Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία σε Οικονομία με Έναν Καταναλωτή και Έναν Παραγωγό

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία σε Οικονομία με Έναν Καταναλωτή και Έναν Παραγωγό - Ορισμός. Μια ανταγωνιστική οικονομία που διέπεται από το θεσμό της ατομικής ιδιοκτησίας είναι μια οικονομία όπου: (i) Κάθε αγαθό αποτελεί αντικείμενο συναλλαγής σε μία αγορά (δηλαδή οι αγορές είναι πλήρεις). (ii) Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις έχουν τέλεια πληροφόρηση για τις τιμές όλων των αγαθών. (iii) Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις λαμβάνουν τις αποφάσεις τους θεωρώντας δεδομένες τις τιμές όλων των αγαθών (δηλαδή όλες οι αγορές είναι πλήρως ανταγωνιστικές). (iv) Οι καταναλωτές επιλέγουν την ποσότητα που θα καταναλώσουν από κάθε αγαθό και την προσφερόμενη ποσότητα εργασίας κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιούν τη χρησιμότητά τους υπό τον 1 εισοδηματικό τους περιορισμό.

(v) Οι επιχειρήσεις επιλέγουν τις χρησιμοποιούμενες ποσότητες εισροών και τις παραγόμενες ποσότητες των αγαθών κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιούν τα κέρδη τους υπό τον τεχνολογικό περιορισμό. (vi) To εισόδημα κάθε καταναλωτή αποτελείται από την αγοραία αξία της περιουσίας του και το μερίδιό του στα κέρδη των επιχειρήσεων. - Υποθέτουμε αρχικά μια οικονομία που αποτελείται από: Έναν καταναλωτή. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ (ή: την εργασία L) και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Ο καταναλωτής περιγράφεται πλήρως από: (i) Τις προτιμήσεις του, οι οποίες παριστάνονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας U(A,L), με U/ A > 0 και U/ L < 0. (όπου L είναι η προσφερόμενη ποσότητα εργασίας και Α είναι η ποσότητα του αγαθού A που καταναλώνει το άτομο). 2

(ii) Την περιουσία του, η οποία παριστάνεται από το διάνυσμα περιουσίας (endowment vector): e= ( ex, ea) = ( T,0), όπου e X (e A ) είναι η περιουσία που διαθέτει ο καταναλωτής απότοαγαθόx (A). - Ο καταναλωτής είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης. - Η επιχείρηση χρησιμοποιεί ως μοναδική εισροή την εργασία για να παράγει το καταναλωτικό αγαθό, σύμφωνα με τη συνάρτηση παραγωγής: Aˆ = f( Lˆ ), όπου ˆL είναι η χρησιμοποιούμενη ποσότητα εργασίας και Â είναι η παραγόμενη ποσότητα προϊόντος εκ μέρους της επιχείρησης. Ανταγωνιστική Ισορροπία - Έστω ότι η τιμή του αγαθού Χ (δηλαδή o μισθός της εργασίας) είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p. 3

- Για κάθε διάνυσμα τιμών (w, p), το εισόδημα του καταναλωτή είναι η αγοραία αξία της περιουσίας του και τα κέρδη (π) που εισπράττει ως ιδιοκτήτης της επιχείρησης: M = w e + p e + π = wt + π X A - Ο εισοδηματικός περιορισμός του καταναλωτή είναι: wx + pa wt + π - Επειδή η συνάρτηση χρησιμότητας είναι εκφρασμένη σε όρους εργασίας (L), γράφουμε επίσης τον εισοδηματικό περιορισμό (1) σε όρους εργασίας χρησιμοποιώντας τον χρονικό περιορισμό του ατόμου: L = T X (2) (1) pa wl + π (3) (1) (2) - Ησχέση(3) είναι η μορφή του εισοδηματικού περιορισμού που χρησιμοποιούμε παρακάτω. 4

