ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE INGINERIE FINANCIARA II

Σχετικά έγγραφα
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

Subiecte Clasa a VII-a

IV. CALCULUL PLĂCILOR CIRCULARE PLANE

r d r. r r ( ) Curba închisă Γ din (3.1 ) limitează o suprafaţă de arie S

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Lucrarea Nr. 5 Comportarea cascodei EC-BC în domeniul frecvenţelor înalte

Curs 4 Serii de numere reale

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

OLIMPIADA NAłIONALĂ DE FIZICĂ Râmnicu Vâlcea, 1-6 februarie Pagina 1 din 5 Subiect 1 ParŃial Punctaj Total subiect 10 a) S 2.

Integrala nedefinită (primitive)

Probleme. c) valoarea curentului de sarcină prin R L şi a celui de la ieşirea AO dacă U I. Rezolvare:

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

Curs 1 Şiruri de numere reale

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

5.1. Noţiuni introductive


III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

Curs 2 Şiruri de numere reale

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Subiecte Clasa a VIII-a

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Transformata Radon. Reconstructia unei imagini bidimensionale cu ajutorul proiectiilor rezultate de-a lungul unor drepte.

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. 1. Probleme. ω2 s s 2, Re s > 0; (4) sin ωt σ(t) ω. (s λ) 2, Re s > Re λ. (6)

INGINERIE FINANCIARĂ

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

Cursul 14 ) 1 2 ( fg dµ <. Deci fg L 2 ([ π, π]). Prin urmare,

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

Seminar 6.Integrarea ecuațiilor diferențiale

Modelarea si animatia schemelor cinematice folosind mediul de programare LABVIEW -Mecanismul Seping-

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

4. CÂTEVA METODE DE CALCUL AL CÂMPULUI ELECTRIC Formule coulombiene

riptografie şi Securitate

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

FIZICĂ. Bazele fizice ale mecanicii cuantice. ş.l. dr. Marius COSTACHE

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Demodularea (Detectia) semnalelor MA, Detectia de anvelopa

Marin Chirciu INEGALITĂŢI TRIGONOMETRICE DE LA INIŢIERE LA PERFORMANŢĂ EDITURA PARALELA 45

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Το άτομο του Υδρογόνου

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

Criterii de comutativitate a grupurilor

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Metode de măsurare a permitivităţii. ii dielectrice în înaltă reflectometrice. Copyright Paul GASNER 1

! "# " #!$ &'( )'&* $ ##!$2 $ $$ 829 #-#-$&2 %( $8&2(9 #."/-0"$23#(&&#

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

MÉTHODES ET EXERCICES

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Integrale cu parametru

Teorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

3.5. Forţe hidrostatice

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

Ecuatii trigonometrice

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

I X A B e ic rm te e m te is S

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

Transcript:

ACAEMIA E UII ECONOMICE INGINERIE FINANCIARA II o. univ.. Moisă Ală - cooonao 00 by Moisă Ala. All igs eseve. o secions o ex no exceeing wo paagaps may be quoe wiou pemission povie a ull cei incluing e noice is given o e souce. Copyig 00 Moisă Ala. oae epuile asupa acesei lucăi apaţin auoului. cue agmene e ex cae nu epăşesc ouă paagae po i ciae ăă pemisiunea auoului a cu menţionaea susei. Bucueşi mai 003

