Aðferðr Formúlur AÐFERÐIR FORMÚLUR... 1 3. AÐFERÐIR TIL AÐ MÆLA MIÐSÆKNI DREIFINGAR... 3 MIÐJA SPANNAR (MID RANGE)... 3 TÍÐASTA GILDI (MODE)... 3 MIÐGILDI (MEDIAN)... 3 MEÐALTAL (MEAN)... 3 VEGIÐ MEÐALTAL (WEIGHTED MEAN)... 3 3. AÐFERÐIR TIL AÐ MÆLA DREIFINGU (TVÍSTRUN)... 3 SPÖNN (RANGE)... 3 FJÓRÐUNGSMARK... 3 MEÐALFRÁVIK (MEAN DEVIATION)... 4 STAÐALFRÁVIK... 4 DREIFNI (FERVIK)... 4 FRÁVIKSHLUTFALL... 4 SKEKKING... 4 TYPPING... 4 4. AÐFERÐIR TIL AÐ FINNA MIÐJU DREIFINGAR... 5 ÞUNGAMIÐJA (MEAN CENTER)... 5 VEGIN ÞUNGAMIÐJA... 5 STAÐALFJARLÆGÐ... 5 VEGIN STAÐALFJARLÆGÐ... 5 5. LÍKINDI... 5 SAMTAKSREGLAN... 5 6. STRJÁLAR HENDINGAR... 6 MEÐALGILDI HENDINGAR = VÆNTANLEGT GILDI... 6 DREIFNI HENDINGAR... 6 TVÍKOSTADREIFING (TVÆR MÖGULEGAR ÚTKOMUR)... 6 POISSON-DREIFING... 6 7. SAMFELLDAR HENDINGAR NORMALDREIFING... 7 NORMALDREIFINGIN... 7 STAÐLAÐA NORMALDREIFINGIN... 7 8. ÖRYGGISBIL... 8 ÖRYGGISBIL MEÐ Z-GILDI... 8 Σ ÓÞEKKT : ÖRYGGISBIL MEÐ T-DREIFINGU... 9 JAFNA FYRIR ÖRYGGISBIL HLUTFALLA... 9 9. AÐ PRÓFA TILGÁTUR...10 TVENNS KONAR TILGÁTUR...10 VAL MARKTEKTARSTIGS...10 TILGÁTUR FYRIR MEÐALTAL...10 TILGÁTUR FYRIR MEÐALTAL...10 TILGÁTUR FYRIR HLUTFALL...10 11. STIKALAUS PRÓF...11 MANN-WHITNEY PRÓFIÐ...11 1
WILCOXON-PRÓFIÐ...1 KRUSKAL-WALLIS PRÓFIÐ...1 1. STIKALAUS PRÓF...13 KÍ-KVAÐRATPRÓF ( )...13 PRÓFUN Á POISSONDREIFINGU (BLS. 357-358)...13 PRÓFUN Á NORMALDREIFINGU (BLS. 358-359)...14 13. FYLGNI...15 PUNKTARIT (SCATTERGRAM EÐA SCATTERPLOT)...15 HELSTU AÐFERÐIR...15 SKILYRÐI FYRIR ÞVÍ AÐ NOTA FYLGNISTUÐUL PEARSONS, R...16 INNTAK FYLGNISTUÐULSINS: SAMDREIFNI (COVARIANCE)...17 ÚTREIKNINGUR Á R...17 EN HVERSU MARKTÆKUR ER FYLGNISTUÐULLINN?...17 PRÓFUN Á MARKTEKT FYLGNISTUÐULS...18 14. AÐHVARF (6. KAFLI Í BÓK)...18 HVAÐ ER R?...18 STAÐALFRÁVIK LEIFANNA:...18 MAT Á SKEKKJU Í LÍNULEGRI AÐHVARFSGREININGU...18 ÚRTAKSDREIFINGAR FYRIR A OG B...19 TIL ATHUGUNAR...19 Aðgerðr sem gerðar eru með þýð, eru tákaðar með grískum bókstaf Aðgerðr sem gerðar eru með úrtak, eru tákaðar með vejulegum bókstaf.
