ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. Μονάδες 7 A. Πότε λέµε ότι µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]; Μονάδες 4 A3. Έστω συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α. Πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο 0 A τοπικό µέγιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον πραγµατικό άξονα. β) Μια συνάρτηση f είναι, αν και µόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της η εξίσωση f () = y έχει ακριβώς µία λύση ως προς. ΘΕΜΑ Β γ) Αν είναι lim f( ) =, τότε f () < 0 κοντά στο 0. 0 δ) (σφ )' = ηµ, { ηµ = 0} β ε) f ( g ) β ( ) d= [ f( g ) ( )] α α α f ( g ) ( ) d συναρτήσεις στο [α,β] β, όπου f, g είναι συνεχείς Μονάδες 0 Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόµενες σχέσεις: z z = 4 () w 5w = () B. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = B. Αν z, z είναι δύο από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς z µε z z =, τότε να βρείτε το z z. Μονάδες 7

B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w στο y επίπεδο είναι η έλλειψη µε εξίσωση = και στη συνέχεια να βρείτε τη 9 4 µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του w. B4. Για τους µιγαδικούς αριθµούς z, w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: z w 4 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f( ) = ( )ln, > 0 Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα = (0,] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα = [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιµών της f. Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = 03, > 0 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Γ3. Αν, µε < είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 (, ) τέτοιο ώστε f ( 0) f( 0) = 0 Γ4. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g () = f () µε > 0, τον άξονα και την ευθεία = Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f :(0, ), η οποία για κάθε > 0 ικανοποιεί τις σχέσεις: f( ) 0 f() t dt ln t t ln = dt f() t f( ). Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη και να βρείτε τον τύπο της. Αν είναι f( ) = (ln ), > 0, τότε:. Να υπολογίσετε το όριο: ( ) lim f ( ) ηµ f( ) f( ) 0 Μονάδες 0 Μονάδες 5

3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln, που ισχύει για κάθε > 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F( ) = f( t) dt, > 0, όπου α > 0, είναι κυρτή (µονάδες ). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F() F(3) > F(), για κάθε > 0 (µονάδες 4). a 4. ίνεται ο σταθερός πραγµατικός αριθµός β > 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ξ (β, β) τέτοιο ώστε: F(β ) F(3β ) = F(ξ ) Μονάδες 4 3

ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. α τρόπος: Αν z = yi, y, R, η σχέση () γράφεται ( ) yi ( ) yi = 4 ( ) y ( ) y = 4 y =. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =. β τρόπος: Η σχέση () γράφεται: ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) = 4 ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) = 4 z z z z z z z z = 4 z z = z z = z = z =. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =. Β. Έστω z z = k, k 0. Τότε ( )( ) z z = z z = z z z z = ( )( ) ( ) z z z z = zz zz zz zz = z z zz zz = (α) ( )( ) z z = z z = z z z z = ( ) ( ) ( z z ) z z = z z z z z z z z = = (β). z z z z z z Προσθέτοντας τις (α), (β) κατά µέλη έχουµε: ( ) Όµως z =, z = οπότε προκύπτει z z = k. k k k = 4 = =, αφού k 0. Β3. 5 5 ( 5 ) ( 5 ) 44 w w = w w = w w w w = 5 5 5 44 ww w w ww = w 5( w w ) 5 w = 44 6 w 5( w w ) = 44 (3) Έστω w = yi, y, R τότε η σχέση (3) γίνεται: 6( y ) 5 ( yi) ( yi) = 44 6( y ) 5( y yi y yi) = 44 4

6 6y 5( y ) = 44 6 6 y 0 0y = 44 6 36y = 44 y y 4 9y = 36 = =. 9 4 3 Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η παραπάνω έλλειψη µε µήκος µεγάλου ηµιάξονα a = 3 και µήκος µικρού ηµιάξονα β =. Είναι όµως γνωστό (µαθ. κατεύθυνσης Β Λυκείου, σελίδα 04) ότι για οποιοδήποτε σηµείο Μ της έλλειψης ισχύει ότι β ΟΜ α ή β ΟΜ α. Αν Α, Α, Β, Β οι κορυφές της έλλειψης, τότε: Α ( 3,0), Α(3, 0), Β (0, ), Β(0, ). Έτσι w = ( OA) = ( OA') = 3 και w = ( OB) = ( OB') =. ma min Β M w Α 0 Α -3 - - O 0 3 - Β Παρατήρηση : Το παραπάνω σχήµα είναι επιβοηθητικό της κατανόησης από τους µαθητές και δεν είναι απαραίτητο για τη λύση του ερωτήµατος. Β4. Με βάση την τριγωνική ανισότητα και επειδή z w = w z έχουµε: w z w z w z w w z w (4) Όµως λόγω του Β 3 είναι w 3, άρα: w και w 4. Τότε όµως η (4) γράφεται: w z 4. 5

