SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi druga od druge? Velemo skuo orazdelitev dveh slučaih sremelivk i, =(x i, )=P(=x i, Y= ) Moži izidi so {ggg,ggc,gcg,cgg,gcc,cgc,ccg,ccc}, zato dobimo x\ 3 Vsota tabele o vrsticah e orazdelitev sremelivke, vsota o stolcih a e orazdelitev sremelivke Y. Diskreta orazdelitev (,Y) z gostoto (x i, ) Zveza orazdelitev (,Y) z gostoto (x,) x\ 3 3 3 8 robi orazdelitv i (x ) x, i ( ) x, i i Y i i robi orazdelitvi x x, d i x, dx (,Y) zvezo orazdelea i x F(x,) (u,v) du dv (x,) F (x,) Y x MATEMATIKA
SKUPNE PORAZDELITVE FUNKCIJE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK U f, Y u x, U i f x, u i E U E f, Y u x, f x, x, f x, u i i i i i, E f, Y f x, x, i, i i f x, x, dx d (diskrete) (zveze) Posebe: E Y x x, x x, x, E E Y i i i i i i, i i x i Y E Y E E Y E c c c E c E MATEMATIKA
SKUPNE PORAZDELITVE NEODVISNOST SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Slučai sremelivki i Y sta eodvisi, če sta dogodka P( x) i P(Y ) eodvisa za vse are x,. Ekvivaleto: P( x, Y )=P( x). P(Y ) ali F(x,)=F (x). F Y () (x,)= (x). Y () ali za oluba x,. x\ 3 3 3 8 3 i Y ista eodvisa: r.,, Y 8 6 ( x, ) ( x) ( ) E( Y ) x ( x, ) dx d x ( x) dx ( ) d E( ) E( Y ) Y Y - Na bo orazdelea o N(,) i a bo Y=, Y eodvisa E( Y ) E( ) E( Y ) 3 E( Y ) E( ) (ker itegriramo liho fukcio) E( ) E Y (ker e E( ) ) E Y E( ) E Y, čerav sta i Y odvisa MATEMATIKA 3
SKUPNE PORAZDELITVE KOVARIANCA D Y E Y E Y E E Y E Y E E Y E Y E Y E Y D D Y E E Y E Y D( Y ) D( ) D( Y ) K, Y,Y sta ekoreliraa, če e K(,Y)= K, Y E E Y E Y E Y E E Y kovariaca sremelivk,y eodvisa,y ekoreliraa D(+Y)=D()+D(Y) i Y x\ 3 3 3 8 orazdelitev Y E(Y) : 3 7 3 8 3 3 E() E(Y) 3 8 K(,Y) 7 6 i Y sta koreliraa (i tore tudi odvisa) MATEMATIKA 4
SKUPNE PORAZDELITVE r,y K,Y E Y E Y E σ σ Y σ σ Y korelaciski koeficiet x\ 3 3 3 8 od re: E() E(Y) K(,Y) 8 8 3 3 3 E( ) σ( ) E(Y ) 4 9 3 σ( Y) r(,y). 887 3 E E E E E, σ σ σ σ E stadardizacia sremelivke σ (ima ovreče i stadardi odklo ) E Y E Y D σ σ(y) r,y r,y E Y E Y D r(,y) r(,y) σ σ Y r,y E Y E Y E Y E Y r,y D kost. σ σ(y) σ σ(y) r,y i Y sta liearo odvisa MATEMATIKA 5
Igralec zadae v ovreču 7% metov a koš. Ka e bol vereto: da bo v metih zadel -krat ali da bo v metih zadel več kot 8-krat? P zadetkov iz oskusov.. 7 8 k 8 7 3 88 več kot 8 zadetkov iz oskusov k k P... k Prva možost e trikrat (!) bol vereta. Zaka e tako? Zako velikih števil: z večaem števila oskusov se zmašue veretost odkloa od ovreča. POMEN STANDARDNEGA ODKLONA Na bo slučaa sremelivka z gostoto (x), ovrečem m=e() i odkloom = (). ( x m) ( x) dx ( x m) ( x) dx k ( x) dx k P x m k x m k x m k P x m k k ocea Čebiševa P( -E() ).5 ocea vela za olubo orazdelitev za rimeravo: ri ormali orazdelitvi e P( -E() ).5 MATEMATIKA 6
Pri eodvisih oovitev ekega oskusa lahko izide gledamo kot zaorede eodvisih i eako orazdeleih slučaih sremelivk,,.... S... ovreče izidov Porazdelitev sremelivke S e zaletea. -krat vržemo kocko, k e število ik ri k-tem metu -krat vržemo žogo a koš, k e število ik zadetkov ( ali ) ri k-tem metu ri metu kocke ima S 5+ izidov, z različimi veretostmi ri metu a koš e S relativa frekveca zadetkov, orazdelitev e biomska Privzemimo, da so,,... ekorelirae i eako orazdelee (kot sremelivka ). E S E... E... E E D(S ) D... D... D() D() Z araščaem števila oskusov ada razršeost ovreča izidov roti. E(S )=E() D S S D MATEMATIKA 7
S = ovreče ekoreliraih i eako orazdeleih slučaih sremelivk,,.... ocea Čebiševa: P S E() k k = P S D E() lim P S E() zako velikih števil: z araščaem števila oskusov gre veretost, da se ovreče sremelivk razlikue od ihove ovreče vredosti roti. Poavlamo oskus, ri katerem ima dogodek A (ezao) veretost ; k =, če se ri k-ti oovitvi oskusa A zgodi i k =, če se A e zgodi. + +...+ = število dogodkov A o oovitvah oskusa, S = relativa frekveca dogodkov A o oovitvah oskusa, E(S )= zako velikih števil P S P lim S Pri skora vseh zaoredih oskusov gre relativa frekveca dogodka roti egovi veretosti. Na te ugotovitvi sloi statističa defiicia veretosti! MATEMATIKA 8
Ka se zgodi s orazdelitvio vsote + +...+, ko gre? k eodvise, orazdelee o... e orazdelea o b, k eodvise, zvezo eakomero orazdelee a itervalu [,] orazdelitev za + +...+ : k eodvise, zvezo eksoeto orazdelee z gostoto (x)=e - x (x ) orazdelitev za + +...+ : MATEMATIKA 9
Porazdelitve + +...+ zavzameo zvoasto obliko, vedar ih težko rimeramo ker se remikao. Rešitev: vsoto stadardiziramo.,, 3,... eodvise, eako orazdelee slučae sremelivke s ovrečem a i stadardim odkloom ;... - E... S - a Z σ... σ lim F x F x Z N, Cetrali limiti izrek: stadardiziraa orazdelitev vsote kovergira roti stadardi ormali orazdelitvi Neko količio merimo z metodo, ki ima stadaro aako (t. stadardi odklo od meree vredosti) eako. Oravimo eodvisih meritev i vzamemo ihovo ovreče. Kolikša e veretost, da se to ovreče razlikue od meree količie za več kot /? Posameze meritve gledamo kot slučae sremelivke:,,..., Po zakou velikih števil lahko rivzamemo E( i )=m (merea količia), obeem e ( i )=... Za ovreče meritev S e E S m i S. σ σ Ocea Čebiševa: P S m P S m. Cetrali limiti izrek: σ σ σ S m 3 974 P S m P S m P Φ (. ). σ P S m. 974. 58 Ocea, ki o dobimo iz cetralega limitega izreka e veliko atačeša. MATEMATIKA