3. Aðferðr tl að mæla mðsæk drefgar Mðja spaar (md rage) hæsta gld + lægsta gld Mðja spaar = Tíðasta gld (mode) Sú mælg sem oftast kemur fyrr Mðgld (meda) Það gld sem skptr mælgu í tvo jafa hluta. fjöld tala () + 1 Mðgld = = tala, sem segr tl um úmer gldss sem skptr mælgu í tvo jafa hluta. Meðaltal (mea) Summa allra glda X = = fjölda µ = X Vegð meðaltal (weghted mea) Öll gld lögð sama og delt með vgt, eða: X w = k j= 1 X j f j 3. Aðferðr tl að mæla drefgu (tvístru) Spö (rage) Spö = hæsta gld lægsta gld X Fjórðugsmark Þurfum að skrfa gög upp í hækkad röð og skpta þem upp í fjóra jafstóra hluta. P75 P5 Fjórðugsmark = 3
Meðalfrávk (mea devato) Summa af öllum gldum meðaltal Meðalfrávk = = Fjölda Staðalfrávk s = σ = (X X) 1 Dref (fervk) s = σ = (X µ ) N (X X) 1 (X µ ) N Frávkshlutfall s σ CV = CV = Rekað tl að geta borð sama tvístru tveggja drefga X µ Eftr því sem CV er hærra, þem mu mera drefast gög. Skekkg Typpg 3 (X X) Skekkg = 3 s 3(X mðgld) Pearso's skekkg = s Typpg = (X X) 4 s 4 (X X) Typpg = 3 4 s 4 = 1 X X 4
4. Aðferðr tl að fa mðju drefgar Þugamðja (mea ceter) X Y X C = og YC = s Y c & X c = þugamðja X og Y hta Y & X = staðsetg pukts ( X, Y ) = fjöld tala í dæm Veg þugamðja f X X C = og YC = f Staðalfjarlægð f Y X Y SD = Xc + Yc Veg staðalfjarlægð 5. Líkd f ( X ) f ( Y ) wc f f SWD = X + Ywc Samtaksregla! C r = r! ( r )! = fjöld tala r = fjöld tlvka (hversu oft má raða töluum () á r-vegu) f 5
6. Strjálar hedgar Meðalgld hedgar = vætalegt gld E(X) = P( x) x Dref hedgar [ ] V(X) = ( x) P( x) E(X) Tvíkostadrefg (tvær mögulegar útkomur) Líkur á aarr útkomu er π. x x P(X) = C π 1 π, x = 0,1,,3..., x ( )! Cx Cr = r!( r)! Vætalegt gld og dref fyrr tvíkostadrefgu er: E(X) = π V(X) = π (1 π ) Dæm með tvíkostadrefgu: Peg er kastað 0 sum, hverjar eru líkurar á því að vð fáum ladvætta 1 sum. Svar: Þetta er Tvíkostadrefg: tver mögulekar, þer eru ladvættr og fskar. = 0, x = 1, π = 0,5 (á vel gerðum peg) x 0 1 1 ( ) C ( ) ( ) x 0 1 8 P(X) = C π 1 π = 0,5 1 0,5 = 15970 0,5 0,5 = 0,101 x 1 Eða: líkurar á því að fá ladvætta 1 sum er 1,01%. Posso-drefg Fjöld skpta sem atburður gerst er λ x e λ λ Líkur á atburðum eru P(X) = x! Vætalegt gld og dref fyrr Posso-drefgu er: E(X) = λ V(X) = λ Dæm með Posso-drefgu: Vatakerf afmarkaðs svæðs vð Amazo-fljótð: fjöld ármóta á ferkílómetra er 0,35. a) Reka líkurar á ármótum á ferkílómetra! Notum posso-drefgu. 6
X = λ = 0,35 0,35 e 0,35 P() = = 0,043 eða 4,3% líkur! b) Á öðru athuguarsvæð, legra í lad, eru ármót, á ferkílómetra. Hverjar eru líkurar á a.m.k. 4 ármótum á ferkílómetra? X = 4 λ =,, 3 e, Líkur á að a.m.k. 4 ármót er P(3) = = 0,1966 3! 1 P(3) P() P(1) P(0) = 0,1807, eða 18,07% e, P() = = 0, 681!, 1 e, P(1) = = 0, 438 1!, 0 e, P(0) = = 0,1108 0! 7. Samfelldar hedgar Normaldrefg Normaldrefg Um ormaldrefgua gldr: E(X) = µ V(X) = σ Staðlaða ormaldrefg µ = 0 og σ = 1 E þá kemur formúla: Z X = µ σ Dæm um ormaldrefgu: Í borg e tekur það fólk að meðaltal 40 mí að komast í vua. Staðalfrávk er 1,5 mí. Gera má ráð fyrr ormaldrefgu. Hverjar eru líkurar á því að maður er legur e ea klukkustud? X µ Z = σ µ = 40 Þegar flett er upp í Z-töflu, er flatarmálð fyrr 1,6: 0,0548 σ = 1,5 X > 60 60 40 Z gld = = 1,6 1,5 Sem sagt það eru 5,48% líkur á að maður er legur e klukkutíma á leð í vu 7
