ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9) <. Επειδή η γραφική παράσταση C f της f τέµνει τον y y στο, ισχύει η ισοδυναµία Α(0, ) C f f(0)=, οπότε διαδοχικά έχουµε: f(x 9)< f(x 9)< f(0) x 9 < 0 x < 9 x < 9 x < 3 3 < x < 3, καθότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Άσκηση. Αν η συνάρτηση f:[ 1, + ) R είναι γνησίως αύξουσα, τότε να λυθεί η ανίσωση: f( x 1 ) f( ) (I). x 3 x x 1 Για να ορίζεται η (1) πρέπει και αρκεί: x 3 0, x 0 και 1 (i), 1 (ii). x 3 x x 1 4 Με x 3 και x 0 έχουµε: (Ι) +1 0 (x 3)(3x 4) 0 x (,0) (0, ] (3,+ )=Α. x 3 3 Εξάλλου: (ii) 1 0 x(x ) 0 x (,0) [,3) (3, + =B. x H (I) λοιπόν έχει σύνολο ορισµού το D=A B= (, 0) (3,+ ). Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ 1, + ), θα έχουµε στο D: x 1 x 1 x + x 6 (Ι) + 0 0 x(x 3)(x 3)(x+) 0 (II) x 3 x x 3 x x( x 3) Από την παραπάνω συναλήθευση προκύπτει: ( I) x [,0).
Άσκηση 3. Να βρείτε τα ακρότατα καθώς και το σύνολο τιµών της συνάρτησης f(x)= x + + στο σύνολο ορισµού της. Για το σύνολο ορισµού της f πρέπει: x + 0 x. ηλαδή Α f = [, + ). Για κάθε x, έχουµε διαδοχικά: x+ 0 x + 0 x + 0 x + + f(x) (1). Παρατηρούµε ότι f(x) = x + + = x + =0 x + =0 x+ = 0 x =, µε την τιµή να ανήκει στο σύνολο ορισµού [, + ). Εποµένως (1) f(x) f( ), δηλαδή η f παρουσιάζει µέγιστο στο, το f( ) =. Για το σύνολο τιµών της συνάρτησης µε τυχαίο y R έχουµε: y 0 y f ( x) = y x + + = y y = x + ( y) = x + x = + ( y) Προφανώς + ( y). Εποµένως f(a)= (,]. Άσκηση 3. ίνεται η συνάρτηση ( ) f x = 8 - x - 8 + x α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή. γ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισµού της, να επιλέξετε ποια από τις παρακάτω τρείς προτεινόµενες, είναι η γραφική της παράσταση και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της.. δ) Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις g ( x ) = f ( x) - 3 και h ( x ) = f ( x + 3) δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές. α) Πρέπει και αρκεί: άρα το πεδίο ορισµού της f είναι: [ ] 8 x 0 x 8 και και 8 x 8 8 x 0 + 8 x A = 8,8
β) Έχουµε για κάθε x A, ότι x A (αφού το διάστηµα είναι συµµετρικό ως προς το µηδέν), f ( x) = 8 ( x) 8 + ( x) = 8 + x 8 x = ( 8 x 8 + x ) = f ( x) άρα η f είναι περιττή. γ) Η µοναδική γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι η τρίτη γραφική παράσταση από αυτές που προτείνονται (δείτε σηµείωση 1). Εποµένως η συνάρτηση για x = 8 παρουσιάζει µέγιστο µε τιµή f(8) = 8 8 8 + 8 = 4 για x = - 8 παρουσιάζει ελάχιστο µε τιµή f( - 8) = 4 δ) Έστω ότι η g ( x) = f ( x) 3είναι περιττή στο διάστηµα Α, τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + που είναι άτοπο, άρα η g δεν είναι περιττή. ( ) g x = g x f x 3 = f x 3 f x 3 f x 3 3 = 3 Έστω ότι η g ( x) = f ( x) 3είναι άρτια στο διάστηµα Α, τότε ( ) ( ) ( ) ( ) f ( x) = f ( x) f ( x) = 0 f ( x) = 0 που είναι άτοπο, άρα η g δεν είναι ούτε άρτια. ( είτε εναλλακτικά την σηµείωση ). g x = g x f x 3 = f x 3 Η h ( x) = f ( x + 3) δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή, αφού προκύπτει από την γραφική παράσταση της C f αν την µετατοπίσουµε κατά 3 µονάδες προς τα αριστερά όπως φαίνεται στο σχήµα. Εποµένως ούτε συµµετρική ως προς τον άξονα y y (όχι άρτια), ούτε ως προς την αρχή των αξόνων (όχι περιττή) είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης h. ( είτε εναλλακτικά την σηµείωση 3 και 4) Σηµείωση 1: Μπορούµε εύκολα να αποδείξουµε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισµού της. Έστω x 1, x A, µε x1 < x, τότε
