Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,

Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ y, Jˆz, που ικανοποιούν της άλγεβρα της στροφορμής, για να εξετάσουμε την περίπτωση j. Αυτή είναι η περίπτωση του s. Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου, δηλαδή όλα τα στοιχειώδη σωμάτια ύλης, έχουν σπιν. Αυτό σημαίνει ότι οι δομικές μονάδες της ύλης έχουν σπιν. Οι εξισώσεις ιδιοτιμών των τελεστών S και Sˆz γράφονται σπιν Sˆ s, ms s s + s, ms Sˆz s, ms ms s, ms, ms -,. Επομένως, οι κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών S και Sˆz είναι οι δύο ιδιοκαταστάσεις, και, -. Οι δύο αυτές ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν. Συνήθως, η ιδιοκατάσταση,, δηλαδή η ιδιοκατάσταση με ιδιοτιμή του Sˆz, Εφόσον s αναφέρεται ως σπιν-πάνω και συμβολίζεται με - ή +, ενώ η ιδιοκατάσταση, -, δηλαδή η ιδιοκατάσταση με ιδιοτιμή του Sˆz -, αναφέρεται ως σπιν-κάτω και συμβολίζεται με ή -.. Πίνακες του σπιν / Πίνακες του Pauli Θα κατασκευάσουμε τους πίνακες S x, S y, S z, και S που αναπαριστούν τους αντίστοιχους τελεστές Sˆx, Sˆ y, Sˆz, και S στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, δηλαδή στη βάση,,, -. Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις 6//07

Jˆx j, m i Jˆ y j, m j j + - m m - j, m - + j j + - m m + j, m + j j + - m m - j, m - - j j + - m m + j, m + που αποδείξαμε στην άσκηση της προηγούμενης ανάρτησης «Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Ι», οι οποίες ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή. Για την περίπτωση όπου j, οι σχέσεις αυτές γράφονται 3 3 Sˆx, ms - ms ms -, ms - + - ms ms +, ms + i 3 3 Sˆ y, ms - ms ms -, ms - - ms ms +, ms + Για ms και -, η μάς δίνει 3 3 3 ˆ Sx, - -,- +, ms + { 0,- Sˆx,,3 Και 3 3 3 Sˆx, - - - -, ms - + --,, 3 0 Sˆx, -, Έτσι, αν η ιδιοκατάσταση, σπιν-πάνω είναι το πρώτο διάνυσμα βάσης και η,σπιν-κάτω είναι το δεύτερο διάνυσμα βάσης, τα στοιχεία του πίνακα S x είναι, σύμφωνα και με τις 3 και, ιδιοκατάσταση S x ˆ, Sx,,,- 0 3 0 6//07

S x ˆ, Sx, -,, 3 S x ˆ, - Sx,,,- 3 S x ˆ, - Sx, -,, 0 3 0 Επομένως, ο πίνακας S x που αναπαριστά τον τελεστή Sˆx, δηλαδή τη x -συνιστώσα rˆ του τελεστή του σπιν S, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, είναι 0 Sx 0 0 0 Sx 0 0 Με τον ίδιο τρόπο, κατασκευάζουμε τον πίνακα S y. Για ms και -, η μάς δίνει 3 i 3 Sˆ y, - -,- - +, ms + 3 0 i, i Sˆ y,,6 Και 3 i 3 Sˆ y, - - - - -, ms - - - - +, 3 0 i, 3 6//07

i Sˆ y, -, 7 Επομένως, τα στοιχεία του πίνακα S y είναι, σύμφωνα και με τις 6 και 7, S ˆ i, Sy,,,- 0 S ˆ i i, Sy, -,, S ˆ i i, - Sy,,,- S ˆ i, - Sy, -,, 0 y y y y Επομένως, ο πίνακας S y που αναπαριστά τον τελεστή Sˆ y, δηλαδή την y -συνιστώσα rˆ του τελεστή του σπιν S, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, είναι 0 Sy i i 0 -i i 0 0 - Sy 0 -i 8 i 0 Στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, ο πίνακας S z πρέπει να είναι διαγώνιος, με στοιχεία τις ιδιοτιμές του τελεστή Sˆz, δηλαδή ±. ˆ Πράγματι, από την εξίσωση ιδιοτιμών του τελεστή S z έχουμε Sˆz, ms ms, ms Επομένως Sˆz,, 9 Sˆz, -,0 Άρα, τα στοιχεία του πίνακα S z είναι, σύμφωνα και με τις 9 και 0, 6//07

S z ˆ, Sz,,, Sz ˆ, Sz, -,,- 0 Sz ˆ, - Sz,,, 0 Sz ˆ, - Sz, -,,- Επομένως, ο πίνακας S z που αναπαριστά τον τελεστή Sˆz, δηλαδή τη z -συνιστώσα rˆ του τελεστή του σπιν S, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, είναι Sz 0 0-0 0 - Sz 0 0 - Οι, 8, και μάς δίνουν τους πίνακες που αναπαριστούν τους τελεστές Sˆx, Sˆ y, Sˆz, δηλαδή τις τρεις συνιστώσες του σπιν, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz. Παρατηρήστε ότι και οι τρεις πίνακες είναι ερμιτιανοί, όπως πρέπει, αφού αναπαριστούν ερμιτιανούς τελεστές. Οι συνιστώσες του σπιν είναι παρατηρήσιμα μεγέθη, επομένως οι αντίστοιχοι τελεστές Sˆx, Sˆ y, Sˆz είναι ερμιτιανοί. Παρατηρήστε επίσης ότι τα στοιχεία του πίνακα S x είναι πραγματικά, ενώ του S y είναι φανταστικά το μηδέν ανήκει και στους πραγματικούς και στους φανταστικούς αριθμούς, επομένως μπορούμε να το θεωρήσουμε και πραγματικό και φανταστικό αριθμό. Μπορούμε να γράψουμε τις, 8, και ως S x s x S y s y 3 S z s z όπου 6//07

0 0 -i 0, sz 0 0 - sx, sy i 0 Οι πίνακες s x, s y, s z είναι οι πίνακες του Pauli, και όπως βλέπουμε, είναι ερμιτιανοί. Ο πίνακας S, που αναπαριστά τον τελεστή S κατασκευάζεται εύκολα από την 3 εξίσωση ιδιοτιμών του S, δηλαδή από την εξίσωση Sˆ, ms, ms, η οποία για ms και -, μάς δίνει, αντίστοιχα, 3 Sˆ,, 3 Sˆ, -,6 Επομένως Sˆ ˆ 3, S, Sˆ ˆ 3, S,-,,- 0 ˆ 3,- S,,, 0 ˆ 3,- S,- Sˆ Sˆ Άρα 3 0 S 7 0 Όπως αναμέναμε, ο S είναι διαγώνιος, με στοιχεία την ιδιοτιμή, 3, του τελεστή S.. Καταστάσεις του σπιν / Σπίνορες Spinors Όπως αναφέραμε, οι ιδιοκαταστάσεις των τελεστών S και Sˆz, δηλαδή το σύνολο ì ü í,,, - ý, αποτελεί ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του î þ σπιν. Κατά συνέπεια, μια τυχαία κατάσταση του σπιν, ας τη συμβολίσουμε με 6 6//07

y, θα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των δύο ιδιοκαταστάσεων, και, -, δηλαδή, +b, y a όπου οι συντελεστές του αναπτύγματος, a, b, είναι μιγαδικοί αριθμοί, αφού ο χώρος των καταστάσεων του σπιν είναι ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος, και ειδικότερα είναι ένας μιγαδικός χώρος Hilbert. Αν εφαρμόσουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης στην κατάσταση y, θα πάρουμε Η βάση ì ü,,,- ý είναι þ í î ορθοκανονική } y y a *, + b*, a, + b, - 3 y a +b a + b Τότε, από την βλέπουμε ότι το πλάτος πιθανότητας να μετρήσουμε τιμή για τη, y a, ενώ το πλάτος πιθανότητας να μετρήσουμε τιμή - για τη z -συνιστώσα του σπιν είναι, - y b., το πλάτος πιθανότητας το σύστημά μας το σωμάτιο με σπιν να βρεθεί, μετά από μια μέτρηση της z -συνιστώσας του σπιν του, στην ιδιοκατάσταση, σπιν πάνω είναι a, ενώ το πλάτος πιθανότητας το σύστημά μας να βρεθεί, μετά από μια μέτρηση της z -συνιστώσας του σπιν του, στην ιδιοκατάσταση, σπιν-κάτω z -συνιστώσα του σπιν είναι είναι b. Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι a και b, και η συνθήκη κανονικοποίησης μάς εξασφαλίζει ότι a + b. Θέλουμε τώρα να αναπαραστήσουμε τα διανύσματα βάσης, σπιν-πάνω και,σπιν-κάτω, καθώς επίσης και την τυχαία κατάσταση y, με πίνακες. 7 6//07

