Desanka Radunović NUMERIČKE METODE Aproksimacija. Srednjekvadratna aproksimacija. Metoda najmanjih kvadrata 8 3. Fourier-ova analiza 3 4. Talasići 3 5. Ravnomerna aproksimacija 38
Aproksimacija u HILBERTOVOM prostoru norma f = (f, f), rastojanje f g = (f g, f g) Element najbolje aproksimacije Q = n ( E n(f) ) = f n i= c i g i ( i= = f c i g i n i= c i g i, f n i= ) c i g i POSTOJI, jer je prostor linearan i normiran, JEDINSTVEN JE, jer je prostor strogo normiran
En(f) = f Q (f Q, Q) =, Q = n ci gi i= Kako odrediti element najbolje aproksimacije za f? Q = gj, (f Q, gj) =, n i= c i (g i, gj) = (f, gj) j =,..., n, ( g i, gj ) = δ ij, c j = ( f, gj) Q = n (f, gi) gi, i= ( E n(f) ) = f Q = f n i= (f, gi) Bessel-ova nejednakost, Parseval-ova jednakost (n = ) 3
Lagrange-ova interpolacija funkcije +5x sa čvorovima.5.5.5.5.5.5.5 ravnomerno rasporedjenim, Čebišev-ljevim 4
Interpolacija funkcije +5x 4.8 8.6 6 4.4..5.5.8.6.4...4.6.8 Hermite-ovim polinomom (, 3,,, ), kubnim splajnom 5
Srednjekvadratna aproksimacija funkcije +5x polinomom osmog stepena 4 3.5.8 3.5.6.5.4.5..5.8.6.4...4.6.8.8.6.4...4.6.8 sa težinskom funkcijom p(x), sa težinskom funkcijom p(x) = e x. 6
SREDNJEKVADRATNA aproksimacija (L) skalarni proizvod (f, g) = b a p(x) f(x) g(x) dx, p(x) > norma f = b a p(x) ( f(x) ) dx ( E n(f) ) = f Q = inf Q b a p(x) ( f(x) Q(x) ) dx 7
Procena broja stanovnika SAD godine. odre - dena diskretnom varijantom srednjekvadratne aproksimacije 3 5 predicted value true value data approximation Linear polynomial approximation 3 5 predicted value true value data approximation Cubic polynomial approximation 5 5 5 5 5 75 8 85 9 95 75 8 85 9 95 polinomom prvog stepena, polinomom trećeg stepena. 8
Metoda NAJMANJIH KVADRATA Gauss (8-), procena orbite asteroida Ceres skalarni proizvod (f, g) = n i= pi f(xi) g(xi) dx, pi > norma f = n pi i= ( f(x i) ) ( E n(f) ) = f Q = inf Q n i= pi ( f(x i) Q(xi) ) dx 9
Procena broja stanovnika SAD. godine pravom P(x) = c + cx, (gj(x) = x j ) P(xi) = u(xi), i =,...,, F (c, c) = i= (u(xi) c cxi) F c F c = = tj. c i= c i= + c xi + c i= i= xi = xi xi = i= i= u(xi) u(xi) xi x ( ) u(x) A A c = A b, gde je A = x c, c =, b = u(x).. c. x u(x)
Procena eksponencijalnom funkcijom u(x) Q(x) = ce c x Exponential approximation 3 predicted value true value data approximation F (c, c) = i= ( u(x i) c e c xi ) ln ( u(x) ) ln ( Q(x) ) = ln(c) + cx = c + cx 75 8 85 9 95
Aproksimacija tačaka kružnicom (x c) + (y c) = r nelinearan problem.5.5 F (c, c, r) = n ( r (x i c) (yi c) ) i=.5 linearan problem c3 = r c c.5.5.5.5.5.5 3 xic + yic + c3 = x i + y i A A c = A b
Harmonici, sin x, cos x, sin x, cos x,..., sin nx, cos nx,... 5 5 3
