ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Όλη η θεωρί γι τις πελλήιες Εξετάσεις Κ Κρτάλη 28 με Δημητριάδος Τηλ 242 32 598

Περιεχόμε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2 2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2 22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3 23 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 24 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ 25 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ 26 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 4 27 ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 5 28 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ6 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ BLZAN8 ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ 9 ΘΕΩΡΗΜΑ Μέγιστης κι ελάχιστης τιμής 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 22 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 22 32 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 24 33 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 26 34 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 29 35 T ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 3 36 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤHΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ3 37 TΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 33 38 KΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 36 39 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HSPITAL 38 3 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΉΣ ΠΑΡΆΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗΣ4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 4 4 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ4 42 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 42 43 H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F t dt 43 44 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 45 Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πράξεις κι διάτξη στο Στο σύολο τω πργμτικώ ριθμώ ορίστηκ οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού κι με τη οήθειά τους η φίρεση κι η διίρεση Οι ιδιότητες τω πράξεω υτώ είι γωστές πό προηγούμεες τάξεις Στη συέχει ορίστηκε η έοι της διάτξης, οι σπουδιότερες ιδιότητες της οποίς είι οι: A κι γ, τότε γ 2 γ γ 3 γ γ εώ γ γ,, ότ ότ γ γ 4 Α A κι γ δ, τότε κι γ δ κι, τότε,,γ,δ γ δ γ δ 5 Α, κι v τότε ισχύει η ισοδυμί: 6 κι 7 A, τότε ισχύει η ισοδυμί Διστήμτ πργμτικώ ριθμώ Α, με, τότε οομάζουμε διστήμτ με άκρ τ, κθέ πό τ πρκάτω σύολ:, { }: οικτό διάστημ [, ] { }: κλειστό διάστημ [, { }: κλειστό-οικτό διάστημ, ] { }: οικτό-κλειστό διάστημ a a a a 3 Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 2

Αa σύολ:, τότε οομάζουμε μη φργμέ διστήμτ με άκρο το κθέ πό τ πρκάτω, { } [, { }, { }, ] { } Υπό μορφή διστήμτος το σύολο το συμολίζουμε με, Τ σημεί εός διστήμτος Δ, που είι διφορετικά πό τ άκρ του, λέγοτι εσωτερικά σημεί του Δ Απόλυτη τιμή πργμτικού ριθμού Η πόλυτη τιμή εός πργμτικού ριθμού, που συμολίζετι με, ορίζετι ως εξής: a a a a 4,, Γεωμετρικά, η πόλυτη τιμή του πριστάει τη πόστση του ριθμού πό το μηδέ, a 4 3 2 2 3 4 5 εώ η πόλυτη τιμή του πριστάει τη πόστση τω ριθμώ κι 22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί κό, με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με Συτομογρφί συάρτησης Γι οριστεί μι συάρτηση, ρκεί δοθού δύο στοιχεί: το πεδίο ορισμού της κι η τιμή της,, γι κάθε του πεδίου ορισμού της Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 3

Γρφική πράστση συάρτησης Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M, γι τ οποί ισχύει, δηλδή το σύολο τω σημείω M,, A, λέγετι γρφική πράστση της κι συμολίζετι συήθως με C Οτ δίετι η γρφική πράστση C μις συάρτησης, τότε: Το πεδίο ορισμού της είι το σύολο Α τω τετμημέω τω σημείω της C Το σύολο τιμώ της είι το σύολο A τω τετγμέω τω σημείω της C γ Η τιμή της στο A είι η τετγμέη του σημείου τομής της ευθείς κι της C Μερικές σικές συρτήσεις Η πολυωυμική συάρτηση a> a< a= 2 Η πολυωυμική συάρτηση, 2 > < 3 Η πολυωυμική συάρτηση, 3 > < Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 4

Η ρητή συάρτηση, 4 > < Οι συρτήσεις, 5, Επειδή, η γρφική πράστση της ποτελείτι πό δύο, κλάδους Ο ές είι η γρφική πράστση της κι ο άλλος η συμμετρική της ως προς το άξο Οι τριγωικές συρτήσεις : ημ, συ, εφ 6 π 2π =ημ π 2π =συ π/2 π/2 3π/2 =εφ γ Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 5

Υπεθυμίζουμε ότι, οι συρτήσεις ημ κι συ είι περιοδικές με περίοδο T 2π, εώ η συάρτηση εφ είι περιοδική με περίοδο T π Η εκθετική συάρτηση, 7 > << Υπεθυμίζουμε ότι:, τότε: 2 2 εώ, τότε: 2 2 Η λογριθμική συάρτηση lo, 8 > << Υπεθυμίζουμε ότι: lo 4 lo 2 lo lo 2 2 lo lo κι 5 lo lo lo 2 2 k 3 lo κι lo 6 lo κlo 7, τότε: lo lo 2 2 Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 6