Υπενθυμίζουμε ότι θεωρούμε το διάνυσμα, ως πρώτο και το διάνυσμα,ως δεύτερο. Αυτή είναι μια αυθαίρετη, πλην όμως αναγκαία, σύμβαση, αφού οι αναπαραστάσεις εξαρτώνται από τη σειρά επιλογής των διανυσμάτων βάσης. Επειδή,, + 0, -, αναπαριστούμε το διάνυσμα, με το διάνυσμα-στήλη ή πίνακα-στήλη, και γράφουμε,. Βάζουμε βέλος 0 0 για να δηλώσουμε ότι πρόκειται για αναπαράσταση του διανύσματος, από το στοιχείο. 0, - 0, +, -, αναπαριστούμε το 0 με το διάνυσμα-στήλη ή πίνακα-στήλη, και γράφουμε Με την ίδια λογική, επειδή, 0,-. διάνυσμα Έτσι, από την συμπεραίνουμε ότι η τυχαία κατάσταση y αναπαρίσταται από το a a διάνυσμα-στήλη ή πίνακα-στήλη, δηλαδή y. b b Θυμίζουμε ότι οι αναπαραστάσεις αυτές γίνονται στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz. Σημειώσεις. Ως γενικός κανόνας, τα ket αναπαριστώνται από διανύσματα-στήλες ή πίνακεςστήλες, ενώ τα bra αναπαριστώνται από διανύσματα-γραμμές ή πίνακες-γραμμές, δηλαδή y y y... y N και y y * y *... y N * όπου N είναι η διάσταση του μιγαδικού χώρου Hilbert στον οποίο ανήκει η κατάσταση y. Αν η y είναι κανονικοποιημένη, τότε 8 6//07

y y Þ y * y * y N y *... y N Þ åyi... n y N. Τα διανύσματα-στήλες που αναπαριστούν τις καταστάσεις του σπιν ονομάζονται 0 0 a b σπίνορες spinors., τα στοιχεία,, και είναι σπίνορες. 3. Εύρεση των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων των πινάκων του σπιν / Με τη βοήθεια της σχέσης της ενότητας, η εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα S x γράφεται -l x 0 x l y Þ 0 y x 0 y -l x Το, ως ιδιοδιάνυσμα, πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητο, επομένως δεν y μπορεί να είναι μηδέν. Έτσι, το ομογενές σύστημα πρέπει να έχει μη μηδενική λύση, άρα -l 0 -l Από την προηγούμενη εξίσωση παίρνουμε l - 0 Þ l ± Η τελευταία σχέση μάς λέει ότι οι ιδιοτιμές του S x είναι ±, κάτι που αναμέναμε ˆ αφού αναπαριστά τον τελεστή S x, τη x -συνιστώσα του σπιν που, όπως η z συνιστώσα, έχει ιδιοτιμές ±. Ας βρούμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Για l, το σύστημα γράφεται 9 6//07

- x - x -x + y 0Þ 0 Þ 0Þ - y - y x- y ì- x + y 0 Þí Þ -x + y 0 Þ y x î x- y 0 x Επομένως, το ιδιοδιάνυσμα είναι το. x Εφαρμόζουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης, και παίρνουμε x * x x* Þ x Þ x x Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, x Έτσι, λοιπόν, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S x, ιδιοτιμής το. Αυτό το ιδιοδιάνυσμα αναπαριστά, στη βάση των, είναι κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, την ιδιοκατάσταση όπου η x -συνιστώσα του σπιν είναι. Αν συμβολίσουμε αυτήν την ιδιοκατάσταση με x; - σπιν-πάνω στον άξονα x, τότε x; - Για να βρούμε το ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής - μπορούμε να κάνουμε τα ίδια. Ωστόσο, μπορούμε να το γράψουμε αμέσως αν σκεφτούμε ότι πρέπει να είναι ορθογώνιο στο ιδιοδιάνυσμα. Ο πίνακας S x είναι ερμιτιανός, επομένως τα ιδιοδιανύσματά του είναι μεταξύ τους κάθετα. Επειδή ο χώρος μας είναι διδιάστατος, υπάρχει μόνο μία κάθετη διεύθυνση σε μια δοθείσα. Επομένως, με εξαίρεση μια σταθερή φάση, που είναι απόρροια της συμμετρίας φάσης των κβαντικών καταστάσεων, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής - είναι το. Ας το ελέγξουμε. - Είναι 0-0 - - - 0 6//07

Sx - - είναι το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S x που - αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή -, και αναπαριστά, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, την ιδιοκατάσταση όπου η x -συνιστώσα του σπιν είναι -. Αν συμβολίσουμε αυτήν την ιδιοκατάσταση με x; σπιν-κάτω στον άξονα x, τότε Επομένως, το x; 3 - Για τον πίνακα S y, με τη βοήθεια της σχέσης 8 της ενότητας, η εξίσωση ιδιοτιμών του γράφεται -l x 0 -i x l y Þ i i 0 y -i x 0 y -l x Εφόσον το είναι ιδιοδιάνυσμα, πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητο, επομένως y δεν μπορεί να είναι μηδέν. Έτσι, το ομογενές σύστημα πρέπει να έχει μη μηδενική λύση, άρα -l i -i 0 Þ l + i 0 Þ l - 0 Þ l ± -l Η τελευταία σχέση μάς λέει ότι οι ιδιοτιμές του S y είναι ±, κάτι που αναμέναμε αφού αναπαριστά τον τελεστή Sˆ y, την y -συνιστώσα του σπιν που, όπως η z συνιστώσα, έχει ιδιοτιμές ±. Για l, το σύστημα γράφεται -i - x 0 Þ - -i x 0 Þ - x - iy 0 Þ ì- x - iy 0 Þ í i - y i - y ix - y î ix - y 0 ìix - y 0 Þí Þ y ix îix - y 0 6//07

x Επομένως, το ιδιοδιάνυσμα είναι το. ix Εφαρμόζουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης, και παίρνουμε x + ix Þ x Þ x Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, x Έτσι, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S y, ιδιοτιμής, είναι το. Αυτό το ιδιοδιάνυσμα αναπαριστά, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων i των τελεστών S και Sˆz, την ιδιοκατάσταση όπου η y -συνιστώσα του σπιν είναι. Αν συμβολίσουμε αυτήν την ιδιοκατάσταση με y; - σπιν-πάνω στον άξονα y, τότε y; - i Μπορούμε να γράψουμε αμέσως το ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής -, αν σκεφτούμε ότι πρέπει να είναι κάθετο i, επομένως είναι το. Πράγματι, είναι -i 0 -i - i 0 -i i -i Sy -i -i Αυτό είναι το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S y με ιδιοτιμή -, δηλαδή αναπαριστά, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, την ιδιοκατάσταση όπου η y -συνιστώσα του σπιν είναι - σπιν-κάτω στον άξονα y. Επομένως y; 6 -i Σημείωση 6//07

Η «ελευθερία» μιας σταθερής φάσης που συνοδεύει τις κβαντικές καταστάσεις, η οποία είναι απόρροια της συμμετρίας φάσης, δηλαδή του γεγονότος ότι οι καταστάσεις y και exp ij y όπου j μια σταθερή γωνία είναι φυσικά ισοδύναμες, ισχύει και για τις αναπαραστάσεις των κβαντικών καταστάσεων. Επομένως, τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων του σπιν επιλέγονται κι αυτά με την απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης. i -i, θα μπορούσαμε να επιλέξουμε το για ιδιοδιάνυσμα του S y με ιδιοτιμή -. Πράγματι, είναι 0 -i i -i i i 0 - Έτσι, για παράδειγμα, αντί του Sy i i Επίσης είναι i 3p i i -i -i Þ -i exp, τα δύο ιδιοδιανύσματα συνδέονται με μια σταθερή φάση j 3p. Όσον αφορά τον πίνακα S z, αυτός είναι διαγώνιος, όπως βλέπουμε από τη σχέση της ενότητας, κάτι αναμενόμενο, αφού η βάση της αναπαράστασης είναι τα ιδιοδιανύσματα του τελεστή Sˆz και του S. Επομένως, οι ιδιοτιμές του πίνακα S z είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του, δηλαδή ±, και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα S z είναι οι αναπαραστάσεις των ιδιοκαταστάσεων του τελεστή Sˆz, δηλαδή των,, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή σπιν-πάνω στον άξονα z, και, -, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή - σπιν-κάτω στον άξονα z. Ακολουθώντας τον συμβολισμό που χρησιμοποιήσαμε για τις ιδιοκαταστάσεις των τελεστών Sˆx και Sˆ y, θα συμβολίσουμε με z; - την ιδιοκατάσταση, και με z; την ιδιοκατάσταση, -. Όπως είδαμε στην ενότητα, η ιδιοκατάσταση, αναπαρίσταται από τον 0 σπίνορα, και η ιδιοκατάσταση, από τον σπίνορα, δηλαδή 0 ιδιοκαταστάσεων z ; - 7 0 3 6//07

