ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες. Ρίχνουμε ένα ζάρι και αν το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο του επιλέγουμε τυχαία χωρίς επανάθεση μπάλες από το Δ αλλιώς από το Δ. (Α) Ποια η πιθανότητα να πάρουμε άσπρη και μαύρη; (Α) Ποια η πιθανότητα να είχαμε επιλέξει τις μπάλες από το δοχείο Δ αν πήραμε άσπρη και μαύρη; Συμβολίζουμε τα γεγονότα: Δ{επιλέγουμε από το δοχείο Δ}, Δ{επιλέγουμε από το δοχείο Δ}, Α {επιλέγουμε άσπρη και μαύρη} και με Ζ την τυχαία μεταβλητή με τιμές το αποτέλεσμα του ζαριού (ακολουθεί την διακριτή ομοιόμορφη με p i, i,,, 6). Η επιλογή του δοχείου καθορίζεται από το αποτέλεσμα της ρίψης 6 του ζαριού επομένως Ρ(Δ) P(Z > ) 4. Αντίστοιχα Ρ(Δ) 6 P(Z > ) 4. Το γράφημα που περιγράφει το πείραμα δίνεται στην διπλανή 6 εικόνα. Α. P(A) P(Δ) P(A Δ) + P(Δ) P(A Δ) () Η επιλογή από κάθε δοχείο γίνεται χωρίς επανάθεση επομένως η πιθανότητα επιλογής τυχαίου δείγματος μεγέθους ν με κ άσπρες και μ μαύρες μπάλες (κ+μν) υπολογίζεται με χρήση της υπεργωμετρικής κατανομής, έτσι: () : P(A) 6 4 + 5.54 6 8 67 Α. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Baes P(Δ A) P(ΑΔ) P(Α) P(Δ) P(A Δ) P(Δ) P(A Δ)+P(Δ) P(A Δ) 5 67.4. ΘΕΜΑ 4: Για μια ερώτηση επιλογής με 5 απαντήσεις εκ των οποίων μόνο η μια είναι σωστή, υποθέτουμε ότι από το σύνολο των φοιτητών που εξετάζονται μόνο το 4% γνωρίζει την απάντηση. (Α) Αν επιλέξουμε τυχαία ένα φοιτητή ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά; (Α) Η εξέταση αποτελείται από 5 ερωτήσεις αυτού του είδους ανεξάρτητες μεταξύ τους. Ποια η πιθανότητα ο φοιτητής ν απαντήσει σωστά σε τουλάχιστον 7 αλλά λιγότερες από από τις ερωτήσεις; Συμβολίζουμε τα γεγονότα: Γ{ο φοιτητής γνωρίζει την απάντηση}, Σ{ο φοιτητής απαντά σωστά}. Επιλέγουμε τυχαία ένα φοιτητή, επομένως Ρ(Γ).4. Αν ο φοιτητής γνωρίζει την απάντηση, Ρ(Σ Γ), αν δε γνωρίζει απαντά στην τύχη (επιλέγει τυχαία μια στις πέντε), επομένως Ρ(Σ Γ ).. 5 Α. Επιλέγοντας τυχαία έναν φοιτητή ισχύουν αυτά που γράψαμε προηγούμενα επομένως P(Σ) P(Γ) Ρ(Σ Γ) + P(Γ ) Ρ(Σ Γ ).4 +.6..5 Α. Κάθε ερώτηση αποτελεί μια δοκιμή Bernoulli για τον τυχαία επιλεγμένο φοιτητή με πιθανότητα επιτυχίας ίση με.5 όπως υπολογίστηκε στο ερώτημα Α. Επομένως η τ.μ. Χ που μετρά το πλήθος των σωστών απαντήσεων ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Β(5,.5) και η ζητούμενη πιθανότητα είναι η Ρ(7 Χ < ) Ρ(7 Χ ). Πρακτικά για πλήθος επαναλήψεων μεγαλύτερο ή ίσο του η παραπάνω πιθανότητα προσεγγίζεται σχετικά ικανοποιητικά με τη βοήθεια της κανονικής κατανομής Ν(5.5, 5.5 (.5)) ή Ν(8., 8.76). Χρησιμοποιώντας τη διόρθωση συνέχειας βρίσκουμε: Ρ(7 Χ ) Ρ 7.5 8..95567 Φ(.778) Φ(.577) Φ(.778) + Φ(.577) +.499. Ζ +.5 8. Ρ(.575 Ζ.778).95567 ΘΕΜΑ 5: Η τ.