Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών : : 3 π.χ. (, ) 3 = Αναπαριστά μία επιφάνεια στο χώρο 3D (1, ) = 1 3() = 5 π.χ. g (,, z) = 4 + z g(, 4, 1) = 4()(3) + ( 1) = 3 Γενική γραφή μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών w= ( v) µε v=, ήv=,,z

Πεδίο Ορισμού Το σύνολο D των τιμών των,,z που δίνουν πραγματική τιμή στη συνάρτηση π.χ. (, ) = + + 1 1 { (, ) : 1 0, 1} D= + +

Αναπαράσταση Συναρτήσεων Δύο Μεταβλητών z= Ως τιμές πάνω σε μία ευθεία (, ) Ως επιφάνεια στο χώρο (3D)

Ισοϋψείς/Ισοσταθμικές καμπύλες z = (, ) Ισοϋψείς καμπύλες (, ) = για διάφορες σταθερές τιμές z 0 z0 του z Ισοσταθμικές καμπύλες Η προβολή των Ισοϋψών στο επίπεδο

Ισοσταθμικές καμπύλες Παράδειγμα (, ) = e Καμπύλες που δεν περιέχουν άλλες δηλώνουν ελάχιστα ή μέγιστα Σαγματικό σημείο Όσο πιο πυκνές οι καμπύλες, τόσο μεγαλύτερη μεταβολή παρουσιάζει η (μεγαλύτερη κλίση)

Ισοσταθμικές επιφάνειες Παράδειγμα (,, z) (,, z) = + + z = const

Όριο Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών Ορισμός lim (, ) (,) ( ab, ) = L Αν δοθέντος ενός ε > 0, υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε (, ) D να ισχύει: 0 ( ) ( ) δ (, ) < a + b < L< ε Παρατήρηση: Το σημείο ( ab, ) μπορεί να μην ανήκει στο D

Ιδιότητες Ορίου Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών lim = a, lim = b, lim k = k (,) ( ab, ) (,) ( ab, ) (,) ( ab, ) Έστω : lim (, ) = L, lim g(, ) = M, k (,) ( ab, ) (,) ( ab, ) τότε lim [ g ] (,) ( ab, ) lim [ g ] (,) (, ) ab lim [ k ] (,) ( ab, ) ± = L± M = L M = kl ΠΡΟΣΟΧΗ Αν η (,) έχει διαφορετικά όρια κατά μήκος δύο διαφορετικών διαδρομών καθώς (, ) ( ab, ) τότε δεν υπάρχει το όριο lim (, ) (,) ( ab, ) L lim =, M 0 g M (,) ( ab, ) lim (,) ( ab, ) mn [ ] / / = L mn

Όριο Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών Παράδειγμα 1 lim (,) (,1) 3 3 4 4()(1) 8 = = + () + (1) 6 Παράδειγμα lim (,) (0,0) + =? Προσέγγιση κατά μήκος του άξονα (=0) + = 0 lim lim 1 (,) (0,0) 0 Προσέγγιση κατά μήκος του άξονα (=0) + = 0 lim lim 1 (,) (0,0) 0 = = Επομένως το όριο δεν υπάρχει

Όριο Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών Χρήση πολικών συντεταγμένων Αντί να υπολογίσουμε το όριο lim (, ) μερικές φορές (,) (0,0) είναι πιο βολικό να υπολογίσουμε σε πολικές συντεταγμένες το όριο lim ( rcos θ, rsin θ) r 0 Αν το όριο αυτό εξαρτάται από τη γωνία θ τότε το αρχικό όριο δεν υπάρχει. Αν το όριο αυτό δεν εξαρτάται από τη γωνία θ και είναι ίσο με L, τότε αν η (, ) είναι συνεχής σε μια περιοχή του (0,0), εκτός ίσως από το σημείο (0,0), τότε και το αρχικό όριο υπάρχει και είναι ίσο με L. Αντίστοιχα δουλεύουμε με το όριο στη μορφή lim ( uv, ) ( uv, ) (0,0) lim (, ) (,) ( ab, ) αφού το φέρουμε πρώτα εφαρμόζοντας την αλλαγή μεταβλητών: = u+ a, = v+ b

Όριο Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών Διαδοχικά όρια Τα όρια ( ) lim lim (, ) a b και ονομάζονται διαδοχικά της ( ) lim lim (, ) b a (, ) στο σημείο ( ab, ) Αν το όριο lim (, ) υπάρχει και υπάρχουν και τα (,) ( ab, ) διαδοχικά όρια της στο (α,b), τότε αυτά είναι ίσα μεταξύ τους και ισχύει: ( ) = ( ) = (,) (, ) lim lim (, ) lim lim (, ) lim (, ) a b b a a b Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα.