0 z ; 8 Σημείωση 0 Το είναι το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S z που αντιστοιχεί στην 0 και το είναι το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S z που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή -. Αν δεν έχετε πειστεί, μπορείτε εύκολα να το ελέγξετε! ιδιοτιμή. Σε μια τυχαία κατάσταση του σπιν /, υπολογισμός των πιθανοτήτων μέτρησης των ιδιοτιμών των τριών συνιστωσών του Για μια τυχαία κατάσταση πιθανότητες: y i η x -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή του σπιν, θα υπολογίσουμε τις ακόλουθες iii η y -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή iv η y -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή v η z -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή vi η z -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή Αν για τις ιδιοκαταστάσεις των τριών συνιστωσών του τελεστή του σπιν χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό της ενότητας 3, μπορούμε να γράψουμε τα πλάτη των πιθανοτήτων i vi ως εξής: ii η x -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή - x; - y, x; y, y; - y, y; y, z; - y, και z; y Στις ενότητες και 3, υπολογίσαμε τις αναπαραστάσεις σπίνορες όλων των εμπλεκόμενων καταστάσεων στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz. Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε τους σπίνορες που βρήκαμε για να υπολογίσουμε τα πλάτη και τις ζητούμενες πιθανότητες. Σημείωση Όπως γνωρίζουμε από τη διανυσματική ανάλυση, το εσωτερικό γινόμενο δύο r r διανυσμάτων, x g y, δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε για να το υπολογίσουμε. Μπορούμε να το υπολογίσουμε σε όποιο σύστημα συντεταγμένων μάς βολεύει, ή ακόμα και αφηρημένα, δηλαδή χωρίς να «καταφύγουμε» σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων. 6//07

Το ίδιο ισχύει και για τα εσωτερικά γινόμενα μεταξύ κβαντικών καταστάσεων, όπου τώρα το σύστημα συντεταγμένων είναι η βάση που χρησιμοποιούμε, στον χώρο των καταστάσεων, για να εκφράσουμε να αναπαραστήσουμε τις κβαντικές καταστάσεις ή και τους τελεστές που μας ενδιαφέρουν. Πριν προχωρήσουμε, ας ξαναγράψουμε, συγκεντρωτικά, τους σπίνορες που μας ενδιαφέρουν, όπως τους υπολογίσαμε στις ενότητες και 3. a y, με a + b b x; - x; - y; - i y; -i z; - 0 0 z; Επομένως, τα ζητούμενα πλάτη είναι x; - y a a +b b x; y a a -b - b y; - y a a - ib -i b y; y a a + ib i b a z ; - y 0 a b a z ; y 0 b b Σημείωση 6//07

x y Θυμίζουμε ότι αν j, τότε j x* y* Έτσι, οι ζητούμενες πιθανότητες είναι i P x; - x; - y ii P x; x; y a+b a -b iii P y; - y; - y iv P y; y; y v P z; - z ; - y vi P z; z; y a - ib a + ib a b Παρατηρούμε ότι * * * * a +b a - b } a + ba + b + a - ba - b P x; - + P x; + a + b + ab* + a*b + a + b - ab* - a*b a + b a + b * z zz P x; - + P x; Επίσης, έχουμε a - ib a* + ib* + a + ib a* - ib* a - ib a + ib P y; - + P y; + a - i b + iab* - ia*b + a - i b - iab* + ia*b a + b a + b P y; - + P y; Και P z; - + P z ; a + b Σε κάθε έναν από τους τρεις άξονες, το σπιν έχει δύο τιμές, τις ιδιοτιμές του αντίστοιχου τελεστή, δηλαδή σπιν-πάνω και - σπιν-κάτω. Επομένως, σε 6 6//07

κάθε άξονα, το άθροισμα της πιθανότητας να μετρήσουμε σπιν-πάνω και της πιθανότητας να μετρήσουμε σπιν-κάτω πρέπει να είναι, όπως και είναι.. Ασκήσεις Θα δείξουμε ότι αν η κατάσταση του σπιν είναι μια ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆx, τότε οι ακόλουθες πιθανότητες: η y -συνιστώσα του σπιν είναι, η y -συνιστώσα του σπιν είναι -, η z συνιστώσα του σπιν είναι, η z -συνιστώσα του σπιν είναι -, είναι όλες 0%, και το ίδιο ισχύει αν η κατάσταση του σπιν είναι ιδιοκατάσταση του Sˆ ή y του Sˆz, για τις άλλες δύο συνιστώσες του σπιν, αντίστοιχα. Με άλλα λόγια, θα δείξουμε ότι αν μία από τις τρεις συνιστώσες του σπιν είναι καθορισμένη, τότε στους δύο άλλους άξονες, η πιθανότητα μέτρησης σπιν-πάνω είναι ίση με την πιθανότητα μέτρησης σπιν-κάτω -. Λύση Είδαμε ότι, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, η a του σπιν αναπαρίσταται από τον σπίνορα, δηλαδή b τυχαία κατάσταση y a y, με a + b. b Αν η κατάσταση y είναι ιδιοκατάσταση του Sˆx, τότε y x; - ή y x;. Ας δούμε ξεχωριστά τις δύο περιπτώσεις. i y x; Δείξαμε ότι x; -, άρα y. Επομένως a b Þ a b Έτσι, οι πιθανότητες i vi της προηγούμενης ενότητας γράφονται a +b P x; - αναμενόμενο, αφού y x; - a-b P x; 0 αναμενόμενο, αφού πρέπει P x; - + P x; 7 6//07

-i a - ib P y; - +i a + ib P y; P z; - a ή 0% P z; b ή 0% - i * ή 0% + i ή 0% ii y x; Δείξαμε ότι x; -, άρα y. Επομένως - a, bb - Þ a Έτσι, οι πιθανότητες i vi της προηγούμενης ενότητας γράφονται a+b P x; - 0 a -b P x; αναμενόμενο, αφού y x; +i a - ib P y; - -i a + ib P y; P z; - a + i * ή 0% - i * ή 0% ή 0% P z; b ή 0% Αν η κατάσταση y είναι ιδιοκατάσταση του Sˆ y, τότε y y; - ή y y;. i y y; Δείξαμε ότι y; - i, άρα y. Επομένως i 8 6//07

a i, b b i Þ a Έτσι, οι πιθανότητες i vi της προηγούμενης ενότητας γράφονται i + a +b P x; - i a -b P x; + a - ib P y; - i + a + ib P y; P z; - a P z; b + i ή 0% - i ή 0% αναμενόμενα, αφού y y; - 0 ή 0% i ή 0% ii y y; Δείξαμε ότι y; -i, άρα y. Επομένως -i a i, bb -i Þ a Έτσι, οι πιθανότητες i vi της προηγούμενης ενότητας γράφονται i a +b P x; - i + a -b P x; i + a - ib P y; - - i ή 0% + i ή 0% 9 0 6//07

i a + ib P y; P z; - a P z; b i + αναμενόμενο, αφού y y; ή 0% ή 0% Αν η κατάσταση y είναι ιδιοκατάσταση του Sˆz, τότε y z; - ή y z;. i y z; Δείξαμε ότι z ; -, άρα y. Επομένως 0 0 a b 0 Þ a, b 0 Έτσι, οι πιθανότητες i vi της προηγούμενης ενότητας γράφονται a +b P x; - ή 0% a -b P x; ή 0% a - ib P y; - ή 0% a + ib P y; ή 0% P z; - a αναμενόμενο, αφού y z; - P z; b 0 ii y z; 0 0 Δείξαμε ότι z ;, άρα y. Επομένως a 0 b Þ a 0, b Έτσι, οι πιθανότητες i vi της προηγούμενης ενότητας γράφονται a +b P x; - ή 0% 0 6//07

a-b - P x; ή 0% a - ib -i P y; - ή 0% a + ib i P y; ή 0% P z; - a 0 P z; b αναμενόμενο, αφού y z; Σε μια τυχαία κατάσταση του σπιν, θα υπολογίσουμε, με δύο τρόπους, τις μέσες τιμές των τριών συνιστωσών του, δηλαδή τις μέσες τιμές Sˆx, Sˆ y, Sˆz. Λύση Δείξαμε ότι η τυχαία κατάσταση y αναπαρίσταται, στη βάση των κοινών a ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, από τον σπίνορα, δηλαδή b a y, με a + b. Επίσης, δείξαμε ότι, στην ίδια βάση, οι τελεστές b 0 0 -i Sˆx, Sˆ y, Sˆz αναπαριστώνται από τους πίνακες S x, Sy, 0 i 0 0 Sz. 0 - Οι ζητούμενες μέσες τιμές είναι Sˆx y Sˆx y, Sˆ y y Sˆ y y, και Sˆz y Sˆz y Οι μέσες τιμές δεν εξαρτώνται από τη βάση που χρησιμοποιούμε, στον χώρο των καταστάσεων, για να εκφράσουμε να αναπαραστήσουμε τις κβαντικές καταστάσεις και του τελεστές. Επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις αναπαραστάσεις των τελεστών Sˆx, Sˆ y, Sˆz και της κατάστασης y που έχουμε υπολογίσει στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆ. z Θα έχουμε b 0 a * Sˆx y Sˆx y a* b* a b* a*b + ab* 0b a * ab* + ab* Re ab* Sˆx Re ab* 6//07

