ΑΝΑΛΥΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Η συνάρτηση a f(t)dt Εισήγηση Νικ. Ιωσηφίδη ο Σεµινάριο Ο.Ε.Φ.Ε Σάτο 9 εκεµρίου 5 Θεσσλονίκη, Ξενοδοχείο The Met
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(t)dt Νικ. Ιωσηφίδης, Μθηµτικός Φροντιστής, ΒΕΡΟΙΑ e-mail: iossifid@yahoo.gr Μι µεγάλη κτηγορί σκήσεων είνι η όδειξη νισοτήτων µε ολοκληρώµτ. Οι νισότητες στ ολοκληρώµτ είνι ό τ γηµέν θέµτ των Πνελλδικών, λλά γενικότερ οι νισότητες είνι συχνά θέµτ όλων των εξετάσεων υψηλού ειέδου (Εθνικοί διγωνισµοί, Βλκνιάδες, Ολυµιάδες). ίνουµε ρκάτω τ σηµντικότερ θεωρήµτ στ οοί σίζετι η όδειξη τέτοιων σκήσεων. Θεώρηµ ο Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι f() [,], τότε f()d () Η όδειξη της ρότσης ροκύτει άµεσ ό τον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµτος, φού δηλδή έν άθροισµ Riemman R είνι, θ είνι κι lim R ν f ()d Αό τον ίδιο ορισµό ροκύτει ότι ν f () > [,], τότε Αοδεικνύετι ότι: Το = στην () ισχύει µόνον ότν f() = [,] ηλδή ν υάρχει έστω κι έν [,] µε f ( ) > τότε ν f ()d > f ()d > Αόδειξη Αν το σηµείο είνι εσωτερικό του διστήµτος [, ], τότε λόγω της συνέχεις της f υάρχει διάστηµ = [γ, δ] [,] ου εριέχει το τέτοιο f ( ) > [γ,δ] γ δ Είνι τώρ f ()d= f ()d+ f ()d+ f ()d () γ δ ώστε Σελ.
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 Εειδή f () στ διστήµτ [, γ] κι [δ,] θ είνι δ f ()d,ενώ Εοµένως ό την () ροκύτει δ f ()d > φού στο [γ,δ] είνι f () >, γ f ()d > γ f ()d κι Αν = τότε υάρχει άλι διάστηµ = [, δ] [,] τέτοιο ώστε f () >. Είνι άλι δ f ()d = f ()d + f ()d > δ Όµοι η όδειξη ν = ΕΠΙΣΗΜΑΝΕΙΣ ) Αν > (οότε το διάστηµ ολοκλήρωσης είνι το [,], η νισότητ ισχύει µε την ντίθετη φορά, δηλδή ν f () [,], τότε ) Το ντίστροφο του θεωρήµτος δεν ισχύει. Αν δηλδή f ()d δεν ισχύει υοχρεωτικά ότι f () [,] Η όδειξη µορεί ν γίνει µε έν ντιράδειγµ, είνι εύκολο όµως ν το ερµηνεύσουµε κι γεωµετρικά. Στο διλνό σχήµ είνι f ()d = E E + E > όου Ε,Ε, Ε τ εµδά του σχήµτος, όµως είνι f () < (γ, δ). f ()d Το θεώρηµ υτό υάρχει στο σχολικό ιλίο κι µορεί ν χρησιµοοιηθεί χωρίς όδειξη. Τ ορίσµτ κι τ θεωρήµτ ου κολουθούν δεν υάρχουν στο σχολικό ιλίο (κάοι υάρχουν ως σκήσεις) κι ρέει ν οδεικνύοντι ό τους µθητές ου θ κάνουν χρήση τους. Η όδειξη θ γίνετι µέσ στην όδειξη της άσκησης ως µέρος υτής. ιτυώνουµε τ ορίσµτ κι τ θεωρήµτ υτά κι δίνουµε τις οδείξεις τους. Πορίσµτ ) Αν f συνεχής στο [,], τότε f ()d κι f() d. Το ίσον κι στις δύο εριτώσεις ισχύει ότν f() = [,] Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ ) Αν f συνεχής συνάρτηση στο διάστηµ,,, f(), υάρχει έν τουλάχιστον µε f ( ) > κι f()d=, τότε = ) Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι f() [,], τότε f()d Το = ισχύει µόνον ότν f() = [,] Αόδειξη Αφού f () [,] f () [,], άρ σύµφων µε το θεώρηµ θ είνι κι f ()d f ()d Το ίσον ισχύει ότν f () = [,] ή ισοδύνµ f () = [,] ) Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι συνεχείς στο διάστηµ [,] κι ισχύει f() g() [,], τότε f()d g()d. Το ίσον ισχύει ότν f() = g() [,] Αόδειξη f () g() [,] f () g() [,] Σύµφων εοµένως µε το ο θεώρηµ θ είνι: [f () g()]d f ()d g()d f ()d g()d Το = ισχύει ότν f () g() = [,] f () = g() [,] ηλδή µε τις ροϋοθέσεις του θεωρήµτος µορούµε ν ολοκληρώσουµε µι νισότητ. Με την ιδιότητ υτή οδεικνύετι η λειονότητ των νισοτικών σχέσεων µετξύ ολοκληρωµάτων. Ειδική ερίτωση υτής της ιδιότητς είνι η εόµενη 5) Αν f συνεχής συνάρτηση στο [,] κι ισχύει m f() M [, ], τότε m( ) f ()d M( ) Αόδειξη Ολοκληρώνοντς την σχέση m f () M [,] md f ()d Μd m( ) f ()d M( ) Το ίσον ισχύει ότν f () = m = Μ [,] Σελ.