Συνέχεια Η (, ) είναι συνεχής στο σημείο ( ab, ) αν ( ab, ) D Το όριο lim (, ) Ισχύει (, ) ( ab, ) lim (, ) = ( ab, ) (, ) ( ab, ) Κανόνες συνέχειας Η a + b είναι συνεχής παντού υπάρχει Το άθροισμα και το γινόμενο συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση Το πηλίκο συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση για τιμές που δεν μηδενίζουν τον παρονομαστή Η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση

Συνέχεια Παράδειγμα (, ) +, (, ) (0,0) = = 0, (, ) (0,0) H (, ) συνεχής παντού εκτός από το σημείο (0,0) γιατί m m lim (, ) = lim = + m 1+ m (, ) (0,0) 0 κατ ά µ ήκος της = m δηλ. το όριο στο (0,0) δεν υπάρχει (διότι εξαρτάται από το m) Παρατήρηση: Η συνέχεια μίας συνάρτησης σε ένα σημείο (a,b) συνεπάγεται την ύπαρξη του ορίου της σε αυτό το σημείο, το οποίο σε αυτή την περίπτωση, υπολογίζεται απλά ως (a,b)

Μερικές παράγωγοι Μερική Παράγωγος ως προς d = (, ) = lim 0 0 0 0 0 h 0 (, ) d = h 0 0 0 ( + h, ) (, ) Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της στην κατεύθυνση î στο σημείο ( 0, 0) Μερική Παράγωγος ως προς d = (, ) = lim 0 0 0 0 0 d h 0 h (, ) = 0 0 0 Το σύμβολο Το σύμβολο (, + h) (, ) προφέρεται dee προφέρεται del Ισούται με την κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης z = (, 0) στο σημείο P(,, (, )) 0 0 0 0 Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της στην κατεύθυνση ĵ στο σημείο ( 0, 0) Ισούται με την κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης z = ( 0, ) στο σημείο P(,, (, )) d 0 0 0 0

Μερικές Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης Συμβολισμός π.χ. Θεώρημα μεικτών παραγώγων (Θεώρημα Schwarz) Αν οι, ορίζονται και είναι συνεχείς στο σημείο (a,b) τότε ισχύει ότι = = Προσοχή: Αντίθετη σειρά (a,b) = ή (a, b) = (a, b) (a,b) Ερμηνεία: Παραγωγίζουμε πρώτα ως προς και έπειτα ως προς 3

Κανόνας Αλυσιδωτής Παραγώγισης Έστω w= ( z,, ), και, z, συναρτ ήσεις του t dw w d w d w dz = + + dt dt dt z dt w z t Έστω w= ( z,, ), και, z, συναρτ ήσεις των rs, w w w w z = + + r r r z r w w w w z = + + s s s z s w w z z r s r s Παραγώγιση Πεπλεγμένης Συνάρτησης Fz (,, ) = 0 = F F z F = F z z F = F z

Κλίση ή Βαθμίδα (Gradient) Σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες (, ) = ˆ ˆ ( i, ) + ( j, ) g( z,, ) = giˆ ˆ ˆ + g j+ gk z Σε Πολικές Συντεταγμένες 1 (, r θ) = (, ) ˆ (, ) ˆ r r θ ur + θ r θ u r θ Ισχύουν τα ακόλουθα O ρυθμός μεταβολής της εμφανίζει μέγιστη αύξηση ίση με στη διεύθυνση του O ρυθμός μεταβολής της εμφανίζει μέγιστη μείωση ίση με στη διεύθυνση του Σε κατεύθυνση κάθετη στην κλίση, η μεταβολή της είναι μηδέν. Σε κάθε σημείο του πεδίο ορισμού της (,), το διάνυσμα κλίσης είναι κάθετο στην Ισοσταθμική καμπύλη που διέρχεται από αυτό. Αντίστοιχα: αν (,,z) το διάνυσμα κλίσης είναι κάθετο στην ισοσταθμική επιφάνεια που διέρχεται από το σημείο.

Μερική παράγωγος κατά διεύθυνση Μερική Παράγωγος στο σημείο d ds û, P 0 lim P 0 ( + su, + su ) (, ) s κατά τη διεύθυνση του ( ) uˆ ( ) 0 1 0 0 0 = = = s 0 P P 0 0 uˆ = u, u cosθ Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της στην κατεύθυνση û στο σημείο ( 0, 0) 1 Ισούται με την κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης C στο σημείο P(,, (, )) 0 0 0 0 Μεταβολή της στην κατεύθυνση u d = ( ) uˆ ds P0

Διαφορισιμότητα Η z (, ) διαφορίσιμη στο (, ) αν ισχύει: = 0 0 0 = (, ) + (, ) + ε + ε 1 0 0 0 0 1 µε ε, ε 0 καθώς, 0 Σε αυτή την περίπτωση η τιμή της κοντά στο ( 0, 0) προσεγγίζεται από το εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας z= (, ) στο σημείο αυτό. Επομένως (, ) L(, ) = (, ) + (, ) + (, ) 0 0 0 0 0 0 d = d + d (Τοπική) Γραμμικοποίηση της Αντίστοιχα για την w= ( z,, ) ( z,, ) Lz (,, ) = (,, z) + (,, z) + 0 0 0 0 0 0 + (,, z ) + (,, z ) z 0 0 0 z 0 0 0 για μικρά Δ, Δ Ολικό Διαφορικό της Περιγράφει τη μεταβολή της γραμμικοποίησης της που οφείλεται σε μικρές μεταβολές των και Αντίστοιχα για την w ( z,, ) d = d + d + dz = z = = 0