- Ορισμός. Μια ανταγωνιστική (ή Βαλρασιανή) ισορροπία στην υπό εξέταση οικονομία αποτελείται από ένα διάνυσμα τιμών ( w*, p*) και έναδιάνυσμαποσοτήτων(( L*, A*),( Lˆ *, Aˆ *)) τέτοια ώστε: (i) Ο καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό: 2 * * U( L*, A*) U( L, A), ( L, A) R+ : p A wl + π (ii) Η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της υπό τον τεχνολογικό περιορισμό: 2 π( Lˆ*, Aˆ*) π ( Lˆ, Aˆ ), ( Lˆ, Aˆ ) R : Aˆ ˆ + f ( L ) (iii) Όλες οι αγορές εκκαθαρίζονται, δηλαδήησυνολικήζήτηση(d) είναι ίση με τη συνολική προσφορά (S) για όλα τα αγαθά: DL = SL Lˆ( w *, p *) = L ( w *, p *) : Ισορροπία στην αγορά εργασίας DA = SA A( w*, p*) = Aˆ ( w*, p*) όπου Lwp (, ): H συνάρτηση προσφοράς εργασίας εκ μέρους του καταναλωτή. Lwp ˆ(, ) : 5 H συνάρτηση ζήτησης εργασίας εκ μέρους της επιχείρησης. : Ισορροπία στην αγορά του αγαθού Α

A( wp, ): Aˆ( wp, ): H συνάρτηση ζήτησης του αγαθού Α εκ μέρους του καταναλωτή. H συνάρτηση προσφοράς του αγαθού Α εκ μέρους της επιχείρησης. O Νόμος του Walras - Η υπερβάλλουσα ζήτηση εργασίας για κάθε διάνυσμα τιμών (w,p) είναι η διαφορά ανάμεσα στη συνολική ζήτηση και τη συνολική προσφορά εργασίας: ED ( wp, ) = D( wp, ) S( wp, ) = Lwp ˆ(, ) Lwp (, ) L L L - Η υπερβάλλουσα ζήτηση του αγαθού Α για κάθε διάνυσμα τιμών (w,p) είναι η διαφορά ανάμεσα στη συνολική ζήτηση και τη συνολική προσφορά του αγαθού Α: ED ( wp, ) = D( wp, ) S( wp, ) = Awp (, ) Awp ˆ(, ) A A A - Το διάνυσμα τιμών ισορροπίας (w*,p*) είναιεκείνοτοδιάνυσμα τιμών για το οποίο η συνολική ζήτηση είναι ίση με τη συνολική προσφορά (δηλαδή η υπερβάλλουσα ζήτηση είναι ίση με μηδέν) σε όλες τις αγορές: 6

DL( w*, p*) = SL( w*, p*) EDL( w*, p*) = 0 D ( w*, p*) = S ( w*, p*) ED ( w*, p*) = 0 A A A - Νόμος του Walras. Για οποιοδήποτε διάνυσμα τιμών (w, p), η συνολική αξία της υπερβάλλουσας ζήτησης για όλα τα αγαθά ισούται με μηδέν: w ED + p ED = L A 0 - Απόδειξη. Για να μεγιστοποιείται η χρησιμότητα του καταναλωτή, ο εισοδηματικός περιορισμός πρέπει να ισχύει με ισότητα για κάθε διάνυσμα τιμών: pawp (, ) = wlwp (, ) + π ( wp, ) = wlwp (, ) + pawp ˆ(, ) wlwp ˆ(, ) p [ Awp (, ) Awp ˆ(, )] + w [ Lwp ˆ(, ) Lwp (, )] = 0 ped + wed = 0 A L 7

- Γενίκευση Νόμου του Walras: Αν υπάρχουν n αγαθά στην οικονομία, τότε: n ped i i( p ) = 0 για κάθε διάνυσμα τιμών p=(p 1,,p n ), i=1 όπου p i είναι η τιμή του αγαθού i και ED i είναι η υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό i. - Πρόταση. Έστω ότι υπάρχουν n αγαθά στην οικονομία. Αν D i (p)=s i (p) για κάθε i k και p k > 0, τότε πρέπει επίσης να ισχύει: D k (p)=s k (p). - Δηλαδή: Αν όλες οι αγορές εκτός από την αγορά του αγαθού k βρίσκονται σε ισορροπία, τότε πρέπει και η αγορά του αγαθού k να βρίσκεται σε ισορροπία. - Απόδειξη: Έστω ότι για το διάνυσμα τιμών p = ( p1,..., p n ) όλες οι αγορές εκτός από την αγορά k βρίσκονται σε ισορροπία: D ( p) = S ED ( p) = 0, i k (4) i i i 8