FOURIER-ova ANALIZA (Joseph Fourier,87) a k = π n Q(x) = a + (a k cos kx + b k sin kx). π π k= f(x) cos kx dx, b k = π π π f(x) sin kx dx π lim f a n π n k= (a k cos kx + b k sin kx) dx =. f(x) = k= c k e ıkx, c k = π π π f(x)e ıkx dx 4
4 6 8 vreme (s) 6 5 4 3.5..5..5.3.35.4.45.5 frekvencija (Hz) Vremenski domen signala Frekvencijski domen signala 5
Kompresija signala u frekvencijskom domenu.5.5.5.5 4 6 8 vreme (s) 6 5 4 3.5..5..5.3.35.4.45.5 frevencija (Hz) 6
Suma Fourier-ovog reda Dirac-ove funkcije 5 35 4 3 5 3 5 5 5 4 3 3 4 4 3 3 4 5 sabiraka, sabiraka http://www.matf.bg.ac.yu/r3nm/numericalmethods/index.html 4. FFT 7
Suma Fourier-ovog reda Heaviside-ove funkcije.5.5.5.5.5.5.5 4 3 3 4.5 4 3 3 4 5 sabiraka, sabiraka 8
Suma Fourier-ovog reda linearne funkcije 4 4 3 3 3 3 4 4 3 3 4 4 4 3 3 4 5 sabiraka, sabiraka 9
Sopstvene funkcije ( ) d dx e ıkx = ık e ıkx, e ıkx = e ıkh h e ıkx Neperiodična funkcija x = π T t, f T (t) f( π T t), K = kπ T = k K T f T (t) = c k = T F (t) = π k= T T f( π T t)eıkπ T t dt = T c k e ıkt = k= T T T e ıkt ( T ˆF (K)e ıkt dk, ˆF (K) = f T (t)e ıkt dt, T f T (t)e ıkt dt ) F (t)e ıkt dt
Diskretna Fourier-ova transformacija xj = j π n, f j = f(xj), j =,..., n, W = e ıπ n = n e ıπ n k= c k W kj = fj, j =,..., n, n n j= fjw kj = c k, k =,..., n, F c = f, (F F = n I) n F f = c F =... W W... W n W W 4... W (n )....... W n W (n )... W (n )
y = Fn x yj = y e j + W j ny o j y m+j = y e j W j ny o j (j=,m, n=m) 3 4 5 6 7 4 6 5 3 7 FFT 4 4 8 4 6 4 4 i i 4 4i 4 4+4i 6 4 4i 4 4+4i.7+.7i i.7+.7i 8 4 9.68i 4 4i 4.68i 4 4+.68i 4+4i 4+9.68i
Stacionaran i nestacionaran signal 4 f 3 3 3 4 5 6 7 8 9 f.5.5 3 4 5 6 7 8 9 cos (π x) + cos (π 5 x) + cos (π 5 x) + cos (π x) cos (π x), [, 3] cos (π 5 x), [3, 6] cos (π 5 x), [6, 8] cos (π x), [8, ] 3
Fourier-ov spektar 4 4 35 f 3 5 8 6 5 4 5 5 5 5 5 stacionarnog signala, nestacionarnog signala f 4
Talasić oscilatorna funkcija sa kompaktnim nosačem ψ a,b (x) = a ψ ( ) x b a Translacija talasića (parametar b) psi(x) psi(x ) 3 4 5 6 3 4 5 6 5
sin(x) 6.8 sin(x) 3.4 sin(4x).57 psi(x) 3 psi(x).5 psi(4x).75 Dilatacija sinusoide i talasića (param. a) 6
Diskretni talasići a = j, b = k j, k, j Z ψ jk (x) = j/ ψ( j x k), ψ jk (x), x [ j k, j (k + )]. k.. log(a) 7
Multirezolucija prostora L (a) V V V V V... (b) j Z Vj = {}, j Z Vj = L(R) (c) f L(R) i j Z, f(x) Vj f(x) Vj (d) f L(R) i k Z, f(x) V f(x k) V (e) ϕ V tako da je {ϕ(x k)} k Z Rieszov bazis u V. ϕ j,k (x) = j/ ϕ( j x k), j, k Z; {ϕ j,k (x)} k Z Riesz-ov bazis u Vj Dilataciona jednačina ϕ(x) = N k= c(k) ϕ(x k), ϕ(x) dt = 8
