ACAEMIA E UII ECONOMICE INGINERIE FINANCIARA II o. univ.. Moisă Ală - cooonao 00 by Moisă Ala. All igs eseve. o secions o ex no exceeing wo paagaps may be quoe wiou pemission povie a ull cei incluing e noice is given o e souce. Copyig 00 Moisă Ala. oae epuile asupa acesei lucăi apaţin auoului. cue agmene e ex cae nu epăşesc ouă paagae po i ciae ăă pemisiunea auoului a cu menţionaea susei. Bucueşi mai 003
. Obligaţiuni zeo-cupon - cazul socasic o. univ.. Moisă Ală In pezen eivaivele pe aa obînzii joacă un ol exem e impoan pe piaţa inenaţională e capial. enu exempliicae menţionăm apul că conom saisicilo BI in oalul e 4 mii e miliae olai cî a epezena volumul anzacţiilo cu eivaive în luna ecembie 00 pe piaţa OC pese 0 mii e miliae olai (cica 7% au os eivaive pe aa obînzii (pe obligaţiuni. inîn seama e impoanţa poblemaicii în coninuae se pezină cîeva elemene pivin obligaţiunile zeo-cupon. Aceasa va pemie ieniicaea mecanismului e evaluae a aceso insumene pecum şi o mai bună înţelegee a noţiunii e sucuă empoală a aei obînzii ( em sucue o inees ae. Vom uiliza umăoaele noaţii: ( - peţul la momenul al unei obligaţiuni zeo cupon cae ae scaenţa la momenul ( R - enabiliaea la scaenţă calculaă în momenul penu o obligaţiune zeo-cupon cu scaenţă ( e yiel o mauiy ( - aa owa insananee în momenul penu o obligaţiune zeocupon cu scaenţa. Avem umăoaele omule e calcul penu enabiliaea la scaenţă şi aa owa insananee: e une ezulă: R R( ( ( e ( ( ( ln ( enu aa owa avem că: ( exp ( s s (3
e une: ( ( s Noîn cu H pimiiva lui puem scie: ln s (4 ( H ( s ( H ( H ( ln (5 eivîn ambii emeni obţinem: ( ( ( (6 sau: ( ( (7 ( in omulele ( şi (7 ezulă că: ( ln R ( ( s s (8 Fomula (8 aaă că enabiliaea la scaenţă ese în ap meia aelo owa pe o inevalul [ ]. In coninuae vom pesupune că peţul obligaţiunii epine e aa insananee a obînzii ( especiv ( (9 In ceea ce piveşe aa insananee a obînzii ea ese un poces socasic espe cae vom pesupune că ese escis e umăoaea ecuaţie e ip Io: ( b( z a (0 3
Aplicîn lema lui Io obţinem: sau: a ( b ( b( z ( b ( enu uşuinţa scieii vom inouce umăoaea noaţie: ( b (3 ( Cu aceasă noaţie omula ( se scie: (4 Vom amini că noaţia se cieşe: opeaoul (uncţia aplica lui. Noaţia ese asemănăoae cu cea in cazul uncţiilo obişnuie ( x numai că nu a mai os pusă paaneza. enu euceea ecuaţiei unamenale e inamică a peţului vom oma un poooliu e ouă obligaţiuni cu scaenţe ieie. Vom noa: ( ( (5 oooliul ese: une ese apoul e eging. Π (6 Conom ecuaţiei (4 avem: Π ( (7 4
5 enu a elimina acoul e isc vom lua: (8 inîn seama că poooliul a eveni un poooliu ăă isc avem: ( Π (9 In egaliaea e mai sus gupîn emenii ce se eeă la especiv obţinem: (0 e obsevă că apoul ( ese consan în apo cu especiv nu epine e. Vom noa: ( c ( Inoucem subsiuţia: ( ( ( ( b a c λ (3 especiv: ( ( ( ( a b c λ (4 Fomula ( evine: ( ( ( a b λ (5 e une: ( ( ( [ ] ( b b a λ (6
