Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207
Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο 2. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. 9-52 2. Εισαγωγή και βασικές έννοιες. 2.2 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. 2.2. Θεωρήµατα ύπαρξης και µοναδικότητας για διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθµού. 2.2.2 Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. 2.2.3 Μη Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. 2.2.3. ιαφορικές εξισώσεις χωριζοµένων µεταβλητών. 2.2.3.2 Οµογενείς διαφορικές εξισώσεις. 2.2.3.3 Πλήρεις διαφορικές εξισώσεις. 2.2.3.4 Ολοκληρωτικοί παράγοντες. 2.2.3.5 ιαφορικές εξισώσεις Beroulli και Rictti. 2.3 ιαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ανώτερου βαθµού. Κεφάλαιο 3. Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις 2 ης τάξης. 53-97 3. Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις 2 ης τάξης µε µεταβλητούς συντελεστές. 3.. Οµογενείς Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις 2 ης τάξης. 3..2 Μερική λύση της µη οµογενούς γραµµικής δ.ε. 2 ης τάξης. Η µέθοδος µεταβολής των σταθερών. 3.2 Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις 2 ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. 3.2. Οµογενείς Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις 2 ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. 3.2.2 Μερική λύση µη οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης 2 ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Η µέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών. 3.3 Η µέθοδος των δυναµοσειρών. ιαφορικές εξισώσεις Bessel. 3.4 ιαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης. 3.5 Εφαρµογές. 2
Κεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 98-2 4.. Εισαγωγή. 4.2. Η µέθοδος απαλοιφής. 4.3. H Mέθοδος πινάκων. Κεφάλαιο 5. Mιγαδική Ανάλυση. 3-83 5.. Mιγαδικοί αριθµοί. 5.2. Μιγαδικές συναρτήσεις. 5.3. Μιγαδική παράγωγος. 5.4. Μιγαδική ολοκλήρωση. 5.5. Σειρές Tylor και Luret. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα. Κεφάλαιο 6. Ο µετασχηµατισµός Lplce. 84-25 6.. Εισαγωγή. 6.2. Ο µετασχηµατισµός Lplce. 6.3. Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Lplce. 6.4. Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce. 6.5.Εφαρµογή του µετασχηµατισµού Lplce στην επίλυση διαφορικών και ολοκληρωτικών εξισώσεων. 6.6. Ο τελεστής Dirc. Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Fourier. 26-235 7.. Εισαγωγή. 7.2. Σειρά Fourier. 7.3. Μετασχηµατισµός Fourier. Κεφάλαιο 8. Συνοριακά Προβλήµατα. 236-255 8.. Αρµονικές συναρτήσεις. 8.2. Εισαγωγή στις µερικές διαφορικές εξισώσεις. 8.3. Η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών. Bιβλιογραφία 256 3
Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών.. Σειρές πραγµατικών αριθµών. Εστω µια ακολουθία = { },. Μια έκφραση της µορφής + + + + + 2 3 καλείται άπειρη σειρά. ιοστό µερικό άθροισµα της σειράς καλούµε την ακολουθία S =. = Αν η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων S συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό S όταν, τότε λέµε ότι η σειρά συγκλίνει στο S και γράφουµε = S. = Οταν η σειρά δεν συγκλίνει λέµε ότι αποκλίνει. Παράδειγµα. (i) Αν r όπου r <, τότε = + + r r r S = = r, r r r r και άρα S =. r Αν r, τότε η σειρά αποκλίνει. (ii) Αν =( ) +, τότε έχουµε S 0 = = ρτιος, = περιττος οπότε η σειρά αποκλίνει. 4
.2 Σειρές Συναρτήσεων. f, =,2,3,..., είναι µια ακολουθία συναρτήσεων που ορίζονται σ ένα υποσύνολο E της πραγµατικής ευθείας. Αν η ακολουθία πραγµατικών αριθµών { f ( x )} συγκλίνει για κάθε x E, τότε ορίζεται η συνάρτηση Ορισµός.. Έστω { } ( ) ( ) f : E : f x = lim f x, (.) η οποία καλείται οριακή συνάρτηση της ακολουθίας { f } στο E. Αν ισχύει η (.) θα λέµε ότι η ακολουθία { f } συγκλίνει σηµειακά στη συνάρτηση f στο σύνολο E. Οµοίως, αν η αριθµητική σειρά f ( x) τότε ορίζεται η συνάρτηση συγκλίνει για κάθε x E = =, f : E : f ( x) f ( x). (.2) = Θα εξετάσουµε ποιες ιδιότητες της ακολουθίας συναρτήσεων { f } «κληρονοµούνται» στην οριακή συνάρτηση f. Για παράδειγµα, αν οι συναρτήσεις f είναι συνεχείς, ή παραγωγίσιµες, πότε ισχύει το ίδιο και για την οριακή συνάρτηση f ; Επίσης, θα εξετάσουµε πότε ισχύει η σχέση b ( ) = lim ( ) b lim f x dx f x dx, υπό την προϋπόθεση φυσικά ότι η ακολουθία των συναρτήσεων f είναι ολοκληρώσιµη στο προς ολοκλήρωση σύνολο. Εστω f x = x x x = 2 ( ) ( ), 0,,2,3, k Eπειδή ( λ ) lim = 0, λ <, k =,2,..., έχουµε ( ] lim f ( x) = 0, x 0,. 5