εώ, τότε : lo lo 2 2 ln ln 8 e, φού e Ισότητ συρτήσεω ΡΙΣΜΟΣ Δύο συρτήσεις κι λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει Γι δηλώσουμε ότι δύο συρτήσεις κι είι ίσες γράφουμε 22 Έστω τώρ, δύο συρτήσεις με πεδί ορισμού Α, Β τιστοίχως κι Γ έ υποσύολο τω Α κι Β Α γι κάθε Γ ισχύει, τότε λέμε ότι οι συρτήσεις κι είι ίσες στο σύολο Γ Σχ 22 Ο Γ B A Πράξεις με συρτήσεις Ορίζουμε ως άθροισμ, διφορά -, γιόμεο κι πηλίκο συρτήσεω, τις συρτήσεις με τύπους δύο Το πεδίο ορισμού τω, κι είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της είι το A B, εξιρουμέω τω τιμώ του που μηδείζου το προομστή, δηλδή το σύολο { A κι B, με } Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 7

Σύθεση συρτήσεω ΟΡΙΣΜΟΣ Α, είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη, κι τη συμολίζουμε με o, τη συάρτηση με τύπο o A A B B 24 A Το πεδίο ορισμού της o ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της Δηλδή είι το σύολο A { A } Είι φερό ότι η o ορίζετι B A, δηλδή A B 23 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μοοτοί συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, 2 Δ με 2 ισχύει: 2 Σχ γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, 2 Δ με 2 ισχύει: Σχ 2 2 25 2 Ο 2 Δ a Ο 2 Δ Μι συάρτηση λέγετι, πλώς,: ύξουσ σ έ διάστημ Δ, ότ γι οποιδήποτε, 2 Δ με 2 ισχύει 2 φθίουσ σ έ διάστημ Δ, ότ γι οποιδήποτε, 2 Δ με 2 ισχύει 2 Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 8

Ακρόττ συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, ότ γι κάθε A Σχ 27 A ολικό ελάχιστο, το, ότ γι κάθε A Σχ 27 27 C a C Συάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση : A λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε η συεπγωγή: 2, τότε 2, A ισχύει Μι συάρτηση : A είι συάρτηση, κι μόο γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή: 2, τότε 2 2 Μι συάρτηση είι - κι μόο Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση έχει κριώς μι λύση ως προς Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σημείο Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη, τότε προφώς, είι συάρτηση " " 2 Ατίστροφη συάρτηση Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 9

Ορισμός Ατίστροφής Έστω μι συάρτηση : A Α υποθέσουμε ότι υτή είι, τότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ, A, της υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει Επομέως ορίζετι μι συάρτηση : A με τη οποί κάθε A τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει = 35 Από το τρόπο που ορίστηκε η προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύολο τιμώ A της, έχει σύολο τιμώ το πεδίο ορισμού Α της κι A A 36a ισχύει η ισοδυμί: = = Αυτό σημίει ότι, η τιστοιχίζει το στο, τότε η τιστοιχίζει το στο κι τιστρόφως Δηλδή η είι η τίστροφη διδικσί της Γι το λόγο υτό η λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συμολίζετι με Επομέως έχουμε οπότε, A κι, A Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι 24 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Η έοι του ορίου Ότ οι τιμές μις συάρτησης προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο το ριθμό, τότε γράφουμε κι διάζουμε το όριο της, ότ το τείει στο, είι ή Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ

το όριο της στο είι 39 a γ, κι μόο h h Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,,, τότε ισχύει η ισοδυμί: 25 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο κι διάτξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α, τότε κοτά στο Σχ 48 Α, τότε κοτά στο Σχ 48 C C 48 ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο Α οι συρτήσεις a, έχου όριο στο κι ισχύει κοτά στο, τότε Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ

C C 49 C C Όρι κι πράξεις ΘΕΩΡΗΜΑ a Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι στο, τότε: 2 κ κ, γι κάθε στθερά κ 3 4, εφόσο 5 6 k k, εφόσο κοτά στο Οι ιδιότητες κι 3 του θεωρήμτος ισχύου κι γι περισσότερες πό δυο συρτήσεις Άμεση συέπει υτού είι: [ ], * P P Απόδειξη Έστω τώρ το πολυώυμο P Σύμφω με τις πρπάω ιδιότητες έχουμε: κι P Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 2