. Obligaţiuni zeo-cupon - cazul socasic o. univ.. Moisă Ală In pezen eivaivele pe aa obînzii joacă un ol exem e impoan pe piaţa inenaţională e capial. enu exempliicae menţionăm apul că conom saisicilo BI in oalul e 4 mii e miliae olai cî a epezena volumul anzacţiilo cu eivaive în luna ecembie 00 pe piaţa OC pese 0 mii e miliae olai (cica 7% au os eivaive pe aa obînzii (pe obligaţiuni. inîn seama e impoanţa poblemaicii în coninuae se pezină cîeva elemene pivin obligaţiunile zeo-cupon. Aceasa va pemie ieniicaea mecanismului e evaluae a aceso insumene pecum şi o mai bună înţelegee a noţiunii e sucuă empoală a aei obînzii ( em sucue o inees ae. Vom uiliza umăoaele noaţii: ( - peţul la momenul al unei obligaţiuni zeo cupon cae ae scaenţa la momenul ( R - enabiliaea la scaenţă calculaă în momenul penu o obligaţiune zeo-cupon cu scaenţă ( e yiel o mauiy ( - aa owa insananee în momenul penu o obligaţiune zeocupon cu scaenţa. Avem umăoaele omule e calcul penu enabiliaea la scaenţă şi aa owa insananee: e une ezulă: R R( ( ( e ( ( ( ln ( enu aa owa avem că: ( exp ( s s (3

e une: ( ( s Noîn cu H pimiiva lui puem scie: ln s (4 ( H ( s ( H ( H ( ln (5 eivîn ambii emeni obţinem: ( ( ( (6 sau: ( ( (7 ( in omulele ( şi (7 ezulă că: ( ln R ( ( s s (8 Fomula (8 aaă că enabiliaea la scaenţă ese în ap meia aelo owa pe o inevalul [ ]. In coninuae vom pesupune că peţul obligaţiunii epine e aa insananee a obînzii ( especiv ( (9 In ceea ce piveşe aa insananee a obînzii ea ese un poces socasic espe cae vom pesupune că ese escis e umăoaea ecuaţie e ip Io: ( b( z a (0 3

Aplicîn lema lui Io obţinem: sau: a ( b ( b( z ( b ( enu uşuinţa scieii vom inouce umăoaea noaţie: ( b (3 ( Cu aceasă noaţie omula ( se scie: (4 Vom amini că noaţia se cieşe: opeaoul (uncţia aplica lui. Noaţia ese asemănăoae cu cea in cazul uncţiilo obişnuie ( x numai că nu a mai os pusă paaneza. enu euceea ecuaţiei unamenale e inamică a peţului vom oma un poooliu e ouă obligaţiuni cu scaenţe ieie. Vom noa: ( ( (5 oooliul ese: une ese apoul e eging. Π (6 Conom ecuaţiei (4 avem: Π ( (7 4

5 enu a elimina acoul e isc vom lua: (8 inîn seama că poooliul a eveni un poooliu ăă isc avem: ( Π (9 In egaliaea e mai sus gupîn emenii ce se eeă la especiv obţinem: (0 e obsevă că apoul ( ese consan în apo cu especiv nu epine e. Vom noa: ( c ( Inoucem subsiuţia: ( ( ( ( b a c λ (3 especiv: ( ( ( ( a b c λ (4 Fomula ( evine: ( ( ( a b λ (5 e une: ( ( ( [ ] ( b b a λ (6

Relaţia (5 epezină omula unamenală pivin inamica peţului unei obligaţiuni zeo-cupon. Ea ese analoagă cu ecuaţia Meon-Black-coles a conţine în plus acoul λ numi peţul e piaţă al iscului. In lieaua e specialiae au os popuse un numă impoan e moele e evaluae a obligaţiunilo. Ele ieă în special pin moul în cae ese einiă ecuaţia e inamică a aei insananee a obînzii. In coninuae pezenăm ai asel e moele penu cae se pecizează moul în cae evoluează ( : a Moelul Vasicek (976 ( b z a (6 b Moelul Cox Ingesol Ross (CIR (985 ( b z a (7 c Moelul Meon (973 µ z (8 enu oae acese moele ecuaţia peţului obligaţiunii zeo-cupon ese e oma: une τ Avem: A( τ B( τ ( ( e (9 ( 0 0 B( 0 0 A (30 Menţionăm că în cazul moelului lui Meon cae ese cel mai simplu avem: ( τ τ B (3 3 A ( τ ( µ λ τ τ (3 6 eci ecuaţia peţului unei obligaţiuni zeo-cupon în aces caz ese: 3 ( exp τ ( µ λ τ τ (33 6 6