Relaţia (5 epezină omula unamenală pivin inamica peţului unei obligaţiuni zeo-cupon. Ea ese analoagă cu ecuaţia Meon-Black-coles a conţine în plus acoul λ numi peţul e piaţă al iscului. In lieaua e specialiae au os popuse un numă impoan e moele e evaluae a obligaţiunilo. Ele ieă în special pin moul în cae ese einiă ecuaţia e inamică a aei insananee a obînzii. In coninuae pezenăm ai asel e moele penu cae se pecizează moul în cae evoluează ( : a Moelul Vasicek (976 ( b z a (6 b Moelul Cox Ingesol Ross (CIR (985 ( b z a (7 c Moelul Meon (973 µ z (8 enu oae acese moele ecuaţia peţului obligaţiunii zeo-cupon ese e oma: une τ Avem: A( τ B( τ ( ( e (9 ( 0 0 B( 0 0 A (30 Menţionăm că în cazul moelului lui Meon cae ese cel mai simplu avem: ( τ τ B (3 3 A ( τ ( µ λ τ τ (3 6 eci ecuaţia peţului unei obligaţiuni zeo-cupon în aces caz ese: 3 ( exp τ ( µ λ τ τ (33 6 6
. eivaive pe mai mule acive supo ep. univ.. Cipian Necula. isibuţia nomală biimensională Vecoul aleao X ( X X cu meie [ X ] m ( m m E şi maice e ρ E ae o isibuţie vaianţă-covaianţă ( [ ] ( [ ] Ω X E X X E X ρ nomală biimensională noaă cu Φ ( Ω m acă ae ensiaea e epaiţie aă e: ( exp ( m Ω ( m une ( π e Ω e şie că acă ~ Φ ( m Ω X aunci avem că: ( X ~ Φ( m X ~ Φ( m X ax ~ Φ( am am une a a ρaa a ( acă m m 0 şi spunem că avem o isibuţie nomală biimensională sana cu coeicien e coelaţie ρ ia penu uncţia e epaiţie a acesei isibuţii ( x y; ρ : ( e exemplu Hull Apenix C.. oces Wiene biimensional ( ( z ( z ( x y N exisă omule e apoximae (vezi z ese poces Wiene biimensional (miscae bowniană biimensională cu coeicien e coelaţie ρ acă: z ( 0 z( 0 0 Vaiaţia pocesului îne ouă momene e imp z( z( ese inepenenă e inomaţiile acumulae pînă la monenul 0 ρ( 3 ( ( ( z z ~ Φ 0 ρ enu un ineval scu e imp vaiaţia pocesului ae umăoae isibuţie: z( 0 ρ ( ( z ~ Φ (3 z 0 ρ z enu a pune în evienţă coeicienul e coelaţie ρ se oloseşe noaţia z ρ ( (. 7
3.oces Io biimensional şi lema Io biimensională Fie ( ( x ( x ( x un poces Io biimensional: x x ( a( x( x ( b( x( x ( z( ( a ( x ( x ( b ( x ( x ( z ( une z ( z ( ρ şi ie o uncţie G : R R R. Ne ineesează vaiaţia lui ( x ( x ( biimensională avem că: G. Conom lemei lui Io G G G G a a b x x G G b z b z x x G b x G G ρbb x x x (4 4. Evoluţia cusului a ouă acive Execiţiu µ z µ z une z z ρ (5 Şiinu-se paameii moelului pecum şi cusul celo ouă acive la momenul acual ( ( că ( ( >. obţinem că: Rezolvae să se calculeze pobabiliaea ca la momenul să avem Aplicîn lema lui Io biimensională penu uncţiile ln especiv ln ln ln µ µ e aici ezulă că : ( ( z z (6 ln ln ( ln ( µ ( ( z ( z ( ( ln ( µ ( ( z ( z ( 8
eci ln ln ( ( ln ( ( ( µ ~ Φ ( ( ( ln µ ρ 44444 44444 3 m ( ρ ( ( ( Folosin ( avem că: ( ( ln ln ~ Φ m m 44444 3 3 443 une ρ X µ v X µ v a ~ Φ( 0 eci: ( ( > ( ( ( > ln ( ( X > 0 ln X µ µ µ > N v v v (7 5. Opţiuni cucubeu Opţiunile cucubeu sun pouse inanciae al căo payo la scaenţă ( epine e ( şi (. eci po i consieae eivaive cae au ouă acive supo. ima la momenul < al unui asel e eivaiv va epine ( (.. Vom noa aceasă pimă cu ( 5. Ecuaţia e evaluae a unei opţiuni cucubeu Vom consiea un poooliu oma in-o poziţie - pe eivaiv pe pimul aciv supo şi pe cel e al oilea aciv supo: Π (8 Vaiaţia valoii acesui poooliu ese (olosin (4 şi (5: Π µ µ z z ( µ z ( µ z ρ 9