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ Τ ντίστροφ των ράνω ορισµάτων,, 5 δεν ισχύουν. Π.χ (Πόρισµ ): Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι συνεχείς στο διάστηµ [,] κι ισχύει f ()d g()d δεν ροκύτει ότι f () g() [,]. Τ ρδείγµτ ου κολουθούν είνι λά εειδή θέλουµε ν δείξουµε µόνο την εφρµογή των θεωρηµάτων. Πρδείγµτ ) Ν οδειχθεί ότι Αόδειξη e d e < < Η συνάρτηση f () = e ως συνεχής στο R έχει ρχική F στο R, άρ κι στο [,]. Όµως υτή δεν µορεί ν εκφρστεί συνρτήσει των στοιχειωδών συνρτήσεων κι το ολοκλήρωµ e d δεν µορεί ν υολογιστεί ως F() F() Γι την όδειξη της άσκησης υτής θ ολοκληρώσουµε κτάλληλη νισότητ. Η ρώτη σκέψη είνι ν ολοκληρώσουµε την νισότητ m f () M όου m κι Μ η ελάχιστη κι η µέγιστη τιµή της f στο [,]. Γι κάθε [,] e e. d< e d< ed Το = δεν ισχύει µετά την ολοκλήρωση διότι δεν ισχύει κµιά ό τις ισότητες e = ή e = e γι κάθε [,] Άρ < e d< e Το έν σκέλος της ζητούµενης νισότητς έχει οδειχθεί, όχι όµως κι το άλλο. Η νισότητ e d > είνι µεν σωστή, λλά δεν οδεικνύει το ζητούµενο. Χρειάζετι ν ολοκληρώσουµε µι νισότητ της µορφής e g() όου η συνάρτηση g() δεν είνι η στθερή συνάρτηση, λλά ίρνει κι τιµές µεγλύτερες του στο διάστηµ [,]. Μι τέτοι συνάρτηση είνι η (ροκύτει ό την γνωστή νισότητ +, δηλδή ισχύει e + ν θέσουµε όου το e + ). Άλλωστε, ν µορούσµε ν υολογίσουµε εύκολ το ολοκλήρωµ υτό, δεν θ ζητούντν µι νισοτική σχέση, λλά µι ισότητ. Το ότι ζητείτι νισότητ κι όχι ισότητ, σηµίνει ότι ή το ολοκλήρωµ δεν υολογίζετι ή υολογίζετι ολύ δύσκολ. Αντίστοιχ µε την έκφρση οδείξτε ότι υάρχει ξ τέτοιο ώστε, το σχεδόν έιο είνι ότι ο ξ δεν µορεί ν υολογιστεί. Αν µορούσε ν υολογιστεί εύκολ θ µς ζητούσν ν ρούµε οιο είνι το ξ µε την δοσµένη ιδιότητ Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Η ολοκλήρωση της σχέσης e + ό ως δεν είνι σίγουρο ότι θ δώσει την ζητούµενη σχέση, λλά σίγουρ θ δώσει µι ιο ενισχυµένη νισότητ ό την e d >. οκιµάζουµε λοιόν υτήν την ολοκλήρωση, δηλ. e + e d (+ )d= + = νισότητς. κι οδείχθηκε κι το άλλο σκέλος της Τονίζουµε ότι δεν υάρχει τρόος γι ν κτλάουµε οι νισότητ ρέει ν ολοκληρώσουµε γι ν φτάσουµε στη ζητούµενη σχέση. Υάρχουν κι ιο ενισχυµένες νισότητες ου ν τις ολοκληρώσουµε θ ρούµε ιο στενά όρι γι το ολοκλήρωµ. Μορούµε.χ ν οδείξουµε ότι (λέε εόµενο ράδειγµ) e + +,, άρ κι e d + + d = e + + R. Εοµένως 5 + + = + + = > = Στο ράδειγµ υτό οδείξµε µι ριθµητική νισότητ. Αν η ολοκλήρωση γίνει σε διάστηµ ου εριέχει την µετλητή στ όριά του, µορεί ν οδειχθεί µι νισότητ µετξύ συνρτήσεων όως δείχνουµε µε το εόµενο ράδειγµ. ) Ν οδειχθεί ότι γι κάθε ισχύει e + + Αν = η οδεικτέ ισχύει ροφνώς ως ισότητ t Αν >, τότε ό την νισότητ e + t µε ολοκλήρωση ό ως ρίσκουµε: t t e dt > ( + t)dt = t + = + e > + e > + + κι η ρότση οδείχθηκε. ) Ν οδειχθεί ότι ηµ d < ln + + Αόδειξη Το ράνω ολοκλήρωµ δεν µορούµε ν το υολογίσουµε. Θ συγκρίνουµε την ηµ f () = µε άλλη συνάρτηση g(), τέτοι ώστε f () g() κι θ + + ολοκληρώσουµε την σχέση υτή ό ως. εν υάρχει τρόος ν κτλάουµε οι είνι η κτάλληλη συνάρτηση g ου θ µς δώσει το όριο ου θέλουµε, δηλ. το ln. Μόνο η εµειρί µορεί ν ιθνολογήσει την ειλογή της g. Έν µόνο στοιχείο µορεί ν οηθήσει λιγάκι, το γεγονός ότι στο ο µέλος υάρχει το ln ου είνι ιθνό ν ροέρχετι ό την ολοκλήρωση της h() = +. Σελ. 5
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 οκιµάζουµε λοιόν την σύγκριση της f µε την h: ηµ ηµ [,] [,] + + + + + Ολοκληρώνοντς την τελευτί ό ως έχουµε: ηµ d < d = ln( + ) = ln + + + Το = δεν ισχύει κτά την ολοκλήρωση εειδή στις ράνω νισοϊσότητες δεν ισχύει η ισότητ γι κάθε [,]. ) Ν οδειχθεί ότι ( ) Αόδειξη ηµ+ συν d< 8 εν µορούµε ν υολογίσουµε τ ολοκληρώµτ ηµd κι συνd (οι ρχικές της δεν ηµ µορούν ν εκφρστούν µε την οήθει των στοιχειωδών συνρτήσεων) Άλλωστε, ν µορούσµε ν υολογίσουµε τ ολοκληρώµτ δεν θ µς ζητούντν η όδειξη µις νισότητς, λλά µις ισότητς. Βέι υτό δεν σηµίνει υοχρεωτικά ότι το ολοκλήρωµ υολογιστεί, ο υολογισµός δεν είνι εύκολος. Θεωρούµε τη συνάρτηση f () = ηµ+ συν ηµd δεν µορεί ν υολογιστεί, λλά κι ν µορεί ν Θ νζητήσουµε κτάλληλη συνάρτηση g() τέτοι ώστε f () ολοκληρώσουµε στο [, ]. εν υάρχει κµιά ένδειξη γι το οι µορεί ν είνι η g. Αν γι κάοι συνάρτηση g ισχύει h() g() [,] θ ισχύει είσης ισχύει g()d 8 h()d 8 g() την οοί θ, τότε κι γι κάθε άλλη συνάρτηση, ενώ ν γι την συνάρτηση g g()d > 8, τότε κάθε συνάρτηση κ µε κ() g() [,] κτάλληλη γι την όδειξη, διότι θ δώσει µι ιο χλρή νισότητ. δεν είνι Μι κτάλληλη ίσως συνάρτηση είνι η στθερή συνάρτηση g() = M [,] όου Μ είνι η µέγιστη τιµή της f στο [, ]. Σελ. 6
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Τέτοι τιµή υάρχει διότι η f είνι συνεχής στο [, ]. οκιµάζουµε λοιόν µήως η τιµή Μ έχει την ιδιότητ Μd= 8. Μορούµε ράγµτι ν οδείξουµε ότι Μ= 8 κάτι ου φίνετι ολύ ιθνό ν συµίνει ότν =, οότε Πράγµτι είνι: συν ηµ f () = = ηµ συν f ( ) = ηµ + συν = 8 = = συν ηµ ηµσυν Το ρόσηµο της f είνι το ίδιο µε το ρόσηµο του (, ) συν ηµ ου είνι άλι το ίδιο µε το ρόσηµο του συν ηµ ου είνι άλι το ίδιο µε το ρόσηµο του συν ηµ = συν( εφ) ου είνι άλι το ίδιο µε το ρόσηµο του εφ. Το ρόσηµο της f κι η µονοτονί της f δίνοντι ό τον ρκάτω ίνκ. f () + - f () Η f λοιόν ρουσιάζει ράγµτι µέγιστο στο ίσο µε f ( ) 8 = Άρ f()d< 8d= 8 Μορούµε ν κάνουµε την άσκηση δυσκολότερη ν χρησιµοοιήσουµε τον τύο f()d = f( + )d (θ τον οδείξουµε στην εόµενη ενότητ) Η άσκηση µορεί ν άρει την ρκάτω µορφή: Ν οδειχθεί ότι ηµ d< 8 Μι ολύ γρήγορη όδειξη µορεί ν γίνει ν στην νισότητ των δυνάµεων + +, R θέσουµε όου = ηµ κι = συν Σελ. 7