- ΑπότονόμοτουWalras, ισχύει (για οποιοδήποτε διάνυσμα τιμών, άρα και για το διάνυσμα p): n i=1 ped( p) = 0 ped( p) + ped( p) = 0 i i i i k k i k p > 0 k ped( p) = 0 ED( p) = 0, δηλαδή η αγορά k βρίσκεται k k k επίσης σε ισορροπία. - Άρα, οι n συνθήκες ισορροπίας: D1( p) = S1( p) D ( p) = S ( p) n n δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. - Έχουμε μόνο (n 1) ανεξάρτητες εξισώσεις με n αγνώστους (p 1,,p n ) => Μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο τις (n 1) τιμές σε σχέση με την n-οστή τιμή, η οποία αποτελεί ελεύθερη μεταβλητή. (4) 9

- Δηλαδή: Μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο τις (n 1) σχετικές τιμές (και όχι τις απόλυτες τιμές) ισορροπίας. - Για παράδειγμα, μπορούμε να υπολογίσουμε τις τιμές p 2,p 3,, p n σε σχέση με την τιμή p 1 : p2 p p n p p p 3,,..., : Σχετικές τιμές των αγαθών 2,...,n. 1 1 1 - Εφόσον χρησιμοποιούμε την τιμή του αγαθού 1 ως ελεύθερη μεταβλητή, μπορούμε να θέσουμε την τιμή p 1 ίση με μια σταθερά. - Συχνά, είναι βολικό να χρησιμοποιούμε την τυποποίηση p 1 =1και * * να υπολογίζουμε τις υπόλοιπες τιμές ισορροπίας p,..., 2 pn (οι οποίες ερμηνεύονται σαν να μετρώνται σε σχέση με την τιμή του αγαθού 1). - Στην περίπτωση αυτή, το αγαθό 1 (σε σχέση με την τιμή του οποίου μετρώνται οι τιμές των υπόλοιπων αγαθών) ονομάζεται αγαθό αναφοράς ή αποτιμητής (numeraire good). 10

- Στην οικονομία που εξετάζουμε, υπάρχουν n=2 αγαθά: το αγαθό Χ (δηλαδή η εργασία L) και το αγαθό Α. Οι δύο συνθήκες ισορροπίας: DL( w, p) = SL( w, p) D ( w, p) = S ( w, p) A A δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. - Έχουμε μόνο μία ανεξάρτητη εξίσωση με 2 αγνώστους (w,p). Μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο τη σχετική τιμή ισορροπίας (και όχι τις απόλυτες τιμές w, p). - Για παράδειγμα, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή (w) της εργασίας σε σχέση με την τιμή (p) του αγαθού Α δηλαδή, μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο τον πραγματικό μισθό w / p. - Εφόσον χρησιμοποιούμε την τιμή (p) του αγαθού A ως ελεύθερη μεταβλητή, μπορούμε να θέσουμε την τιμή p ίση με μια σταθερά. 11

Χρησιμοποιούμε την τυποποίηση p=1 και υπολογίζουμε το μισθό ισορροπίας w* (δηλαδή χρησιμοποιούμε το αγαθό Α ως αποτιμητή). - Παράδειγμα 1 (Υπολογισμός Ανταγωνιστικής Ισορροπίας). Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Έναν καταναλωτή. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ (ή: την εργασία L) και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις του καταναλωτή παριστάνονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας: 1 2 U( L, A) = A L 2 - Η περιουσία του καταναλωτή παριστάνεται από το διάνυσμα: e= ( e, e ) = (1,0) : Ο καταναλωτής διαθέτει μία μονάδα του αγαθού Χ. X A 12