0 (9 z z ρ µ µ µ µ enu ca Π să ie poooliu ăă isc ebuie ca şi (0 eoaece nu exisă posibiliăţi e abiaj ebuie ca poooliul ăă isc Π să aibă enabiliaea egală cu aa obînzii ăă isc: Π Π ( Folosin (9(0 şi ( avem că: ρ e aici ezulă ecuaţia e evaluae penu o opţiune cucubeu: ρ ( Ecuaţia ( ese veiicaă e pima oicăei opţiuni cucubeu. enu a ala pima penu o opţiune anume ebuie pusă şi o coniţie la scaenţă ( şi anume: ( opiune ayo (3 5. ipui opţiuni cucubeu Opţiunea e a scimba cele ouă acive (pea opions ( ( ( 0 max ayo pea (4 ima acesei opţiuni la momenul < va i: ( ( ( N N pea (5 une: ( ( ln ρ
penu ( x emonsaţie e obsevă că puem scie payo-ul opţiunii spea asel: max ( 0 max( 0 H( une H ( x : max( x 0 aoiă omei payo-ului vom căua o soluţie a ecuaţiei e evaluae ( e oma: Făcîn scimbaea e vaiabilă ( H( x H (cae să semene cu ecuaţia Black-coles a căei soluţie o şim. Avem că: vom căua să obţinem o ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale H H ; ; x H H ; x H H ; ; x 3 x H x Inlocuin in ecuaţia ( eivaele paţiale e mai sus şi olosin scimbaea e vaiabilă obţinem umăoaea ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale penu ( x H : cu coniţia pe onieă ( x : max( x 0 H. H H x x 0 e obsevă aceasa ese ecuaţia Black-coles penu call in cae 0 K. eci a ( H( H ( x : xn( N( pea şi se obţine (5 Opţiunea e a liva acivul mai scump ( ( ( ( ( ( ( ( ayopea ayo Opmax max max (6 0 Folosin un agumen e abiaj avem că pima acesei opţiuni la momenul < va i: Opmax pea (7 ( ( ( 3 Opţiunea e a liva acivul mai iein ayo Opmin ( ( ( ( min( ( ( 0 ( ( ( ( ( ayopea min max (8 0 Folosin un agumen e abiaj avem că pima acesei opţiuni la momenul < va i: Opmin pea (9 ( ( ( exul scis cu liee mici nu ese obligaoiu penu examen
4 Opţiunea e a liva acivul mai scump sau o sumă e bani ( ( ( K ayo Opmaxcas max (0 Opmaxcas ima acesei opţiuni ese aă e: ( [ N( δ N ( δ ; ρ ] [ N( δ N ( δ ; ρ ] une ln ln δ Ke ( ( N ; ρ ( K ( ln( K ( ( ( ln( ( ρ ρ ρ ρ δ ρ 5 Opţiuni call şi pu pe maximul a ouă acive ayo c ayo p max max ( max( ( ( K0 ( K max( ( ( 0 max max ( Execiţiu ă se aae că exisă umăoaele elaţii e paiae: c Opmaxcas Ke max ( ( ( ( c ( Ke p ( Opmax( max max ( 6 Opţiuni call şi pu pe maximul a ouă acive ayo c ayo p min min ( min( ( ( K0 ( K min( ( ( 0 max max (4 Execiţiu ă se aae că exisă umăoaele elaţii e paiae: c c K cmax ( min ( Blackcoles ( cblackcoles ( K ( c ( Ke p ( Opmin( min min (5