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 Γι την όδειξη υτής της σχέσης ρτηρούµε ότι σύµφων µε τον ράνω τύο είνι ηµ d = ηµ( ) d = συν d Εοµένως η σχέση ου οδείξµε ( ) < ηµ d 8 ηµ d< 8 ηµ+ συν d< 8 γράφετι Θεώρηµ ο Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι ισχύει m f() M [, ], τότε f ()d (m + M) f()d + mm( ) Αόδειξη Ισχύει f () m κι f () M [,], άρ [f() m] [f() M] f () (m + M)f () + mm Με ολοκλήρωση ό ως της τελευτίς σχέσης ροκύτει η ζητούµενη. Η ρότση υτή χρησιµοοιείτι συνήθως ότν µς δίνετι η τιµή ενός ό τ δύο ολοκληρώµτ f ()d, f ()d κι ζητείτι µι νισότητ γι το άλλο ολοκλήρωµ όως δείχνουµε στο ράδειγµ ου κολουθεί. Πράδειγµ Γι την συνεχή συνάρτηση f ισχύει f() [, ] κι Ν οδειχθεί ότι f ()d 5 Αόδειξη [, ] είνι: f () f () + κι f () f () Με ολ/µό κτά µέλη ρίσκουµε (f () + )(f () ) f () f() f ()d f ()d d f ()d f()d= (f () f () )d f ()d 5 Σελ. 8
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Θεώρηµ ο : Ανισότητ Schwarz Η νισότητ υτή είνι ντίστοιχη της νισότητς B.C.S (Bunyakovsky Cauchy Schwarz) της άλγερς σύµφων µε την οοί:,,...,,,,..., R ισχύει: ν ν ( + +... + ) ( + +... + )( + +... + ) ν ν ν ν Το ίσον ισχύει ότν υάρχει λ R, τέτοιος ώστε: = λ, = λ,...,ν = λν ή υάρχει λ R τέτοιος ώστε = λ, = λ,...,ν = λν Η νισότητ Schwarz στ ολοκληρώµτ έχει ως εξής: Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι συνεχείς στο [,] τότε f()g()d f ()d g ()d () Το ίσον ισχύει ότν υάρχει λ R, τέτοιος ώστε f() = λg() [, ] ή g() = [,] Αόδειξη Γι την συνάρτηση h() = f () λg() ισχύει h ()d ( f () λf ()g() + λ g ()) d g ()d λ f ()g()d λ + f ()d h () [,], άρ κι () Αν Αν g ()d = οότε g() = [,] τότε η () ισχύει ως ισότητ. g ()d > γι ν ισχύει η () είνι, δηλδή, το ο µέλος της () είνι τριώνυµο ου θµού ως ρος λ κι R λ ρέει κι ρκεί η δικρίνουσ του τριωνύµου ν f ()g()d g ()d f ()d f ()g()d g ()d f ()d Το ίσον ισχύει ότν g() = [,] ή h() = f () λg() = [,], δηλδή f () = λg() [,] Η ράνω νισότητ είνι ιδιίτερ χρήσιµη σε εριτώσεις όου τ ροηγούµεν νισοτικά θεωρήµτ δίνουν ευρύτερ όρι ό υτά ου ζητά η άσκηση γι µι νισότητ όως δείχνουµε στο ράδειγµ ου κολουθεί. Σελ. 9
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 Πράδειγµ Ν οδειχθεί ότι: d > + Αόδειξη Η συνάρτηση u() = είνι συνεχής κι γν. φθίνουσ στο διάστηµ [,], άρ η + ελάχιστη τιµή της είνι η u() =, ισχύει δηλδή u() [,] Εοµένως κι u()d d= Η νισότητ υτή είνι σωστή, λλά δεν οδεικνύει το ζητούµενο. Χρειζόµστε µι ιο ενισχυµένη νισότητ. Θ χρησιµοοιήσουµε την νισότητ του Schwarz f ()g()d f ()d g ()d () γι τις συνρτήσεις f () = Είνι: f ()g()d= d= f ()d= d + + κι g() = + στο διάστηµ [,] = [,] g ()d = ( + )d= + = Η () γίνετι: < d + d > + Το = δεν ισχύει εειδή δεν υάρχει λ R ώστε ν ισχύει f () = λg() [,] Πράγµτι, γι = ροκύτει λ=, ενώ γι = ροκύτει λ= Πρτήρηση Η νισότητ ου οδείξµε είνι ολύ ισχυρή, δηλδή η τιµή =,75 είνι ολύ κοντά στην κριή τιµή του ολοκληρώµτος ου είνι ίση µε,785 Ισχύει d = [τοξεφ] = τοξεφ τοξεφ = = > + Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Κυρτότητ κι νισότητες Όως είµε, η λειονότητ των νισοτήτων στ ολοκληρώµτ στηρίζετι στην ολοκλήρωση λγερικών νισοτήτων ου οδεικνύοντι µε διάφορους τρόους. Πολλές νισότητες οδεικνύοντι µε το θεώρηµ Μέσης Τιµής του διφορικού λογισµού, άλλες µε την µονοτονί, άλλες µορούν ν οδειχθούν µε την κυρτότητ (νισότητ Jensen) κ.λ.. Πολλές µορούν ν οδειχθούν χωρίς τη χρήση θεωρηµάτων της Ανάλυσης. Π.χ ν στην γνωστή νισότητ + θέσουµε όου κι δύο τυχίες συνρτήσεις, έχουµε µι νισότητ µετξύ συνρτήσεων. Υάρχει ειρί νισοτήτων ου µορούν ν οδειχθούν µε διάφορες µεθόδους. Ολοκληρώνοντάς τες ρίσκουµε ειρί άλλων νισοτήτων. Τέτοιο ήτν το ράδειγµ στο οοίο ολοκληρώσµε την γνωστή νισότητ t e + t στο διάστηµ [, ] γι ν κτλήξουµε στην νισότητ e + + Μι κτηγορί νισοτήτων στηρίζετι στην κυρτότητ. Το σχετικό θεώρηµ είνι το εξής (εριέχετι ως σχόλιο στο σχολικό ιλίο στην ενότητ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ): Αν η συνάρτηση f είνι κυρτή στο διάστηµ = [,] κι y= λ + µ είνι η εφτοµένη της c f στο τυχίο σηµείο, τότε f() λ + µ. Το = ισχύει γι = Η νισότητ ισχύει µε την ντίθετη φορά ότν η f είνι κοίλη στο. Ολοκληρώνοντς την σχέση υτή στο διάστηµ ροκύτει η νισότητ f()d > (λ + µ)d Το = δεν ισχύει, φού η f είνι κυρτή κι δεν ισχύει f () = λ + µ Γεωµετρικά, γι συνάρτηση θετική στο [,], η νισότητ υτή δηλώνει ότι το εµδόν του µικτογράµµου χωρίου ΑΒΓ είνι µεγλύτερο ό το εµδόν του τρεζίου ΑΒΕΖ (λ. διλνό σχήµ). Στην ιδιότητ υτή στηρίζοντν η λύση στο ο θέµ των Πνελλδικών του 5, όου µετξύ άλλων ζητούντν ν οδειχθεί ότι µι εξίσωση ου εριείχε ολοκληρώµτ είχε µι τουλάχιστον ρίζ στο διάστηµ (,). Η λύση γίνοντν µε το θεώρηµ Bolzano, χρειάζοντν όµως νισότητ γι κάοιο ολοκλήρωµ η οοί οδεικνύοντν µε την οήθει του ράνω θεωρήµτος, ολοκληρώνοντς δηλδή µι σχέση της µορφής f () λ + µ στο διάστηµ [,]. Σελ.