- Ο καταναλωτής είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης. - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: 1 Aˆ = f( Lˆ) = Lˆ (Φθίνουσες Αποδόσεις Κλίμακας) 4 Μεθοδολογία Υπολογισμού Ανταγωνιστικής Ισορροπίας 1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε το εισόδημα κάθε καταναλωτή. - Η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p. Χρησιμοποιούμε το αγαθό Α ως αποτιμητή, δηλαδή θέτουμε p=1 και αναζητούμε το μισθό ισορροπίας w*. - To εισόδημα του καταναλωτή (εκφρασμένο σε όρους εργασίας) είναι το εισόδημα που προέρχεται από εργασία και τα κέρδη που εισπράττει ως ιδιοκτήτης της επιχείρησης: M = wl+ π 13

2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για κάθε καταναλωτή. (Δηλαδή, υπολογίζουμε τη συνάρτηση ζήτησης του αγαθού Α και τη συνάρτηση προσφοράς εργασίας για κάθε καταναλωτή). - Κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό. 1 2 max U( L, A) = A L { LA, } 2 st.. pa M = wl+ π A wl+ π (UMP ) 0 L 1 A 0 - ΗλύσητουUMP είναι: w, αν w 1 Lw ( ) = 1, αν w 1 (5) (Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας) 14

A( w ) = w 2 + π, αν w 1 w+ π, αν w 1 (6) (Συνάρτηση Ζήτησης αγαθού Α) 3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε επιχείρηση. (Δηλαδή, υπολογίζουμε τις συναρτήσεις ζήτησης εισροών, τη συνάρτηση προσφοράς και τη συνάρτηση κερδών για κάθε επιχείρηση). - Κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της υπό τον τεχνολογικό περιορισμό (δηλαδή τη συνάρτηση παραγωγής). max Π = paˆ wlˆ = Aˆ wlˆ { LA ˆ, ˆ} 1 max Π = Lˆ wlˆ ˆ 1 { Lˆ } st.. A= Lˆ 4 4 st.. Lˆ 0 LA ˆ, ˆ 0 (PMP) 15

- ΗλύσητουPMP είναι: Lw 2 ˆ( ) = 1/64w (7) (Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας) Aˆ( w ) = 1/32 w (8) (Συνάρτηση Προσφοράς) π ( w) = 1/64w (9) (Συνάρτηση Κερδών) 4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές και λύνουμε ως προς τις τιμές ισορροπίας. i i DL = SL Lw ˆ( ) = Lw ( ) (10) D = S A( w) = Aˆ ( w) (11) A A (Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά Εργασίας) (Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά του Αγαθού Α) - Γιαναυπολογίσουμετις (n 1) = 1 σχετικές τιμές ισορροπίας (δηλαδή το μισθό ισορροπίας w*), αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τις (n 1) = 1 συνθήκες ισορροπίας. (Υπενθύμιση: Αν η μία από τις δύο αγορές βρίσκεται σε ισορροπία, τότε θα βρίσκεται επίσης σε ισορροπία και η άλλη αγορά.) 16

- Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά εργασίας και λύνουμε ως προς w. i Για w 1, είναι: (5) Lw ˆ( ) = Lw ( ) w= 1/4 i Για (7) w 1, είναι: (5) Lw ˆ( ) = Lw ( ) w= 1/8 απορρίπτεται (7) - Χρησιμοποιούμε το μισθό ισορροπίας (w*=1/4 ) για να υπολογίσουμε τα κέρδη, τις ποσότητες ισορροπίας και τη χρησιμότητα ισορροπίας: π * = 1/16, Lˆ * = L* = 1/4, Aˆ = A= 1/8 U* = 3/32 - Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία είναι: ( w*, p*) = (1/4, 1) ( L*, A*) = ( Lˆ *, Aˆ *) = (1/ 8, 1/ 4) U* = 3/32 (Τιμές Ισορροπίας) (Ποσότητες Ισορροπίας) (Χρησιμότητα Ισορροπίας) 17

Γραφική Απεικόνιση Ανταγωνιστικής Ισορροπίας Â, A 2 U* = 3/32: A= 3/32 + L /2 * 1 1 BC. Π : A= + L 16 4 A ˆ* = A* = 1/8 Ε Π * = 1/16 A ˆ = L ˆ /4 Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία 0 L ˆ* = L* = 1/4 - Στο σημείο ισορροπίας Ε: (i) O καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τον εισοδηματικό περιορισμό (δηλαδή, το σημείο Ε είναι το σημείο επαφής ανάμεσα στη γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού και την καμπύλη αδιαφορίας του καταναλωτή). 18 ˆL,L