Β M Λ Α 0 Α -3 - - O 0 3 - - Β Η παραπάνω ανίσωση είναι η αλγεβρική έκφραση της (ΛΜ) 3, µε (ΟΛ) = z, ΟΜ = w και (ΛΜ) = z w η οποία προκύπτει από το παραπάνω σχήµα. Παρατήρηση : Το σχήµα και εδώ δεν είναι απαραίτητο. Θα µπορούσε όµως πιθανώς και µια τέτοια «γεωµετρική λύση», αν και όχι τόσο αυστηρή όσο η αλγεβρική, να γίνει κατά ένα ποσοστό µονάδων βαθµολογίας αποδεκτή ανεξάρτητη λύση, καθόσον αναδεικνύει κατανόηση της έννοιας της µετρικής στο µιγαδικό επίπεδο. Παρατήρηση 3: Τα δύο πρώτα ερωτήµατα του δεύτερου θέµατος θα µπορούσαν να απαντηθούν χρησιµοποιώντας την άσκηση Α9 του σχολ. Βιβλίου σελ. 0, γνωστή ως κανόνα του παραλληλογράµµου (αφού πρώτα αποδειχθεί) : Για κάθε z, z Απόδειξη: C ισχύει ότι = z z z z z z = z z z z ( z z )( z z ) ( z z )( z z ) = z z z z z z z z z z z z z z z z = z z z z = z z B. γ τρόπος: για z = z και z = έχουµε : z z = z 4= z z = z = z = Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και ακτίνα ρ =. Β. β τρόπος: Από τον κανόνα του παραλληλογράµµου έχουµε ότι z z z z = z z ( ) z z = z z = z z = 6

ΘΕΜΑ Γ Γ. Η f είναι συνεχής στο (0, ) ως αποτέλεσµα πράξεων µεταξύ συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιµη µε f '( ) = ln = ln, (0 ). Όταν (0, ) είναι < και επειδή η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα έχουµε ln < ln ln < 0. Επίσης < 0 και > 0 άρα < 0. Έτσι ln < 0 για κάθε (0, ), άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο (0, ]. Όταν (, ) είναι > και επειδή ln γνησίως αύξουσα είναι ln > ln ln > 0. Επίσης είναι > 0 για κάθε (, ), οπότε ln > 0 για κάθε (, ). ηλαδή f () > 0 για κάθε (, ). Έτσι όµως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). Από τα προηγούµενα προκύπτει ο επόµενος πίνακας µεταβλητών για την f: f 0 min (-) Επειδή f γνησίως φθίνουσα στο (0, ] είναι f ((0,]) = f( ), lim f( ) ) 0 Όµως lim f( ) = lim [( )ln ] =. 0 0 Άρα f ((0,]) = [, ) (). Επίσης επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) είναι f [, = f(), lim f( ). ( ) ) Όµως lim f( ) = lim [( )ln ] =. Άρα f ([, )) = [, ) (). Από (), () προκύπτει ότι το σύνολο τιµών της f είναι το [, ). Παρατήρηση: Η µονοτονία της f στα διαστήµατα (0, ] και [, ) µπορεί να προκύψει και από το πρόσηµο της δεύτερης παραγώγου: f ( ) = 0 = >, για κάθε > 0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ) και επειδή f () = 0 η = είναι µοναδική ρίζα της f () = 0. Ακόµη, είναι:. 7

