MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

Transcript

1 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202

2 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x 2 4x + 3)) c) f(x) = ln x + 3 x d) f(x) = (x 2 4) 5. Nedelja x + 3 e) f(x) = x + arcsin x 2 + 2x 3 f) f(x) = (x 3) 3 e x 2 ln(x 2 + x 2). 2. Ispitati znak funkcije f ako je a) f(x) = 2x2 + 4x 6 x(x 2) 5x + 8 b) f(x) = 3 3 x 2 (x + ) c) f(x) = x arctg d) f(x) = ( + ) x (x 2 4) 3 e) f(x) = e x 2 x 2 5x + 4 (x 2) Ispitati parnost funkcije f ako je a) f(x) = x x 2 b) f(x) = (x 2 9) 3 c) f(x) = sin(x 2 4x + 5) ( ) 3x d) f(x) = 2x + arcsin. + x 2 4. Izračunati sledeće granične vrednosti: x 2 4x a) lim x 4 x 2 x 2 x 5 3x 2 3x 0 4x 2 4x 30

3 c) lim x x 3 + x 2 2 x 3 + 2x 2 2x. 5. Izračunati sledeće granične vrednosti: x 2 a) lim x 4 x 4 x + 6 x x 3 x 3 + x c) lim 3 + x d) lim x 3 6x + 2 2x2 + 3x. x 2 6. Izračunati sledeće granične vrednosti: sin 4x a) lim x cos 2x + tg 2 x x sin x + x c) lim x 2 tg x + tg d) lim x x + + tg x + sin x e) lim. x 3. Izračunati sledeće granične vrednosti: a) lim x 3x 2 + x 2 2x 2 + 2x x x 3 + 2x 2 x + x 4 + 2x 3 + 2x 5 c) lim x d) lim x e) lim x x 3 + 2x 2 x + 7 3x 2 x + 7 x x + x x + x + x. x + 2. Nedelja

4 2. Izračunati sledeće granične vrednosti: a) lim ( + 4x) 5 x ( 3x 2 ) 2x+ + x 5x 2 x c) lim x ± d) lim x 2 ( x x 2 2 ( 2x 2 3 x + 3 ) 2x 2 x+ ) 2x+ x 2 4 ( ) + tg x sin e) lim 3 x + sin x 3. Izračunati sledeće granične vrednosti: a) lim x 3 + x 3 x 3 x 3 c) lim x 3 x 3 d) lim 5 x x + e) lim 5 x x 3x + 2 x f) lim + 5x 3x + 2 x g) lim 5x 3x + 2 x h) lim i) lim x 5x x x Odrediti asimptote funkcije f ako je: a) f(x) = 2x2 + x b) f(x) = (x )3 (x + 2) 2 c) f(x) = 3 x(x 2) 2.

5 d) f(x) = arctg ( x 2 x 2 ). 3. Nedelja. Izračunati sledeće granične vrednosti: a) lim (sin x) tg2 x x π 2 ln x x e x e cos x 3 cos x c) lim sin 2 x d) lim(cos x sin 2 x) 2x Ispitati da li postoji granična vrednost lim f(x) ako je sin 3x f(x) = x x 0 ( + 3x) 2x x > Ispitati neprekidnost funkcije f { x 2 4 a) f(x) = x 2 4 x = 2 u tački x = 2 { x 2 4 b) f(x) = x 2 5 x = 2 u tački x = 2 { 2x + x 3 c) f(x) = (x 2) (x 3) 2 x > 3 u tački x = Data je funkcija ( )ctg x 4 2 3x f(x) = + x 0 cos x A x = 0. Odrediti A tako da funkcija bude neprekidna u x = Odrediti parametar A tako da funckcija f bude neprekidna u svim tačkama definisanosti (x + 2)e x x < 0 a) f(x) = A x = 0 + ln x x > 0.

6 b) x 3 f(x) = x x 8 x A x = 8. c) { (x + e f(x) = ) x x 0 A x = Nedelja. Pokazati da funkcija f(x) = x 2 ln(x) 2 ima bar jednu nulu na intervalu [ 3]. 2. Ispitati monotonost i ograničenost sledećih nizova: { } n a) n + 2 n= b) { 2( ) n+} n= c) { n 2 0n 20 } n=. 3. Izračunati sledeće granične vrednosti: a) lim n n 6n 5n n n2 5n 3 n c) lim n 3 n+ + 5 n+ 3 n 5 n. 4. Ispitati konvergenciju sledećih nizova: a) {( ) n n} n= b) {n( ( ) n )} n=. 5. Odrediti sledeće granične vrednosti: ( ) n + 2 3n a) n lim n + 3 ( n 2 ) 2n + 2n 7 n n 2 3n + 7 ( 5n 3 ) n c) n lim 5n 3 ( 2n 3 + 3n 2 ) 3n d) lim. n 5n 3 + 2n 2 7