8. Öryggsbl Öryggsbl með Z-gld σ X ± Zα / Eða σ X Zα / µ X + Zα / σ α/ α/ öryggsbl eðr öryggsmörk efr öryggsmörk Örygg sem óskað er eftr Öryggsstg (1 α) α α / 90% 0,90 0,10 0,05 95% 0,95 0,05 0,05 99% 0,99 0,01 0,005 Dæm: Í köu meðal 5 vðskptava stórmarkaðar kemur í ljós að meðalferðatím frá heml tl versluar er 16 míútur. Okkur er tjáð að s sé 4 míútur. Fð á hvaða bl ut er að fullyrða með 99% örygg að meðalferðatím allra vðskptava stórmarkaðars lgg. Svar: X = 16 m. σ = 4 m. = 5 α = 1% 4 4 16 0, 4801 µ 16 + 0, 4801 5 5 15, 6 µ 16,38 8
σ óþekkt : öryggsbl með T-drefgu X µ T = eða T-drefg, þ.e.a.s. ef úrtak er ma e 30. s / Frítala = df = ( 1) Dæm: Sama dæm og áða, ekkert staðalfrávk gefð, eugs puktmat þess (s) X = 16 m. s = 4m. = 5 α = 1% df = 4 Jafa fyrr öryggsbl hlutfalla p(1 p) p(1 p) p Zα / π p + Zα / Dæm: Það líður að forsetakosgum. Koa okkur hefur hug á að bjóða sg fram á mót stjad forseta ef hú getur verð 95% örugg um að á kjör (e tl þess þarf hú a.m.k. helmg atkvæða). Gerð var skoðaaköu þar sem 00 mas voru spurðr hvort þer mydu kjósa haa eða ekk. Kom í ljós að 108 mas mydu kjósa haa e 9 ekk. Að fegum þessum ðurstöðum, á hú að þora að bjóða sg fram? 9
9. Að prófa tlgátur Tves koar tlgátur Núlltlgáta, H 0 Gagtlgáta, H A Val marktektarstgs Algeg gld: 0,10; 0,05; 0,01 Tlgátur fyrr meðaltal (staðalfrávk þýðs þekkt eða stór úrtök; > 30) x µ 1. aðferð z = σ σ. aðferð x = µ ± zα Í þessum tlfellum otumst vð vð z-drefgua. Tlgátur fyrr meðaltal (staðalfrávk þýðs óþekkt eða lítl úrtök; 30 x µ 1. aðferð t = s. aðferð x = µ ± tσ, = 1 df s ) Tlgátur fyrr hlutfall p π z = σ p = σ p p = π + z α π ( 1 π ) π ( 1 π ) 10
11. Stkalaus próf Stkalaus próf = drefgaróháð próf (ögvr stkar (σ, µ, π)) Stkalaus próf má ota á mjög lítl úrtök, eda byggja stkalaus próf upp á mu efaldar aðferðum. Stkabud tölfræð Stkalaus tölfræð. (drefgar/forseduháð) (drefgaróháð) - parametrc-tests - o-parametrc-tests Þurfa að uppfylla okkrar forsedur tl Gera færr kröfur þess að það meg ota þær. t.d. Ekk es sterk, e þó mu betr ef» ormaldrefðar sklyrð stkabudu eruekkuppfyllt.» sæmlega stór úrtök» tlvljuarked Notuð þegar um er að ræða af- eða raðbreytur Ef þessum sklyrðum er fullægt á sklyrðs- eða þegar úrtaksdrefg þýðss er Laust að ota stkabudar aðferðr - því þá ekk ormaldrefgu. eru líkurar á höfuarmstökum m. (Mátgæðapróf kaar hvort e-ð haf ákveða drefgu) Ma-Whtey prófð Notað tl að bera sama tvö óháð úrtök (sbr. t-próf fyrr msmu tveggja meðaltala). Hægt að ota á mjög lítl úrtök. Forseda þess að það meg ota þetta próf er sú að drefg beggja úrtaka sé svpuð að lögu: Tökum tvö úrtök x 1, x,...x 1 og y 1,y..y Röðum öllum gldum beggja úrtakaa í hækkad röð (sameum gld úr x-úrtak og y-úrtak og gefum þem sætstölu). Hugmyd að bak MW-prófss gegur út á það að ef að úrtök eru tek úr sama þýð þá ætt meðalsætstala beggja úrtaka að vera okkur veg sú sama. 11