μ. Χ έχει την ομοιόμορφη κατανομή στο [,]. (Α) Να βρείτε τις συναρτήσεις πυκνότητας και κατανομής της τ.μ. Y X. (Α) Να βρείτε ένα κάτω φράγμα της πιθανότητας P( < Y < ) με χρήση της ανισότητας Chebshev ( P( X μ k σ) k ). A. Η τ.μ. ακολουθεί τη συνεχή ομοιόμορφη κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) όττν < x < και αλλού. Η συνάρτηση τ.μ. φ(x) x είναι γνησίως αύξουσα στο [,], έχει αντίστροφη την φ () και θετική πυκνότητα στο διάστημα (,). Με εφαρμογή του Θ.4.4, η συνάρτηση π.π. της Y δίνεται από τη σχέση f Y () d( ), έτσι : η σ.π.π. είναι dd
f Y () (,) ααααύ Για τη σ.κ. έχουμε: όταν <, F Y () dd, όταν <, F Y () dd + ttt, επομένως : < η σ.κ. είναι F Y () < και όταν, F Y () dd + + dd Α. Υπολογίζουμε τη μέση τιμή και την διασπορά της Y. EE και EY άρα VarXσ EY (EE) και σ 8 Το ζητούμενο κάτω φράγμα υπολογίζεται από την ανισότητα Chebshev: P( X μ k σ) k P( X μ < k σ) k P( X μ < k σ) k. Για τη δοσμένη πιθανότητα έχουμε P < Y < P < Y < P < Y < P Y < P Y < ΘΕΜΑ 6: Η τ.μ. Χ μετρά πόσες φορές ένας διακόπτης λειτουργεί πριν χρειαστεί αλλαγή και έχει συνάρτηση πιθανότητας f(x) c( )x, x,,,. (A) Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς c ώστε η f(x) να ικανοποιεί τις ιδιότητες της συνάρτησης πιθανότητας. (Α) Έστω τα γεγονότα Α: «ο διακόπτης λειτουργεί τουλάχιστον α φορές» και Β: «ο διακόπτης λειτουργεί τουλάχιστον α + β φορές». Υπολογίστε την πιθανότητα P(Β Α) και δώστε την ερμηνεία του αποτελέσματος. (Α) Βρείτε την πιθανογεννήτρια της τ.μ. Χ και χρησιμοποιείστε αυτή για να υπολογίσετε τις παραμέτρους ΕΕ και VVVV. A. Η τ.μ. Χ είναι διακριτή (απαριθμητή), επομένως πρέπει (ι) f(x), και (ιι) f(x). Από την (ιι) βασιζόμενοι στη σύγκλιση της γεωμετρικής σειράς έχουμε: c( )x c c Α. P(Β Α) P(AA) () Είναι a, β, έτσι για τον αριθμητή το σύστημα ανισώσεων: x a κκκ x α + β, συνεπάγεται x α + β, επομένως P(AA) P(X α + β). Αντιστοίχως P(A) P(X α). Μπορούμε να συνεχίσουμε P(A) με τρεις τρόπους: α τρόπος) με αλλαγή μεταβλητής στο δείκτη, t x α, οπότε x t + α για τον αριθμητή έχουμε νέα όρια, β και, ενώ P(X α + β) ( )x tβ ( )t+α ( )α xα+β tβ t. Για τον παρονομαστή αντίστοιχα τα όρια είναι και ενώ P(X α) ( )x xα t t+α ( )α ( t )t ( )α ( )α. Τελικά, (): P(Β Α) ( )α tβ t ( )α tβ t P(X β). β τρόπος) P(X α + β) xα+β ( )x xα+β ( )x, με αλλαγή μεταβλητής στο δείκτη, t x α β και νέα όρια, και, έχουμε P(X α + β) ( )t+α+β ( )α+β ( )t ( )α+β t t ( )α+β. Αναλόγως, με αλλαγή μεταβλητής στον δείκτη t x α και νέα όρια και, υπολογίζουμε ότι P(X α) t ( )t+α ( )α. Τελικά, (): P(Β Α) ( )α+β ( ( )α )β tβ t P(X β).
