Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. spiroskonstantogiannis@gmail.com Δεκεμβρίου 07 //07
Coprigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 07. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Επιτρέπεται μόνο η μη εμπορική χρήση περιεχομένου από το παρόν έγγραφο, με την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. //07
Εισαγωγή Για μια δέσμια ιδιοκατάσταση της ενέργειας, εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό Fourier στη χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Scrödinger για να βρούμε μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών, και διερευνούμε τα δύο ανώμαλα σημεία που προκύπτουν. Στη συνέχεια, γενικεύουμε την προηγούμενη έκφραση για μια δέσμια κατάσταση. Λέξεις-Κλειδιά: χώρος ορμών, κυματοσυνάρτηση στον χώρο των ορμών, μετασχηματισμός Fourier της κυματοσυνάρτησης, μετασχηματισμός Fourier της εξίσωσης του Scrödinger, δέσμιες καταστάσεις, ανώμαλα σημεία, πόλοι 3 //07
Η έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών όπως προκύπτει με την εφαρμογή μετασχηματισμού Fourier στη χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Scrödinger για μια δέσμια ιδιοκατάσταση Ανώμαλα σημεία Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Scrödinger για ένα σωμάτιο μάζας m σε χρονοανεξάρτητο δυναμικό V x γράφεται, όπως γνωρίζουμε, x + m - V x x 0 όπου x είναι η ιδιοσυνάρτηση ενέργειας, στον χώρο των θέσεων, είναι δηλαδή η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει την ιδιοκατάσταση της ενέργειας, την οποία θα θεωρήσουμε δέσμια. Ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης στο αριστερό μέλος της ισούται με μηδέν, οπότε p m æ ö x + - V x x 0 øè ø - Αν θεωρήσουμε ότι υπάρχουν οι μετασχηματισμοί Fourier της ιδιοσυνάρτησης x, της ης παραγώγου της, και του γινομένου V x x που θα συμβολίσουμε με V%% p, η προηγούμενη εξίσωση γράφεται p m m % x + % p - V% p 0 ø -. Η ύπαρξη του μετασχηματισμού Fourier εξασφαλίζεται από τις συνθήκες Diriclet []. Ο μετασχηματισμός Fourier μιας μη περιοδικής συνάρτησης f x υπάρχει αν i. Η f x είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη στο, δηλαδή ò dx f x < - ii. Η f x έχει πεπερασμένο πλήθος σημείων ασυνέχειας και οι ασυνέχειές της είναι επίσης πεπερασμένες. iii. Σε οποιοδήποτε πεπερασμένο διάστημα, η f x έχει πεπερασμένη μεταβολή, δηλαδή δεν απειρίζεται [].. Αν υπάρχει και ο μετασχηματισμός Fourier του δυναμικού, τότε ο μετασχηματισμός Fourier του γινομένου V x x ισούται με τη συνέλιξη των μετασχηματισμών Fourier των δύο συναρτήσεων επί τη σταθερά V%% p p, δηλαδή p ò dwv% w% p - w - 4 //07
Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα x, θα κάνουμε δύο ø - φορές παραγοντική ολοκλήρωση και θα χρησιμοποιήσουμε ότι η ιδιοκατάσταση είναι δέσμια, που σημαίνει ότι, στο άπειρο, μηδενίζεται η πυκνότητα και το ρεύμα πιθανότητας, επομένως θα πρέπει, στο άπειρο, να μηδενίζεται η ιδιοσυνάρτηση και η παράγωγός της, δηλαδή θα πρέπει ± 0 και ± 0. Με παραγοντική ολοκλήρωση, το ολοκλήρωμα x γράφεται ø - ip ò- dx exp è - ø x exp è - ø x - + - ø x Επειδή ± 0 και η συνάρτηση exp είναι φραγμένη, αφού exp, είναι exp - x 0, επομένως è ø - ip ò- dx exp è - ø x - ø x Κάνουμε πάλι παραγοντική ολοκλήρωση και παίρνουμε ö ip æ ip dx exp x exp x + dx exp x ò ò è - - - ø Επειδή ± 0 και η συνάρτηση exp είναι φραγμένη, είναι exp x 0, επομένως - p æ ip ö ò- dx exp è - ø x è ø - ø x - p % p 444 44444 3 p % p Δηλαδή p p dx exp x % p ò- Οπότε η γράφεται p m m % m æ p ö m % % % % p + p V p 0 Þ % p - V% p 0 Þ è m ø æ p ö % Þ % p V% p m è ø - 5 //07
Επομένως % p V%% p 3 p m dx exp V x x. ò p - Η 3 είναι μια έκφραση της κυματοσυνάρτησης % p, που περιγράφει, στον χώρο όπου V%% p των ορμών, τη δέσμια ιδιοκατάσταση της ενέργειας σωματίου μάζας m σε χρονοανεξάρτητο δυναμικό V x. Προϋπόθεση για να ισχύει η 3 είναι να υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier V%% p *. * Για παράδειγμα, ο μετασχηματισμός Fourier V%% p δεν μπορεί να οριστεί για το απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού, όπως δεν μπορεί να οριστεί και για το δυναμικό ì l ï-, x > 0 V x í x, που είναι μια από τις μορφές του μονοδιάστατου ατόμου του ï, x 0 î υδρογόνου. Αντίθετα, για το ελκτικό δυναμικό δέλτα V x - l d x, μπορούμε να ορίσουμε