9 aprilie 008 Clasa a III-a I (4p)) Ce număr are suma cifrelor 9 şi succesorul său suma cifrelor? (5p)) Am pe o masă cartonaşe pe care sunt scrise numerele de la la 4 inclusiv, câte un număr, o singură dată, pe fiecare cartonaş Care este numărul maxim de cartonaşe pe care le putem lua, pentru ca suma lor să fie 57? Dar numărul minim? II (4p)a) AflaŃi toate numerele naturale care împărńite la 6 dau câtul 9 şi restul mai mare decât (5p)b) RezolvaŃi: ( + 4+ 6+ + 00 5 99) : (+ 4+ 6+ 8+ 0 5 7 9) III (9p) Tatăl a copii are 7 de ani Al doilea copil e mai mare decât primul cu an Al treilea copil e mai mare decât al doilea cu ani Peste 7 ani, tatăl va avea vârsta egală cu suma vârstelor celor copii Care e vârsta copiilor? IV (9p) Flămânzilă avea de 5 ori mai multe cornuri decât pâini Mănâncă 5 cornuri si mai cumpără pâini Acum numărul cornurilor devine de ori mai mare decât numărul pâinilor Câte cornuri şi câte pâini a avut Flămânzilă la început? Notă: Timp de lucru: ore Toate Subiectele sunt obligatorii La fiecare subiect se acordă punct din oficiu
9 aprilie 008 Clasa a IV-a I (5p)) a,b şi c sunt numere naturale AflaŃi valorile lor din egalităńile: 500 : ( b 5) a ( a+ 86) : 6 7 rest 4 c : ( a 50) ( b 0) rest 45 (4p)) AflaŃi două numere naturale consecutive care micşorate fiecare dintre ele cu acelaşi număr a dau ca sumă 70, iar mărite fiecare dintre ele cu acelaşi număr a dau ca sumă numarul 78 II Fie numărul A 0000000000 (4p)a) Dacă cifra apare de 008 ori în A, de câte ori apare cifra 0? (5p)b) De câte ori apare cifra 0 în scrierea lui A dacă A are 60 de cifre? III (4p)) GăsiŃi numerele de forma xyz care adunate cu produsul şi cu suma cifrelor lor, dau (5p)) Elena avea de rezolvat un număr de probleme şi îşi calculează că dacă ar rezolva într-un anumit ritm, le-ar termina in 5 zile Dacă ar rezolva câte 4 probleme în plus pe zi le-ar termina în 0 zile Câte probleme are Elena de rezolvat? IV (9p) De-a lungul unei alei sunt 6 de pomi fructiferi Numărul fructelor din oricare doi pomi vecini diferă cu,, 5, 7 sau 9 fructe Dacă se culeg toate fructele din tońi pomii, este posibil ca numărul total al fructelor sa fie 006 Justificati răspunsul Notă: Timp de lucru: ore Toate Subiectele sunt obligatorii La fiecare subiect se acordă punct din oficiu
9 aprilie 008 Clasa a V-a I(4p)) Dacă a,+,+,+ +, 9 a,+,+,+ +,9 a,+,+,+,9 + Atunci a ( a + ) : a ) Fiind dată mulńimea A { x x Ν,< x< 5 } să se arate că: (p) a) Există 4 submulńimi ale mulńimii A, disjuncte două câte două, fiecare fiind formată din două elemente, iar suma celor două elemente să fie pătrat perfect (p) b) Elementele mulńimii A nu pot fi aranjate pe un cerc astfel încât suma oricăror două numere vecine să fie pătrat perfect Ştefan Smarandache II(4p) ) ArătaŃi că nici unul din numerele: 7, 07,007,0007 nu este pătrat perfect (5p) ) DemonstraŃi că divide abcd dacă şi numai dacă divide ( ab + cd+ a+ 7b) Vasile Tarciniu Vasile Tarciniu III(4p)) Să se demonstreze că pentru orice a b + b a a, b Ν este adevarată inegalitatea: ab mn (5p)) Să se demonstreze că dacă fractiile ireductibile şi au suma un număr cd pq natural atunci fracńiile p c şi a q sunt echivalente Ion NeaŃă, Ion Burcă IV(9p) Să se afle numărul maxim de termeni ai unui şir crescător de numere naturale de trei cifre, ştiind că şirul răsturnatelor acestor numere este un şir descrescător Traian Preda Notă: Timp de lucru: ore şi 0 de minute Toate subiectele sunt obligatorii La fiecare problemă se acordă punct din oficiu