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 Λόγω της ολυλοκότητς κι των ολλών ερωτηµάτων του θέµτος υτού δίνουµε έν λούστερο Πράδειγµ ίνετι η συνάρτηση e f () =. ) Ν ρεθεί η εφτοµένη της c f στο σηµείο =. ) Ν οδειχθεί ότι η f είνι κυρτή στο διάστηµ (, + ) κι ότι Αόδειξη e e e ) Είνι f () = f () = Η εξίσωση της εφτοµένης στο σηµείο = είνι: y f () = f ()( ) e y= e d > e ( + )e ) Είνι: f () = > (, + ), άρ η f είνι κυρτή στο (, + ), e άρ κι στο [,] κι εοµένως ισχύει f () [,]. Ολοκληρώνοντς την τελευτί στο [,] έχουµε: e e e e d > d = d e = = Μι χρήσιµη µέθοδος ροσέγγισης της τιµής του Έστω ότι θέλουµε ν οδείξουµε µι νισότητ της µορφής κ f ()d λ Έχουµε ει ότι ν γι την συνάρτηση f ισχύει m f () M [,], τότε ισχύει κι m( ) f ()d Μ( ) () Η ιο ενισχυµένη νισότητ ου µορούµε ν άρουµε εφρµόζοντς τη σχέση υτή είνι ν ειλέξουµε m= min f στο [,] κι Μ= ma f στο [,] Οι τιµές υτές υάρχουν διότι η f είνι συνεχής στο [,] f()d Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Γι συνάρτηση f µε f () [,], η ράνω σχέση σηµίνει ότι το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι µετξύ των c, f κι των κτκορύφων = κι = εριέχετι µετξύ των εµδών των ορθογωνίων ΑΒΓ κι ΑΒΕΖ, δηλδή η σχέση () γράφετι εµ(αβγ ) f ()d εµ(αβεζ) () (Σχεδιάσµε µι γν. ύξουσ κι θετική συνάρτηση γι ν γίνει ιο εύκολ κτνοητή η γεωµετρική ερµηνεί ου ντύσσουµε). Τ όρι m( ) κι M( ) ολλές φορές δεν είνι τ κτλληλότερ, δηλδή θέλουµε ν εριορίσουµε το ολοκλήρωµ νάµεσ σε ιο στενά όρι. Χωρίζουµε τότε το διάστηµ [,] µε το τυχίο σηµείο γ σε δύο διστήµτ [, γ] κι [γ,] κι γράφουµε: γ f ()d= f ()d+ f ()d γ Σε κθέν ό τ διστήµτ [, γ] κι [γ,] εφρµόζουµε την νισότητ () γ εµ(αμη ) f ()d εµ(αμθλ) εµ(μβκθ) f ()d εµ(μβει) γ Με ρόσθεση κτά µέλη των ράνω νισοτήτων ρίσκουµε εµ(αμη ) + εµ(μβκθ) f ()d εµ(αμθλ) + εµ(μβει) Η τελευτί νισότητ είνι ιο ισχυρή (δηλ. δίνει ιο στενά όρι) ό την (), φού στο ριστερό µέλος της έχει ροστεθεί το εµδόν του ορθογωνίου ΗΓΚΘ ενώ ό το δεξιό µέλος έχει φιρεθεί το εµδόν του ορθογωνίου ΛΘΙΖ. Τ σηµεί της διίρεσης µορεί ν είνι κι ερισσότερ κι τότε η νισότητ ου ροκύτει µε τον ράνω τρόο είνι γενικά ιο ισχυρή. ηλδή, έστω f µι ύξουσ συνάρτηση στο διάστηµ κι D= = < < <... < = ) µι διµέριση του σε διστήµτ ίσου λάτους ( ν = ν Έστω mi= f ( i ), i=,,...,ν οι ελάχιστες τιµές της f στ ντίστοιχ διστήµτ Μ = f ( ), i=,,..., ν οι µέγιστες τιµές της f στ ντίστοιχ διστήµτ i i [ Εφρµόζουµε την () σε κθέν ό τ διστήµτ i, i] Σελ.
