ERUL Prof. V orcalciuc Scoala r. 46 I.G. Duca ucuresti ( Lectie facuta dupa maualul de clasa a 7-a Prof.Radu) Defiitie:ercul cu cetrul i si de raza r este multimea tuturor puctelor di pla situate la distata r fata de. Se oteaza (,r). Daca este u puct al cercului, distata ditre puctul si este raza cercului. Daca si N sut doua pucte ale uui cerc, segmetul [ N ] se umeste coarda. r coarda ce cotie cetrul cercului se r umeste diametru. I figura, [ ], [ N ] sut coarde, iar [ ] este N diametru. ercurile care au raze egale se umesc cercuri cogruete. Daca doua cercuri au acelasi cetru si aceeasi raza, ele coicid. ercurile care au acelasi cetru se umesc cercuri cocetrice. r r Fiid dat cercul (,r), multimea puctelor di pla petru care < r se umeste iteriorul cercului si se oteaza: It(,r). ultimea puctelor N di pla petru care N > r, se umeste exteriorul cercului si se oteaza: Ext(,r).
Se umeste disc de cetru si raza r, r >, multimea (,r)u It(,r) si se oteaza D(,r). PRPZITII..Fiid date doua pucte disticte si, exista o ifiitate de cercuri ce coti puctele si. Fie d mediatoarea segmetului [ ] Puctele mediatoarei d au proprietatea ca sut egal departate de capetele segmetului [ ]. tuci orice cerc care are cetrul pe mediatoarea segmetului [ ] cotie puctele si. d. ricare trei pucte disticte ale uui cerc sut ecoliiare. 3. Pri trei pucte ecoliiare trece u cerc. 4. Daca,, sut trei pucte disticte ale uui cerc, atuci cetrul cercului se afla la itersectia mediatoarelor triughiului. 5. Daca doua cercuri au trei pucte disticte comue, atuci ele coicid. EXERITII Sa se costruiasca triughiul si apoi cercul circumscris triughiului. a) =7cm; =8cm; =9cm; b) ==6cm; =cm c) =6cm; =8cm; = 9 d) ===8cm
Se dau puctele si asfel icat =5cm. a) Exista cercuri de raza cm care sa cotia puctele si? Dar de,5cm? b) ate cercuri de raza 4cm trec pri puctele si? UNGHI L ENTRU. RE DE ER. U ughi care are varful i cetrul cercului se umeste a ughi la cetru. ultimea puctelor de pe cerc situate i iteriorul ughiului reuite cu si se umeste arc mic si se oteaza ultimea puctelor de pe cerc situate i exteriorul ughiului, reuite cu si se umeste arc mare si oteaza, ude It. Puctele si se umesc capetele arcelor. Daca si sut capetele uui diametru, arcele se umesc semicercuri. asura arcului mic este egala cu a ; masura arcului mare este egala cu 36 a ; masura uui semicerc este 8. doua arce sut cogruete daca au aceeasi masura. TERE. La arce cogruete corespud coarde cogruete(i acelasi cerc sau i cercuri cogruete).. D Rezulta ca [ ] [ D] Se dau arcele si D cogruete. Triughiurile D cazul [ ] [ ] LUL [ ] [ D] D
Reciproca. La coarde cogruete corespud arce mici cogruete( i acelasi cerc sau i cercuri cogruete) TERE. Daca si sut doua pucte disticte ale uui cerc, atuci diametrul perpedicular pe coarda imparte coarda si arcele i doua parti cogruete. Diametrul [ N ] este perpedicular pe coarda [ ]. este isoscel, [ ] si [ ] fiid raze. face parte di diametrul cercului, deci este ialtime i triughi. Rezulta ca este si mediaa, deci [ ] [ ]. Dar [ ] este si bisectoare, N deci de ude rezulta ca si arcele sut egale. TERE 3. Daca doua coarde ale uui cerc sut cogruete, atuci distatele de la cetru la coarde sut egale. Triughiurile D avad toate laturile cogruete, rezulta ca si ialtimile [ N ] si [ ] sut cogruete. N D TERE 4. Daca si sut doua pucte disticte ale uui cerc si puctul apartie arcului determiat de ele, atuci masura arcului este egala cu masura arcului plus masura arcului.
