ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής
Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Τα υποδείγματα του απλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης (simple linear regression model) αναφέρονται σε σχέσεις που περιλαμβάνουν μία μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή. Τα περισσότερα οικονομικά μεγέθη είναι συναρτήσεις όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών. Έστω η συνάρτηση είναι συνάρτηση k ανεξάρτητων μεταβλητών (regressors) και αν υποθέσουμε ότι είναι γραμμική για ένα δείγμα n παρατηρήσεων μπορούμε να τη γράψουμε ως εξής:
Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Η σχέση αυτή αποτελεί το υπόδειγμα της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης (multiple linear regression model) που είναι η επέκταση του απλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης για περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές. Από την πλευρά της μεθοδολογίας το πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης έχει πολλές ομοιότητες με το απλό γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης.
Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης με τρεις μεταβλητές Έστω το παρακάτω πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα: Έστω ότι είναι οι εκτιμητές των β ο,β 1 και β 2 που προέρχονται από ένα δείγμα που πάρθηκε τυχαία από ένα πληθυσμό, τότε η συνάρτηση του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης του δείγματος θα είναι:
Οι εκτιμητές β 0, β 1 και β 2 ονομάζονται μερικοί συντελεστές της παλινδρόμησης (partial regression coefficients) και έχουν τη μικρότερη διακύμανση από κάθε άλλο αμερόληπτο εκτιμητή. Για τον λόγο αυτό θεωρούνται ότι είναι BLUE (Best Linear Unbiased Estimators).
Βασικές Υποθέσεις του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος Οι βασικές υποθέσεις για το υπόδειγμα της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης, είναι σχεδόν οι ίδιες με τις υποθέσεις για το υπόδειγμα της απλής γραμμικής παλινδρόμησης. Στο πολλαπλό όμως υπόδειγμα της παλινδρόμησης επιπλέον έχουμε και τις παρακάτω δύο υποθέσεις:
Βασικές Υποθέσεις του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος Τα στοιχεία της μήτρας Χ είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα και έχουν πεπερασμένη διακύμανση. Μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών Χ 1, Χ 2, Χ 3,Χ n δεν υπάρχει καμία γραμμική σχέση. Η παραβίαση της υπόθεσης αυτής δημιουργεί πρόβλημα στην αναγνώριση της επίδρασης κάθε ανεξάρτητης μεταβλητής πάνω στην εξαρτημένη. Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα πολυσυγγραμμικότητας (multicollinearity). Με άλλα λόγια θα λέγαμε ότι, όταν δύο ανεξάρτητες μεταβλητές είναι πλήρως συγγραμμικές, τότε είναι αδύνατο να απομονώσουμε τις ατομικές επιδράσεις της κάθε μεταβλητής στην εξαρτημένη.
Βασικές Υποθέσεις του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος Η μήτρα Χ είναι μη στοχαστική (nonstochastic) και έχει k βαθμό. Ο βαθμός k της μήτρας Χ είναι μικρότερος από τον αριθμό των παρατηρήσεων n. Ο αριθμός των παρατηρήσεων του δείγματος πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των συντελεστών (παραμέτρων) του υποδείγματος που θέλουμε να εκτιμήσουμε. Με άλλα λόγια θα λέγαμε ότι οι βαθμοί ελευθερίας θα πρέπει να είναι θετικοί για να μπορέσουμε να κάνουμε τους στατιστικούς ελέγχους στο υπόδειγμα που μελετάμε.
Έλεγχος Στατιστικής Σημαντικότητας του Υποδείγματος της Πολλαπλής Γραμμικής Παλινδρόμησης Ο έλεγχος της στατιστικής σημαντικότητας του υποδείγματος της πολλαπλής παλινδρόμησης του πληθυσμού αποτελεί ένα από τα κυριότερα στάδια στην μεθοδολογία της οικονομετρίας. Έστω ότι έχουμε το παρακάτω υπόδειγμα της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης του πληθυσμού:
Έλεγχος Στατιστικής Σημαντικότητας του Υποδείγματος της Πολλαπλής Γραμμικής Παλινδρόμησης Η μηδενική υπόθεση μπορεί να διαμορφωθεί ως εξής: Με εναλλακτική την υπόθεση Τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης του πληθυσμού είναι διάφορος του μηδενός. Ο έλεγχος αυτός αφορά το σύνολο των συντελεστών του υποδείγματος της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης του πληθυσμού. Δηλαδή, αναφέρεται στην ικανότητα όλων μαζί των ανεξάρτητων μεταβλητών να ερμηνεύσουν την εξαρτημένη μεταβλητή Y t.
Η στατιστική F (F statistics) χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της στατιστικής σημαντικότητας των συντελεστών του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης. Η τιμή της στατιστικής F δίνεται από τον παρακάτω τύπο:
Με δεδομένο το επίπεδο σημαντικότητας (α), αν η τιμή της στατιστικής F είναι μεγαλύτερη από την κριτική τιμή (τιμή των πινάκων) τότε απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. Η απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης σημαίνει ότι τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης είναι διάφορος του μηδενός. Επίσης η απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης σημαίνει ότι ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού είναι στατιστικά σημαντικός (διάφορος του μηδενός).
Η παραπάνω συνάρτηση υποδηλώνει ότι με την κατανομή F γίνεται ο έλεγχος της σημαντικότητας του πολλαπλού προσδιορισμού R 2. Αν η τιμή του τότε και η τιμή της στατιστικής F προσεγγίζει το μηδέν. Αν η στατιστικής F < από την κριτική τιμή (τιμή των πινάκων) τότε λέμε ότι οι ανεξάρτητες μεταβλητές δεν ερμηνεύουν επαρκώς τη μεταβολή της εξαρτημένης στο υπόδειγμα της γραμμικής πολλαπλής παλινδρόμησης. Αν η τιμή του πολλαπλού συντελεστή προσδιορισμού είναι υψηλή τότε θα έχουμε και υψηλή τιμή στη στατιστική F. Επομένως όσο πιο υψηλή είναι η τιμή της στατιστικής F τόσο πιο σημαντική είναι η σχέση μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών και της εξαρτημένης μεταβλητής Υ.
Σε ορισμένα υποδείγματα πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης παρατηρούμε ότι ενώ οι εκτιμητές είναι στατιστικά σημαντικοί (διάφοροι του μηδενός) η τιμή της στατιστικής F είναι πολύ χαμηλή που σημαίνει ότι στο σύνολό τους οι συντελεστές του υποδείγματος είναι μη στατιστικά σημαντικοί. Η ύπαρξη αυτού του φαινομένου οφείλεται στο πρόβλημα της πολυσυγραμμικότητας (multicollinearity)