(ii) Η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της υπό τον τεχνολογικό περιορισμό (δηλαδή, το σημείο Ε είναι το σημείο επαφής ανάμεσα στη γραμμή ίσου κέρδους και τη συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης). (iii) Όλες οι αγορές εκκαθαρίζονται (δηλαδή, στο σημείο Ε ισχύει: L ˆ = L και A= Aˆ ). - Η γραμμή ίσου κέρδους που διέρχεται από το σημείο ισορροπίας ταυτίζεται με τη γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού. Το σημείο ισορροπίας (Ε) είναιτοσημείοεπαφήςανάμεσαστην καμπύλη αδιαφορίας του καταναλωτή και τη συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης. Lw ( ) w 1 Ισορροπία στην Αγορά Εργασίας w*=1/4 Ε Lw ˆ( ) 0 ˆL,L L ˆ* = L* = 1/4 1 19

- Παράδειγμα 2 (Υπολογισμός Ανταγωνιστικής Ισορροπίας). Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Έναν καταναλωτή. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ (ή: την εργασία L) και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις του καταναλωτή παριστάνονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας: 1 2 U( L, A) = A L 2 - Η περιουσία του καταναλωτή παριστάνεται από το διάνυσμα: e= ( e, e ) = (1,0) : Ο καταναλωτής διαθέτει μία μονάδα του αγαθού Χ. X A - Ο καταναλωτής είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης. - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: Aˆ = f( Lˆ) = Lˆ (Σταθερές Αποδόσεις Κλίμακας) 20

- Ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω για να υπολογίσουμε την ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία. 1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε το εισόδημα κάθε καταναλωτή. - Η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p. Θέτουμε p=1 και αναζητούμε το μισθό ισορροπίας w*. - To εισόδημα του καταναλωτή είναι: M = wl+ π 2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας (UMP) για κάθε καταναλωτή. - ΗλύσητουUMP είναι (βλ.σελ.14-15): Lw ( ) = w, αν w 1 1, αν w 1 (12) (Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας) 21

A( w ) = w 2 + π, αν w 1 w+ π, αν w 1 (13) (Συνάρτηση Ζήτησης αγαθού Α) 3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε επιχείρηση. max Π = paˆ wlˆ = Aˆ wlˆ { LA ˆ, ˆ} st.. Aˆ = Lˆ LA ˆ, ˆ 0 - ΗλύσητουPMP είναι:, αν w < 1 Lw ˆ( ) = 0, αν w = 1 0, αν w > 1 max Π = Lˆ wlˆ = (1 w) Lˆ { Lˆ } st.. Lˆ 0 (14) (Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας) (PMP) 22

, αν w < 1 ˆ( ) 0, αν w = 1 A w = 0, αν w > 1 (15) (Συνάρτηση Προσφοράς) π ( w) =, αν w < 1 (16) (Συνάρτηση Κερδών) 0, αν w 1 4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές και λύνουμε ως προς το μισθό ισορροπίας. i i DL = SL Lw ˆ( ) = Lw ( ) (17) D = S A( w) = Aˆ ( w) (18) A A (Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά Εργασίας) (Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά του Αγαθού Α) - Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά εργασίας και λύνουμε ως προς w. 23

Για w<1, είναι: (12) Lw ˆ( ) = Lw ( ) = w : Αδύνατο (14) Για w> 1, είναι: (12) Lw ˆ( ) = Lw ( ) 0 = 1 : Αδύνατο (14) Για w= 1, είναι: (12) Lw ˆ( ) = Lw ( ) Lˆ = 1 (14) - Χρησιμοποιούμε το μισθό ισορροπίας (w*=1) για να υπολογίσουμε τα κέρδη, τις ποσότητες ισορροπίας και τη χρησιμότητα ισορροπίας: π * = 0, Lˆ * = L* = 1, Aˆ = A= 1 U* = 1/2 - Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία είναι: ( w*, p*) = (1, 1) ( L*, A*) = ( Lˆ *, Aˆ *) = (1,1) U* = 1/2 (Τιμές Ισορροπίας) (Ποσότητες Ισορροπίας) (Χρησιμότητα Ισορροπίας) 24