TERE 5. Daca [ ] si [ D ] sut doua coarde paralele ale uui cerc, iar puctele si sut situate de aceeasi parte a diametrului perpedicular pe coarde atuci: arcele mici si D sut cogruete ; coardele si D sut cogruete. N este diametrul perpedicular pe coardele [ ] si [ D ] deci este mijlocul arcului iar N este mijlocul arcului D. De aici rezulta D sut cogruete N ca fiid diferete de arce cogruete. rcele fiid cogruete si coardele sut cogruete. PRLEE. are este masura ughiului format de acele uui ceas la ora 9 si 5 de miute? Dar la ora 9 si 5 miute?. Se cosidera itr-u cerc o coarda [ ] si diametrul [ N ] perpedicular pe ea.ughiul este de 55. Sa se afle masurile arcelor, N,, N. 3. Se da cercul cu raza de 6cm.Puctele si sut pe cerc si determia arcul cu masura de 6.Sa se calculeze marimea coardei si distata de la puctul la. 4. Itr-u cerc se iau coardele paralele [ ] si [ D ]. ca arcele si D Diametrul [ N ] le itersecteaza i puctele P si T astfel icat [ T] [ P]. Sa se arate ca : a) [ ] [ D]. b) rcele si D sut cogruete. c) Puctele,, si sut coliiare. d) D este u dreptughi. 5. Itr-u cerc de cetru coarda [ D ] itersecteaza diametrul [ ] itr-u puct E astfel icat ughiul
FG diametrul perpedicular pe D, puctul F fiid de aceeasi parte a lui D ca si. Daca E=cm si E=6cm: a) sa se calculeze distata de la la D; b) sa se calculeze masurile arcelor mici F, F si G; c) sa se demostreze ca arcele mici F si G cogruete; PZITIILE RELTIVE LE UNEI DREPTE FT DE UN ER. d o E = 3. Fie [ ] d d T ) ) 3) ) Dreapta secata fata de u cerc este dreapta care are doua pucte comue cu cercul: si. ) Dreapta tageta la cerc este dreapta care are u sigur puct comu cu cercul: T. Dreapta tageta la cerc este perpediculara pe raza i puctul de itersectie al ei cu cercul. 3) Dreapta exterioara cercului este dreapta care u are pucte comue cu cercul. PRLEE. Fie u triughi echilateral cu latura de 6cm, iar u cerc cu cetrul i si raza cm. Stabiliti pozitia dreptei fata de (,cm).. Fie, N doua pucte pe dreapta d astfel icat N=8cm, iar u puct exterior dreptei d astfel icat =cm si N d. Stabiliti pozitia dreptei d fata de cercul (,r) daca r este egal cu: a) 6cm; b) cm; c)8cm; d) 3cm.
UNGHI INSRIS IN ER DEFINITIE Ughiul se umeste ughi iscris i cercul (o,r) daca, si aparti cercului (o,r). Ughiurile, PQ si STV sut ughiuri iscrise i cerc. rcele mici, Q, respectiv SV sut arce cuprise itre laturile ughiurilor iscrise. P T S Q DEFINITIE Spuem ca triughiul este iscris i cerc daca varfurile sale aparti cercului. TERE I asura uui ughi iscris i cerc este jumatate di masura arcului cupris itre laturile sale. I figurile de mai sus avem: m( ) = m m PQ = m m STV = m ( ) Q ( ) SV V
TERE II asura uui ughi cu varful pe cerc, avad ua di laturi secata, iar cealalta latura tageta cercului, este jumatate di masura arcului de cerc iclus i iteriorul ughiului. I II III azul I: ughiul este ascutit. azul II: ughiul este obtuz. ) arc = ) arc = ) arc = = 9 azul III: ughiul este drept. UNGHI U VRFUL IN INTERIRUL ERULUI vem aceeasi relatie petru D T Ughiul cu varful i iteriorul cercului T ( care este cogruet cu DTfiid ughiuri opuse la varf) are ca masura jumatate di suma masurilor arcelor cuprise itre laturile sale. ) ) arc + arcd T = TD T ) ) arcd + arc TD= ( opuse la varf)
UNGHI U VRFUL IN EXTERIRUL ERULUI P D Ughiul cu varful i exteriorul cercului, P are ca masura jumatate di difereta arcelor cuprise itre laturile sale. P= ) ) arc arcd PRLEE. Puctele,,,D,E se afla i aceasta ordie pe cercul (,r) ) ) ) ) astfel icat m( arc) = m( arc) = m( arcd) = 6 iar m( arced) = 5. a) alculati masurile ughiurilor E, D, b)ratati ca (D este bisectoarea D. c)ratati ca,, D sut coliiare.. I triughiul m ( ) = iar m ( ) = 5. Fie cetrul cercului circumscris triughiului. a) alculati masurile arcelor mici,,. b) ratati ca It. c) alculati ughiurile triughiului. d) Fie D u puct situate de aceeasi parte a dreptei ca si puctul astfel icat m ( D) = 5. Demostrati ca D este tageta la cerc. 3. I triughiul, = 6, = 75. Tageta i la cercul circumscris triughiului itersecteaza i D. alculati masurile ughiurilor triughiurilui D.