Σημείωση a b Θυμίζουμε ξανά ότι αν y, τότε y a * b* Με τον ίδιο τρόπο, υπολογίζουμε και τις άλλες δύο μέσες τιμές. 0 -i a * * -ib i Sˆ y y Sˆ y y a* b* a b - a*b + ab* i 0 b ia * i i ab* - ab* i Im ab* Sˆ y - Im ab* Και 0 a * * a Sˆz y Sˆz y a* b* a b a -b 0 - b -b Sˆz a - b 3 Θα υπολογίσουμε τώρα τις ζητούμενες μέσες τιμές χρησιμοποιώντας τις πιθανότητες i vi που υπολογίσαμε στην ενότητα. Είναι Sˆx P x; - + P x; - P x; - - P x; a -b a+b a + b a * + b* - a - b a* - b * a + b + ab* + a*b - a - b + ab* + a*b ab* + a*b * ab* + ab* Re ab* Re ab* Sˆx Re ab*, που είναι το αποτέλεσμα. Με τον ίδιο τρόπο, θα έχουμε Sˆ y P y; - + P y; - P y; - - P y; a + ib a - ib a - ib a* + ib* - a + ib a* - ib* a - i b + iab* - ia*b - a - i b - iab* + ia*b 6//07

a + b + iab* - ia*b - a + i b + iab* - ia*b * i i iab* - ia*b ab* - ab* i Im ab* - Im ab* Sˆ y - Im ab*, που είναι το αποτέλεσμα. Και Sˆz P z ; - + P z; - P z; - - P z ; a -b Sˆz a - b, που είναι το αποτέλεσμα 3. 3 Δείξτε ότι δεν υπάρχει κατάσταση του σπιν στην οποία να μηδενίζονται οι μέσες τιμές και των τριών συνιστωσών του, Sˆx, Sˆ y, Sˆz. Υπάρχουν καταστάσεις στις οποίες να μηδενίζονται οι μέσες τιμές δύο συνιστωσών του σπιν; Λύση Στην προηγούμενη άσκηση, δείξαμε ότι σε μια τυχαία κατάσταση του σπιν, είναι a - b, με a + b Sˆx Re ab*, Sˆ y - Im ab*, και Sˆz a, b ³0 } Αν Sˆz 0, τότε a - b 0 Þ a b. Επομένως, οι μιγαδικοί αριθμοί a, b γράφονται, σε πολική μορφή, a a exp ifa b a exp ifb Τότε, αν Sˆx 0, θα έχουμε Re ab* 0 Þ Re a exp i fa - fb 0 Þ a cos fa - fb 0 3 Αν a 0, τότε από τις και παίρνουμε a b 0, οπότε ο σπίνορας που αναπαριστά την τυχαία κατάσταση του σπιν στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων a 0 των τελεστών S και Sˆz, είναι, δηλαδή έχουμε μια τετριμμένη περίπτωση, b 0 στην οποία μηδενίζεται και η τρίτη μέση τιμή, Sˆ 0. y Αν a ¹ 0, τότε από την 3 παίρνουμε cos fa - fb 0 Τότε, αν Sˆ y 0, θα έχουμε a ¹0 } Im ab 0 Þ Im a exp i fa - fb 0 Þ a sin fa - fb 0 Þ sin fa - fb 0 * 3 6//07

, sin fa - fb 0 και cos fa - fb 0, το οποίο είναι αδύνατο αφού πρέπει sin fa - fb + cos fa - fb. Επομένως, δεν υπάρχει κατάσταση στην οποία να μηδενίζονται οι μέσες τιμές και των τριών συνιστωσών του σπιν. Οι μέσες τιμές δύο συνιστωσών του σπιν μπορούν να είναι μηδέν. Αυτό συμβαίνει όταν η κατάσταση του σπιν είναι ιδιοκατάσταση της τρίτης συνιστώσας, που έχει αναγκαστικά μη μηδενική μέση τιμή. Με άλλα λόγια, όταν η κατάσταση του σπιν είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆz, τότε Sˆx Sˆ y 0, όταν η κατάσταση του σπιν είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆx, τότε Sˆ y Sˆz 0, και όταν η κατάσταση του σπιν είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆ y, τότε Sˆz Sˆx 0. Σε μια τυχαία κατάσταση του σπιν, θα υπολογίσουμε τις αβεβαιότητες των τριών συνιστωσών του, δηλαδή τις αβεβαιότητες DSˆx, DSˆ y, DSˆz. Λύση Οι ζητούμενες αβεβαιότητες είναι, αντίστοιχα, DSˆx Sˆx - Sˆx DSˆ y Sˆ y - Sˆ y DSˆz Sˆz - Sˆz Στην άσκηση, υπολογίσαμε τις μέσες τιμές Sˆx, Sˆ y, Sˆz σε μια τυχαία κατάσταση του σπιν, και βρήκαμε ότι Sˆx Re ab* Sˆ y - Im ab* Sˆz a -b Για να υπολογίσουμε τις ζητούμενες αβεβαιότητες, χρειαζόμαστε και τις μέσες τιμές των τετραγώνων των τριών συνιστωσών του σπιν, Sˆx, Sˆ y, Sˆz, σε μια τυχαία κατάσταση y. Για να τις υπολογίσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε πάλι τις αναπαραστάσεις των τελεστών Sˆx, Sˆ y, Sˆz, και της κατάστασης y κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆ. στη βάση των z Έτσι, θα έχουμε 6//07

0 0 a Sˆx y Sˆx y a* b* 0 0 b * * 0 a a b + b a 3 0 b Sˆx Επομένως, η αβεβαιότητα DSˆx είναι DSˆx - Re ab* - Re ab* DSˆx - Re ab* Με τον ίδιο τρόπο, θα έχουμε 0 -i 0 -i a Sˆ y y Sˆ y y a* b* i 0 i 0 b * * 0 a a b a + b b 3 0 Sˆ y 3 Επομένως, η αβεβαιότητα DSˆ y είναι DSˆ y - Im ab* Και 0 0 a Sˆz y Sˆz y a* b* 0-0 - b 0 a a* b* a + b 3 0 b Sˆz 6//07

Επομένως, η αβεβαιότητα DSˆz είναι DSˆz - a - b 6 Σημείωση Από τις, 3, και βλέπουμε ότι Sˆx Sˆ y Sˆz 7 0, 0 Αυτό είναι αποτέλεσμα του γεγονότος ότι οι πίνακες του Pauli s x 0 -i 0, και s z έχουν την ιδιότητα s x s y s z. 0 0 - sy i Πράγματι, είναι 0 0 0 0 0 0 0 -i 0 -i -i 0 0 sy i 0 i 0 0 -i 0 0 0 0 s z 0-0 - 0 Τότε, επειδή S x s x, S y s y, και S z s z, έχουμε S x s x, S y s y, και S z s z s x Sx S y Sz Επομένως a + b 3 a b* S y a + b 3 b * a b Sz a + b 3 b a Sˆx y Sˆx y a* b* S x b Sˆ y y Sˆ y y a* Sˆz y Sˆz y a* Σε μια τυχαία κατάσταση του σπιν, θα υπολογίσουμε τη μέση τιμή του τετραγώνου του τελεστή του σπιν, δηλαδή τη μέση τιμή του τελεστή S. Λύση Είναι 6 6//07

Sˆ Sˆx + Sˆ y + Sˆz Επομένως Sˆ Sˆx + Sˆ y + Sˆz Sˆx + Sˆ y + Sˆz 3 όπου στην τελευταία ισότητα, κάναμε χρήση της σχέσης 7 της προηγούμενης άσκησης. Επομένως 3 Sˆ Η είναι η μέση τιμή του τετραγώνου του τελεστή του σπιν σε μια τυχαία κατάσταση του σπιν, και όπως βλέπουμε, είναι ίδια σε όλες τις καταστάσεις δεν εξαρτάται από την κατάσταση. Αυτό οφείλεται στο ότι ο τελεστής S έχει την ίδια ιδιοτιμή και στις δύο ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Sˆz ή του τελεστή Sˆx, ή του ì ü τελεστή Sˆ y. Έτσι, στη βάση í,,, - ý των κοινών ιδιοκαταστάσεων των î þ τελεστών S και Sˆz, η τυχαία κατάσταση y του σπιν γράφεται y a, +b, Επομένως Sˆ y Sˆ a, + b, - asˆ, + bsˆ, - a +, + b +, - 3 3 a, + b,- y 3 Sˆ y y, η δράση του τελεστή S είναι ίδια σε όλες τις καταστάσεις του σπιν. Από τη παίρνουμε 3 3 3 ˆ ˆ S y S y y y yy 3 6 Θα υπολογίσουμε τις μέσες τιμές και τις αβεβαιότητες των τριών συνιστωσών του σπιν στις ιδιοκαταστάσεις των τριών συνιστωσών του. Λύση 7 6//07

Στην ενότητα 3, δείξαμε ότι, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, οι ιδιοκαταστάσεις των τριών τελεστών του σπιν αναπαρίστανται από τους σπίνορες: x; - x; - y; - i y; -i z; - 0 0 z; Επίσης, στην ενότητα είδαμε ότι, στην ίδια βάση, η τυχαία κατάσταση y του σπιν a a αναπαρίσταται από τον σπίνορα, δηλαδή y. b b Έτσι, θα έχουμε i Αν y x; -, τότε a b. Χρησιμοποιώντας τους γενικούς τύπους για τις μέσες τιμές, που βρήκαμε στην άσκηση, θα πάρουμε Sˆx Re ab* Sˆ y - Im ab* 0 Sˆz a -b 0 Οι αβεβαιότητες των τριών συνιστωσών του σπιν είναι DSˆx Sˆx - Sˆx - 0 DSˆ y Sˆ y - Sˆ y -0 DSˆz Sˆz - Sˆz -0 8 6//07