Rekum summu allra sætstalaa fyrr úrtak x og köllum þá summu S. Það er síða otað tl að taka ákvörðu um hvort úlltlgátu skul hafað eður e. Úrtaksdrefg S álgast ormaldrefgu ef bæð úrtök hafa 10 eða fler gld. Þar af leðad ota má hefðbudð blmat eða tlgátupróf með hjálp z tl að prófa tlgátu um δ = 0 Wlcoxo-prófð Notað tl að bera sama pöruð gld Erum með pör (x,y...) Rekum msmu, D = y x Hedum út öllum pörum með D = 0 og lækkum úrtaksstærða sem samsvarar því Tökum tölugldð á msmu sérhvers pars, röðum því í hækkad röð og gefum því sætstölu Hverr sætstölu gefum vð eg formerk + eða - Síða rekum vð T (summu sætstalaa með formerkjum) og það er otað tl að taka ákvörðu um hvort tlgátu skul hafað eður e Úrtaksdrefg T álgast ormaldrefgu ef pöruðu gld eru 10 eða fler. Kruskal-Walls prófð 1
1. Stkalaus próf Kí-kvaðratpróf ( ) 1. Notað á talgar (tíð). Gagasaf er skpt í k flokka 3. Tíð í hverjum flokk (fud tíð / observed frequecy) er f ( tákar hér úmer flokks) 4. Summa af tíð í öllum flokkum er (stærð úrtaks) 5. Sett er fram úlltlgáta sem gerr ráð fyrr að um tlteka, þekkta drefgu sé að ræða 6. Fudð er út frá tlsvarad líkdadrefgu hver tíð ætt að vera (vætaleg tíð / expected frequecy) ef úlltlgáta stæðst: F 7. Rekað hlutfallð (f F) /F fyrr hver flokk og það summað 8. Þess summa er prófhedg, X. Frítala v er fud svoa: Ef er stórt má fa v = k m 1 m = fjöld þerra breyta sem þarf tl að geta lýst þerr drefgu sem verð er að máta vð k = fjöld flokka Þær takmarkar sem mðast er vð í kí-kvaðrat eru: a. Vætaleg tíð má ekk vera m e í hverjum flokk b. Ekk mega mera e 0% flokka hafa vætalega tíð udr 5 Prófu á Possodrefgu (bls. 357-358) 1. Setja fram tlgátur. Gera töflu yfr rauverulega tíð atburða, frá 0 upp í... 3. Reka vætalega tíð atburða út frá jöfu Possodrefgar 4. Slá sama flokkum þag að sklyrð um lágmark í vætalegr tíð séu uppfyllt 5. Reka X út frá þessu 6. Reka frítölu og fa töflugld á c 7. Bera sama X og c 8. Draga ályktu! e P(X) = x! λ x λ 13
Prófu á Normaldrefgu (bls. 358-359) 1. Setja fram tlgátur. Skpta ormaldrefgu í okkra flokka sem hafa sama flatarmál udr ormalkúrvu a. Því fler flokkar, því betra, e þó þag að sklyrð um vætalega tíð séu uppfyllt 3. Fa mörk flokkaa (ota z) og yfrfæra í rauverulegar egar m.v. meðaltal og staðalfrávk úrtaks 4. Telja hversu mörg gld leda í hverjum flokk í rau (fud gld) 5. Reka X 6. Reka frítölu og fa töflugld á χ 7. Bera sama X og χ 8. Draga ályktu! Í glósum kearas er farð ýtarlegar í aðgerðr vð kí-kvaðrat... skoða vel 14