Prostor talasića Wj: Vj = Vj Wj, j Z Talasić majka ψ(x) W definisan je jednačinom talasića ψ(x) = N k= d(k) ϕ(x k) ψ j,k (x) = j/ ψ( j x k) k Z; {ψ j,k (x)} k Z bazis u Wj Multirezolucijski razvoj f(x) = j Z b j,k ψ j,k (x) = a J,k ϕ j,k (x)+ k Z k Z J b j,k ψ j,k (x) j= k Z V J W J W J 9
ϕ(x) = ϕ(x) + ϕ(x )........................... ψ(x) = ϕ(x) ϕ(x )........................ -.... http://www.matf.bg.ac.yu/ dradun/talasic4.html Haar-ova četvrtka c() = c() = Haar-ov talasić d() = d() = 3
Daubechies Db funkcija skaliranja i talasić (ortogonalni sistem) d() = c(3) = 3 4 3, d() = c() = 3 4, d() = c() = 3 + 3 4 +, d(3) = c() = 4 3.4..5.8.6.5.4..5..4.5.5.5 3.5.5.5.5 3 3
Generisanje linearnog splajna kaskadnim algoritmom: ϕ () (x) je četvrtka, ϕ (n+) (x) = ϕ(n) (x) + ϕ (n) (x ) + ϕ(n) (x ), n =,,.... 3
Piramidalni algoritam dekompozicija a j,k = l c(l k)a j,l, b j,k = l d(l k)a j,l c() = c() = 37 35 8 8 58 8 5 d() = d() = 36 8 38 8 3 3 8 4 3 3 4 3 33
Razlaganje signala piramidalnim algoritmom 6 4 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 3 9 3 4 5 6 7 x w w w3 v3 34
Piramidalni algoritam rekonstrukcija ( ) a j,l = c(l k)aj,k + d(l k)b j,k k Kompresija prag = prag = 4 3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 3 4 3 34 6 4 3 3 3 3 3 3 4 34 34 6 6 6 3 7 3 3 3 3 6 c()=c()=d()= d()= 35
6 55 5 Original i kompresovani signali original podaci PR = PR = 4 45 4 35 3 5 5 3 4 5 6 7 36
Obrada signala (analiza, sinteza, kompresija ) lociranje i predvidanje - zemljotresa, proučavanje udaljenih galaksija, analiza i kompresija medicinskih signala ( ECG, EEG), kontrola kvaliteta analizom zvučnog signala, komunikacije (kompresija). Obrada slike kompresija otisaka prstiju u odnosu : (JPEG ), kompresija slike, kompjuterska grafika (uzastopno renderisanje), kompjuterska vizija (multirezolucijski pristup). Numeričke metode teorija aproksimacija, multigrid tehnika, modeliranje diferencijalnim jednačinama. 37
RAVNOMERNA aproksimacija (C) ( n f = sup f(x), En(f) = inf sup f cigi(x) ) x [a,b] c x [a,b] i= Čebišev: f(xi) Q(xi) = α( ) i f Q, i=,n+, α=± L a y y y3 y4 b z z z z3 z4 -L 38
Aproksimacija konkavne funkcije pravom Q(x) = c + cx f(x) f(a) c c a = αl f(d) c c d = αl f(b) c c b = αl f (d) Q (d) = x a d b 39
Aproksimacija funkcije +5x polinomom osmog stepena.5.5.5.5.5.5 srednjekvadratna, ravnomerna 4
Polinomi Čebiševa Tn(x) = cos(n arccos x), n =,.... T(x) =, T(x) = x, T n+ (x) = x Tn(x) Tn (x) ( ( Tn(x) = x + Ortogonalnost (Tn, Tm) ) n x + x Tn(x)Tm(x) x x ) n dx =, m n π, m = n π, m = n = Najmanje odstupanje od max P n(x) max x [,] x [,] n Tn(x) = n http://www.matf.bg.ac.yu/r3nm/numericalmethods/index.html 3.3 Orth. polynomials 4