όπου χρησιμοποιήσαμε και τη σχέση 7 της άσκησης, δηλαδή Sˆx Sˆ y Sˆz, b Υπολογίζουμε τις μέσες τιμές και τις αβεβαιότητες των τριών συνιστωσών του σπιν όπως στην περίπτωση i, και παίρνουμε ii Αν y x;, τότε a Sˆx Re ab* Sˆ y - Im ab* 0 Sˆz a - b - 0 DSˆx Sˆx - Sˆx -- 0 DSˆ y Sˆ y - Sˆ y -0 DSˆz Sˆz - Sˆz -0 iii Αν y y; -, τότε a i, b Έτσι, θα έχουμε i Sˆx Re ab* Re - 0 i Sˆ y - Im ab* - Im - Sˆz a - b - 0 DSˆx Sˆx - Sˆx -0 DSˆ y Sˆ y - Sˆ y - 0 DSˆz Sˆz - Sˆz -0 9 6//07

iv Αν y y;, τότε a i, b Έτσι, παίρνουμε i Sˆx Re ab* Re 0 i Sˆ y - Im ab* - Im Sˆz a - b - 0 DSˆx Sˆx - Sˆx -0 DSˆ y Sˆ y - Sˆ y -- 0 DSˆz Sˆz - Sˆz -0 v Αν y z; -, τότε a, b 0 Έτσι, θα έχουμε Sˆx Re ab* 0 Sˆ y - Im ab* 0 Sˆz a -b DSˆx Sˆx - Sˆx DSˆ y Sˆ y - Sˆ y DSˆz - a - b Sˆx Sˆ y 0 vi Αν y z;, τότε a 0, b Έτσι, παίρνουμε Sˆx Re ab* 0 Sˆ y - Im ab* 0 Sˆz a -b 30 6//07

DSˆx Sˆx - Sˆx DSˆ y Sˆ y - Sˆ y DSˆz - a - b Sˆx Sˆ y 0 6. Η προβολή του σπιν / σε έναν τυχαίο άξονα Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις του αντίστοιχου τελεστή Συζήτηση Όπως είδαμε, η x -συνιστώσα του σπιν η προβολή του σπιν στον άξονα x περιγράφεται από τον τελεστή Sˆx, ή, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆ, από τον πίνακα S. Αντίστοιχα, η y -συνιστώσα του σπιν η x z προβολή του σπιν στον άξονα y περιγράφεται από τον τελεστή Sˆ y ή από τον πίνακα S y, και η z -συνιστώσα του σπιν περιγράφεται από τον τελεστή Sˆz ή από τον πίνακα Sz. Θέλουμε τώρα να ορίσουμε την προβολή του σπιν σε μια τυχαία διεύθυνση του χώρου, που ορίζεται από ένα μοναδιαίο διάνυσμα n. Ξέρουμε από τη διανυσματική ανάλυση ότι το εσωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος r r a με το μοναδιαίο διάνυσμα n μάς δίνει την προβολή του διανύσματος a στον άξονα στη διεύθυνση που ορίζει το διάνυσμα n. Μπορούμε, λοιπόν, να ορίσουμε την προβολή του σπιν σε μια τυχαία διεύθυνση n ως rˆ το εσωτερικό γινόμενο του τελεστή του σπιν S με το μοναδιαίο διάνυσμα n, δηλαδή rˆ Sˆn º nˆ g S όπου Sˆn είναι ο τελεστής που περιγράφει το σπιν στην τυχαία διεύθυνση n. Επειδή η προβολή του σπιν στην τυχαία διεύθυνση είναι παρατηρήσιμο μέγεθος, ο τελεστής Sˆn πρέπει να είναι ερμιτιανός τελεστής. Αν nx, n y, nz είναι οι τρεις συνιστώσες του μοναδιαίου διανύσματος n, τότε nˆ nx, ny, nz. rˆ Μπορούμε να γράψουμε τον τελεστή του σπιν S σε παρόμοια μορφή, δηλαδή σαν rˆ διάνυσμα, ως S º Sˆx, Sˆ y, Sˆz τριπλέτα. Τότε, το εσωτερικό γινόμενο γράφεται Sˆn nx Sˆx + n y Sˆ y + nz Sˆz Στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, οι τελεστές Sˆx, Sˆ y, Sˆz παριστάνονται από τους πίνακες S x, S y, S z που βρήκαμε στην ενότητα. Έτσι, στην ίδια βάση, ο τελεστής Sˆ παριστάνεται από τον πίνακα n S n nx S x + n y S y + nz S z 3 3 6//07

Επειδή οι συνιστώσες nx, n y,nz είναι βαθμωτές πραγματικές συναρτήσεις και οι S x, S y, S z σταθεροί πίνακες, είναι nx S x S x nx, ny S y S y n y, και nz S z S z nz., το εσωτερικό γινόμενο 3 είναι αντιμεταθετικό. Δείξαμε στην ενότητα ότι Sx 0 0 -i 0 0, S y i 0, και S z 0 - Έτσι, η 3 γράφεται S n nx 0 0 -i 0 + ny + nz 0 i 0 0 - nz nx + in y nx - in y - nz Sn nz nx + in y nx - in y - nz Παρατηρούμε ότι ο πίνακας S n είναι ερμιτιανός οι nx, n y, nz είναι βαθμωτές πραγματικές συναρτήσεις, όπως αναμέναμε, αφού αναπαριστά τον ερμιτιανό τελεστή Sˆn. r r r Μπορούμε τώρα να γράψουμε το μοναδιαίο διάνυσμα n ως nˆ, όπου r x, y, z r είναι το διάνυσμα θέσης και r το μέτρο του. Επομένως x y z nˆ,, r r r Σε σφαιρικές συντεταγμένες x r sin cos f y r sin sin f z r cos όπου Î [ 0, p ] είναι η πολική γωνία και f Î [ 0, p η αζιμουθιακή γωνία, το μοναδιαίο διάνυσμα n γράφεται nˆ sin cos f,sin sin f, cos nx sin cos f ny sin sin f 6 nz cos 7 Επομένως nx + in y sin cos f + i sin sin f sin cos f + i sin f sin exp if nx - in y nx + in y sin exp -if * 3 6//07

Έτσι, ο πίνακας γράφεται Sn cos sin exp -if 8 - cos sin exp if Ο πίνακας 8 αναπαριστά, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, την προβολή του σπιν στην τυχαία διεύθυνση του χώρου, που ορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα n ή, ισοδύναμα, από τις γωνίες και f. Ας βρούμε τώρα τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα S n. Η εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα S n γράφεται cos sin exp -if x x l Þ - cos sin exp if y y cos sin exp -if x l x Þ y Þ sin exp i f cos y l sin exp -if cos - x Þ 0 9 sin exp if - cos - l y x 0 x Πρέπει ¹, διαφορετικά το διάνυσμα είναι γραμμικά εξαρτημένο και y 0 y επομένως δεν μπορεί να είναι ιδιοδιάνυσμα. Έτσι, η ορίζουσα του ομογενούς συστήματος 9 πρέπει να είναι μηδέν, δηλαδή cos - l sin exp -if l l 0 Þ cos - cos - sin 0 Þ l sin exp if - cos l l l l Þ - cos cos + - sin 0 Þ cos + cos + sin 0 Þ sin +} cos l l l Þ cos - + sin 0 Þ ± Þ l ± 0Þ, οι ιδιοτιμές του πίνακα S n, επομένως και του αντίστοιχου τελεστή Sˆn είναι ±. Αυτό σημαίνει ότι η προβολή του σπιν σε έναν τυχαίο άξονα μπορεί να έχει δύο τιμές, και -, όπως στους άξονες x,y,z. Ας βρούμε τώρα τα ιδιοδιανύσματα. Για l, το σύστημα 9 γράφεται 33 6//07

sin exp -if x cos - cos - x + sin exp -if y 0 Þ 0Þ sin exp i f cos y sin exp i f x cos + y ïì cos - x + sin exp -if y 0 Þí 0 ïî sin exp if x - cos + y 0 Η ορίζουσα του ομογενούς συστήματος 0 είναι μηδέν, οπότε οι δύο εξισώσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες. Η πρώτη εξίσωση μάς δίνει cos - x + sin exp -if y 0 Þ y - cos exp if x sin Αν χρησιμοποιήσουμε τις γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες cos - sin και sin sin cos η γράφεται y sin sin cos exp if x Þ y sin exp if x cos Σημειώσεις. Για να γράψουμε τη έχουμε σιωπηλά θεωρήσει ότι sin ¹ 0, δηλαδή ¹ 0, p. Θυμίζουμε ότι Î [ 0, p ]. Θα δούμε, ωστόσο, ότι τα ιδιοδιανύσματα που θα βρούμε καλύπτουν και τις περιπτώσεις όπου 0 ή p.. Τριγωνομετρικές ταυτότητες Ξεκινάμε από τη σχέση cos a + b cos a cos b - sin a sin b 3 Για b - a, η 3 μάς δίνει cos a + - a cos a cos - a - sin a sin - a cos a + sin a 3 3 3 0 cos a - sin a cos 0, όπως πρέπει. Γι αυτό υπάρχει το μείον στο δεύτερο μέλος. Για a b, η 3 μάς δίνει cos a cos a - sin a Επίσης sin a + cos a Þ cos a - sin a Επομένως cos a - sin a Για a Þ a cos - sin Επίσης sin + cos, η τελευταία σχέση γράφεται Þ sin - cos Αν αντικαταστήσουμε στη, παίρνουμε 3 6//07