. eivaive pe mai mule acive supo ep. univ.. Cipian Necula. isibuţia nomală biimensională Vecoul aleao X ( X X cu meie [ X ] m ( m m E şi maice e ρ E ae o isibuţie vaianţă-covaianţă ( [ ] ( [ ] Ω X E X X E X ρ nomală biimensională noaă cu Φ ( Ω m acă ae ensiaea e epaiţie aă e: ( exp ( m Ω ( m une ( π e Ω e şie că acă ~ Φ ( m Ω X aunci avem că: ( X ~ Φ( m X ~ Φ( m X ax ~ Φ( am am une a a ρaa a ( acă m m 0 şi spunem că avem o isibuţie nomală biimensională sana cu coeicien e coelaţie ρ ia penu uncţia e epaiţie a acesei isibuţii ( x y; ρ : ( e exemplu Hull Apenix C.. oces Wiene biimensional ( ( z ( z ( x y N exisă omule e apoximae (vezi z ese poces Wiene biimensional (miscae bowniană biimensională cu coeicien e coelaţie ρ acă: z ( 0 z( 0 0 Vaiaţia pocesului îne ouă momene e imp z( z( ese inepenenă e inomaţiile acumulae pînă la monenul 0 ρ( 3 ( ( ( z z ~ Φ 0 ρ enu un ineval scu e imp vaiaţia pocesului ae umăoae isibuţie: z( 0 ρ ( ( z ~ Φ (3 z 0 ρ z enu a pune în evienţă coeicienul e coelaţie ρ se oloseşe noaţia z ρ ( (. 7

3.oces Io biimensional şi lema Io biimensională Fie ( ( x ( x ( x un poces Io biimensional: x x ( a( x( x ( b( x( x ( z( ( a ( x ( x ( b ( x ( x ( z ( une z ( z ( ρ şi ie o uncţie G : R R R. Ne ineesează vaiaţia lui ( x ( x ( biimensională avem că: G. Conom lemei lui Io G G G G a a b x x G G b z b z x x G b x G G ρbb x x x (4 4. Evoluţia cusului a ouă acive Execiţiu µ z µ z une z z ρ (5 Şiinu-se paameii moelului pecum şi cusul celo ouă acive la momenul acual ( ( că ( ( >. obţinem că: Rezolvae să se calculeze pobabiliaea ca la momenul să avem Aplicîn lema lui Io biimensională penu uncţiile ln especiv ln ln ln µ µ e aici ezulă că : ( ( z z (6 ln ln ( ln ( µ ( ( z ( z ( ( ln ( µ ( ( z ( z ( 8

eci ln ln ( ( ln ( ( ( µ ~ Φ ( ( ( ln µ ρ 44444 44444 3 m ( ρ ( ( ( Folosin ( avem că: ( ( ln ln ~ Φ m m 44444 3 3 443 une ρ X µ v X µ v a ~ Φ( 0 eci: ( ( > ( ( ( > ln ( ( X > 0 ln X µ µ µ > N v v v (7 5. Opţiuni cucubeu Opţiunile cucubeu sun pouse inanciae al căo payo la scaenţă ( epine e ( şi (. eci po i consieae eivaive cae au ouă acive supo. ima la momenul < al unui asel e eivaiv va epine ( (.. Vom noa aceasă pimă cu ( 5. Ecuaţia e evaluae a unei opţiuni cucubeu Vom consiea un poooliu oma in-o poziţie - pe eivaiv pe pimul aciv supo şi pe cel e al oilea aciv supo: Π (8 Vaiaţia valoii acesui poooliu ese (olosin (4 şi (5: Π µ µ z z ( µ z ( µ z ρ 9