13. Fylg Kaað sambad á mll tveggja breyta Mua kí-kvaðrat: Þá var prófað hvort um sambad vær að ræða mll flokka (afbreyta) segr ekk tl um stefu eða styrk sambads Fylg sýst (oftast) um breytur sem mældar eru á bl- eða hlutfallskvarða Hvort um fylg er að ræða, og ef svo er, hvers eðls og hversu sterk hú er. Eugs fjallað um líulegt sambad að þessu s (þess hlut). Puktart (scattergram eða scatterplot) Helstu aðferðr Fylgstuðull þýðs tákaður með ρ Fylgstuðull úrtaks tákaður með r Fylgstuðull Pearsos (correlato coeffcet) tákaður með r stkabud (drefgarháð) aðferð Fylgstuðull Spearmas, r s stkalaus (drefgaróháð) aðferð r lggur á blu -1 tl +1, þar sem r = -1 þýðr fullkomlega ekvætt sambad r = +1 þýðr fullkomlega jákvætt sambad r = 0 þýðr að ekkert sambad er á mll breytaa. 15
Sklyrð fyrr því að ota fylgstuðul Pearsos, r Drefg þarf að vera tvívíð ormaldrefg: Bæð X og Y þurfa að vera okkur veg ormaldrefðar breytur, hvar sem er 16
Itak fylgstuðulss: samdref (covarace) Útrekgur á r Fylgstuðull er staðlaður með því að dela með margfeld staðalfrávka beggja breytaa: r S S S XY = = X Y = 1 ( X X )( Y Y ) ( X X ) ( Y Y ) = 1 = 1 Efaldar rekformúla ef reka þarf r í höduum : X Y 1 1 X Y = = = 1 r = X X Y Y = 1 = 1 = 1 = 1 E hversu marktækur er fylgstuðull? Fylgstuðull úrtaks r er metll fyrr fylgstuðul þýðs ρ Prófa þarf hvort r er marktækur: Hvort ha gæt stafað af tlvlju (vega úrtöku) eður e Nákvæmlega sama vulag vð slíkt próf og öur sem vð höfum kyst: Núlltlgáta: Eg fylg er á mll breytaa (H 0 : ρ = 0 ) Gagtlgáta: Fylg er á mll breytaa (H A : ρ 0 ) Prófa má með föstu marktektarstg eða Höfuarglds aðferð 17
Prófu á marktekt fylgstuðuls Prófhedg er hð gamalkua t r t = 1 r Hægt er að bera rekað t sama vð t úr töflu, með frítölua (-). 14. Aðhvarf (6. kafl í bók) Stuðlarr r og r í jöfum beu líuar í sambad vð tölfræðleg samböd, má fa á efalda hátt með vasarekum. Slá gög og fa r og r á svpaða hátt og mðgld, meðaltal og staðalfrávk Hvað er r? tala sem segr tl um hversu mkll hlut heldarfrávks frá meðalgld á Y er skýrður með aðhvarf Y á X Staðalfrávk lefaa: Mat á skekkju í líulegr aðhvarfsgregu 1. Fylgstuðull (r) o mælr hversu sterkt líulegt sambad er á mll breytaa og um leð er það mælkvarð á það hversu góð álgum lía er á puktuum. Skýrgarhlutfall - (r ) o segr tl um hversu stóra hluta af breytgum í y má skýra með breytgu á x 3. Staðalskekkja á mat - (se) o ett af markmðum aðhvarfsgregar er forspárgld hear, þ.e. hægt er að ota líua tl að spá fyrr um y fyrr ákveð x. Vð það kemur ákveð skekkja (staðalskekkja á mat) sem stafar af því að vð erum að ota x tl að meta y. 18
Úrtaksdrefgar fyrr a og b 1. Aðhvarfslía Y = a + bx er byggð á úrtak. Rauverulegu sambad er lýst með jöfu Y = α + βx Úrtaksdrefg stuðulss b er ormaldrefg, með meðaltal β (sem meta má með b) og staðalfrávk σ b, sem meta má með Vega þess að staðalfrávkð er ekk þekkt heldur metð verður að ota t-drefgu tl að gera blmat eða próf (sbr. bls. 113: Tl athuguar Muð að hrapa ekk að ályktuum um orsakasambad! Vadasamt getur verð að ota aðhvarf tl að spá fyrr um Y-gld sem lggja uta vð það svð sem mæld X-gld spaa Ladfræðleg gög (gög tegd svæð) eru vðkvæm fyrr því hverg svæð eru afmörkuð Athuga þarf sérstaklega hvort efarar (outler) eða öfgagld (extreme value) leyast í gagasafu oft rétt að athuga þau sérstaklega og taka þau jafvel út úr útrekgum 19