Επίσης, 1 1 1 ( ) x < x 8 x > 8 x 0 8 x > 8 x 1 x < x 0 8 + x < 8 + x 8 + x < 8 + x 8 + x > 8 + x 1 1 1 1 Προσθέτουµε κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (), 8 x 8 + x > 8 x 8 + x f x > f x άρα για οποιαδήποτε x 1, x στο Α. ( ) ( ) < x ισχύει f ( x ) f ( x ) 1 1 1 A µε x1 1 ( ) >, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα Σηµείωση : Μια γραφική ερµηνεία για την γραφική παράσταση της g είναι ότι αν µετακινηθεί 3 µονάδες παρακάτω δεν θα είναι συµµετρική ούτε ως προς τον άξονα y y (δηλ. όχι άρτια) και ούτε ως προς την αρχή των αξόνων (δηλ. ούτε περιττή). είτε το παρακάτω σχήµα. Σηµείωση 3: Για την συνάρτηση h, µπορούµε και αλγεβρικά να συµπεράνουµε ότι δεν είναι άρτια, ούτε και περιττή από το πεδίο ορισµού, που είναι το εξής: (x 3) 8,8 8 x 3 8 11 x 5 A = 11,5 που δεν είναι συµµετρικό ως + [ ] +, άρα [ ] προς το µηδέν, άρα για κάθε x Ah, τότε x Ah. Σηµείωση 4: Τέλος για την h µπορούµε να το διαπιστώσουµε ότι δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή και µε την απαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι η h είναι περιττή, τότε: άτοπο!! Έστω ότι η h είναι άρτια, τότε: x= 0 ( ) = ( ) ( ) = ( ) h ( 0) f ( 3) 0 0 h x h x h 0 h 0 = = 5 11 = 0 5 = 11 ( ) ( ) x = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) f: h x = h x h 1 = h 1 f = f 4 = 4 άτοπο! h <
Άσκηση 4. 1 f x = x - c - d, x R µε c, d θετικές σταθερές, η γραφική ίνεται η συνάρτηση: ( ) ( ) παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σηµεία Α(0,16) και Β(4,0). α) Με βάση τα δεδοµένα, να κατασκευάσετε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους τους c, d και να υπολογίσετε την τιµή τους. β) Θεωρώντας γνωστό ότι c = 6 και d =, i. να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε τους άξονες. ii. να µεταφέρετε στην κόλα σας το σύστηµα συντεταγµένων που ακολουθεί, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πως αυτή σχετίζεται µε τη 1 g x = x γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) iii. µε βάση την παραπάνω γραφική παράσταση, να βρείτε το ακρότατο της συνάρτησης f, τα διαστήµατα στα οποία η f είναι µονότονη, καθώς και το είδος της µονοτονίας της σε καθένα από αυτά τα διαστήµατα.. α) Αφού η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σηµείο A ( 0,16 ), θα ισχύει: f ( 0) = 16 ( ) 1 1 0 c d = 16 c d = 16 c d = 3 (1) B 4,0, άρα ισχύει: Οµοίως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται και από το σηµείο ( ) f ( 4) = 0 1 ( 4 c) d = 0 ( 4 c) d = 0 () Συνεπώς από τα δεδοµένα της εκφώνησης προκύπτει το ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων για τις µεταβλητές c και d: c d = 3 ( Σ) ( 4 c) d = 0 Η εξίσωση () γίνεται: ( 4 c) ( 1) 48 d = 0 16 8c + c d = 0 16 8c + 3 = 0 8c = 3 16 = 48 c = = 6. 8 Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουµε: 4 6 d = 3 36 d = 3 d = 3 36 = 4 d = =. Άρα τελικά οι σταθερές c και d παίρνουν τις τιµές c = 6 και d =. β) Για c = 6 και d = ο τύπος της συνάρτησης γίνεται: f ( x) = 1 ( x 6), x R. i. Τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέµνει τον οριζόντιο άξονα x x είναι τα σηµεία που έχουν y = 0, δηλαδή τα σηµεία για τα οποία ισχύει