γ τρόπος) χρησιμοποιώντας τον τύπο για τα μερικά αθροίσματα της γεωμετρικής σειράς, P(X α + β) α+β x x ( a+β ( )α+β α. Ανάλογα P(X α) x x φτάνουμε στο ίδιο αποτέλεσμα, P(Β Α) ( )α+β ( ( )α )β tβ t P(X β). ( a ( )α. Οπότε Το αποτέλεσμα αυτό ερμηνεύεται ως «έλλειψη μνήμης», αφού το να λειτουργεί για τουλάχιστον α+β φορές δεν εξαρτάται από το πλήθος α των φορών που έχει ήδη λειτουργήσει αλλά αποκλειστικά από τις επιπλέον φορές β (αναμενόμενο αφού η τ.μ. που έχει δοθεί ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας την πιθανότητα να χρειαστεί αλλαγή, θ ). x z A. Π(z) E(z x ) z x x ( )x (z )x, (για < z < ), αποτέλεσμα που θα μπορούσαμε να z πάρουμε απευθείας με χρήση του τυπολογίου και της γεωμετρικής κατανομής. ΕΕ Π (z) z ( z) z, ΕΕ(X ) Π (z) z 4 ( z) z και τελικά VVVV Π () + Π () (Π ()), αποτελέσματα που 4 μπορούν επίσης να επαληθευτούν από το τυπολόγιο (χωρίς όμως να χρησιμοποιηθούν οι τύπο του τυπολογίου αφού στην εκφώνηση ήταν ξεκάθαρο ότι ο υπολογισμός τους πρέπει να γίνει με χρήση της πιθανογεννήτριας). ΘΕΜΑ 7: (Α) Να αποδείξετε ότι αν δυο ανεξάρτητες τ.μ. X, Y ακολουθούν κατανομές Poisson, P(λ) και P(μ) αντίστοιχα τότε η τ.μ. Z X + Y ακολουθεί την Poisson P(μ + λ). (Β) Σ ένα κατάστημα το πλήθος των πελατών που έρχονται για αλλαγή των προϊόντων ανά ώρες ακολουθεί κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό πελάτες. (Β) Υπολογίστε την πιθανότητα να έρθει τουλάχιστον ένας πελάτης στο διάστημα μιας ώρας. (Β) Υπολογίστε την πιθανότητα, το σύνολο των πελατών που θα έρθουν για αλλαγή σε διαφορετικά τρίωρα να είναι το πολύ. A. Γνωρίζουμε ότι η κατανομή του αθροίσματος δυο ανεξάρτητων μεταβλητών, μπορεί να αναγνωριστεί από την πιθανογεννήτρια του αθροίσματος η οποία στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται από το γινόμενο των πιθανογεννητριών. Από το τυπολόγιο έχουμε ότι M X (t) e λ( t) και M Y (t) e μ( t), επομένως M Ζ (t) M X (t) M Y (t)e (λ+μ)( t). Η τελευταία συνάρτηση αποτελεί την πιθανογεννήτρια μιας κατανομής Poisson με παράμετρο (λ + μ). (Β) Θεωρούμε το διάστημα (, ) και την τ.μ. X() του πλήθους των πελατών που φθάνουν στο διάστημα (, ), (ανέλιξη Poisson). Στο διάστημα αυτό ο αναμενόμενος αριθμός πελατών είναι ίσος με λ, έτσι P(Χ() ) P(X() ) e.6.! (Β) Αν Χ είναι το πλήθος των πελατών στο ένα από τα δυο τρίωρα και Υ στο άλλο, τότε η τ.μ. που εκφράζει το σύνολο δηλαδή το άθροισμα των πελατών στα δυο τρίωρα είναι η Z X + Y, η οποία όπως αποδείξαμε στο ερώτημα Α, λόγω της ανεξαρτησίας των τ.μ., ακολουθεί την Poisson κατανομή P( + ) δηλαδή την P(6). Επομένως ζητείται η πιθανότητα P(Ζ ) P(Ζ ) + P(Ζ ) + P(Ζ ) + P(Ζ ) e + e 6 + e 6 + e 6.5.!!! 6 6 6 6 6!