cos cos - Από τη, μπορούμε να εκφράσουμε την παράσταση - cos J συναρτήσει του ημιτόνου της γωνίας, ενώ από τη μπορούμε να εκφράσουμε την παράσταση + cos συναρτήσει του συνημιτόνου της γωνίας. Επίσης, από τη σχέση sin a + b sin a cos b + cos a sin b 6 για a b παίρνουμε sin a sin a cos a Για a Þ a sin sin cos, η τελευταία σχέση γράφεται 7 Όπως και για τη σχέση 3, μπορούμε να ελέγξουμε το πρόσημο του δευτέρου μέλους της 6 για b - a. Πράγματι, για b - a η 6 μάς δίνει sin 0 sin a cos a - cos a sin a 0, όπως πρέπει. 3. Από τη δεύτερη εξίσωση του ομογενούς συστήματος 0, sin exp if x - cos + y 0, με τη βοήθεια των και 7 παίρνουμε sin cos exp if x - cos y 0 Þ sin exp if x - cos y 0 Þ Þ y sin cos exp if x, που είναι η σχέση. Από τη σχέση, το ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S n με ιδιοτιμή γράφεται x sin exp if x cos Από τη συνθήκη κανονικοποίησης θα πάρουμε sin + cos } sin exp if x + x x + x cos cos cos sin 3 6//07

x cos Î[ 0,p ] } Þ x cos Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, x cos Έτσι, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S n με ιδιοτιμή γράφεται cos cos sin exp if cos sin exp if cos Το προηγούμενο κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα αναπαριστά, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, την ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆn με ιδιοτιμή σπιν-πάνω στον άξονα n. cos n; - 8 sin exp if Εξάλλου, επειδή cos 0 cos + sin exp if 0 sin exp if και 0 z; -, z;, 0 παίρνουμε n; - cos z; - + sin exp if z; 9 Ας βρούμε τώρα το άλλο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S n. Για l -, το σύστημα 9 γράφεται 36 6//07

sin exp -if x cos + cos + x + sin exp -if y 0 Þ 0Þ sin exp i f cos + y sin exp i f x + cos + y ïì cos + x + sin exp -if y 0 Þí 0 ïîsin exp if x + - cos + y 0 Η ορίζουσα του ομογενούς συστήματος 0 είναι μηδέν, επομένως οι δύο εξισώσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες. Η πρώτη εξίσωση μάς δίνει y- + cos exp if x sin Με τη βοήθεια των σχέσεων και 7, η γράφεται cos y- sin cos exp if x Þ y - cos sin exp if x Επομένως, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S n με ιδιοτιμή - γράφεται x cos exp if x sin Από τη συνθήκη κανονικοποίησης θα πάρουμε sin + cos } cos exp if x + x x + x Þ sin sin sin Î[0,p ] } Þ x sin Þ x sin cos Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, x sin Έτσι, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S n με ιδιοτιμή - γράφεται sin sin cos exp if sin - cos exp if sin 37 6//07

Το προηγούμενο κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα αναπαριστά, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών S και Sˆz, την ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆn με ιδιοτιμή - σπιν-κάτω στον άξονα n. sin n; - cos exp if Εξάλλου, επειδή sin 0 sin - cos exp if 0 - cos exp if και 0 z; -, z;, 0 παίρνουμε n; sin z; - - cos exp if z; 3 Ο τελεστής Sˆn είναι ερμιτιανός, επομένως οι ιδιοκαταστάσεις του, n; - και n;, πρέπει να είναι ορθογώνιες. Πράγματι, από τις 8 και παίρνουμε n; - n; cos sin sin exp -if - cos exp if cos sin - sin exp -if cos exp if 0 n; - n; 0 Σημείωση Όπως εξηγήσαμε στην ενότητα, για να υπολογίσουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο καταστάσεων, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες-στήλες που αναπαριστούν τις συγκεκριμένες καταστάσεις σε όποια βάση μάς βολεύει. Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε το εσωτερικό γινόμενο n; - n; χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 9 και 3. Πράγματι, από τη 9 βλέπουμε ότι το bra n; - είναι n; - cos z; - + sin exp -if z ; 38 6//07

Επομένως n; - n; cos z; - + sin exp -if z; sin z; - - cos exp if z; cos sin - sin exp -if cos exp if 0 όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το σύνολο { z; -, z; } είναι ορθοκανονικό. Όπως τα σύνολα { x; -, x; }, { y; -, y; }, { z; -, z; }, έτσι και το σύνολο { n; -, n; } αποτελεί ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν, και μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να αναπαραστήσουμε τους τελεστές και τις καταστάσεις του σπιν. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα τις σχέσεις 9 και 3 για να δούμε αν από τη βάση n; -, n; μπορούμε, με κατάλληλη επιλογή των γωνιών και j, να πάρουμε { } τις βάσεις { x; -, x; }, { y; -, y; }, και { z; -, z; }. i 0 Οι σχέσεις 7 μάς δίνουν nx n y 0 και nz, οπότε από τη παίρνουμε Sˆ Sˆ. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τελεστής Sˆ είναι ο τελεστής Sˆ. n z n z Οι 9 και 3 μάς δίνουν, αντίστοιχα, n; - z; n; - exp if z; exp i p + f z; Η φάση exp i p + f είναι ανεπιθύμητη γιατί εξαρτάται από την αζιμουθιακή γωνία f. Μπορούμε να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα, αν πολλαπλασιάσουμε την κατάσταση n; με τη φάση exp -i p + f. Τότε, από την 3 παίρνουμε exp -i p + f n; exp -i p + f sin - exp -if sin z; - + cos z; - - exp -i p + f cos exp if z; z; exp -i p + f n; - exp -if sin z; - + cos z; Από την, βλέπουμε ότι για 0, η κατάσταση exp -i p + f n; μάς δίνει την επιθυμητή κατάσταση z;. 39 6//07

Η κατάσταση exp -i p + f n; είναι επίσης ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆn με ιδιοτιμή -, είναι κανονικοποιημένη, αφού exp -i p + f n; exp -i p + f n;, 3 3 και είναι ορθογώνια στην κατάσταση n; -, αφού n; - exp -i p + f n; exp -i p + f n; - n; 0 3 0 Επομένως, αντί για τις καταστάσεις n; - και n;, μπορούμε να επιλέξουμε τις καταστάσεις n; - και exp -i p + f n;. Ωστόσο, η προηγούμενη παθογένεια δεν εξαφανίζεται, αφού για p η μάς δίνει exp -i p + f n; - exp -if z; - exp i p - f z; -, δηλαδή μας δίνει την επιθυμητή κατάσταση z; - πολλαπλασιασμένη με μια ανεπιθύμητη φάση που εξαρτάται από τη γωνία f. p, j 0 Οι σχέσεις 7 μάς δίνουν nx, ny nz 0, οπότε από τη παίρνουμε Sˆn Sˆx. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τελεστής Sˆn είναι ο τελεστής Sˆx. Οι 9 και 3 μάς δίνουν, αντίστοιχα, ii n; - cos n; sin p p z; - + sin z; - - cos p p exp i 0 z; z; - + z; exp i 0 z; z; - z; Όμως z; - + z; x; και z; - z; x; Θυμηθείτε ότι, στη βάση τον σπίνορα { z; -, z; }, η κατάσταση x; - αναπαρίσταται από και η κατάσταση x; από τον σπίνορα. - 0 6//07

Επομένως n; - x; n; x; iii p,j p Οι σχέσεις 7 μάς δίνουν nx 0, ny, nz 0, οπότε από τη παίρνουμε Sˆn Sˆ y. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τελεστής Sˆn είναι ο τελεστής Sˆ y. Οι 9 και 3 μάς δίνουν, αντίστοιχα, n; - cos n; sin p p z; - + sin z; - - cos p p exp i z; z; - + i z; p p exp i z; z; - - i z; Όμως z; - + i z; y; και z; - - i z; y; Θυμηθείτε ότι, στη βάση τον σπίνορα { z; -, z; }, η κατάσταση y; - αναπαρίσταται από i και η κατάσταση y; από τον σπίνορα. -i Επομένως n; - y; n; y; iv Τέλος, για p, οι σχέσεις 7 μάς δίνουν nx n y 0 και nz -. Οπότε από τη παίρνουμε Sˆ - Sˆ. Τότε, οι 9 και 3 μάς δίνουν, αντίστοιχα, n z n; - exp if z;, n; z; Η εξαρτώμενη από τη γωνία f ανεπιθύμητη φάση εμφανίζεται ξανά, αυτή τη φορά στην κατάσταση n; -. 6//07

