµου Η παραπάνω ανάλυση όµως είναι αναγκαία για τον µαθηµατικά ακριβή ορισµό τον οποίο ϑα χρησιµοποιήσουµε στην συνέχεια Χάριν απλότητας και ακολουθώντας το οικείο συµβολισµό, από τώρα και στο εξής ένα πολυώνυµο µε συντελεστές από το σώµα K ϑα συµβολίζεται ώς εξής : P (t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + + a m 1 t m 1 + a m t m (27) ηλαδή ϑα παραλείπουµε το σύµβολο του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού Επιπρόσθετα το γινόµενο δύο πολυωνύµων P (t) και Q(t) ϑα συµβολίζεται µε P (t)q(t) Πρόχειρη οκιµασία Να δείξετε ότι αν P (t), Q(t) K[t], τότε : 1 deg(p (t) + Q(t)) min{deg P (t), deg Q(t)} 2 deg P (t) = deg( P (t)) 3 deg P (t) = 0 αν-ν το P (t) είναι ένα σταθερό µη-µηδενικό πολυώνυµο 4 deg(p (t)q(t)) = deg P (t) + deg Q(t) 24 Ασκήσεις Ασκηση 241 Εστω R + = {x R x > 0} το σύνολο των ϑετικών πραγµατικών αριθµών Ορίζουµε νέες πράξεις ως εξής : Πρόσθεση: x, y R + : x y := xy (ο συνηθισµένος πολλαπλασιασµός πραγµατικών αριθµών) Βαθµωτός Πολλαπλασιασµός: r R, x R + : r x := x r Να δείξετε ότι µε τις παραπάνω πράξεις, το σύνολο R + είναι ένας διανυµατικός χώρος υπεράνω του R Ασκηση 242 Εφοδιασµένα µε τις συνηθισµένες πράξεις πρόσθεσης και ϐαθ- µωτού πολλαπλασιασµού όπως αυτές ορίσθηκαν στους διανυσµατικούς χώρους R 2 και R 3, είναι τα παρακάτω σύνολα διανυσµατικοί χώροι ; Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας

24 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 37 1 V 1 = {(x, y) R 2 x 0, y R} Σωστό Λάθος 2 V 2 = {(x, 2x + 1) R 2 x R} Σωστό Λάθος 3 V 3 = {(x, 2x) R 2 x R} Σωστό Λάθος 4 V 4 = {(x, x) R 2 x R} Σωστό Λάθος 5 V 5 = {(x, y, z) R 3 x, y R, z = 1} Σωστό Λάθος 6 V 6 = {(x, y, z) R 3 x = y = z} Σωστό Λάθος 7 V 7 = {(x, y, z) R 3 z = x + y} Σωστό Λάθος 8 V 8 = {(x, y, z) R 3 xy = 0} Σωστό Λάθος Ασκηση 243 Να δείξετε ότι µε τις συνηθισµένες πράξεις πρόσθεσης και ϐαθ- µωτού πολλαπλασιασµού πινάκων, το σύνολο V όλων των 3 3 πινάκων πραγ- µατικών αριθµών της µορφής : A = a 2c 2b b a 2c c b a όπου a, b, c R, είναι διανυσµατικός χώρος υπεράνω του R

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης «Γραμμική Άλγεβρα Ι» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourseuoigr/course/viewphp?id=1225 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1] https://creativecommonsorg/licenses/by-sa/40/