9 aprilie 008 Clasa a VI-a I(4p)) Suma a două numere naturale este 007 Dacă împărńim numărul mai mare la numărul mai mic obńinem restul AflaŃi cele două numere Vasile Tarciniu m n p (5p)) Fie a + + : + + unde n+ p m+ p m+ n n+ p m+ p m+ n m+ n+ p m,(); n,() şi p 005,(5) Să se arate că a este un număr natural Liviu Oprişescu II(4p)) AflaŃi xy ştiind că (5p)) AflaŃi xyz ştiind că xy+ x yx+ y 7 9 xyz yzx zxy 68 48 86 Damian Marinescu III Fie şirul de numere naturale:,,, 5, 8,,, (p)a) Să se scrie următorii termeni ai şirului; (p)b) Să se arate că suma primilor 007 termeni ai şirului este un număr par (4p)c) Să se arate că oricum alegem 8 termeni consecutivi ai şirului, suma acestora nu este termen al şirului Liviu Oprişescu IV(9p) Fie ABC un triunghi oarecare şi punctele M,N,P pe laturile BC, AC, respectiv AB, astfel încât M este mijlocul laturii BC Să se arate că dacă există trei triunghiuri congruente, cu vârfurile {A, P, N}, {B, P, M} respectiv {C, M, N} atunci punctele N şi P reprezintă mijloacele laturilor AC respectiv AB (Se o cunoaşte faptul că în orice triunghi, suma unghiurilor triunghiului este 80 ) Traian Preda Notă: Timp de lucru: ore şi 0 de minute Toate problemele sunt obligatorii La fiecare problemă se acorda punct din oficiu 4
9 aprilie 008 Clasa a VII-a I(4p)) Fie n Ν DeterminaŃi cel mai mic număr n pentru care numărul n+ 4n+ 6n+ + 008n Ν 50 (5p)) DeterminaŃi numărul x din relańia: x 0 + + + + + 8+ 80 Cristina Godeanu-Matei II) Fie n Ν ArătaŃi că: (p) i) Numerele 4 n n + şi 8 n 4 n + sunt relativ prime; (p)ii) Cel mai mare divizor comun al numerelor n + n + şi 6 n + 4 n + este 4 n + n + Alexandru Szörös )(p) ArătaŃi că există numerele n, n,, n007 Ν astfel încât numărul n n n007 + + + să fie divizibil cu 007 Gheorghe Stoica III(9p) Fie triunghiul oarecare ABC, AC>AB, [AD] este bisectoarea unghiului BAC, D (BC), BE AD şi CF AD, M mijlocul lui [AB], N mijlocul lui [AC] Să se arate că dreptele ME, BC şi NF sunt concurente Ion NeaŃă IV(4p)a) Fie AOB un unghi obtuz şi punctele A, A ( OA şi B, B ( OB Să se arate Că dacă A B A B atunci [ A B ] [ A B ] O/ (5p)b) Fie XOY, YOZ, ZOX trei unghiuri obtuze, adiacente două câte două şi punctele A, A ( OX ; B, B ( OY; C, C ( OZ astfel încât A BC A BC Să se demonstreze că punctele A şi A, B şi B, C şi C coincid Traian Preda Notă: Timp de lucru: ore Toate Subiectele sunt obligatorii La fiecare subiect se acordă punct din oficiu 5
9 aprilie 008 Clasa a VIII-a I(4p)) Ştiind că numerele rańionale pozitive x şi y verifică simultan condińiile: a) 6( x y) + 9y 7xy ; x+ 5y b) este număr rańional; 0x+ y x y Să se afle valoarea raportului 5x+ y Ion NeaŃă, Ion Burcă (5p)) Fie x, y R cu proprietatea că [x][y] ArătaŃi că x y < (unde prin [x] am notat partea întreaga a numărului real x) Alexandru Szörös II ) DemonstraŃi inegalităńile: x y (p)a) + x+ y, unde x>0, y>0 y x ( a+ b) ( b+ c) ( c+ a) (p)b) + + 8( a+ b+ c) c a b (p) ) ArătaŃi că dacă a, b, c (0, ) şi a b+ b c+ c a, atunci a b c ( a+ a + ) ( b+ b + ) ( c+ c + ) Nicolae Papacu Gheorghe Stoica III(9p) Se consideră piramida VABC, G centrul de greutate al triunghiului ABC şi A,B,C mijloacele muchiilor [BC], [CA],[AB] ArătaŃi că dacă VG ( ABC), VA VA', VB VB' şi VC VC' atunci piramida VABC este regulată Gheorghe Stoica IV Fie VABC o piramidă cu vârful în V Triunghiul MNP se numeşte înscris în piramida VABC dacă M ( VA), N ( VB), P ( VC) (4p)a) Să se arate că dacă VA VB VC atunci orice două triunghiuri MNP şi M NP înscrise în piramidă şi care sunt echivalente (de arii egale) se vor intersecta (5p)b) Să se arate că dacă VABC este o piramidă regulată cu sin( ( VA,( VBC)) < atunci există 4 două triunghiuri înscrise în piramida VABC care sunt echivalente şi nu se intersectează Traian Preda Notă: Timp de lucru: ore Toate Subiectele sunt obligatorii La fiecare subiect se acordă punct din oficiu 6