7. Ασκήσεις συνέχεια 7 Η μέτρηση της προβολής του σπιν ενός ηλεκτρονίου στον άξονα x μάς δίνει αποτέλεσμα. Στη συνέχεια, θέλουμε να μετρήσουμε το σπιν του ηλεκτρονίου στον άξονα που βρίσκεται στο επίπεδο xy και σχηματίζει γωνία f με τον άξονα x αζιμουθιακή γωνία. Ποια είναι η πιθανότητα το αποτέλεσμα της μέτρησης να είναι - ; Τι παρατηρείτε; Λύση Αμέσως μετά τη μέτρηση, η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου είναι η ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆx με ιδιοτιμή, δηλαδή η κατάσταση x; -. Ο κανονικοποιημένος σπίνορας που αναπαριστά, στη βάση z; -, z;, την { }. Η προβολή του σπιν στον άξονα που ορίζουν η πολική και η αζιμουθιακή γωνία, και f αντίστοιχα, αναπαρίσταται, στη βάση z; -, z;, από τον πίνακα κατάσταση x; - είναι ο σπίνορας { Sn } cos sin exp -if - cos sin exp if Οι ιδιοτιμές του πίνακα S n είναι ± και τα ιδιοδιανύσματά του είναι, αντίστοιχα, cos sin και sin exp if - cos exp if Τα δύο αυτά ιδιοδιανύσματα αναπαριστούν τις ιδιοκαταστάσεις ιδιοτιμής ±, ˆ αντίστοιχα, του τελεστή S n. Ο τελεστής της προβολής του σπιν στον άξονα που βρίσκεται στο επίπεδο xy και σχηματίζει γωνία f με τον άξονα x προκύπτει αν θέσουμε ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής - p. Τότε, το p p γράφεται sin cos - exp if της προβολής του σπιν στον άξονα που θέλουμε να μετρήσουμε το σπιν του ηλεκτρονίου. Αυτός είναι ο σπίνορας που αναπαριστά την ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής - 6//07

Το πλάτος της ζητούμενης πιθανότητας είναι, επομένως, - exp -if - exp -if, - exp if και η ζητούμενη πιθανότητα είναι - exp -if - exp -if - exp if - exp if - exp -if + - exp if + exp -if - cos f 3 cosf Παρατηρήσεις i Αν f 0, η πιθανότητα μηδενίζεται. Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού τότε ο άξονας είναι ο άξονας x και ο σπίνορας γράφεται - exp i0 - Αυτός όμως είναι ο σπίνορας που αναπαριστά την κατάσταση x;, η οποία είναι κάθετη στην κατάσταση του σπιν, x; -, δηλαδή x; x; - 0 και η πιθανότητα μηδενίζεται. ii Αν f p, ο άξονας στον οποίο μετράμε την προβολή του σπιν είναι πάλι ο άξονας x, αλλά ανάποδα με αντίθετη κατεύθυνση. Τότε, ο σπίνορας γράφεται - exp ip Αυτός είναι ο σπίνορας που αναπαριστά την κατάσταση x; -, που είναι η κατάσταση του σπιν, επομένως η πιθανότητα σε αυτήν την περίπτωση είναι, αφού x; - x; -. 3 { z; -, z; } 8 Στη βάση η κατάσταση του σπιν ενός ηλεκτρονίου αναπαρίσταται από τον σπίνορα. Αν μετρήσουμε τον τελεστή Tˆ 3Sˆx + Sˆ y, ποια είναι τα πιθανά αποτελέσματα της μέτρησης και ποιες οι αντίστοιχες πιθανότητες; Λύση Ο σπίνορας είναι κανονικοποιημένος, αφού 3 6//07

+ Στη βάση { z; -, z; }, ο τελεστής Sˆx αναπαρίσταται από τον πίνακα 0 0 -i ˆ 0 και ο τελεστής S y αναπαρίσταται από τον πίνακα S y i 0. ˆ Έτσι, ο τελεστής T αναπαρίσταται από τον πίνακα Sx 3 - i 0 0 -i 0 T 3 +, 0 i 0 0 3 + i 0 δηλαδή T 3 - i 0 3 + i 0 0 Τα πιθανά αποτελέσματα μιας μέτρησης του τελεστή Tˆ είναι οι ιδιοτιμές του, που ταυτίζονται με τις ιδιοτιμές του πίνακα T που αναπαριστά τον τελεστή στη συγκεκριμένη βάση. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα T είναι det T - l I -l 3 - i 0 3 + i 0 -l l l - 00 l - 3 + i 3 - i l - 9 + 6 0 0 Οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του, δηλαδή l, ± Για l, η εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα T γράφεται 3 - i x 0-3 - i x 0-0 Þ Þ y 0 y 0 3 + i - 3 + i 0 - x + 3 - i y 0 Þ 3 + i x - y 0 Επομένως -x + 3 - i y 0 6//07

3 + i x - y 0 3 Από τη 3 παίρνουμε y 3 + i x Αν αντικαταστήσουμε στη, θα πάρουμε - x + 3 - i 3 + i x 0 Þ - + 9 + 6 x 0 Þ 0 0 3, οι και 3 είναι γραμμικά εξαρτημένες, όπως πρέπει για να υπάρχει μη τετριμμένο ιδιοδιάνυσμα. Το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το x x 3 + i x 3 + i Με κανονικοποίηση παίρνουμε x + 3 - i 3 + i x 3 - i 3 + i x + 9 + 6 x x Þ x Αν παραλείψουμε τη σταθερή φάση, x. Έτσι, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής του πίνακα T είναι το 3 + i Ο σπίνορας αναπαριστά, στη βάση του τελεστή Tˆ. Ο σπίνορας γράφεται { z; -, z; }, την ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής 6//07

+ 3 + i 0 3 + i 0 Ο σπίνορας αναπαριστά την κατάσταση z; -, αφού 0 z ; - z; - + 0 z; 0 Ομοίως, ο σπίνορας αναπαριστά την κατάσταση z;, αφού z ; 0 z; - + z; Επομένως, ο σπίνορας αναπαριστά την κατάσταση z; - + 3 + i z; Η είναι, λοιπόν, η ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής του τελεστή Tˆ. Για l -, η εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα T γράφεται 3 - i x 0 3 - i x 0 0 Þ Þ 3 + i y 0 3 + i y 0 0 x + 3 - i y 0 Þ 3 + i x + y 0 Επομένως x+ 3 - i y 0 6 3 + i x + y 0 7 Από την 7 παίρνουμε y- 3 + i x Αν αντικαταστήσουμε στην 6, θα πάρουμε - 3 - i 3 + i x 0 Þ 0 0 3 9+6 6 6//07

, οι 6 και 7 είναι γραμμικά εξαρτημένες, όπως πρέπει για να υπάρχει μη τετριμμένο ιδιοδιάνυσμα. Το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το x x - 3 + i x - 3 + i Με κανονικοποίηση παίρνουμε x + - 3 - i - 3 + i x + 9 + 6 x Επομένως, αν παραλείψουμε τη σταθερή φάση, x Το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής -. του πίνακα T είναι το 8 3 + i και αναπαριστά την κατάσταση z; - - 3 + i z; 9 του τελεστή Tˆ. Παρατηρήστε ότι τα ιδιοδιανύσματα και 8 ισοδύναμα, οι ιδιοκαταστάσεις και 9 είναι κάθετα κάθετες, αφού που είναι η ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής - - 3 - i - 3 + i 3 + i 3 + i - 3 - i 3 + i - 9 + 6-0 Αυτό οφείλεται στο ότι ο πίνακας T ισοδύναμα, ο τελεστής Tˆ είναι ερμιτιανός, όπως εύκολα μπορούμε να δούμε. Το πλάτος της πιθανότητας η μέτρηση να δώσει αποτέλεσμα είναι το εσωτερικό γινόμενο του σπίνορα ισοδύναμα της ιδιοκατάστασης με τον σπίνορα z; - + z;, που αναπαριστά ο ισοδύναμα, με την κατάσταση σπίνορας. 7 6//07

Έτσι, λοιπόν, το πλάτος της πιθανότητας να μετρήσουμε ως τιμή του τελεστή Tˆ είναι 3 - i + 3 - i 3 + i 0 0 Η αντίστοιχη πιθανότητα είναι + 3 - i + 3 - i + 3 + i 0 0 + 3 + i + 3 - i + 3 - i 3 + i 0 37 37 + 3 + i + 3 - i + 9 + 6 + 6 + + 0 0 0 0 0 37 ως τιμή του τελεστή Tˆ είναι. 0 Με το ίδιο σκεπτικό, η πιθανότητα να μετρήσουμε την ιδιοτιμή - είναι, η πιθανότητα να μετρήσουμε - 3 + i - 3 - i 0-3 - i - 3 - i - 3 + i 0 0-3 + i - 3 - i + 3 - i 3 + i 0 3 3 3-3 + i + 3 - i - 6-0 0 0 0 0, η πιθανότητα να μετρήσουμε - 3 ως τιμή του τελεστή Tˆ είναι. 0 Το άθροισμα των δύο πιθανοτήτων είναι 37 3 0 +, 0 0 0 όπως πρέπει, αφού δεν υπάρχει άλλο αποτέλεσμα μέτρησης, παρά μόνο 8 ή-. 6//07