7 6. Odrediti prvi izvod sledećih funkcija: a) f(x) = 2x 2 2x + 7 b) f(x) = x + 3 x + 2 sin x cos x c) f(x) = 2 3 x + 2e x d) f(x) = e x sin x e) f(x) = + x x f) f(x) = cos x sin x. 7. Odrediti prvi izvod sledećih funkcija: a) f(x) = e x2 b) f(x) = 3 x 2 2x + sin 2x.. Odrediti prvi izvod sledećih funkcija: a) f(x) = (x + )3 (2x ) 2 b) f(x) = sin 3x + sin x 2 c) f(x) = sin(3x) e sin x. 2. Naći drugi izvod sledećih funkcija: a) f(x) = ln(2x + + x 2 ) b) f(x) = (3x 2 2)e 2x. 5. Nedelja 3. Naći prvi i drugi izvod implicitno zadate funkcije y = y(x) ako je a) arctg y x = 2 ln(x2 + y 2 ); b) ln y + y x = Naći drugi izvod y x parametarski zadate funkcije a) y = cos t x = sin t;

8 b) y = t + x = ln t. t 5. Izračunati y x u tački x = e 2 ako je funkcija zadata u parametarskom obliku y = e 2t x = e t. 6. Naći prvi izvod sledećih funkcija: a) y = x x b) y = (cos x) sin x. 7. Naći x y funkcije y = x + ln x koristeći izvod inverzne funkcije. 8. Primenom Lopitalovg pravila izračunati sledeće granične vrednosti: a) lim arctg2x arcsin5x cos x 2 x 2 sin x 2 c) lim x 2 e x 2 ( ) d) lim x x e x 2 x e) lim xsin x + f) lim. +(ctgx)x 9. Koristeći Tejlorov polinom funkicje f(x) = x trećeg stepena aproksimirati vrednost 4. i oceniti apsolutnu grešku. 6. Nedelja. Koliko članova Maklorenovog polinoma funkcije f(x) = e x treba sabrati da bi se vrednost 3 e 2 izračunala sa greškom manjom od 2 0 2? 2. Oderditi ekstremne verdnosti sledećih funkcija: a) f(x) = 2x + x 2 b) f(x) = 2x x 2 c) f(x) = x 3 x d) f(x) = (x 2) 3 x 2 e) f(x) = x ln x.

9 3. Rezervoar zapremine 20 se izrad uje od lima i ima oblik kvadra sa površinom osnove 0. Odrediti njegove dimenzije tako da količina potrebnog lima za izradu bude minimalna. 4. Detaljno ispitati i nacrtati grafik funckije f(x) = x3 + x 2.. Rešiti sledeće integrale a) (x 2 + x 2e x ) dx b) c) d) x 2 + x dx 2 tg 2 x dx ( ) e x e x dx. x 2 7. Nedelja 2. Metodom smene promenljive rešiti sledeće integrale a) tg x ln x b) x + ln x dx e x c) x dx 2 x d) ( + x) dx Metodom parcijalne integracije rešiti sledeće integrale a) ln x dx b) x e x dx c) x arctg x dx d) arcsin x + x dx. 4. Rešiti sledeće integrale racionalnih funkcija a) x 4 4 dx

10 x 5 + x 3 + b) x 2 (x 2 + ) dx c) x 2 + x + dx x + 2 d) x 2 + x + dx x 3 e) x 2 + 2x + 2 dx f) (x 2 + x + ) dx Rešiti sledeće integrale trigonometrijskih funkcija a) b) c) d) sin x ( cos x) dx 2 ( + sin 2 x)ctg x dx cos 4 x sin 3 x dx + tgx sin 2x dx. 8. Nedelja. Rešiti sledeće integrale iracionalnih funkcija a) dx x + 3 x b) c) d) e) x x + x + dx dx (x + ) 2 + x 3 x x + dx x x dx. 2. Rešiti sledeće integrale iracionalnih funkcija a) x + x2 + x + dx