P P Q Q, εφόσο Απόδειξη Έστω η ρητή συάρτηση με Q Τότε, Κριτήριο πρεμολής ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συρτήσεις τότε Q P P, όπου P, Q πολυώυμ του κι Q P Q P Q P Q,, h Α h κοτά στο κι h, ημ Απόδειξη Πράγμτι, γι έχουμε οπότε ημ ημ, ημ Επειδή, σύμφω με το πρπάω κριτήριο, έχουμε: Tριγωομετρικά όρι ημ Το κριτήριο πρεμολής είι πολύ χρήσιμο γι το υπολογισμό ορισμέω τριγωομετρικώ ορίω Αρχικά ποδεικύουμε ότι: Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 3

ημ, γι κάθε η ισότητ ισχύει μόο ότ ημ ημ συ συ ημ συ Όριο σύθετης συάρτησης Θεώρημ Αλλγής Μετλητής Με τις ιδιότητες που φέρουμε μέχρι τώρ μπορούμε προσδιορίσουμε τ όρι πλώ συρτήσεω Α, όμως, θέλουμε υπολογίσουμε το, της σύθετης συάρτησης στο σημείο, τότε εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε u 2 Υπολογίζουμε υπάρχει το u κι 3 Υπολογίζουμε υπάρχει το u uu Αποδεικύετι ότι, u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με, δηλδή ισχύει: u uu 26 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Με τη οήθει του ορισμού ποδεικύοτι οι πρκάτω ιδιότητες: Α, τότε κοτά στο, εώ, τότε κοτά στο Α, τότε, εώ, τότε Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 4

Α ή, τότε Α κι κοτά στο, τότε κι κοτά στο, τότε, εώ Α ή, τότε Α, τότε k ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο θροίσμτος Α στο το όριο της είι: - - κι το όριο της είι: - - - τότε το όριο της είι: - - ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο όριο γιομέου Α στο, το όριο της είι: κι το όριο της είι: τότε το όριο της είι: > < > < + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + 27 ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ κι, v *, άρτιος κι -, περιττός, v * Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 5

Όριο πολυωυμικής κι ρητής συάρτησης Γι τη πολυωυμική συάρτηση P, με ισχύει: P κι P Γι τη ρητή συάρτηση ισχύει: κ κ κ κ κ κ κι κ κ,, κ Όρι εκθετικής - λογριθμικής συάρτησης Α Σχ 6, τότε, =a =lo a 6 lo lo, Α Σχ 6, τότε =a 6, lo lo, =lo a 28 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός της συέχεις Εστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο, ότ Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 6

Σύμφω με το πρπάω ορισμό, μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: Δε υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο, λλά είι διφορετικό πό τη τιμή της,, στο σημείο Ορισμός Συεχούς Συάρτησης Μί συάρτηση που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση Συέχει Βσικώ Συρτήσεω Κάθε πολυωυμική συάρτηση Ρ είι συεχής, φού γι κάθε P P ισχύει Κάθε ρητή συάρτηση ορισμού της ισχύει P είι συεχής, φού γι κάθε του πεδίου Q P P Q Q Οι συρτήσεις ημ κι συ είι συεχείς, φού γι κάθε ισχύει ημ ημ κι συ συ Τέλος, ποδεικύετι ότι: Οι συρτήσεις κι lo, είι συεχείς Πράξεις με συεχείς συρτήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις κι είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις:, c, όπου c,,, κι με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 7

ΘΕΩΡΗΜΑ Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους o είι συεχής στο Συέχει συάρτησης σε διάστημ κι σικά θεωρήμτ ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, Σχ 63 Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, κι επιπλέο κι Σχ 63 63 a [ ] a ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ BLZAN Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: [ η είι συεχής στο, ] κι, επιπλέο, ισχύει, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης στο οικτό διάστημ, Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 8

Γεωμετρική Ερμηεί του Θεωρήμτος Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης στο [, ] Επειδή τ σημεί A, κι B, ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο, η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο a a Α, 64 B, Από το θεώρημ του Bolzano προκύπτει ότι: Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ ή είι ρητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ Σχ 65 65 > a a < Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της 66 + ρ + 2 + ρ ρ 3 ρ 4 ρ 5 ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ [ Έστω μι συάρτηση, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ, ] Α: η είι συεχής στο [, ] κι τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι υπάρχει ές, τουλάχιστο, τέτοιος, ώστε η ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι Τότε θ ισχύει η Σχ 67 Α θεωρήσουμε τη συάρτηση η, [, ], πρτηρούμε ότι: Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 9