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Β Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει άσπρες και 5 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 4 άσπρες και 6 μαύρες μπάλες. Ρίχνουμε ένα ζάρι και αν το αποτέλεσμα είναι μικρότερο του 5 επιλέγουμε τυχαία χωρίς επανάθεση μπάλες από το Δ αλλιώς από το Δ. (Α) Ποια η πιθανότητα να πάρουμε άσπρη και μαύρη; (Α) Ποια η πιθανότητα να είχαμε επιλέξει τις μπάλες από το δοχείο Δ αν πήραμε άσπρη και μαύρη; Συμβολίζουμε τα γεγονότα: Δ{επιλέγουμε από το δοχείο Δ}, Δ{επιλέγουμε από το δοχείο Δ}, Α{επιλέγουμε άσπρη και μαύρη} και με Ζ την τυχαία μεταβλητή με τιμές το αποτέλεσμα του ζαριού (ακολουθεί την διακριτή ομοιόμορφη με p i, i 6,,, 6). Η επιλογή του δοχείου καθορίζεται από το αποτέλεσμα της ρίψης του ζαριού επομένως Ρ(Δ) P(Z < 5) 4. Αντίστοιχα Ρ(Δ) P(Z > 5) 4. 6 6 Το γράφημα που περιγράφει το πείραμα δίνεται στην διπλανή εικόνα. Α. P(A) P(Δ) P(A Δ) + P(Δ) P(A Δ) () Η επιλογή από κάθε δοχείο γίνεται χωρίς επανάθεση επομένως η πιθανότητα επιλογής τυχαίου δείγματος μεγέθους ν με κ άσπρες και μ μαύρες μπάλες (κ+μν) υπολογίζεται με χρήση της υπεργωμετρικής κατανομής, έτσι: 7.55 6 Α. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Baes P(Δ A) P(ΑΔ) P(Α) () : P(A) 5 + 8 4 6 P(Δ) P(A Δ) P(Δ) P(A Δ)+P(Δ) P(A Δ).668. ΘΕΜΑ 4: Για μια ερώτηση επιλογής με 5 απαντήσεις εκ των οποίων μόνο η μια είναι σωστή, υποθέτουμε ότι από το σύνολο των φοιτητών που εξετάζονται μόνο το % γνωρίζει την απάντηση. (Α) Αν επιλέξουμε τυχαία ένα φοιτητή ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά; (Α) Η εξέταση αποτελείται από 5 ερωτήσεις αυτού του είδους, ανεξάρτητες μεταξύ τους. Ποια η πιθανότητα ο φοιτητής ν απαντήσει σωστά σε τουλάχιστον 7 αλλά λιγότερες από από τις ερωτήσεις; Συμβολίζουμε τα γεγονότα: Γ{ο φοιτητής γνωρίζει την απάντηση}, Σ{ο φοιτητής απαντά σωστά}. Επιλέγουμε τυχαία ένα φοιτητή, επομένως Ρ(Γ).. Αν ο φοιτητής γνωρίζει την απάντηση, Ρ(Σ Γ), αν δε γνωρίζει απαντά στην τύχη (επιλέγει τυχαία μια στις πέντε), επομένως Ρ(Σ Γ ).. 5 Α. Επιλέγοντας τυχαία έναν φοιτητή ισχύουν αυτά που γράψαμε προηγούμενα, επομένως P(Σ) P(Γ) Ρ(Σ Γ) + P(Γ ) Ρ(Σ Γ ). +.7..44 Α. Κάθε ερώτηση αποτελεί μια δοκιμή Bernoulli για τον τυχαία επιλεγμένο φοιτητή με πιθανότητα επιτυχίας ίση με.44 όπως υπολογίστηκε στο ερώτημα Α. Επομένως η τ.μ. Χ που μετρά το πλήθος των σωστών απαντήσεων ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Β(5,.44) και η ζητούμενη πιθανότητα είναι η Ρ(7 Χ < ) Ρ(7 Χ ). Πρακτικά για πλήθος επαναλήψεων μεγαλύτερο ή ίσο του η παραπάνω πιθανότητα προσεγγίζεται σχετικά ικανοποιητικά με τη βοήθεια της κανονικής κατανομής Ν(5.44, 5.44 (.44)) ή Ν(5.4, 8.64). Χρησιμοποιώντας τη διόρθωση συνέχειας βρίσκουμε: Φ(.77) Φ(.75).6. Ρ(7 Χ ) Ρ 7.5 5.4.967 Ζ +.5 5.4 Ρ(.75 Ζ.77).967 ΘΕΜΑ 5: Η τ.μ. Χ έχει την ομοιόμορφη κατανομή στο [,]. (Α) Να βρείτε τις συναρτήσεις πυκνότητας και κατανομής της τ.μ. Y X. (Α) Να βρείτε ένα κάτω φράγμα της πιθανότητας P( < Y < ) με χρήση της ανισότητας Chebshev ( P( X μ k σ) k ). 6 4