Â, A Γραφική Απεικόνιση Ισορροπίας 2 U* = 1/2: A= 1/2 + L /2 Aˆ = Lˆ * BC. Π : A= L Ε A ˆ* = A* = 1 Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία π*=0 w L ˆ* = L* = 1 Lw ( ) ˆL,L w*=1 Ε Lw ˆ( ) Ισορροπία στην Αγορά Εργασίας 0 ˆL,L L ˆ* = L* = 1 25

- Παρατήρηση: Αν η συνάρτηση παραγωγής χαρακτηρίζεται από σταθερές αποδόσεις κλίμακας, τότε η ανταγωνιστική ισορροπία είναι συμβατή μόνο με μηδενικά κέρδη για την επιχείρηση. - Δηλαδή, στην περίπτωση αυτή ο μισθός ισορροπίας (w*) προσδιορίζεται από τη συνθήκη: p = AC(w*). - Άρα: Αν η συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας, τότε ο μισθός ισορροπίας εξαρτάται μόνο από την τεχνολογία παραγωγής και είναι ανεξάρτητος από τις συνθήκες ζήτησης (δηλαδή είναι ανεξάρτητος από τις προτιμήσεις και τις περιουσίες των καταναλωτών). 26

- Παράδειγμα 3 (Υπολογισμός Ανταγωνιστικής Ισορροπίας). Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Έναν καταναλωτή. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ (ή: την εργασία L) και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις του καταναλωτή παριστάνονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας: 1 2 U( L, A) = A L 2 - Η περιουσία του καταναλωτή παριστάνεται από το διάνυσμα: e= ( e, e ) = (1,0) : Ο καταναλωτής διαθέτει μία μονάδα του αγαθού Χ. X A - Ο καταναλωτής είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης. - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: Aˆ = f( Lˆ) = Lˆ2 (Αύξουσες Αποδόσεις Κλίμακας) 27

- Ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω για να υπολογίσουμε την ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία. 1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε το εισόδημα κάθε καταναλωτή. - Η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p. Θέτουμε p=1 και αναζητούμε το μισθό ισορροπίας w*. - To εισόδημα του καταναλωτή είναι: M = wl+ π 2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας (UMP) για κάθε καταναλωτή. - ΗλύσητουUMP είναι (βλ.σελ.14-15): Lw ( ) = w, αν w 1 1, αν w 1 (19) (Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας) 28

A( w ) = w 2 + π, αν w 1 w+ π, αν w 1 (20) (Συνάρτηση Ζήτησης αγαθού Α) 3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε επιχείρηση. max Π = paˆ wlˆ = Aˆ wlˆ { LA ˆ, ˆ} st.. Aˆ = Lˆ 2 LA ˆ, ˆ 0 max Π { Lˆ } st.. Lˆ 0 ˆ 2 = L wlˆ (PMP) - Στην περίπτωση αυτή, το PMP δεν έχει λύση: Lw ˆ( ) =, Aw ˆ ( ) =, π ( w ) = (21) 4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές και λύνουμε ως προς το μισθό ισορροπίας. 29

i i D = S Lw ˆ( ) = Lw ( ) (22) L L D = S A( w) = Aˆ ( w) (23) A A (Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά Εργασίας) (Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά του Αγαθού Α) - Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά εργασίας και λύνουμε ως προς w. i Για w 1, είναι: (19) Lw ˆ( ) = Lw ( ) = w Αδύνατο i Για (21) w 1, είναι: (19) Lw ˆ( ) = Lw ( ) = 1 Αδύνατο (21) - Συμπέρασμα: Αν η συνάρτηση παραγωγής έχει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, τότε δεν υπάρχει ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία. 30