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 m f ()d M ν ν = m f ()d M ν ν ν= mν f ()d M ν ν ν Με ρόσθεση κτά µέλη των ράνω νισοτήτων ρίσκουµε ν f( ) + f ( ) + + f ( ν ) ν f()d + + + ν ν f( ) f ( ) f ( ) () Αν η f είνι φθίνουσ στο η () ισχύει µε την ντίθετη φορά, δηλ. f( ) + f ( ) + + f( ν ) ν f()d + + + ν ν f ( ) f( ) f ( ) () Με την µέθοδο υτή µορούµε ν ροσεγγίσουµε οσοδήοτε την τιµή ενός ολοκληρώµτος, δηλδή ν εριορίσουµε το ολοκλήρωµ νάµεσ σε οσοδήοτε στενά όρι. Το συµέρσµ υτό ροκύτει κι ό τον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµτος σν το κοινό όριο των κτώτερων κι νώτερων θροισµάτων της f στο διάστηµ. Πρδείγµτ ) Ν οδειχθεί ότι Αόδειξη Η συνάρτηση + d< 7+ f () = + είνι γν. ύξουσ στο [,] µε µέγιστη τιµή την f () =, δηλδή f () [,] + d< d= Όµως 7+ < κι η νισότητ δεν οδείχθηκε. ιιρούµε το διάστηµ [, ] µε το σηµείο σε δύο διστήµτ κι εφρµόζουµε την ροηγούµενη νισότητ σε κθέν ό τ διστήµτ [, ] κι [,]. Στο διάστηµ [, ] η µέγιστη τιµή της f είνι η f () = 7 κι στο διάστηµ [,] η µέγιστη τιµή της f είνι η f () =. Είνι: κι + < = d 7 ( ) 7 + < = d ( ) Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Με ρόσθεση κτά µέλη ρίσκουµε οδείχθηκε. + d< 7+ κι η νισότητ ) Ν οδειχθεί ότι ηµ + < d 8 < + 5 8 6 Αόδειξη ηµ Βρίσκουµε την µονοτονί της f () = στο = [, ] 6 συν ηµ f () = Θέτουµε g() = συν ηµ, [, ] g () = συν ηµ συν = ηµ < (, ) άρ η g είνι γν. φθίνουσ στο [, ], εοµένως g() < g() = (, ), εοµένως κι (, ) 6 Άρ είνι κι f () < (, ) κι η f είνι γν. φθίνουσ στο [,] 6 6 ιιρούµε το διάστηµ = [, ] σε 5 ίσ διστήµτ [, ], [, ], 6 6 6 6 6 [, ], 6 6 ντύξµε. Θ έχουµε: 5 [, ], 6 6 5 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f () 6 + + + + 6 6 6 6 5 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 6 + + + + 6 6 6 6 6 5 [,] κι εφρµόζουµε την σχέση () της µεθόδου ου 6 6 ηµ d Αντικθιστώντς τις τιµές της f ρίσκουµε τελικά ηµ + < d< + 8 5 8 6 ηµ Ή ροσεγγιστικά, 8< d<,58 6 Σηµείωση: Η τιµή του ολοκληρώµτος είνι,6 Σελ. 5
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 Το ορισµένο ολοκλήρωµ Η συνάρτηση G() = f(t)dt f (t) dt ορίστηκε στο σχολικό ιλίο στην ερίτωση ου η συνάρτηση f είνι ορισµένη κι συνεχής στο κλειστό διάστηµ µε άκρ τ κι. Στην ερίτωση Το ολοκλήρωµ = ορίστηκε f (t) dt= f (t) dt είνι ένς ργµτικός ριθµός ου εξρτάτι ό τη συνάρτηση f κι τ άκρ κι του διστήµτος. Αν εοµένως διτηρήσουµε το άκρο στθερό ενώ το άκρο ίρνει τιµές ό έν σύνολο, τότε ορίζετι µι συνάρτηση της οοίς η τιµή γι δεδοµένη συνάρτηση κι δεδοµένο, εξρτάτι µόνο ό το εάνω όριο. Ορίζετι δηλδή µι συνάρτηση µε τύο F() = f (t)dt Ανάλογ ορίζετι κι η σύνθετη συνάρτηση F() = f (t)dt Σύµφων µε τον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµτος του σχολικού ιλίου, η συνάρτηση F() = f (t)dt ορίζετι ότν η f ορίζετι κι είνι συνεχής στο διάστηµ µετξύ των δύο ορίων του ολοκληρώµτος. ηλδή γι το µε άκρ τ κι. () () f(t)dt θ θεωρούµε υτόµτ ότι η f είνι συνεχής στο διάστηµ Το ρώτο ρόληµ ου θ µελετήσουµε είνι η εύρεση του εδίου ορισµού µις συνάρτησης σν τις ράνω. Θ στηριχτούµε οκλειστικά στον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµτος του σχολικού ιλίου. Πεδίο ορισµού της G() = f(t)dt Γι ν ορίζετι η συνάρτηση G ρέει το ν ίρνει τέτοιες τιµές, ώστε η f ν ορίζετι κι ν είνι συνεχής στο διάστηµ µε άκρ τ κι. Πρδείγµτ Ν ρεθούν τ εδί ορισµού των ρκάτω συνρτήσεων: Το f (t) dt µορεί ν οριστεί κι σε συνεχείς συνρτήσεις, λλά εδώ θ µελετήσουµε µόνο ολοκληρώµτ όου η f είνι συνεχής στο διάστηµ µετξύ των ορίων του ολοκληρώµτος Σελ. 6
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ ) G() = t dt Λύση Η συνάρτηση f (t) = t έχει εδίο ορισµού το διάστηµ A = [, + ) κι είνι συνεχής σ υτό. Το κάτω όριο A. Εοµένως ρέει κι ρκεί κι το εάνω όριο ν ρίσκετι στο ίδιο διάστηµ ώστε η συνάρτηση G ν ορίζετι κι ν είνι συνεχής στο διάστηµ µετξύ των δύο ορίων. Άρ το εδίο ορισµού της G είνι το B = A = [, + ) ) Λύση G() = dt t Το εδίο ορισµού της f (t) = t είνι το A = (, ) (, + ) κι η f είνι συνεχής σε κθέν ό τ δύο διστήµτ (, ) κι (, + ). Το κάτω άκρο (, ). Εοµένως ρέει κι ρκεί κι το άνω άκρο ν νήκει στο ίδιο διάστηµ, δηλ. ρέει κι ρκεί (, ). Εοµένως το εδίο ορισµού της G είνι το B = (, ) (ν (, ),.χ =, η συνάρτηση f δεν ορίζετι στο [,] κι το ολοκλήρωµ δεν έχει νόηµ). Γι ν ορίζετι η συνάρτηση Πεδίο ορισµού της () () G() = f(t)dt G() = f (t)dt, ρέει ρώτ ν ορίζετι το άνω όριο, ρέει δηλδή ν υάρχει το (). Αν λοιόν Β είνι το εδίο ορισµού της συνάρτησης, ρέει B. Ειλέον ρέει η f ν ορίζετι κι ν είνι συνεχής στο διάστηµ µετξύ των δύο ορίων. Το εδίο ορισµού της G είνι το σύνολο των τιµών του γι τις οοίες συνληθεύουν οι ράνω σχέσεις. Η συνάρτηση G() = f (t)dt γράφετι ως () της ρίσκετι µε τον ίδιο τρόο. () G() = f (t)dt κι το εδίο ορισµού Πρδείγµτ Ν ρεθούν τ εδί ορισµού των ρκάτω συνρτήσεων Σελ. 7