A. Η τ.μ. ακολουθεί τη συνεχή ομοιόμορφη κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) ότττ < x < και αλλού. Η συνάρτηση τ.μ. φ(x) x είναι γνησίως αύξουσα στο [,], έχει αντίστροφη την φ () 4 και θετική πυκνότητα στο διάστημα (, ). Με εφαρμογή του Θ.4.4, η συνάρτηση π.π. της Y δίνεται από τη σχέση f Y () d(4 ) 8, έτσι : η σ.π.π. είναι dd f Y () 8 (, ) ααααύ Για τη σ.κ. έχουμε: όταν <, F Y () dd όταν <, F Y() dd + 8ttt 4, επομένως : < η σ.κ. είναι F Y () 4 <, και όταν, F Y() dd + 8 + dd Α. Υπολογίζουμε τη μέση τιμή και την διασπορά της Y. EE 8 και EY άρα VarXσ EY (EE) και σ 8 7 6 Το ζητούμενο κάτω φράγμα υπολογίζεται από την ανισότητα Chebshev: P( X μ k σ) k P( X μ < k σ) k P( X μ < k σ) k. Για τη δοσμένη πιθανότητα έχουμε P < Y < 6 P < Y < P < Y < P Y < P Y < 6 6 6 6 6 ΘΕΜΑ 6: Η τ.μ. Χ μετρά πόσες φορές ένας διακόπτης λειτουργεί πριν χρειαστεί αλλαγή και έχει συνάρτηση πιθανότητας f(x) h ( )x, x,,,. (A) Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς h ώστε η f(x) να ικανοποιεί τις ιδιότητες της συνάρτησης πιθανότητας. (Α) Έστω τα γεγονότα, Α: «ο διακόπτης λειτουργεί τουλάχιστον κ φορές» και Β: «ο διακόπτης λειτουργεί τουλάχιστον κ + λ φορές». Υπολογίστε την πιθανότητα P(Β Α) και δώστε την ερμηνεία του αποτελέσματος. (Α) Βρείτε την πιθανογεννήτρια της τ.μ. Χ και χρησιμοποιείστε αυτή για να υπολογίσετε τις παραμέτρους ΕΕ και VVVV. A. Η τ.μ. Χ είναι διακριτή (απαριθμητή), επομένως πρέπει (ι) f(x), και (ιι) f(x). Από την (ιι) βασιζόμενοι στη σύγκλιση της γεωμετρικής σειράς έχουμε: c( )x c c Α. P(Β Α) P(AA) () Είναι κ, λ, έτσι για τον αριθμητή το σύστημα ανισώσεων: x κ κκκ x κ + λ, συνεπάγεται x κ + λ, επομένως P(AA) P(X κ + λ). Αντιστοίχως P(A) P(X κ). Μπορούμε να συνεχίσουμε με P(A) τρεις τρόπους: α τρόπος) με αλλαγή μεταβλητής στο δείκτη, t x κ, οπότε x t + κ για τον αριθμητή έχουμε νέα όρια, λ και, ενώ P(X κ + λ) ( )x tλ ( )t+κ ( )κ xκ+λ tλ t. Για τον παρονομαστή αντίστοιχα τα όρια είναι και ενώ P(X κ) ( )x xκ t t+κ ( )κ ( t )t ( )κ ( )κ. Τελικά, (): P(Β Α) ( )κ tλ t ( )κ tλ t P(X λ). β τρόπος) P(X κ + λ) xκ+λ ( )x xκ+λ ( )x, με αλλαγή μεταβλητής στο δείκτη, t x κ λ και νέα όρια, και, έχουμε P(X κ + λ) ( )t+κ+λ ( )κ+λ ( )t ( )κ+λ t t ( )κ+λ. Αναλόγως, με 5