1 x 6 0 x 6 = ή x 6 = x = + 6 = 8 ή x = + 6 = 4. f ( x) = 0 ( ) = ( x 6) 4 = 0 ( ) Συνεπώς η γραφική παράσταση της f τέµνει τον οριζόντιο άξονα x x Γ ( 8,0). x 6 = 4 x 6 = ± 4 = ± στα σηµεία ( ) B 4,0 και Το σηµείο στο οποίο η γραφική παράσταση της f τέµνει τον κατακόρυφο άξονα y y είναι το σηµείο που έχει x = 0. Το σηµείο αυτό θα έχει τεταγµένη 1 ( ) ( ) 1 36 y = f 0 = 0 6 = 6 = = 18 = 16, δηλαδή η γραφική παράσταση της f τέµνει τον κατακόρυφο άξονα y y A 0,16. στο σηµείο ( ) Σχόλιο: Ο παραπάνω υπολογισµός µπορεί και να παρακαµφθεί αν σκεφτούµε ότι κάθε γραφική παράσταση συνάρτησης τέµνεται από οποιαδήποτε κατακόρυφη ευθεία σε ένα το πολύ σηµείο της. Γνωρίζουµε ήδη από την υπόθεση ότι το σηµείο A ( 0,16 ) είναι σηµείο από το οποίο διέρχεται η γραφική παράσταση της f, και φυσικά είναι σηµείο του άξονα y y, αφού έχει τετµηµένη ίση µε 0, συνεπώς αυτό θα είναι και το ζητούµενο σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε τον κατακόρυφο άξονα y y. ii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: 1 Η γραφική αυτή παράσταση προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g( x) = x µε οριζόντια µετατόπισή της κατά 6 µονάδες προς τα δεξιά και στη συνέχεια κατά µονάδες προς τα κάτω. iii. Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f διαπιστώνουµε ότι: η συνάρτηση f για x = 6 παρουσιάζει ελάχιστο µε τιµή f(6) = -, επιπλέον η συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη στα,6 6,+ και πιο συγκεκριµένα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διαστήµατα ( ] και [ ) διάστηµα (,6] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [ ) 6,+.
Άσκηση 5. Ένα σηµείο κινείται πάνω στον άξονα x x και η θέση του κάθε χρονική στιγµή περιγράφεται από τη συνάρτηση x(t) = t 3 6t + 9t, t 0 όπου t σε sec και x σε m, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 1. Από τη γραφική παράσταση να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της συνάρτησης x(t).. Να βρείτε σε ποια θέση βρίσκεται το κινητό τις χρονικές στιγµές : t = 0, 1, 3, 5 3. α) Για 0 t 1 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή αν t > t 1 τότε x = x (t) > x 1 = x(t 1 ). Πως ερµηνεύεται την πληροφορία µε την κίνηση του κινητού πάνω στον άξονα x x. β) Θα µπορούσατε να ερµηνεύσετε τα υπόλοιπα διαστήµατα µονοτονίας της συνάρτησης µε ανάλογο τρόπο; 4. Τι συµβαίνει τη χρονική στιγµή t = 1; 5. Να βρείτε το συνολικό διάστηµα που θα διανύσει το κινητό όταν 0 t 5 6. Η ταχύτα του συγκεκριµένου κινητού περιγράφεται από τη συνάρτηση v(t) = 3t 1t + 9. α) Να προσδιοριστεί το πρόσηµο της παραπάνω συνάρτησης αλγεβρικά και γραφικά. β) Να συσχετίσετε το πρόσηµο της συνάρτησης v(t) µε τη µονοτονία της συνάρτησης x(t). Τι παρατηρείτε;