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 ) G() = t+ dt Η G γράφετι G() = t + dt Το άνω όριο ορίζετι γι κάθε R. Η συνάρτηση f (t) = t+ dt έχει εδίο ορισµού το A = [, + ) κι είνι συνεχής σ υτό. Το κάτω όριο A. Εοµένως ρέει κι ρκεί [, + ) Άρ εδίο ορισµού της G είνι το B = [, + ) t ) G() = dt t Γι ν ορίζετι η G ρέει ν ορίζετι ρώτ το άνω όριο, άρ ρέει () t Το εδίο ορισµού της συνάρτησης f (t) = είνι το A = (, ) (, + ) κι η f t είνι συνεχής σε κθέν ό τ διστήµτ (, ) κι (, + ). Εειδή το κάτω όριο νήκει στο διάστηµ (, ) ρέει κι το άνω όριο ν νήκει στο ίδιο διάστηµ του εδίου ορισµού της f, δηλδή ρέει (, ) < < () Οι () κι () συνληθεύουν ότν <, άρ το εδίο ορισµού της G είνι το B = [, ) Πεδίο ορισµού της () Γι ν ορίζετι η G ρέει ν ορίζοντι τ δύο όρι () κι () κι η συνάρτηση f ν ορίζετι κι ν είνι συνεχής µετξύ των δύο ορίων. Οι τιµές του γι τις οοίες συνληθεύουν όλες υτές οι σχέσεις οτελούν το εδίο ορισµού της G. () G() = Πρδείγµτ Ν ρεθούν τ εδί ορισµού των ρκάτω συνρτήσεων f(t)dt + ηµt ) G() = dt t Λύση Τ δύο όρι του ολοκληρώµτος ορίζοντι γι κάθε R ηµt Πρέει τώρ ν ορίζετι η κι η f (t) = κι ν είνι συνεχής µετξύ των δύο t ορίων. Σελ. 8
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Το εδίο ορισµού της f είνι το A = (,) (, + ) κι η f είνι συνεχής σε κθέν ό τ διστήµτ υτά. Πρέει λοιόν (,) κι (,) (, + ) κι + (, + ) { + } ή { } Το ο σύστηµ των νισώσεων ληθεύει ότν > Έτσι, το εδίο ορισµού της G είνι το ) G() = ln(+ ) t e dt t t+ <, ενώ το ο σύστηµ ληθεύει ότν B = (, ) (, + ) Λύση Το κάτω όριο ορίζετι ότν > () Το άνω όριο ορίζετι ότν () t e Η συνάρτηση f (t) = dt έχει εδίο ορισµού το A = (, ) (, + ) κι είνι t t+ συνεχής σε κθέν ό τ διστήµτ υτά. Γι ν ορίζετι η G ρέει κι τ δύο όρι ολοκλήρωσης ν νήκουν στο ίδιο διάστηµ του εδίου ορισµού της f. Πρέει δηλδή { ln( + ) (, ) κι (, ) } ή { ln( + ) (, + ) κι (, + )} Το ρώτο σύστηµ είνι δύντο εειδή Το δεύτερο σύστηµ { ln( + ) (, + ) κι (, + ) } { ln( ) κι } + > > { + > κι > } > () Το σύστηµ των νισώσεων (), (), () ληθεύει ότν > Εοµένως το εδίο ορισµού της G είνι το B = (, + ) Πεδίο ορισµού της Έστω µι συνεχής συνάρτηση f : A R κι λ G() = f(,t)dt G() λ κ κ f (, t)dt Γι την συνάρτηση ου ρίσκετι µέσ στο ολοκλήρωµ µετλητή είνι το t (υτό δηλώνετι ό το dt. Το θεωρείτι στθερά). Η εύρεση του εδίου ορισµού της συνάρτησης G κολουθεί τους ίδιους κνόνες. ηλδή ρέει ρώτ ν ορίζετι η σύνθετη συνάρτηση f (, t) µε µετλητή το t. Κτόιν ρέει η f (, t) ν συνεχής στο διάστηµ µετξύ των ορίων κ κι λ. Οι εριορισµοί υτοί δίνουν το εδίο ορισµού της G. = Σελ. 9
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 Πράδειγµ Έστω η συνάρτηση f :[, + ) R. Ν ρεθεί το εδίο ορισµού της συνάρτησης G() = f ( t)dt Λύση Βρίσκουµε το εδίο ορισµού της σύνθετης συνάρτησης f ( t) µε µετλητή το t κι στθερό. Πρέει το t ν νήκει στο εδίο ορισµού της f, δηλ. ρέει t [, + ) t t ηλδή το εδίο ορισµού της Πρέει κι ρκεί ειλέον η f ( t) είνι το A = (, ] ν είνι συνεχής στο διάστηµ [, ], άρ f ( t) ρέει οι ριθµοί κι ν ρίσκοντι στο διάστηµ (, ]. Πρέει κι ρκεί ρος τούτο ν ισχύει ( ή ) Εοµένως το εδίο ορισµού της G είνι το B = (, ] [, + ) Πρτήρηση ίνουµε µι άλλη λύση η οοί φινοµενικά είνι όρθή, έχει όµως έν σφάλµ το οοίο κι θ εξηγήσουµε. Εκτελούµε τον µετσχηµτισµό t = u, άρ dt = du Ότν t = u = κι ότν t = u =, άρ G() = f (u)du Το εδίο ορισµού της G τώρ µορεί ν ρεθεί ιο γρήγορ. Πρέει τ δύο όρι του ολοκληρώµτος ν ρίσκοντι στο διάστηµ [, ) +. Προς τούτο ρέει κι ρκεί ( ή ) Άρ το εδίο ορισµού της G είνι το B = (, ] [, + ) Το οτέλεσµ είνι το ίδιο µε την ροηγούµενη λύση, όµως η λύση υτή δεν είνι ορθή γι τον εξής λόγο: Κάθε ράξη ου γίνετι στο ρχικό ολοκλήρωµ γι ν φτάσουµε στο τελικό ολοκλήρωµ G() = f (u)du γι ν είνι ειτρετή ρέει ν γίνετι µέσ στο εδίο ορισµού της G. Το εδίο ορισµού ρέει ν ροηγείτι κάθε ράξης, λλιώς κάοιες ράξεις ίσως δεν είνι ειτρετές. είχνουµε µε ιο λό ντιράδειγµ το λάθος στον ράνω συλλογισµό. Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Αντιράδειγµ ίνοντι οι συνρτήσεις f () = κι g() =. Ν ρεθεί η συνάρτηση g f Ο τύος της g f είνι (g f )() = g(f ()) = = Το εδίο ορισµού της h() = είνι το R, ν δηλδή δεν λάουµε υόψη τ εδί ορισµού των f κι g ρίσκουµε ως εδίο ορισµού της g f το R. Όµως: Τ εδί ορισµού των f κι g είνι τ Α κι Β ντίστοιχ µε Α= Β=R Η g f έχει εξ ορισµού εδίο ορισµού το σύνολο Γ = { A κι f () B} = { κι f () } * =R κι όχι το R Το σφάλµ στην εύρεση του εδίου ορισµού της g f ό τον τύο (g f )() = είνι ότι οι ράξεις ου οδήγησν στον τελικό υτό τύο της g f δεν είνι ειτρετές ότν =. * Πργώγιση της συνάρτησης Φέτος (5-6) η ργώγιση της συνάρτησης G είνι έν διφορούµενο θέµ. Ενώ δηλδή θ θεωρούµε γνωστό το ότι η συνάρτηση υτή είνι ράγουσ της f, οι οδηγίες ρος τους κθηγητές ό το Υουργείο Πιδείς λένε ότι δεν θ διδχθούν σκήσεις ου νφέροντι στην ργώγιση των συνρτήσεων F() = f (t)dt κι () G() = f (t)dt. G() = Γι τον λόγο υτόν δεν θ δώσουµε εδώ ρδείγµτ ργώγισης. f(t)dt Μέθοδοι ολοκλήρωσης Το ολοκλήρωµ µις συνάρτησης µορεί ν γίνει µε εύρεση µις ρχικής της. Αν δηλ. F είνι µι ρχική της f στο [,] (οοιδήοτε ρχική), τότε [ ] f ()d = F() = F() F() Υάρχουν ολλές µέθοδοι (τρόοι) γι την εύρεση ενός ορισµένου ολοκληρώµτος. Στο σχολικό ιλίο δεν νφέροντι οι µέθοδοι υτές, υάρχουν όµως σχετικές σκήσεις γι τις οοίες ο µθητής ρέει µόνος του ν τις εινοήσει. Π.χ. άσκηση της Γ οµάδς Σελ.