0 (9 z z ρ µ µ µ µ enu ca Π să ie poooliu ăă isc ebuie ca şi (0 eoaece nu exisă posibiliăţi e abiaj ebuie ca poooliul ăă isc Π să aibă enabiliaea egală cu aa obînzii ăă isc: Π Π ( Folosin (9(0 şi ( avem că: ρ e aici ezulă ecuaţia e evaluae penu o opţiune cucubeu: ρ ( Ecuaţia ( ese veiicaă e pima oicăei opţiuni cucubeu. enu a ala pima penu o opţiune anume ebuie pusă şi o coniţie la scaenţă ( şi anume: ( opiune ayo (3 5. ipui opţiuni cucubeu Opţiunea e a scimba cele ouă acive (pea opions ( ( ( 0 max ayo pea (4 ima acesei opţiuni la momenul < va i: ( ( ( N N pea (5 une: ( ( ln ρ

penu ( x emonsaţie e obsevă că puem scie payo-ul opţiunii spea asel: max ( 0 max( 0 H( une H ( x : max( x 0 aoiă omei payo-ului vom căua o soluţie a ecuaţiei e evaluae ( e oma: Făcîn scimbaea e vaiabilă ( H( x H (cae să semene cu ecuaţia Black-coles a căei soluţie o şim. Avem că: vom căua să obţinem o ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale H H ; ; x H H ; x H H ; ; x 3 x H x Inlocuin in ecuaţia ( eivaele paţiale e mai sus şi olosin scimbaea e vaiabilă obţinem umăoaea ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale penu ( x H : cu coniţia pe onieă ( x : max( x 0 H. H H x x 0 e obsevă aceasa ese ecuaţia Black-coles penu call in cae 0 K. eci a ( H( H ( x : xn( N( pea şi se obţine (5 Opţiunea e a liva acivul mai scump ( ( ( ( ( ( ( ( ayopea ayo Opmax max max (6 0 Folosin un agumen e abiaj avem că pima acesei opţiuni la momenul < va i: Opmax pea (7 ( ( ( 3 Opţiunea e a liva acivul mai iein ayo Opmin ( ( ( ( min( ( ( 0 ( ( ( ( ( ayopea min max (8 0 Folosin un agumen e abiaj avem că pima acesei opţiuni la momenul < va i: Opmin pea (9 ( ( ( exul scis cu liee mici nu ese obligaoiu penu examen

4 Opţiunea e a liva acivul mai scump sau o sumă e bani ( ( ( K ayo Opmaxcas max (0 Opmaxcas ima acesei opţiuni ese aă e: ( [ N( δ N ( δ ; ρ ] [ N( δ N ( δ ; ρ ] une ln ln δ Ke ( ( N ; ρ ( K ( ln( K ( ( ( ln( ( ρ ρ ρ ρ δ ρ 5 Opţiuni call şi pu pe maximul a ouă acive ayo c ayo p max max ( max( ( ( K0 ( K max( ( ( 0 max max ( Execiţiu ă se aae că exisă umăoaele elaţii e paiae: c Opmaxcas Ke max ( ( ( ( c ( Ke p ( Opmax( max max ( 6 Opţiuni call şi pu pe maximul a ouă acive ayo c ayo p min min ( min( ( ( K0 ( K min( ( ( 0 max max (4 Execiţiu ă se aae că exisă umăoaele elaţii e paiae: c c K cmax ( min ( Blackcoles ( cblackcoles ( K ( c ( Ke p ( Opmin( min min (5