9 Μια τυχαία κατάσταση του σπιν ενός ηλεκτρονίου γράφεται, στη βάση z; -, z;, y a z; - + b z;, όπου a, b μιγαδικοί αριθμοί, και { } a + b ώστε η κατάσταση να είναι κανονικοποιημένη. Μετράμε το σπιν του ηλεκτρονίου πρώτα στον άξονα x και ακολούθως στον άξονα z. i Υπολογίστε την πιθανότητα και η η και η η μέτρηση να δώσουν αποτέλεσμα. ii Ποια σχέση πρέπει να έχουν οι συντελεστές a, b ώστε η πιθανότητα να μην εξαρτάται από αυτούς. Πόση είναι τότε η πιθανότητα; Λύση i Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου η η μέτρηση να δώσει αποτέλεσμα και η η μέτρηση να δώσει αποτέλεσμα. η μέτρηση Η κατάσταση όπου το σπιν στον άξονα x είναι είναι η ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆx με ιδιοτιμή, δηλαδή η κατάσταση x; -, η οποία στη βάση z; -, z; γράφεται { x; - z; - + z ; } Αντί να θυμάστε την προηγούμενη σχέση, μπορείτε να θυμάστε ότι το ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής του πίνακα S x είναι το Το πλάτος της πιθανότητας η η μέτρηση να δώσει αποτέλεσμα x; - y z; - + z; είναι a z; - + b z; a +b x; - y a+b Επομένως, η πιθανότητα η η μέτρηση να δώσει αποτέλεσμα 9 είναι 6//07

* * * a+b a + b a + b a + b a* + b* a + b a + b ab Re ab 6 7 8 ab +6 7 8 * + Re ab* a + b + ab + a*b + Re ab* * * * * η μέτρηση Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα και η η μέτρηση να δώσει αποτέλεσμα. Αν το αποτέλεσμα της ης μέτρησης είναι, τότε μετά την η μέτρηση, η κατάσταση του σπιν είναι η ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής του τελεστή Sˆx, δηλαδή η z; - + z;, και αυτή είναι η κατάσταση του σπιν όταν κατάσταση x; - γίνεται η η μέτρηση. Επομένως, το πλάτος της πιθανότητας και η η μέτρηση να δώσει αποτέλεσμα είναι z; - x; -, και η αντίστοιχη πιθανότητα είναι, επομένως,. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι το γινόμενο των δύο πιθανοτήτων, δηλαδή + Re ab*. ii Για να μην εξαρτάται η προηγούμενη πιθανότητα από τους συντελεστές a και b, θα πρέπει Re ab* 0, και τότε η πιθανότητα γίνεται ή %. Ας δούμε πότε συμβαίνει αυτό. Είναι a a exp ifa b b exp ifb με a + b Οπότε Re ab* Re a b exp i fa - fb a b cos fa - fb Re ab* a b cos fa - fb Επομένως, θα πρέπει Re ab* 0 Þ a 0 ή b 0 ή cos fa - fb 0 Όμως a 0Þa0 0 6//07

b 0Þb0 Επειδή πρέπει a + b, όταν ο ένας από τους δύο συντελεστές είναι μηδέν, ο άλλος είναι αναγκαστικά ένα. Και cos fa - fb 0 Þ { cos - cos p fa - fb n +, με n Î Επομένως, η πιθανότητα είναι ανεξάρτητη από του συντελεστές του αναπτύγματος της αρχικής κατάστασης του σπιν δηλαδή της κατάστασης του σπιν πριν από την η μέτρηση αν ο ένας από τους δύο συντελεστές είναι μηδέν ή αν η διαφορά φάσης των δύο συντελεστών είναι, κατ απόλυτη τιμή, n + p. 0 Κάνουμε δύο διαδοχικές μετρήσεις της προβολής του σπιν ενός ηλεκτρονίου σε δύο διαφορετικούς από τους άξονες xyz. Όπως γνωρίζουμε, οι τιμές της προβολής του σπιν σε κάθε έναν από τους άξονες είναι ±, επομένως αυτά είναι τα δύο δυνατά αποτελέσματα της κάθε μέτρησης. Ποιες είναι οι αντίστοιχες πιθανότητες για τη η μέτρηση; Λύση Μετά την η μέτρηση, η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου είναι μία από τις δύο ιδιοκαταστάσεις της προβολής του σπιν στον άξονα που έγινε η μέτρηση. Τότε, όπως έχουμε δείξει, οι πιθανότητες μέτρησης των δύο δυνατών τιμών της προβολής του σπιν στους δύο άλλους άξονες είναι ίσες, δηλαδή ή 0% η κάθε μία. Για τον ίδιο λόγο, αν κάνουμε n διαδοχικές μετρήσεις της προβολής του σπιν στους άξονες xyz, όπου κάθε δύο διαδοχικές μετρήσεις γίνονται σε διαφορετικούς άξονες, τότε οι πιθανότητες όλων των μετρήσεων πλην της ης είναι ή 0% η κάθε μία! Η μέτρηση της προβολής του σπιν ενός ηλεκτρονίου στον άξονα x μάς δίνει αποτέλεσμα -. Στη συνέχεια μετράμε την προβολή του σπιν στην r κατεύθυνση που ορίζει το διάνυσμα n 3, 0,. Ποια είναι τα πιθανά αποτελέσματα της μέτρησης και ποιες οι αντίστοιχες πιθανότητες; Λύση Αμέσως μετά την η μέτρηση, η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου είναι η ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆx με ιδιοτιμή -, δηλαδή η κατάσταση x;. 6//07

Στη βάση { z; -, z; }, ο τελεστής Sˆx αναπαρίσταται από τον πίνακα 0, και η κατάσταση x; αναπαρίσταται από το ιδιοδιάνυσμα 0 σπίνορα ιδιοτιμής - του προηγούμενου πίνακα, που είναι το. - Sx Όταν γίνεται η η μέτρηση, η κατάσταση του σπιν είναι η κατάσταση x;, που. - r Το μέτρο του διανύσματος n είναι r r n n 3, 0, 3, 0, 9 + 6 αναπαρίσταται από τον σπίνορα r Επομένως, το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση που ορίζει το διάνυσμα n είναι 3 nˆ, 0, r Η προβολή του σπιν στον άξονα που ορίζει το διάνυσμα n είναι rˆ 3 3 Sˆn º nˆ S, 0, Sˆx, Sˆ y, Sˆz Sˆx + Sˆz 3Sˆx + Sˆz Sˆn 3Sˆx + Sˆz Στη βάση Sn { z; -, z; }, ο προηγούμενος τελεστής αναπαρίσταται από τον πίνακα 0 0 3 3S x + S z 3 + 0 0-0 3 - Sn 3 0 3 - Παρατηρήστε ότι ο πίνακας είναι ερμιτιανός, όπως πρέπει, αφού αναπαριστά τον ερμιτιανό τελεστή Sˆn. Τα πιθανά αποτελέσματα της ης μέτρησης είναι οι ιδιοτιμές του αντίστοιχου τελεστή, Sˆn, που ξέρουμε ότι είναι ±, αλλά ας το επιβεβαιώσουμε για να κάνουμε έναν έλεγχο των πράξεων μας. Οι ιδιοτιμές του τελεστή Sˆn ταυτίζονται με τις ιδιοτιμές του πίνακα. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι 6//07

-l 0 det S n - l I 3 0 3 3 0 - l - - l - 0 0 0 - -l 0 3 3 - + l - l - + l - 0 0 0 03 +3 0 0 0 Οι ιδιοτιμές του πίνακα S n είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του, δηλαδή l, ± Θα βρούμε τώρα τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα S n, τα οποία αναπαριστούν, στη βάση z; -, z;, τις αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Sˆ. { Για l } n, η εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα S n γράφεται x x 3 x x 3 x x Sn Þ Þ Þ y y 0 3 - y y 3 - y y 3 x x - 3 x 0 - x + 3 y 0 Þ Þ Þ 3 - y y 3-9 y 0 3x - 9 y 0 Επομένως -x + 3y 0 3x - 9 y 0 Αν πολλαπλασιάσουμε την η εξίσωση με -3, παίρνουμε τη η, δηλαδή οι εξισώσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες, όπως πρέπει για να υπάρχει μη τετριμμένο ιδιοδιάνυσμα. Από την η εξίσωση παίρνουμε x 3y 3y Επομένως, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το y οποίο με κανονικοποίηση παίρνουμε y 9 + 0 y Þ y 3 y, από το 0 3 6//07

Με δεδομένη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, μπορούμε να παραλείψουμε τη σταθερή φάση του μιγαδικού συντελεστή y, και τότε το 3 κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής του πίνακα S n είναι το. 0 Το άλλο ιδιοδιάνυσμα, με ιδιοτιμή -, πρέπει να είναι κάθετο στο προηγούμενο, αφού ο πίνακας S n είναι ερμιτιανός. Έτσι, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής - του πίνακα S n είναι το. 0-3 Πράγματι 3 - -3 3 - -3-3 0 0 0-3 0 0 0 0 0 Sn Και 0-3 -3 + 9 0-3 0-3 0 Έχοντας υπολογίσει τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα S n και τον σπίνορα που αναπαριστά την κατάσταση του σπιν πριν τη η μέτρηση, μπορούμε να υπολογίσουμε τις ζητούμενες πιθανότητες. Το πλάτος της πιθανότητας η η μέτρηση να δώσει αποτέλεσμα είναι 3 3 3-0 - 0 - Η πιθανότητα είναι, επομένως, ή 0% Το πλάτος της πιθανότητας η η μέτρηση να δώσει αποτέλεσμα - είναι -3 + 3 0-0 -3 - Η πιθανότητα είναι, επομένως, ή 80% Παρατηρήστε ότι το άθροισμα των δύο πιθανοτήτων είναι, όπως πρέπει. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@otmail.com 6//07