Διαφορισιμότητα Η είναι Συνεχώς Διαφορίσιμη ή 1 δηλ. οι (, ), C υπάρχουν και είναι συνεχείς στο (α,b) Η (, ) είναι Διαφορίσιμη στο (α,b) Η (, ) στο (α,b) είναι Συνεχής Σημαίνει: Όχι αναγκαστικά. Οι, υπάρχουν στο (α,b) Η (, ) μπορεί να είναι διαφορίσιμη χωρίς οι, να είναι συνεχείς, όμως αν οι, είναι συνεχείς, τότε η (, ) είναι σίγουρα διαφορίσιμη.

Διαφορισιμότητα Παραδείγματα Συνάρτηση που έχει πρώτες παραγώγους αλλά δεν είναι διαφορίσιμη: 0, (, ) = (0,0) (, ) =, (, ) (0,0) + Η δεν είναι συνεχής στο (0,0) καθώς δεν υπάρχει το όριο στο σημείο αυτό. Επίσης οι πρώτες παράγωγοι υπάρχουν στο (0,0), όμως δεν είναι συνεχείς εκεί. Διαφορίσιμη συνάρτηση με μη συνεχείς πρώτες παραγώγους 0, (, ) = (0,0) (, ) = ( ) 1 + sin, (, ) (0,0) +

Κλίση και Διαφορισιμότητα ( ) ( 0) + '( 0)( 0) ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 0 0 Αλγεβρικές Ιδιότητες Κλίσης ( k ) = k ( + g) = + g ( g) = g ( g ) = g + g g g = g g Για συναρτήσεις μίας μεταβλητής Για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών δηλ. Στις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών η κλίση παίζει το ρόλο που παίζει η παράγωγος σε συναρτήσεις μίας μεταβλητής

Εφαπτόμενα Επίπεδα Σε ισοσταθμική επιφάνεια ( z,, ) = c στο σημείο P0( 0, 0, z0) ( P)( ) + ( P)( ) + ( P)( z z ) = 0 0 0 0 0 z 0 0 Το είναι κάθετο στα διανύσματα ταχυτήτων όλων των καμπυλών της επιφάνειας που διέρχονται από το σημείο P 0 z = (, ) Στην επιφάνεια στο σημείο 0 0 0 0 0 (, )( ) + (, )( ) ( z z ) = 0 z 0 P(,, (, )) 0 0 0 0 0 0 0 Διανύσματα παράλληλα στο εφαπτόμενο επίπεδο: V = 1, 0, ( 0, 0) V = 0,1, (, ) 0 0

Προσεγγίσεις Ακριβής Τιμή Προσέγγιση Απόλυτη Μεταβολή Σχετική Μεταβολή Ποσοστιαία Μεταβολή (, ) 0 0 100 (, ) 0 0 d d (, ) 0 0 d 100 (, ) 0 0

Ακρότατα Έστω η z = (, ) ορισμένη σε μια περιοχή που περιέχει το σημείο ( ab, ) Τοπικό Μέγιστο ( ab, ) ( ab, ) (, ) για όλα τα (, ) D που βρίσκονται κοντά στο ( ab, ) δηλ. ανήκουν σε ένα ανοιχτό δίσκο Τοπικό Ελάχιστο ( ab, ) με κέντρο το ( ab, ) ( ab, ) (, ) για όλα τα (, ) D που βρίσκονται κοντά στο ( ab, ) 100 Σαγματικό Σημείο ( ab, ) 50 ( ab, ) > (, ) για κάποια(, ) D και 0 ( ab, ) < (, ) για κάποια άλλα(, ) D -50 που βρίσκονται κοντά στο ( ab, ) 0-100 10 5 0-5 -10-10

Κριτήρια Ακροτάτων Εσσιανή της (, ) = Ολικά Ακρότατα της Συνοριακά σημεία Κρίσιμα σημεία (, ) Κρίσιμα Σημεία = 0 = = 0 δεν υπάρχει ή δεν υπάρχει μπορούν να προκύψουν σε Αν οι πρώτες και οι δεύτερες παράγωγοι συνεχείς σε κυκλικό δίσκο με κέντρο το ( ab, ) και ( ab, ) = ( ab, ) = 0, τότε Ε σσιαν ή > 0 και < 0 Τοπικό Μέγιστο > 0 Τοπικό Ελάχιστο Ε σσιαν ή < 0 Σαγµατικό Σηµείο Ε σσιαν ή = 0 Αδύνατο να αποϕανθο ύµε (Χρησιμοποιούμε άλλες τεχνικές όπως π.χ. το γράφημα της )