αλλαγή μεταβλητής στον δείκτη t x κ και νέα όρια και, υπολογίζουμε (όπως και παραπάνω) ότι P(X κ) t ( )t+κ ( )κ. Τελικά, (): P(Β Α) ( )κ+λ ( ( )κ )λ tλ t P(X λ). γ τρόπος) χρησιμοποιώντας τον τύπο για τα μερικά αθροίσματα της γεωμετρικής σειράς, P(X κ + λ) κ+λ x x ( κ+λ ( )κ+λ κ. Ανάλογα P(X κ) x x φτάνουμε στο ίδιο αποτέλεσμα, P(Β Α) ( )κ+λ ( ( )κ )λ tλ t P(X λ). ( κ ( )κ. Οπότε Το αποτέλεσμα αυτό ερμηνεύεται ως «έλλειψη μνήμης», αφού το να λειτουργεί για τουλάχιστον κ+λ φορές δεν εξαρτάται από το πλήθος κ των φορών που έχει ήδη λειτουργήσει αλλά αποκλειστικά από τις επιπλέον φορές λ (αναμενόμενο αφού η τ.μ. που έχει δοθεί ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας την πιθανότητα να χρειαστεί αλλαγή, θ ). A. Π(z) E(z x ) z x x ( )x (z x )x z, (για < z < ), αποτέλεσμα που θα μπορούσαμε z να πάρουμε απευθείας με χρήση του τυπολογίου και της γεωμετρικής κατανομής. ΕΕ Π (z) z ( z) z, ΕΕ(X ) Π (z) z 8 ( z) z 8 και τελικά VVVV Π () + Π () (Π ()) 6, αποτελέσματα που μπορούν επίσης να επαληθευτούν από το τυπολόγιο (χωρίς όμως να χρησιμοποιηθούν οι τύπο του τυπολογίου αφού στην εκφώνηση ήταν ξεκάθαρο ότι ο υπολογισμός τους πρέπει να γίνει με χρήση της πιθανογεννήτριας). ΘΕΜΑ 7: (Α) Να αποδείξετε ότι αν δυο ανεξάρτητες τ.μ. Χ, Χ ακολουθούν κατανομές Poisson, P(λ) και P(μ) αντίστοιχα τότε η τ.μ. Z X + X ακολουθεί την Poisson P(μ + λ). (Β) Σ ένα κατάστημα το πλήθος των πελατών που έρχονται για αλλαγή των προϊόντων ανά ώρες ακολουθεί κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό πελάτες. (Β) Υπολογίστε την πιθανότητα να έρθει τουλάχιστον ένας πελάτης στο διάστημα μιας ώρας. (Β) Υπολογίστε την πιθανότητα, το σύνολο των πελατών που θα έρθουν για αλλαγή σε διαφορετικά δίωρα να είναι το πολύ. A. Γνωρίζουμε ότι η κατανομή του αθροίσματος δυο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, μπορεί να αναγνωριστεί από την πιθανογεννήτρια του αθροίσματος η οποία στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται από το γινόμενο των πιθανογεννητριών. Από το τυπολόγιο έχουμε ότι M X (t) e λ( t) και M X (t) e μ( t), επομένως M Ζ (t) M X (t) M X (t) e (λ+μ)( t). Η τελευταία συνάρτηση αποτελεί τη πιθανογεννήτρια μιας κατανομής Poisson με παράμετρο (λ + μ). (Β) Θεωρούμε το διάστημα (, ) και την τ.μ. X() του πλήθους των πελατών που φθάνουν στο διάστημα (, ), (ανέλιξη Poisson). Στο διάστημα αυτό ο αναμενόμενος αριθμός πελατών είναι ίσος με λ, έτσι P(Χ() ) P(X() ) e.6.! (Β) Αν Χ είναι το πλήθος των πελατών στο ένα από τα δυο τρίωρα και X στο άλλο, τότε η τ.μ. που εκφράζει το σύνολο δηλαδή το άθροισμα των πελατών στα δυο ξένα μεταξύ τους τρίωρα είναι η Z X + X, η οποία όπως αποδείξαμε στο ερώτημα Α, λόγω της ανεξαρτησίας των τ.μ., ακολουθεί την Poisson κατανομή P( + ) δηλαδή την P(4). Επομένως 4 4 ζητείται η πιθανότητα P(Ζ ) P(Ζ ) + P(Ζ ) + P(Ζ ) + P(Ζ ) e e 4 4!.4854.! 4 4 + e 4 + e 4 +!! 6