0< < f ( ) < f () f ( ) < 0άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο (0, ]. > f ( ) > f () f ( ) > 0, άρα η f είναι γν. αύξουσα στο [, ). Η f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο = το f () = ( ). ln =. Γ. Η εξίσωση = 03 (επειδή η συνάρτηση y = ln είναι γνησίως αύξουσα και άρα ) γράφεται ισοδύναµα: 03 ln( ) = ln( ) ( ) ln = 03 ( ) ln = 0 f( ) 0 = 0. Από το Γ ερώτηµα είναι: α) f ((0,]) = [, ) άρα υπάρχει (0, ] ώστε f( ) = 0 και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα είναι και, άρα η τιµή είναι µοναδική στο διάστηµα (0,]. f [, ] = [, ), άρα υπάρχει [, ) ώστε f ( ) = 0 και β) ( ) επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και, άρα η τιµή είναι µοναδική στο διάστηµα [, ). Από α) και β) προκύπτει ότι η δοσµένη εξίσωση έχει ακριβώς θετικές ρίζες. Γ3. Θεωρούµε τη συνάρτηση h() = f () 0. µε (0, ). Η h είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Η h είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως αποτέλεσµα πράξεων παραγωγίσιµων h ( ) = f ( ) f( ) 0. συναρτήσεων µε ( ) h f ( ) = ( ) 0 = 0 0 = 0 h ( ) = f( ) 0 = 0 0 = 0 Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Roll για την h στο [, ], οπότε υπάρχει 0 (, ), ώστε h ( 0 ) = 0 0 0 0 ( f 0 f 0 ) f 0 f 0 ( ) ( ) 0 = 0 ( ) ( ) 0 = 0. B τρόπος Θεωρούµε τη συνάρτηση h ( ) = f ( ) f( ) 0 µε > 0. Η f είναι συνεχής στο (0, ) ως γινόµενο συνεχών. H f είναι συνεχής στο (0, ) ως άθροισµα συνεχών. Άρα η h είναι συνεχής στο (0, ) ως άθροισµα συνεχών. Άρα η h είναι συνεχής στο [, ]. Γ h( ) = f ( ) f( ) 0 = f ( ) 0 0 = f ( ) < 0, αφού από το Γ για (0, ) είναι f ( ) < 0. Γ h( ) = f ( ) f( ) 0 = f ( ) 0 0 = f ( ) > 0, αφού από το Γ για (0, ) είναι f ( ) > 0. ηλαδή είναι h ( ) h ( ) < 0. Από το Θεώρηµα Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 (, ) ώστε: h( ) = 0 f ( ) f( ) 0 = 0 f ( ) f( ) = 0. 0 0 0 0 0 8

Γ4. Είναι: g ( ) = f( ) = ( )ln = ( )ln> 0 για κάθε (0, ). Άρα: ΕΩ ( ) = ( )lnd = lnd ln d ( ) ln d ( ) lnd = = = ln d [ ln ] d d [ ] = = 3 3 = τ.µ. 4 = = = 4 4 4 4 4 ΘΕΜΑ. Θεωρούµε τη συνάρτηση G ( ) = ftdt ( ), (0, ). f () tdt = Η( ), όπου Η() = () f t dt. H f είναι συνεχής στο (0, ) άρα η Η() είναι παραγωγίσιµη στο στο (0, ). Επίσης η y = είναι παραγωγίσιµη στο (0, ) ως πολυωνυµική, άρα και η Η( ) είναι παραγωγίσιµη ως σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων. Επίσης παραγωγίσιµη είναι και η ως πολυωνυµική. Έτσι η G είναι παραγωγίσιµη ως άθροισµα παραγωγίσιµων µε G ( ) = f( )( ) ( ), για κάθε (0, ). Η δοσµένη σχέση f() t dt επειδή G() = 0 γράφεται ισοδύναµα: f() t dt 0 G( ) G(), για κάθε (0, ). Η συνάρτηση G είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο (0, ) και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = που είναι εσωτερικό σηµείο του (0, ). Από το θεώρηµα Frmat προκύπτει τότε ότι G () = 0 f() =. Επειδή η f συνεχής στο (0, ) και f( ) 0 για κάθε (0, ), η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο (0, ) και επειδή f () = < 0, είναι f( ) < 0, (0, ). Έτσι f( ) = f( ) και από τη δοσµένη σχέση προκύπτει ln t t ln = dt ( f( ) ). f() t ln t t Για τη συνάρτηση h ( ) = dt ισχύει h ( ) 0 για κάθε > 0, διότι αν f() t υπήρχε ξ (0, ) ώστε h(ξ) = 0 τότε θα ήταν ln ξ ξ = 0. Αυτό όµως είναι άτοπο επειδή για τη συνάρτηση φ() = ln ισχύει ϕ ( ) < 0 για κάθε (0, ) (σύµφωνα µε τη γνωστή εφαρµογή στη σελ.66 του σχολ. βιβλίου) αλλά 9