PZITIILE RELTIVE DU ERURI. Fie doua cercuri (, R ) si (, R ). Distata ditre cetrele celor doua cercuri este. vem urmatoarele cazuri:. R + ; fie > R (, R ) ; = R : tuci ( R = R > R + R ) I acest caz cercurile se umesc exterioare.. 3. 4. = R + R ; cercurile au u sigur puct comu. Daca ar mai avea u puct comu, atuci : = R + R + si isa R cotradictie. ercurile se umesc tagete exterior., + > = R +, = R R I acest caz cercurile sut tot tagete dar, sut tagete iterior. Puctele coliiare.,, sut R + R < < R R
I acest caz cercurile au doua pucte comue si ele se umesc secate. 5. < R R I acest caz cele doua cercuri u au pucte comue. Ele se umesc iterioare. TERE Pri orice puct exterior uui cerc trec doua drepte tagete la cerc. TERE Tagetele duse ditr-u puct exterior uui cerc sut cogruete. si sut tagetele duse di puctul la cerc. Triughiurile si sut dreptughice i puctele, respective deoarece stim ca tageta este perpediculara pe raza. ele doua triughiuri sut cogruete: laturacomua(ipoteuza) De aici rezulta ca PRLEE. Doua cercuri secate de raze cm, respectiv 5cm, au distata ditre cetre egala cu x-,cu x Z. alculati x.. Doua cercuri sut secate i puctele si.
Sa se arate ca ude si sut cetrele cercurilor. 3. Fie u puct exterior cercului (,r).sa se demostreze ca ( este bisectoarea ughiului determiat de tagetele duse di la cerc. PLIGNE REGULTE DEFINITIE U poligo covex cu toate laturile si toate ughiurile cogruete se umeste poligo regulat. (Exemple cuoscute patratul, triughiul echilateral.) Daca pritr-u procedeu oarecare impartim cercul i arce cogruete, si uim succesiv puctele de diviziue, obtiem u poligo cu laturi cogruete. Laturile sut cogruete deoarece subitid arce de cerc de aceeasi masura: 36 ( masura ughiului la cetru 3 corespuzator) Ughiurile poligoului sut ughiuri iscrise i cerc care cuprid itre laturi arce de masura: 8 ( ). TERE rice poligo regulat se poate iscrie itr-u cerc. DEFINITIE Segmetul dus di cetrul cercului circumscris uui poligo regulat, perpedicular pe latura poligoului, se umeste apotema LULUL ELEENTELR IN PLIGNE REGULTE Vom calcula latura l si apotema a i fuctie de raza R a cercului circumscris. P 4 R
Ughiul la cetru corespuzator fiecarei laturi este: 36 Triughiul este isoscel. I triughiul P dreptughic i P ( P, P apotema) avem: P 8 si P = P = si P l = Rsi P 8 cos P = P= cos P a = R cos ria poligoului este: si 36 = ( ) = = R R si = R 36 si Deci : 8 l = Rsi 8 a = R cos 36 = R si Latura potema ria Perimetrul Triughi R 3 R 3 3R 3 3R echilateral 4 Patrat R Hexago regulat R R R 4R R 3 3R 3 6 R Ialtimea potema ria Raza Triughi l 3 l 3 l 3 l 3 echilateral 6 4 3 Patrat l Hexago l regulat l l 3 3l 3 l
PRLEE Sa se completeze tabelul urmator: R l 3 a 3 3 R l 4 a 4 4 R l 6 a 6 6 6 3 8 6 4 5 6 3 3 7 LUNGIE ERULUI SI RI DISULUI. LUNGIE ERULUI. LUNGIE RULUI DE ER. Valoarea raportului ditre lugimea uui cerc si lugimea diametrului sau se oteaza cu π. cesta este u umar irratioal pe care il aproximam cu 3,4. Deci: L R = π Lugimea cercului este deci: L= πr Petru calcului lugimii uui arc de cerc se foloseste regula de trei simpla admitad ca lugimea arcului este direct proportioala cu masura arcului. asura arcului i grade Lugimea arcului de cerc 36 πr πr π = R 36 8
πr 8.RI DISULUI. RI SETRULUI DE ER. ria uui cerc de raza r se calculeaza cu formula: R = πr R asura arcului i grade 36 R πr 36 Se umeste sector de cerc o portiue di iteriorul uui cerc cuprisa itre doua raze. Fiecarui sector de cerdc ii corespude u arc pe cerc. Petru calculul ariei sectorului de cerc, de raza R, care corespude uui arc de cerc de masura, folosim regula de trei simpla, aria sectorului fiid proportioala cu masura arcului. ria sectorului de cerc π πr 36 ria sectorului de cerc de raza R se calculeaza cu formula πr 36 = PRLEE. Sa se afle lugimea uui cerc petru fiecare caz i parte, daca este coarda si se cuosc: a) m( arc) = 45, lugimeaarcului= 6πcm b) m ( arc) = 6, aria sectorului,det er mi atdecetrusicoarda = 6cm c) m( arc) = 75, aria sectorului = 3πcm. Itr-u cerc de cetru se da coarda. Sa se afle masura arcului i fiecare caz i parte: a) aria cercului de 56πcm silugimeaarculuide8πcm
b) lugimea cercului de 36π cmsiaria sectoruluicorespuzatorde7πcm