η είι συεχής στο [, ] κι, φού η κι η Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε η, οπότε η 67 B, η =η a Α, a Α μι συάρτηση δε είι συεχής στο διάστημ [, ], τότε, όπως φίετι κι στο διπλό σχήμ, δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές η a 68 =η Με τη οήθει του θεωρήμτος εδιμέσω τιμώ ποδεικύετι ότι: Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ a ΘΕΩΡΗΜΑ Μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η πίρει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή, υπάρχου ] ισχύει [, τέτοι, ώστε,, 2 m M, γι κάθε [, ] m κι M, 2 ΣΧΟΛΙΟ Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είι το κλειστό διάστημ [ m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 2

Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α, Β Σχ 7, όπου Α κι B Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο,, τότε το σύολο A τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B, Σχ 7 7 B Α A Β a a Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μι συάρτηση κι A, έ σημείο της C Α υπάρχει το κι είι ές πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C στο σημείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ Επομέως, η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A, είι λ, Ορισμός πργώγου συάρτησης σε σημείο Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με Α, τώρ, στη ισότητ θέσουμε h h h h, τότε έχουμε Δηλδή: Πολλές φορές το h συμολίζετι με Δ, εώ το h Δ συμολίζετι με Δ, οπότε ο πρπάω τύπος γράφετι: Δ Δ Δ Η τελευτί ισότητ οδήγησε το Leibniz συμολίσει τη πράγωγο στο με d d Ο συμολισμός είι μετγεέστερος κι οφείλετι στο Larane d ή d Είι φερό ότι, το είι εσωτερικό σημείο εός διστήμτος του πεδίου ορισμού της, τότε: Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 22

Η είι πργωγίσιμη στο, κι μόο υπάρχου στο κι είι ίσ, τ όρι ΜΗ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο συτελεστής διεύθυσης της εφπτομέης ε της C μις πργωγίσιμης συάρτησης, στο σημείο A, είι η πράγωγος της στο Δηλδή, είι λ, οπότε η εξίσωση της ε φ π τ ο μ έ η ς ε είι: Τη κλίση της εφπτομέης ε στο A, θ τη λέμε κι κλίση της C στο Α ή κλίση της στο Πράγωγος κι συέχει ΘΕΩΡΗΜΑ Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σ έ σημείο, τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γι έχουμε οπότε φού η είι πργωγίσιμη στο συεχής στο, [ ], Επομέως,, δηλδή η είι Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 23

Ατιπράδειγμ Έστω η συάρτηση Η είι συεχής στο, λλά δε είι πργωγίσιμη σ υτό, φού, εώ 4 Πρτηρούμε, δηλδή, ότι μι συάρτηση μπορεί είι συεχής σ έ σημείο χωρίς είι πργωγίσιμη σ υτό Α μι συάρτηση δε είι συεχής σ έ σημείο, τότε, σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, δε μπορεί είι πργωγίσιμη στο 32 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός Πργωγίσιμης Συάρτησης Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο, Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο, κι επιπλέο ισχύει κι Πράγωγος μερικώ σικώ συρτήσεω Έστω η στθερή συάρτηση c, c Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει Απόδειξη:, δηλδή c είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: Επομέως, c c Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 24

Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 25, δηλδή c Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη: Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: Επομέως,, δηλδή Έστω η συάρτηση, {,} Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη: Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: 2 2, οπότε 2, δηλδή Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει 2, δηλδή 2 Απόδειξη: Πράγμτι, είι έ σημείο του,, τότε γι ισχύει:

οπότε δηλδή 2, 2, Όπως είδμε στη πράγρφο 3 η δε είι πργωγίσιμη στο Έστω συάρτηση ημ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι συ, δηλδή ημ συ ισχύει Έστω η συάρτηση συ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ημ, δηλδή συ ημ Έστω η συάρτηση e Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει e, δηλδή e e Έστω η συάρτηση ln Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει, δηλδή ln 33 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Πράγωγος θροίσμτος ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση πργωγίσιμη στο κι ισχύει: είι ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γι, ισχύει: Επειδή οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο, έχουμε: Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 26

Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 27, δηλδή Πράγωγος γιομέου ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο, τότε κι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: Το πρπάω θεώρημ επεκτείετι κι γι περισσότερες πό δύο συρτήσεις Έτσι, γι τρεις πργωγίσιμες συρτήσεις ισχύει: ] [ h h h h ] [ h h h h h Α είι πργωγίσιμη συάρτηση σ έ διάστημ Δ κι c, επειδή c, σύμφω με το θεώρημ 2 έχουμε: c c Πράγωγος πηλίκου ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο κι, τότε κι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: 2 ] [ Έστω η συάρτηση, * Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο * κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη: Πράγμτι, γι κάθε * έχουμε:

2 2 Έστω η συάρτηση R { συ } κι ισχύει Απόδειξη: Πράγμτι, γι κάθε R έχουμε: ημ εφ συ εφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο 2, δηλδή εφ συ συ 2 ημ συ ημσυ συσυ ημημ 2 συ συ 2 2 2 συ ημ 2 2 συ συ Έστω η συάρτηση R2 { ημ } κι ισχύει σφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο 2, δηλδή σφ 2 ημ ημ Πράγωγος σύθετης συάρτησης ΘΕΩΡΗΜΑ Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει Γεικά, μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο Δ, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει Η συάρτηση Απόδειξη:, δηλδή, είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 28

Πράγμτι, ln e κι θέσουμε u ln u, τότε έχουμε e Επομέως, u u ln e e u e Η συάρτηση, είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ln, δηλδή ln Απόδειξη: ln u Πράγμτι, e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε e Επομέως, Η συάρτηση ln, Απόδειξη: u u ln e e u e ln ln * είι πργωγίσιμη στο * κι ισχύει ln Πράγμτι, τότε ln ln, εώ, τότε ln ln, οπότε, θέσουμε ln κι u, έχουμε lnu Επομέως, ln u u u κι άρ ln 34 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Α δύο μετλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση, ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο Γι πράδειγμ, ο ρυθμός μετολής της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγμή t είι η πράγωγος υ t, της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγμή t Η πράγωγος υ t λέγετι επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγμή t κι συμολίζετι με t Είι δηλδή υ t S t t Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 29

Στη οικοομί, το κόστος πργωγής Κ, η είσπρξη Ε κι το κέρδος Ρ εκφράζοτι συρτήσει της ποσότητς του πργόμεου προϊότος Έτσι, η πράγωγος Κ πριστάει το ρυθμό μετολής του κόστους Κ ως προς τη ποσότητ, ότ κι λέγετι ορικό κόστος στο Αάλογ, ορίζοτι κι οι έοιες ορική είσπρξη στο κι ορικό κέρδος στο 35 T ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Rolle Α μι συάρτηση είι: [, συεχής στο κλειστό διάστημ ] πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, κι τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ Γεωμετρική Ερμηεί Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ, ξ είι πράλληλη στο άξο τω Μξ,ξ Α, 8 Β, ξ ξ ΘΕΩΡΗΜΑ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ Γεωμετρική Ερμηεί Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M ξ, ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Ο 2 Β, Mξ,ξ Aa,a a ξ ξ Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 3

36 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤHΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Α 2, τότε προφώς 2, Δ ισχύει 2 Πράγμτι Α 2, τότε στο διάστημ [, 2 ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε 2 2 2 ξ 2 Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ξ,οπότε, λόγω της, είι 2 Α 2, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι 2 Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι 2 ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συρτήσεις, ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι, είι συεχείς στο Δ κι γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ΑΠΟΔΕΙΞΗ c Δ ισχύει: Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 3

Η συάρτηση είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει Επομέως, σύμφω με το πρπάω θεώρημ, η συάρτηση είι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει c, οπότε c 22 =+c = Μοοτοί συάρτησης ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση, η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστημ Δ Α σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Α σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το Δ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι Έστω, 2 Δ με 2 Θ δείξουμε ότι 2 Πράγμτι, στο διάστημ, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει ξ, [ 2 τέτοιο, ώστε ξ 2 2, οπότε έχουμε 2 ξ 2 Επειδή ξ κι, έχουμε, οπότε 2 2 Στη περίπτωση που είι εργζόμστε λόγως 2 2 ΣΧΟΛΙΟ Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Δηλδή, η είι γησίως ύξουσ τιστοίχως γησίως φθίουσ στο Δ, η πράγωγός της δε είι υποχρεωτικά θετική τιστοίχως ρητική στο εσωτερικό του Δ Ατιπράδειγμ Γι πράδειγμ, η συάρτηση ύξουσ στο, ετούτοις έχει πράγωγο 3, κι είι γησίως 2 3 η οποί Ο = 3 27 Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 32

δε είι θετική σε όλο το, φού Ισχύει όμως γι κάθε 37 TΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έοι του τοπικού κροτάτου ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο μέγιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε γι κάθε A δ, δ A τοπικό Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το τοπικό μέγιστο της ΟΡΙΣΜΟΣ Μί συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο ελάχιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε, γι κάθε A δ, δ A τοπικό Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το τοπικό ελάχιστο της Προσδιορισμός τω τοπικώ κροτάτω ΘΕΩΡΗΜΑ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι, γι κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιμη στο, ισχύει Επομέως, 33 δ +δ Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 33

δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε, δ, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε Έτσι, πό τις 2 κι 3 έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη 2 3 ΣΧΟΛΙΟ Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, τ εσωτερικά σημεί του Δ, στ οποί η είι διφορετική πό το μηδέ, δε είι θέσεις τοπικώ κροτάτω Επομέως, οι πιθές θέσεις τοπικώ κροτάτω μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι C 34 2 2 Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της Τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η είι συεχής i Α στο, κι στο,, τότε το είι τοπικό μέγιστο της ii Α στο, κι στο,, τότε το είι τοπικό ελάχιστο της iii A η διτηρεί πρόσημο στο,,, τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο, Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 34

ΑΠΟΔΕΙΞΗ i Eπειδή γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως ύξουσ στο, ] Έτσι έχουμε, γι κάθε, ] Επειδή γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως φθίουσ στο [, Έτσι έχουμε:, γι κάθε [, 2 > < > < 35a a a Επομέως, λόγω τω κι 2, ισχύει:, γι κάθε,, που σημίει ότι το είι μέγιστο της στο, κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Εργζόμστε λόγως 35 < > < > a a iii Έστω ότι, γι κάθε,, > > 35γ > > a a Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ, ] κι [, Επομέως, γι 2 ισχύει 2 Άρ το δε είι τοπικό κρόττο της Θ δείξουμε, τώρ, ότι η είι γησίως ύξουσ στο, Πράγμτι, έστω, 2, με 2 Α, ], επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, ], θ ισχύει, 2 2 Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 35

Α [,, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [,, θ ισχύει, 2 Τέλος, 2, τότε όπως είδμε 2 2 Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει 2, οπότε η είι γησίως ύξουσ στο, Ομοίως, γι κάθε,, ΣΧΟΛΙΑ Οπως είδμε στη πόδειξη του πρπάω θεωρήμτος στη πρώτη περίπτωση το είι η μέγιστη τιμή της στο,, εώ στη δεύτερη περίπτωση το είι η ελάχιστη τιμή της στο, Α μι συάρτηση είι συεχής σ έ κλειστό διάστημ [, ], όπως γωρίζουμε Θεώρημ 8,η προυσιάζει μέγιστο κι ελάχιστο Γι τη εύρεση του μέγιστου κι ελάχιστου εργζόμστε ως εξής: Βρίσκουμε τ κρίσιμ σημεί της 2 Υπολογίζουμε τις τιμές της στ σημεί υτά κι στ άκρ τω διστημάτω 3 Από υτές τις τιμές η μεγλύτερη είι το μέγιστο κι η μικρότερη το ελάχιστο της 38 KΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Κοίλ - κυρτά συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μί συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι π ρ γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ, η είι γησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ, η είι γησίως φθίουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύετι ότι, μι συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σ έ διάστημ Δ, τότε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω τιστοίχως πάω πό τη γρφική της πράστση Σχ 39, με εξίρεση το σημείο επφής τους ΘΕΩΡΗΜΑ Εστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 36

Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κοίλη στο Δ ΣΧΟΛΙΟ Το τίστροφο του θεωρήμτος δε ισχύει Ατιπράδειγμ 4 Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση Σχ 42 Επειδή η 3 4 είι γησίως ύξουσ στο, η 4 είι κυρτή στο Ετούτοις, η δε είι θετική στο, φού Σημεί κμπής 42 = 4 ΟΡΙΣΜΟΣ, Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ, με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο, κι κοίλη στο,, ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A,, τότε το σημείο A, οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της ΘΕΩΡΗΜΑ Α το A, είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε Σύμφω με το πρπάω θεώρημ, τ εσωτερικά σημεί εός διστήμτος Δ στ οποί η είι διφορετική πό το μηδέ δε είι θέσεις σημείω κμπής Επομέως, ο ι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω κ μ π ή ς μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: i τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδείζετι, κι ii τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δε υπάρχει η Σχ 43 43 = 2 Έστω μι συάρτηση oρισμέη σ έ διάστημ, κι, Α η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της C στο A,, Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 37

τότε το A, είι σημείο κμπής 39 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HSPITAL Ασύμπτωτες ΟΡΙΣΜΟΣ Α έ τουλάχιστο πό τ όρι, είι ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ΟΡΙΣΜΟΣ Α τιστοίχως, τότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο ΟΡΙΣΜΟΣ Η ευθεί λ τιστοίχως στο, τιστοίχως λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, [ λ ], [ λ ] ΘΕΩΡΗΜΑ Η ευθεί λ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, κι μόο τιστοίχως ΣΧΟΛΙΑ Αποδεικύετι ότι: κι [ ], κι [ ] Οι πολυωυμικές συρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του 2 δε έχου σύμπτωτες Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 38