- Παράδειγμα 4 (Υπολογισμός Ανταγωνιστικής Ισορροπίας). Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Έναν καταναλωτή. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις του καταναλωτή παριστάνονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας: U( X, A) = ln A+ 2ln X - Η περιουσία του καταναλωτή παριστάνεται από το διάνυσμα: e= ( e, e ) = (1,0) : Ο καταναλωτής διαθέτει μία μονάδα του αγαθού Χ. X A - Ο καταναλωτής είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης. - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: Aˆ = f( Lˆ) = 4 Lˆ 31

- Ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω για να υπολογίσουμε την ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία. 1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε το εισόδημα κάθε καταναλωτή. - Η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p. Θέτουμε p=1 και αναζητούμε το μισθό ισορροπίας w*. - To εισόδημα του καταναλωτή είναι η αγοραία αξία της περιουσίας του και τα κέρδη που εισπράττει ως ιδιοκτήτης της επιχείρησης: M = w e + p e + π = w+ π X A 2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για κάθε καταναλωτή. max U( X, A) = ln A+ 2ln X { Χ, A} s.. t wx + pa M = w + π wx + A w + π 0 X 1, A 0 (UMP ) 32

- ΗλύσητουUMP είναι: ( 1, π ), αν w 2π (24) 2 w+ π w+ π,, αν w 2π 3 w 3 ( X( w), A( w )) = (Συναρτήσεις Ζήτησης των αγαθών Χ, Α) Lw ( ) = 0, αν w 2π w 2 π 3w, αν w 2π (25) (Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας) 3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε επιχείρηση. max Π = paˆ wlˆ = Aˆ wlˆ ˆ ˆ max Π = 4 Lˆ wlˆ { LA, } st.. Aˆ = 4 Lˆ LA ˆ, ˆ 0 { Lˆ } st.. Lˆ 0 (PMP) 33

- ΗλύσητουPMP είναι: Lw 2 ˆ( ) = 4/ w (26) (Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας) Aˆ( w ) = 8/ w (27) (Συνάρτηση Προσφοράς) π ( w) = 4/ w (28) (Συνάρτηση Κερδών) 4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές και λύνουμε ως προς το μισθό ισορροπίας. i DL = SL Lw ˆ( ) = Lw ( ) (29) [ή, ισοδύναμα: D = S X( w) + Lˆ( w) = e X + Lˆ = 1 (29 ) i X X X D = S A( w) = Aˆ ( w) (30) A A (Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά Εργασίας) (Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά του αγαθού Χ) ] (Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά του Αγαθού Α) - Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά εργασίας και λύνουμε ως προς w. 34

Για w 2π, είναι: (25) 4 Lw ˆ( ) = Lw ( ) = 0 : Αδύνατο (26) 2 w Για w 2π (28) w (28) w, είναι: - Χρησιμοποιούμε το μισθό ισορροπίας w = για να υπολογίσουμε τα κέρδη, τις ποσότητες ισορροπίας και τη χρησιμότητα ισορροπίας: π * = 2 5 / 5, Lˆ * = L* = 1/ 5, Aˆ * = A* = 4 5 / 5, X* = 4 / 5 64 5 U* = ln 125 2 2 2 2 = (25) = (26) ( * 2 5) Lw ˆ( ) Lw ( ) w 2 5 - Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία είναι: 35

( w*, p*) = (2 5, 1) ( L*, A*, X*) = (1/5, 4 5/5, 4/5) ( Lˆ *, Aˆ *) = (1/5, 4 5/5) 64 5 U* = ln 125 (Τιμές Ισορροπίας) (Ποσότητες Ισορροπίας) (Χρησιμότητα Ισορροπίας) Γραφική Απεικόνιση Ισορροπίας - Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση κερδών στη συνάρτηση προσφοράς εργασίας (25) και γράφουμε τη συνάρτηση προσφοράς εργασίας ως εξής: Lw ( ) = 0, αν w 2 2 1 8 3 3w 2, αν w 2 2 (31) (Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας) 36

- Απεικονίζουμε τις συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς εργασίας [σχέσεις (26) και (31)] στο παρακάτω διάγραμμα, το οποίο παριστάνει την ισορροπία στην αγορά εργασίας: w Lw ( ) w * = 2 5 w R = 2 2 Ε L ˆ* = L* = 1/5 1/3 Ισορροπία στην Αγορά Εργασίας ˆ( 0 Lw) ˆL,L 37