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 i) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ ii) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ I I = = d d ηµ Γι τη λύση του (i) ερωτήµτος o µθητής ρέει ν σκεφτεί ότι υάρχουν, R : = + ± + κι κτόιν ν ολοκληρώσει τη σχέση υτή ό ως. Με οι λογική όµως θ σκεφτεί κάτι τέτοιο; Υάρχει σχετικό ράδειγµ στο σχολικό ιλίο στ όριστ ολοκληρώµτ ου φέτος (τ όριστ ολοκληρώµτ) είνι εκτός ύλης. Πιο συγκεκριµέν ζητείτι ν + υολογιστεί το d 5 + 6 Στη λύση ου κολουθεί νφέρετι κτά λέξη: + A B Ανζητούµε ργµτικούς Α, Β έτσι ώστε ν ισχύει = + 5 + 6 Γι τον µθητή η σκέψη υτή είνι εντελώς ράλογη. Ο µθητής οτέ δεν διδάχτηκε ότι κάτι τέτοιο, στη συγκεκριµένη ερίτωση είνι δυντό. Η νάλυση κλάσµτος σε άθροισµ λούστερων κλσµάτων είνι µι ξεχωριστή θεωρί γι την οοί οτέ δεν άκουσε κάτι σχετικό. Το λυµένο ράδειγµ του ιλίου δεν του δίνει την ειότητ ότι υτό µορεί ν γίνει κι γι το κλάσµ Ο υολογισµός κτόιν του ηµ I = d = d ηµ = ηµ I dy = dy = y y = d µορεί ν γίνει ως εξής: ηµ ηµ συν d = I συν= y (συν) d = d = συν Ο τρόος υολογισµού του I κόµη κι στ Πνειστηµικά ιλί δίνετι ως µέθοδος ολοκλήρωσης. εν είνι δυντόν ν ζητούµε ό τους µθητές ν τον σκεφτούν µόνοι τους. Το ότι δεν υάρχει κάτι εκτός θεωρίς σχολικού ιλίου δεν ρκεί γι ν ζητούµε ό τους µθητές ν σκεφτούν µι τέτοι λύση. Είνι γνωστό ότι κάθε θεωρί µορεί ν ροκύψει µε την οήθει των ορισµών κι ροηγούµενων θεωριών, λλά είνι ράλογο ν ζητούµε ό τους µθητές ν λύσουν.χ µι άσκηση ου στηρίζετι στο Πυθγόρειο θεώρηµ ου δεν έχουν διδχθεί Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ κόµη, εειδή το Πυθγόρειο θεώρηµ µορεί ν οδειχθεί µε την οήθει των οµοίων τριγώνων ου έχουν ήδη διδχθεί. Η έλλειψη µεθόδων ολοκλήρωσης κάνει κόµη κι τις εύκολες σκήσεις ολύ δύσκολες. Π.χ γι κάοιον ου διδάχθηκε ως µέθοδο τον υολογισµό του ολοκληρώµτος ν ηµ d ότν ο ν είνι εριττός, ο υολογισµός του ρουτίνς. 5 ηµ d = ηµ ηµd = ( y ) dy κ.λ. (ηµ ) ηµd = 5 ηµ d είνι µι υόθεση συν = y ( συν ) (συν) d = Γι κάοιον ου δεν διδάχθηκε την νφερόµενη µέθοδο, είνι ολύ δύσκολο ν σκεφτεί τον τρόο υολογισµού. Στο σχολικό ιλίο νφέροντι δύο µέθοδοι ολοκλήρωσης. Η ολοκλήρωση κτά ράγοντες κι η ολοκλήρωση µε λλγή µετλητής (ντικτάστση µε νέ µετλητή). Σε κάθε άλλη ερίτωση, γι τον υολογισµό ενός ολοκληρώµτος, ρέει ο µθητής ν µντέψει µι ρχική F κι ν χρησιµοοιήσουµε κτόιν το θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού f ()d = F() F() Πρλείουµε την ολοκλήρωση κτά ράγοντες κι δείχνουµε την ολοκλήρωση µε λλγή µετλητής ου ρουσιάζει κι το µεγλύτερο ενδιφέρον κι δυσκολίες. Αλλγή µετλητής στο ορισµένο ολοκλήρωµ Ισχύει το εξής θεώρηµ: Αν η συνάρτηση g έχει συνεχή ράγωγο στο = [,],η f είνι συνεχής στο g( ) κι, g( ) τότε g() f(g())g ()d = f (u)du ή το ίδιο g() g() f(g())g ()d = f()d () g( ) Ερωτήµτ δηµιουργούντι γι την ντίστροφη διδικσί. Αν δηλδή κι µε οιες ροϋοθέσεις µορούµε ν γράψουµε u u f (u)du = f (g())g ()d θέτοντς όου u= g(). Τ κι ρίσκοντι ό τις σχέσεις g() = u, g() = u Σελ.