τον μετασχηματισμό Fourier V%% p, αφού το ολοκλήρωμα της συνάρτησης δέλτα με μια «κανονική» συνάρτηση ορίζεται. Επιπρόσθετα, μπορούμε να ορίσουμε τον μετασχηματισμό Fourier V%% p και για το πολλαπλό ελκτικό δυναμικό δέλτα V x N å l d x - x, όπου l n n n n < 0, και να τον χρησιμοποιήσουμε για να υπολογίσουμε την εξίσωση των δέσμιων ενεργειών του δυναμικού [3]. Από την 3, βλέπουμε ότι η % p έχει ανώμαλα σημεία στις ορμές που p ικανοποιούν την κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου,, m όπου είναι η ενέργεια της ιδιοκατάστασης. Η ιδιοκατάσταση είναι δέσμια, επομένως το μέτρο της είναι πεπερασμένο, δηλαδή <, και επειδή [4] ò dx x - ò dp % p, - το ολοκλήρωμα ò dp % p πρέπει να είναι πεπερασμένο, με άλλα λόγια η % p - πρέπει να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη όπως και η x. 6 //07
Αν η ενέργεια της δέσμιας ιδιοκατάστασης είναι αρνητική, από τη σχέση p βλέπουμε ότι η % p έχει ανώμαλα σημεία στις συζυγείς φανταστικές m ορμές p ± i m, που δεν ανήκουν στο διάστημα ολοκλήρωσης -,, επομένως δεν επηρεάζουν την τετραγωνική ολοκληρωσιμότητα της % p ακόμα και αν είναι πόλοι της. Αντίθετα, αν η ενέργεια της δέσμιας ιδιοκατάστασης είναι θετική ή μηδέν, από τη σχέση p βλέπουμε ότι η % p έχει ανώμαλα σημεία στις πραγματικές m ορμές p ± m, που ανήκουν στο διάστημα ολοκλήρωσης, επομένως πρέπει να είναι αιρόμενα ανώμαλα σημεία, ώστε να υπάρχουν τα όρια lim % p και να είναι p ± m πεπερασμένα, και αν ορίσουμε % m º lim % p και % - m º p m lim % p, p - m η % p να είναι συνεχής στα δύο αυτά σημεία για να μπορούμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα ò dp % p. - Έτσι, σε μια ιδιοκατάσταση αρνητικής ενέργειας, οι συζυγείς φανταστικές ορμές p ± i m μπορούν να είναι πόλοι της % p, ενώ σε μια ιδιοκατάσταση θετικής ή μηδενικής ενέργειας, οι πραγματικές ορμές p ± m μπορούν να είναι μόνο αιρόμενα ανώμαλα σημεία της % p. Η έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Αν τώρα θεωρήσουμε μια δέσμια κατάσταση, αυτή μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός δέσμιων ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας, επομένως, εφόσον το ενεργειακό φάσμα των δέσμιων ιδιοκαταστάσεων είναι διακριτό, å cn n όπου { } n είναι το σύνολο των δέσμιων ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας. Αν προβάλλουμε το αριστερό και το δεξιό μέλος του προηγούμενου αναπτύγματος σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση p της ορμής, θα πάρουμε 7 //07
æ ö p p å cn n å p cn n å cn p n è ø Δηλαδή p å cn p n Όμως, p % p είναι η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει την κατάσταση στον χώρο των ορμών, και στον χώρο των ορμών. Έτσι, η γράφεται p n % n p είναι η ιδιοσυνάρτηση ενέργειας n % p å cn% n p n 0 Με τη βοήθεια της σχέσης 3 της προηγούμενης ενότητας, η τελευταία σχέση γράφεται cnv%% n p p n m % p å με την προϋπόθεση ότι υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier V%% n p p V x n x. ø - Από τη, βλέπουμε ότι η % p έχει ανώμαλα σημεία στις ορμές που ικανοποιούν p, για κάθε m ενέργεια n ιδιοκατάστασης που «συμμετέχει» στο ανάπτυγμα της κατάστασης, την κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου, n οπότε το αντίστοιχο πλάτος cn είναι μη μηδενικό. Αναφορές [] ttp://matworld.wolfram.com/diricletfourierseriesconditions.tml [] ttp://www.csd.uoc.gr/~5/current/notes05/cap4.pdf [3] Spiros Konstantogiannis, Derivation of te bound-state energ equation for te d attractive multiple N delta potential using te Fourier transform of te TIS Application to te simple N, double N, and triple N3 delta potential, and examination of limiting cases, 9 Marc 07, ttps://www.academia.edu/3463/derivation_of_te_boundstate_energ_equation_for_te_d_attractive_multiple_n_delta_potential_using_te_fourier_transform_of_te_tis_ Application_to_te_simple_N double_n and_triple_n_3_delta_potential_and_ examination_of_limiting_cases 8 //07
[4] Σπύρος Κωνσταντογιάννης, Μια γεωμετρική παρουσίαση των αναπαραστάσεων θέσης και ορμής στην κβαντική μηχανική, 30 Νοεμβρίου 07, ttps://q4quantum.wordpress.com/05/08/0/%ce%b7%ce%ba%cf%85%ce%bc%ce%b%cf%84%ce%bf%cf%83%cf%85%ce%bd%ce%b %cf%8%cf%84%ce%b7%cf%83%ce%b7-%cf%83%cf%84%ce%b7%ce%bd%ce%b%ce%bd%ce%b%cf%80%ce%b%cf%8%ce%b%cf%83%cf%84%ce%b %cf%83%ce%b7/ 9 //07