11 b) x 3 dx + 2x x 2 dx. 3. Odrediti površinu oblasti koja je ograničena graficima krivih y = x 2 i y = x. 4. Naći površinu ograničenu pravama x = 0 x = 2 i krivama y = 2 x i y = 2x x Naći površinu ograničenu parabolom y = 2x x 2 i pravom y = x. 6. Odrediti površinu oblasti koja je ograničena krivom y = arctg x i pravama y = π 4 i x = Izračunati dužinu luka krive y = x2 4 ln x od tačke x = do tačke x = e Nedelja. Izračunati površinu ograničenu parabolama y = x 2 y = x Dokazati da je obim kruga poluprečnika r jednak 2rπ. i pravom y = 2x. 3. Izračunati dužinu luka astroide x = a cos 3 t y = a sin 3 t za t [0 2π] (a > 0). 4. Izračunati površinu ograničenu jednim lukom cikloide x = a(t sin t) y = a( cos t) t [0 2π] a > 0 i x-osom. 5. Izračunati dužinu luka krive y 2 2 ln y 4x = 0 za x [ 4 e2 4 2 ]. 6. Izračunati zapreminu tela koje nastaje obrtanjem parabole y = x 2 + nad intervalom [ ] oko x-ose. 7. Izračunati zapreminu tela koje nastaje obrtanjem površine ograničene sa y = x i y = x + nad intervalom [0 ] oko x-ose Izračunati f(2 3) i f( y x ) ako je f(x y) = x2 + y 2 2xy. 0. Nedelja. Naći parcijalne izvode prvog i drugog reda za sledeće funkcije a) z(x y) = xy 2x 2 y + x 2 e y b) u(x y z) = x 3 y 2 3xy + ln(xyz). 2. Izračunati parcijalne izvode prvog reda funkcije z(x y) = x 2 y 2x 2 y x 3 e yx u tački A( 0).

12 3. Odrediti jednačinu tangente ravni površi z(x y) = xy 2x 2 y sin(xy) u tački M( 0 z). 4. Odrediti jednačinu tangente ravni površi z(x y) = 2x 2 + 3y 2 u tački M( z). 5. Naći ekstremne vrednosti funkcije z(x y) = x 3 + y 3 3xy. 6. Naći ekstremne vrednosti funkcije z(x y) = 4(x y) x 2 y Naći ekstremne vrednosti funkcije z(x y) = x 3 + y 3 9xy Naći ekstremne vrednosti funkcije u(x y z) = x 2 + y 2 + z 2 xy + x 2z. 9. Naći ekstremne vrednosti funkcije u(x y z) = x + y2 4x + z2 y + 2 gde je x > 0 y > 0 i z z > 0.. Nedelja. Naći opšte rešenje sledećih diferencijalnih jednačina a) x y = y + x. b) x + xy + y (y + xy) = Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y sin x = y ln y i ono partikularno rešenje koje zadovoljava početni uslov y( π 2 ) =. 3. Naći opšte rešenje sledećih homogenih diferencijalnih jednačina a) (x y)ydx x 2 dy = 0. ( b) + e x x y + e y x ) y = 0 y 4. Naći opšte rešenje linearne diferencijalne jednačine y 2 x + y = (x + )3 a zatim naći ono partikularno rešenje koje zadovoljava početni uslov y() =. ( ) 5. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine ( + y 2 )dx = + y 2 sin y xy dy. 6. Naći opšte rešenje sledećih diferencijalnih jednačina tipa totalnog diferencijala a) (2x 3 xy 2 )dx + (2y 3 x 2 y)dy = 0 ( ) ( ) b) + x x 2 + y 2 dx + + x 2 + y 2 ydy = 0.

13 2. Nedelja. Rešiti diferencijalnu jednačinu (x sin y + y cos y)dx + (x cos y y sin y)dy = 0 ako se zna da ima integracioni množitelj koji je funkcija samo jedne promenljive. 2. Rešiti diferencijalnu jednačinu ydx + ( + x + xy)dy = 0 znajući da ima integracioni množitelj koji je funkcija samo jedne promenljive. 3. Rešiti diferencijalnu jednačinu (x + 2y)dx + ydy = 0 znajući da ima integracioni množitelj koji je funkcija od x + y. 4. Metodom snižavanja reda naći opšte rešenje sledećih diferencijalnih jednačina: a) y = xe x b) y (x 2 + ) = 2xy c) xy = y ln y x d) y = y 2 y. 3. Nedelja. Naći opšte rešenje sledećih diferencijalnih jednačina: a) y y = 0 b) 2y + y y = 0 c) y 2y + y = 0 d) y 2y + 7y = 0 e) y + y = 0 f) y IV + 8y + 6y = Metodom varijacije konstanti naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y y x = x. 3. Naći opšte rešenje sledećih nehomogenih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima: a) y 5y + 6y = x b) y + y 2y = (x 2 )e 2x c) y 2y + 5y = e x (4 cos 2x 3x sin 2x).