9 aprilie 008 Clasa a IX-a I(9p) Fie M un punct pe cercul circumscris triunghiului ABC, diferit de vârfurile triunghiului Dacă H, H H sunt ortocentrele triunghiurilor MBC, MAC, MAB, atunci triunghiurile ABC şi, H H H sunt congruente şi au laturile paralele Nicolae Papacu IISe consideră funcńia f : R R, f ( x) + x x (p)a) Să se calculeze f o f (p)b) Să se rezolve ecuańia: ( f o f o f )( x) (p)c) Să se demonstreze că dacă x, y, z sunt numere reale cu proprietatea că x + y + z atunci f ( x) + f ( y) + f ( z) I V Maftei, Marius Rădulescu III(9p) Fie x 0, π Să se demonstreze că dacă 4 [ ( cos x+ sin x) ] [ n ] n IV Să se demonstreze că: 69 (p)) sin x + sin x <, x R 96 4 (p)) sin x sin x, x R 9 (p)) cos x + cos x, x R n,,, atunci cos x sin x Marius Drăgan Sorin Rădulescu Notă: Timp de lucru: ore Toate Subiectele sunt obligatorii La fiecare subiect se acordă punct din oficiu 7
9 aprilie 008 Clasa a X-a I Să se rezolve următoarele ecuańii trigonometrice: (5p)a) sin x + cos x 4 4 5 5 (4p)b) sin x+ cos x sin x+ cos x Georgeta Alexandrescu, LenuŃa Pîrlog x x II(9p) RezolvaŃi ecuańia: 4 + (4x ) + x x+ 0 0 III Să considerăm numerele complexe z, z, z cu următoarele proprietăńi: ) z z z Re z j 0, j ) {,, } (6p)a) Să se demonstreze că z z z z z z 4 (p)b) În ce caz avem egalitate? Nicolae Papacu Marius Drăgan IV(9p) Se consideră numerele complexe z, z, z, z4 cu următoarele proprietăńi : ) z z z z 4 ) ( z + z + z + z ) + z + z + z + z 0 4 4 4 4 4 4 4 + z+ z+ z4) + z + z + z + z4 5 5 5 5 z z z z4 ) ( z 0 Să se arate că Sorin Rădulescu Mihai Piticari Notă: Timp de lucru: ore Toate Subiectele sunt obligatorii La fiecare subiect se acordă punct din oficiu 8
9 aprilie 008 Clasa a XI-a I(6p)a) StabiliŃi monotonia şirului ( xn) n definit astfel: n 006 xn+ xn + 007, n N şi x 005 n+ (p)b) Să se calculeze lim x n II(5p)) RezolvaŃi în M ( ) sistemul de ecuańii: X ( X + Y) X I Y ( X + Y ) Y I Z n (4p)) Fie A, B M n( C) cu proprietatea AB + BA On Să se demonstreze că următoarele afirmańii sunt echivalente: a) Matricea A B este inversabilă; b) Matricele A+B şi A AB B sunt inversabile III(9p) Să se determine toate funcńiile continue şi mărginite f ( x ) ( x+ ) f ( x), x R IV(9p) Fie A, B M ( C ), cu proprietăńile A O, B O Atunci det( I + A+ B) trab f :R R cu proprietatea: Gheorghe Stoica Marius Mâinea Mihaly Bencze Sorin Rădulescu, IVMaftei Sorin Rădulescu Notă: Timp de lucru: ore Toate Subiectele sunt obligatorii La fiecare subiect se acordă punct din oficiu 9
9 aprilie 008 Clasa a XII-a I(5p)a) Să se determine un polinom f cu coeficienńi rańionali de gradul 6 care are rădăcina α + (4p)b) Să se demonstreze că există f Q[X ] de gradul 6 cu f ( α) 0 şi polinomul gf+ este ireductibil în Q [X ] Adrian Troie,Dan Popescu II(9p) Fie f :[ a, b] R funcńie derivabilă cu derivata continuă Atunci pentru p [, ) şi f(a)0 avem: b b p ) p f ( t) f '( t) dt f '( t dt a a p Sorin Rădulescu Marius Rădulescu III(9p) Dacă sin t 0 < a< b Să se calculeze lim x dt t bx ax IV Maftei IVFie n N, n şi f, g Z [ X ] cu grad g (p)a) Dacă f g n + ˆ să se arate că f este reductibil 0 (p)b) Dacă f ˆ + X + X să se calculeze f (p)c) Să se descompună în factori ireductibili polinomul g X 7 + ˆ Costel Chiteş Notă: Timp de lucru: ore Toate Subiectele sunt obligatorii La fiecare subiect se acordă punct din oficiu 0