P Οι ρητές συρτήσεις, με θμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο Q κτά δύο του θμού του προομστή, δε έχου πλάγιες σύμπτωτες 2 Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δε είι συεχής Στο,, εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής,, τιστοίχως, Κόες de L Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α,, {, } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο, τότε: ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο μορφή Α, πεπερσμέο ή άπειρο, τότε:, {, } κι υπάρχει το ΣΧΟΛΙΑ Το θεώρημ 2 ισχύει κι γι τις μορφές,, Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 39

2 Τ πρπάω θεωρήμτ ισχύου κι γι πλευρικά όρι κι μπορούμε, χρειάζετι, τ εφρμόσουμε περισσότερες φορές, ρκεί πληρούτι οι προϋποθέσεις τους 3 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ Της ΓΡΑΦΙΚΉς ΠΑΡΆΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗΣ Η πορεί τη οποί κολουθούμε λέγετι μελέτη της συάρτησης κι περιλμάει τ πρκάτω ήμτ: ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της 2o Eξετάζουμε τη συέχει της στο πεδίο ορισμού της 3ο Βρίσκουμε τις πργώγους κι κι κτσκευάζουμε τους πίκες τω προσήμω τους Με τη οήθει του προσήμου της προσδιορίζουμε τ διστήμτ μοοτοίς κι τ τοπικά κρόττ της, εώ με τη οήθει του προσήμου της κθορίζουμε τ διστήμτ στ οποί η είι κυρτή ή κοίλη κι ρίσκουμε τ σημεί κμπής 4ο Μελετούμε τη συμπεριφορά της συάρτησης στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της ορικές τιμές, σύμπτωτες, κτλ 5ο Συγκετρώουμε τ πρπάω συμπεράσμτ σ έ συοπτικό πίκ που λέγετι κι πίκς μετολώ της κι με τη οήθειά του χράσσουμε τη γρφική πράστση της Γι κλύτερη σχεδίση της C κτσκευάζουμε έ πίκ τιμώ της ΣΧΟΛΙΟ Όπως είι γωστό, μι συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α είι ά ρ τ ι, τότε η C έχει άξο συμμετρίς το άξο, εώ είι π ε ρ ιτ τ ή, η C έχει κέτρο συμμετρίς τη ρχή τω ξόω Ο Επομέως, γι τη μελέτη μις τέτοις συάρτησης μπορούμε περιοριστούμε στ A, με 2 Α μι συάρτηση είι π ε ρ ι ο δ ι κ ή με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της C σ έ διάστημ πλάτους Τ Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 4 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αρχική συάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F, γι κάθε Δ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ, τότε όλες οι συρτήσεις της μορφής G F c, c, είι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή ΑΠΟΔΕΙΞΗ Κάθε συάρτηση της μορφής στο Δ, φού G F c, c G F c, όπου c, είι μι πράγουσ της G F c F, γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε κι G, οπότε G F, γι κάθε Δ Δ ισχύου F Άρ, σύμφω με το πόρισμ της 26, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε Δ Αποδ εικύετι ότι κάθε συεχής συάρτηση σε διάστημ Δ έχει πράγουσ στο διάστημ υτό Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 4

42 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χώρου Ορισμός εμδού Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, ], με γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, το άξο τω κι τις ευθείες, ξ ξ 2 Ω ξ k = ξ 9 Η έοι του ορισμέου ολοκληρώμτος d d d Από τους ορισμούς του εμδού κι του ορισμέου ολοκληρώμτος προκύπτει ότι: γι κάθε [, ] Α ολοκλήρωμ, τότε το d δίει το εμδό E Ω του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της το άξο κι τις ευθείες κι Σχ Δηλδή, = ξ ξ 2 2 k- ξ k k - ξ = Δ a v = Ω Επομέως, d E Ω, τότε d Α Ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω, σ υ ε χ ε ί ς συρτήσεις στο [, ] κι, d λ λ d Τότε ισχύου κι γεικά [ ] d d d [ μ ] d λ d μ λ d Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 42

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο Α η είι σ υ ε χ ή ς σε διάστημ Δ κι,, γ Δ, τότε ισχύει γ d d d γ ΣΗΜΕΙΩΣΗ κι γ Α Σχ 3, η πρπάω ιδιότητ δηλώει ότι: Ε Ω Ε Ω Ε Ω2 φού κι Ε Ω d, Ε Ω2 d γ Ω d Ε γ 3 = Ω Ω 2 γ ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο Έστω μι σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έ διάστημ [, ] Α γι κάθε [, ] κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε d 43 H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F t dt ΘΕΩΡΗΜΑ Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση F t dt, Δ, είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: t dt, γι κάθε Δ a Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 43