5. uano uano-uile sun eivaive anzacţionae în-o ţaa (e exemplu UA pe un aciv supo anzacţiona în-o ală ţaă (e exemplu inicele Nikkei in Japonia. Fiin anzacţiona în UA payo-ul unui quano ese expima în U. Vom noa cu: - cusul inicelui Nikkei expima în JY - cusul valua U/JY ( JY U - aa obînzii în UA - aa obînzii în Japonia ima la momenul Vom noa aceasă pimă cu (. < al unui asel e eivaiv va epine ( (. Vaiaţia în imp a celo oi acoi e inluenţă ese: µ z ( µ z une z z ρ (6 5. Ecuaţia e evaluae a unui quano Vom consiea un poooliu oma in-o poziţie - pe eivaiv yeni şi uniăţi in inicele Nikkei. Valoaea poooliului (expimaă în U ese: Π (7 Vaiaţia valoii acesui poooliu ese (olosin (4 şi (6: ( Π µ [ ( µ 443 obina la yeni expimaa in U z z (( µ z [( µ µ ρ z z ] µ µ ( µ µ ρ ρ ( µ ρ 3
z z (8 enu ca Π să ie poooliu ăă isc ebuie ca şi (9 eoaece nu exisă posibiliăţi e abiaj ebuie ca poooliul ăă isc Π să aibă enabiliaea egală cu aa obînzii ăă isc: Folosin (8(9 şi (30 avem că: Π Π (30 ( ρ ρ e aici ezulă ecuaţia e evaluae penu un quano: ( ρ ( ρ (3 Ecuaţia (3 ese veiicaă e pima oicăui quano. enu a ala pima penu o opţiune anume ebuie pusă şi o coniţie la scaenţă (: 5. ipui e quano ( ayoopiune (3 Opţiuni quano cu peul e execiţiu (K ixa în JY ayo-ul în UA va i: max ayo uanocall ayo uanopu ( ( ( K( 0 ( max( ( K0 ( K( ( ( 0 ( max( K ( 0 max (33 ima opţiunii call la momenul une: < va i: ( ( ( N( Ke N( uanocall (34 ln( K ( 4
eci în cazul în cae peţul e execiţiu ese ixa în JY (şi eci ese vaiabil în U pima call pe piaţa ameicană va i egală cu pima call e pe piaţa japoneză (aa obînzii in Japonia ese ansomaă în U. emonsaţie e obsevă că puem scie payo-ul opţiunii call asel: ( K0 H( une H( : max( K0 max aoiă omei payo-ului vom căua o soluţie a ecuaţiei e evaluae (3 e oma: ( H( Vom căua să obţinem o ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale penu H (. Avem că: H H H ; ; H; ; H 0; Inlocuin in ecuaţia (3 eivaele paţiale e mai sus obţinem umăoaea ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale H : penu ( H cu coniţia pe onieă H( : max( K0 H H x. a aceasă ecuaţie ese cia ecuaţia Black-coles penu un call pe inicele Nikkei evalua pe piaă japoneză (aa obînzii in Japonia iin Execiţiu ă se eucă o elaţie e paiae îne opţiunile quano e ip cll şi e ip pu cu peţul e execiţiu ixa în JY. H Opţiuni quano cu peul e execiţiu (K ixa în U ayo-ul în UA va i: ayo uanocall ayo uanopu max ( ( ( K0 ( K ( ( 0 max (35 ima opţiunii call la momenul une: uanocall < va i: ( ( N( Ke N( (36 ln( K ( ρ 5
emonsaţie e obsevă că puem scie payo-ul opţiunii call asel: ( K0 H( une H( x : max( x K0 max aoiă omei payo-ului vom căua o soluţie a ecuaţiei e evaluae (3 e oma: ( H( Avem că: Facem scimbaea e vaiabilă x. Vom căua să obţinem o ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale penu. H H H ; ; ; x x H ; x H H H ; x x x Inlocuin in ecuaţia (3 eivaele paţiale e mai sus şi olosin scimbaea e vaiabilă obţinem umăoaea ecuaţie ieenţială cu eivae paţiale penu ( x H : cu coniţia pe onieă H( x : max( x K0 eci. H H H x x x H x ( ( ( x xn Ke N( H Execiţiu ă se eucă o elaţie e paiae îne opţiunile quano e ip call şi e ip pu cu peţul e execiţiu ixa în U. 6