Επίσης (0) 0 f =, άρα lim f ( x) 0, x [ 0,] =. Τελικά: ( ) lim f 0 0 x dx=. Aπ την άλλη µεριά, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της αντικατάστασης παίρνουµε οπότε 2 2 + 2 2 2 2 x( x ) dx= ( x ) d( x ) = 0, 0 ( ). lim f lim 0 x dx= = 2 + 2 2 Κατά συνέπεια, το όριο του ολοκληρώµατος δεν ισούται πάντα µε το ολοκλήρωµα του ορίου, ακόµα και αν τα δυο όρια είναι πεπερασµένα. Ορισµός.2. Θα λέµε ότι µια ακολουθία συναρτήσεων { f }, =,2,3,... που ορίζονται σ ένα υποσύνολο E της πραγµατικής ευθείας συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια συνάρτηση f στο E, αν για κάθε ε > 0, υπάρχει φυσικός αριθµός, τέτοιος ώστε για κάθε να ισχύει f ( ) ( ), x f x < ε x E. Οµοίως, θα λέµε ότι η σειρά f ( x) συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια = συνάρτηση g στο σύνολο E, αν η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων S( x) = f( x) συγκλίνει οµοιόµορφα στο E. Τα ακόλουθα κριτήρια είναι πολύ χρήσιµα για την οµοιόµορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων ή σειρών συναρτήσεων: = Θεώρηµα.6. Eστω f x f ( x) lim ( ) = σηµειακά στο E. Aν M = sup f ( x) f( x), x E 6
τότε lim + f = f οµοιόµορφα στο E αν και µόνον αν lim M = 0. + Θεώρηµα.7. (M-test Weierstrss) Eστω { f } είναι µια ακολουθία πραγµατικών συναρτήσεων που ορίζονται στο σύνολο E. Αν και f ( x) M, x E, =,2,3,..., M <, = τότε η σειρά συναρτήσεων f συγκλίνει οµοιόµορφα στο E. = Θεώρηµα.8. Εστω { f } είναι µια ακολουθία συνεχών (παραγωγίσιµων) πραγµατικών συναρτήσεων που ορίζονται στο σύνολο E. Αν lim f = f οµοιόµορφα στο E, τότε και η οριακή + συνάρτηση f είναι συνεχής (παραγωγίσιµη) στο E. Μάλιστα, αν { f } είναι ακολουθία παραγωγίσιµων συναρτήσεων, τότε ( ) ( ) lim f x = f x. Θεώρηµα.9. Εστω { f } είναι µια ακολουθία ολοκληρώσιµων πραγµατικών συναρτήσεων που ορίζονται σε κλειστό διάστηµα b., Αν lim f f b,, τότε και η οριακή [ ] = οµοιόµορφα στο [ ] + συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη στο [, ] b και ισχύει ( ) = lim ( ) = ( ) b b b lim f x dx f x dx f x dx..3. Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Ορισµός.3. Εστω > 0. Θα λέµε ότι µια πραγµατική συνάρτηση, + αν η f είναι ολοκληρώσιµη σε f είναι ολοκληρώσιµη στο [ ) κάθε διάστηµα [ c, ] [, ) ολοκλήρωµα της f + και το γενικευµένο (ή µη γνήσιο) clim c f + ( ) xdx 7
υπάρχει ή όπως λέµε συγκλίνει σε κάποιο πραγµατικό αριθµό. Τότε γράφουµε + f ( x) dx<. Σε αντίθετη περίπτωση λέµε ότι το γενικευµένο ολοκλήρωµα της f στο [, + ) αποκλίνει. Ορισµός.4. Θα λέµε ότι η f είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη στο [, + ) αν + ( ) f x dx<. Για τη µελέτη της σύγκλισης γενικευµένων ολοκληρωµάτων υπενθυµίζουµε το ακόλουθο κριτήριο σύγκρισης: Πρόταση.. Εστω f, g είναι ολοκληρώσιµες συναρτήσεις σε κάθε διάστηµα [ c, ] [, + ). Αν ( ) ( ) f x g x x>, τότε ( ) ( ) + + g x dx< f x dx<. Πόρισµα.. Αν f είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη στο [, + ) τότε είναι ολοκληρώσιµη στο [, + ). Παρατηρήσεις. (α) Ανάλογα αποτελέσµατα ισχύουν και για το,b : γενικευµένο ολοκλήρωµα της f στο ( ] b b ( ) = ( ), ( < 0) f x dx lim f x dx b. c (β) Αν µια πραγµατική συνάρτηση f : είναι ολοκληρώσιµη σε κάθε διάστηµα [ M, ] (, ), όπου M, είναι τυχαίοι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και είναι τέτοια ώστε + ( ) < και ( ) f x dx c M f x dx <, τότε λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο και ( ) + f x dx<. 8