ΣΧΟΛΙA Γεωμετρική Ερμηεί Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάω θεωρήμτος προκύπτει Σχ 4 ως εξής: h F h F t dt Άρ, γι μικρά h είι οπότε Εμδό του χωρίου Ω h, γι μικρά F h F h h, F h F F h h Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ πργώγισης σύθετης συάρτησης προκύπτει ότι: t dt, με τη προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμε σύμολ έχου όημ ΘΕΩΡΗΜΑ Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [, ] Α G είι μι πράγουσ της στο [, ], τότε ΑΠΟΔΕΙΞΗ t dt G G Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση F t dt είι μι πράγουσ της στο [, ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [, ], θ υπάρχει c τέτοιο, ώστε G F c F = 4 Από τη, γι Επομέως,, έχουμε G F c t dt c c, οπότε c G G F G, οπότε, γι, έχουμε Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 44

κι άρ G F G t dt G t dt G G Πολλές φορές, γι πλοποιήσουμε τις εκφράσεις μς, συμολίζουμε τη διφορά G G με [ G ], οπότε η ισότητ του πρπάω θεωρήμτος γράφετι Μέθοδοι ολοκλήρωσης [ ] d [ G ] d Ο τύπος της ολοκλήρωσης κτά πράγοτες γι το ορισμέο ολοκλήρωμ πίρει τη μορφή d [ ] όπου d,, είι συεχείς συρτήσεις στο [, ] Ο τύπος ολοκλήρωσης με λλγή μετλητής γι το ορισμέο ολοκλήρωμ πίρει τη μορφή d u du, όπου, είι συεχείς συρτήσεις, du d κι u, u2 u u 2 u, 44 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Στη πράγρφο 44 είδμε ότι, μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ [, ] κι γι κάθε [, ], τότε το εμδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, κι το άξο Σχ 6 είι E Ω d = Ω 6 Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 45

Έστω, τώρ, δυο συρτήσεις κι, συεχείς στο διάστημ [, ] με γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, κι τις ευθείες κι Σχ 8 = = 8 Πρτηρούμε ότι Ω = Ω = Ω 2 γ Επομέως, Ε Ω Ε Ω Ε Ω2 d d d E Ω d Ο τύπος ρέθηκε με τη προϋπόθεση ότι: i γι κάθε [, ] κι ii οι, είι μη ρητικές στο [, ] Θ ποδείξουμε, τώρ, ότι ο τύπος ισχύει κι χωρίς τη υπόθεση ii ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πράγμτι, επειδή οι συρτήσεις, είι συεχείς στο [, ], θ υπάρχει ριθμός c τέτοιος ώστε c c, γι κάθε [, ] Είι φερό ότι το χωρίο Ω Σχ 2 έχει το ίδιο εμδό με το χωρίο Ω Σχ 2 2 =+c Ω = Ω = Επομέως, σύμφω με το τύπο, έχουμε: =+c Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 46

Άρ, Ε Ω Ε Ω [ c c] d E Ω d d Με τη οήθει του προηγούμεου τύπου μπορούμε υπολογίσουμε το εμδό του, χωρίου Ω που περικλείετι πό το άξο τη γρφική πράστση μις συάρτησης, με γι κάθε [, ] κι τις ευθείες κι E Ω d ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πράγμτι, επειδή ο άξος έχουμε Σχ 2, είι η γρφική πράστση της συάρτησης E Ω d [ ] d d Επομέως, γι μι συάρτηση ισχύει γι κάθε [, ], τότε E Ω d Ω = 2 Ότ η διφορά δε διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ], όπως στο Σχήμ 23, τότε το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, κι τις ευθείες κι είι ίσο με το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω Ω,Ω 2 κι 3 Ω γ 23 = = Ω 3 Ω 2 δ Ω Δηλδή, Ω Ε Ω Ε Ε Ω Ε 2 Ω3 E Ω d ΑΠΟΔΕΙΞΗ γ d d d δ γ d d γ γ δ d Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 47 δ δ

Επομέως, d ΣΧΟΛΙΟ E Ω d Σύμφω με τ πρπάω το d είι ίσο με το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω που ρίσκοτι πάω πό το άξο μείο το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω που ρίσκοτι κάτω πό το άξο Σχ 25 Ο a 25 + + Επιμέλει Κω/ος Ππστμτίου Σελίδ 48