5. uano uano-uile sun eivaive anzacţionae în-o ţaa (e exemplu UA pe un aciv supo anzacţiona în-o ală ţaă (e exemplu inicele Nikkei in Japonia. Fiin anzacţiona în UA payo-ul unui quano ese expima în U. Vom noa cu: - cusul inicelui Nikkei expima în JY - cusul valua U/JY ( JY U - aa obînzii în UA - aa obînzii în Japonia ima la momenul Vom noa aceasă pimă cu (. < al unui asel e eivaiv va epine ( (. Vaiaţia în imp a celo oi acoi e inluenţă ese: µ z ( µ z une z z ρ (6 5. Ecuaţia e evaluae a unui quano Vom consiea un poooliu oma in-o poziţie - pe eivaiv yeni şi uniăţi in inicele Nikkei. Valoaea poooliului (expimaă în U ese: Π (7 Vaiaţia valoii acesui poooliu ese (olosin (4 şi (6: ( Π µ [ ( µ 443 obina la yeni expimaa in U z z (( µ z [( µ µ ρ z z ] µ µ ( µ µ ρ ρ ( µ ρ 3

z z (8 enu ca Π să ie poooliu ăă isc ebuie ca şi (9 eoaece nu exisă posibiliăţi e abiaj ebuie ca poooliul ăă isc Π să aibă enabiliaea egală cu aa obînzii ăă isc: Folosin (8(9 şi (30 avem că: Π Π (30 ( ρ ρ e aici ezulă ecuaţia e evaluae penu un quano: ( ρ ( ρ (3 Ecuaţia (3 ese veiicaă e pima oicăui quano. enu a ala pima penu o opţiune anume ebuie pusă şi o coniţie la scaenţă (: 5. ipui e quano ( ayoopiune (3 Opţiuni quano cu peul e execiţiu (K ixa în JY ayo-ul în UA va i: max ayo uanocall ayo uanopu ( ( ( K( 0 ( max( ( K0 ( K( ( ( 0 ( max( K ( 0 max (33 ima opţiunii call la momenul une: < va i: ( ( ( N( Ke N( uanocall (34 ln( K ( 4

eci în cazul în cae peţul e execiţiu ese ixa în JY (şi eci ese vaiabil în U pima call pe piaţa ameicană va i egală cu pima call e pe piaţa japoneză (aa obînzii in Japonia ese ansomaă în U. emonsaţie e obsevă că puem scie payo-ul opţiunii call asel: ( K0 H( une H( : max( K0 max aoiă omei payo-ului vom căua o soluţie a ecuaţiei e evaluae (3 e oma: ( H( Vom căua să obţinem o ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale penu H (. Avem că: H H H ; ; H; ; H 0; Inlocuin in ecuaţia (3 eivaele paţiale e mai sus obţinem umăoaea ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale H : penu ( H cu coniţia pe onieă H( : max( K0 H H x. a aceasă ecuaţie ese cia ecuaţia Black-coles penu un call pe inicele Nikkei evalua pe piaă japoneză (aa obînzii in Japonia iin Execiţiu ă se eucă o elaţie e paiae îne opţiunile quano e ip cll şi e ip pu cu peţul e execiţiu ixa în JY. H Opţiuni quano cu peul e execiţiu (K ixa în U ayo-ul în UA va i: ayo uanocall ayo uanopu max ( ( ( K0 ( K ( ( 0 max (35 ima opţiunii call la momenul une: uanocall < va i: ( ( N( Ke N( (36 ln( K ( ρ 5

emonsaţie e obsevă că puem scie payo-ul opţiunii call asel: ( K0 H( une H( x : max( x K0 max aoiă omei payo-ului vom căua o soluţie a ecuaţiei e evaluae (3 e oma: ( H( Avem că: Facem scimbaea e vaiabilă x. Vom căua să obţinem o ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale penu. H H H ; ; ; x x H ; x H H H ; x x x Inlocuin in ecuaţia (3 eivaele paţiale e mai sus şi olosin scimbaea e vaiabilă obţinem umăoaea ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale penu ( x H : cu coniţia pe onieă H( x : max( x K0 eci. H H H x x x H x ( ( ( x xn Ke N( H Execiţiu ă se eucă o elaţie e paiae îne opţiunile quano e ip call şi e ip pu cu peţul e execiţiu ixa în U. 6