µπορεί και να αποδειχθεί: ϕ ( ) = = οπότε όπως προκύπτει από τον πίνακα µεταβολών της φ είναι ϕ ( ) < 0 για κάθε (0, ). 0 φ ( ) φ( ) ma φ() = - ln (*) Η συνάρτηση f( ) = είναι παραγωγίσιµη ως πηλίκο ln t t dt f() t ln ln t t παραγωγίσιµων συναρτήσεων, ενώ προκύπτει = dt f( ). f( t) Οι συναρτήσεις και στα δύο µέλη είναι παραγωγίσιµες οπότε: ln lnt t ln ln = dt, f( ) άρα =. f( t) f ( ) f( ) ln Αν θέσουµε g ( ) = έχουµε g ( ) = g( ) για κάθε (0, ), οπότε f( ) σύµφωνα µε την εφαρµογή της σελίδας 5 του σχολικού βιβλίου είναι: g( ) = c, δηλαδή ln = c. f( ) Για = προκύπτει = c = c c=. f () Άρα τελικά f () = ln (ln ) =, (0, ). (*) Παρατήρηση: Από το σηµείο αυτό θα µπορούσε να ακολουθηθεί και η εξής πορεία: lnt t Για την συνάρτηση h() = dt έχουµε ότι είναι παραγωγίσιµη στο (0, ) f() t διότι η ln t t είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. Είναι h () = ln, οπότε από f() t f( ) ln t t την σχέση ln = dt ( f( ) ) f() t ln = h() h () = h(), (0, ). Τότε όµως είναι h() = c. f( ) Επειδή h() = προκύπτει c =, άρα h() =. προκύπτει ln = h() f() 0

ηλαδή ln f( ) = f() = (ln ), (0, ).. Είναι: Άρα = =, lim ln =, lim ( ) = 0. 0 lim 0 0 0 lim (ln ) =. 0 Τότε όµως lim = 0. 0 f( ) Αν θέσουµε u f( ) = έχουµε u < 0 και 0 0 ηµ u u συνu lim f ( )ηµ f( ) lim ηµ u lim lim ( ) 0 f( ) = u 0 u u = = = u 0 u u 0 u συνu = lim ( ) = 0 = 0. u 0 u 3. Η F είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο (0, ) µε F ( ) = f( ) και F ( ) = f ( ) = (ln ) ( ) = ( ln ). Επειδή ln 0 και > 0, για κάθε >0 είναι ( ) 0 F >, για κάθε >0. Άρα η F είναι κυρτή στο (0, ). Η σχέση τώρα F( ) F(3 ) > F( ), >0 γράφεται: F(3 ) F( ) F( ) F( ) F(3 ) F( ) > F( ) F( ), > 0 >, > 0. 3 Από Θ.Μ.Τ. για την F στα διαστήµατα [, ] και [, 3] αντίστοιχα υπάρχουν F( ) F( ) F(3 ) F( ) ξ (, ) και ξ (, 3) ώστε F ( ξ) = και F ( ξ) =, 3 οπότε αρκεί να δειχθεί ότι F ( ξ) > F ( ξ) µε < ξ < < ξ < 3. Η τελευταία είναι αληθής διότι η F είναι κυρτή και άρα η F γνησίως αύξουσα στο (0, ). 4. Θεωρούµε τη συνάρτηση h() = F() F(β) F(3β), [β, β]. Η F είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο (0, ) άρα και η h. h(β) = F(β) F(3β) h(β) = F(β) F(β) F(3β). Επειδή F () = f() < 0 για κάθε (0, ) η F είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ). Έτσι από β < 3β έπεται: F(β) > F(3β) F(β) F(3β) > 0 h(β) > 0. Λόγω τώρα του 3 είναι h(β) = F( β ) F( β) F(3 β) < 0. Άρα h( β ) h( β ) < 0, οπότε λόγω του θεωρ. Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει ξ ( β, β) ώστε h( ξ) = 0 F( β) F(3 β) = F( ξ). Η τιµή ξ είναι µοναδική διότι η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα και άρα, αφού h () = F () = f() < 0, για κάθε (0, ).