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 Μι τέτοι λλγή γίνετι στο σχολικό ιλίο γι τον υολογισµό του εµδού κύκλου. Η εφρµογή υτή είνι εκτός εξετστές ύλης, ξίζει όµως ν δούµε ότε η λλγή υτή είνι ειτρετή. Το ρόληµ εντοίζετι στην ερίτωση ου η συνάρτηση g δεν είνι -, οότε η εξίσωση g() = u µορεί ν έχει ερισσότερες ό µι λύσεις. Η ροηγούµενη ρότση του σχολικού ιλίου ισχύει κι στην ερίτωση υτή, οοιδήοτε κι ν είνι τ όρι,, ρκεί ν ληρούν τις σχέσεις u= g(), u = g() 5 κι τις ροϋοθέσεις ου νφέρµε γι την σχέση (). Αοδεικνύετι δηλδή ότι η τιµή του ολοκληρώµτος είνι η ίδι όως κι ν ειλεγούν τ όρι κι, ρκεί ν ισχύουν οι ροϋοθέσεις ου νφέρµε. 6 Στην ερίτωση όου g( ) [,] οδεικνύετι ότι µορούµε ν εεκτείνουµε την f στο διάστηµ g( ) ώστε η εέκτση f ν είνι συνεχής (υτό µορεί ν γίνει µε άειρους τρόους). Αν f είνι οοιδήοτε συνεχής εέκτση της f, οδεικνύετι τότε ότι u u f (u)du = f (g())g ()d ίνουµε µερικά ρδείγµτ εφρµογής του ράνω θεωρήµτος Πράδειγµ ο Ν υολογιστεί το I= 9+ d Λύση Θ υολογίσουµε το Ι µε το θεώρηµ της ντικτάστσης. Θ γράψουµε την συνάρτηση h() = 9+ µε την µορφή f (g())g () γι ν εφρµόσουµε τον τύο g() f (g())g ()d = f (u)du () Είνι 9 g() = 9+ + = g() 9+ (9 + ) = f (g())g () όου f () = κι 5 Βλέε σχετικά: ) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θ. Κζντζή, εκδόσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ, σελ. 77-8 ) https://drive.google.com/file/d/b9uhvymsvrpytbnljjegp5uc/edit?pli= Αντώνης Κυρικόουλος- Γιώργος Τσσόουλος: ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΑ ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΙΑ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g() = f (, t)dt 6 Συζητήσεις άνω στο θέµ υτό έχουν γίνει στο mathematica όου υάρχει διάστση όψεων γι το ν θ ρέει η g ν είνι - ή όχι. Βλέε σχετικά http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=5&t=59 Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Γι ν εφρµοστεί ο τύος () ρέει ν ισχύουν οι ροϋοθέσεις της θεωρίς, ρέει δηλδή η ράγωγος της g() = 9+ δηλδή η g () = ν είνι συνεχής στο [,] = [, ] ου ράγµτι είνι κι η f () = ν είνι συνεχής στο g([, ]) = [9, 5] ου ράγµτι είνι. Μορούµε λοιόν ν γράψουµε Πράδειγµ ο ρ Ν υολογιστεί το I = ρ d όου ρ > ρ 5 5 5 98 I = u du u d u = = = 9 9 9 Λύση Όως νφέρµε ριν, ο ολοκλήρωµ υτό υολογίζει το εµδόν του µισού κύκλου + y = ρ. Θ δείξουµε εδώ ως µορεί ν υολογιστεί µε την µέθοδο της ντικτάστσης εφρµόζοντς τον τύο µέλος ρος το ο. g() f (g())g ()d = f ()d ό το ο Πρέει ν θέσουµε την f () = ρ στη µορφή f (g())g () γι ν εφρµόσουµε τον ράνω τύο. Θεωρούµε τη συνάρτηση g() = ρηµ, = [, ] Είνι g( ) = ρ, g( ) = ρ κι g( ) [ ρ,ρ] Η g είνι ργωγίσιµη στο κι η ράγωγός της g () = ρσυν είνι συνεχής στο Η συνάρτηση f () = ρ είνι συνεχής στο g( ) = [ ρ,ρ]. Μορούµε λοιόν ν γράψουµε g( ) ρ I = ρ d = f ()d = ρ ρ συν συνd = g( ) ρ συν d= f (g())g ()d = + συν ρ d = ρ ρ ρ ρ d+ συνd= [ ] + ηµ = ρ ρ g() ρ ηµ (ρηµ) d = Στην ράνω λύση γράψµε τ όρι ρ κι ρ µε τη µορφή ρ= g( ). ρ = g( ) κι Σελ. 5
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 Με τον τρόο υτόν τ όρι του νέου ολοκληρώµτος ήσν τ κι. 5 Μορούµε όµως ν γράψουµε κι ρ = g( ) κθώς κι ρ= g( ) ή κόµη ν ειλέξουµε κι άλλες τιµές γι τ νέ όρι. Σύµφων µε όσ είµε, η τιµή του ολοκληρώµτος θ είνι η ίδι, δηλδή δεν έχει σηµσί ν η συνάρτηση g είνι - ή όχι. Η ρότση ισχύει. Ενδεικτικά θέτουµε στο ολοκλήρωµ του ου µέλους τ όρι κι γι ν δούµε ν η τιµή του ολοκληρώµτος θ είνι άλι η ίδι. Οι ροϋοθέσεις ισχύουν κι γι νέ όρι κι έχουµε: J = ρ συν συνd= ρ συν συνd = ρ ρ ρ ρ d+ συνd= [ ] ρ + ηµ = Σελ. 6 ρ συν d= ρ + συν d= Πράδειγµ ο Στο ράδειγµ υτό η συνάρτηση g στην ντικτάστση u= g() δεν είνι - κι υάρχουν δυντοί τρόοι ειλογής των νέων ορίων κι γι το ολοκλήρωµ f (g())g ()d. Θ δείξουµε ότι κι στις εριτώσεις η τιµή του ολοκληρώµτος u u είνι η ίδι. I = f (u)du = f (g())g ()d Χλρώνουµε την υστηρότητ κι τον έλεγχο των ροϋοθέσεων οι οοίες όµως ισχύουν γι ν δώσουµε έµφση στο ότι η τιµή του ολοκληρώµτος είνι νεξάρτητη της ειλογής των νέων ορίων. Ν υολογιστεί το ολοκλήρωµ I= udu ) Με εύρεση µις ρχικής της f(u) = u ) Με την ντικτάστση u= + Λύση ) u 5 75 I = udu = = ( ) = 9 7 5 ) Θέτουµε 5 u = + du = ( + ) d = ( )d 5
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ 5 5 Ότν u = + = 5 + = Οι ρίζες της εξίσωσης υτής είνι οι =,= Ότν u = + = + = Οι ρίζες της εξίσωσης υτής είνι οι =, = Η συνάρτηση g() = + δεν είνι λοιόν. Ονοµάζουµε οοιδήοτε των ριζών κι κι οοιδήοτε των ριζών κι. Σύµφων µε τον τύο της λλγής µετλητής γι το ορισµένο ολοκλήρωµ είνι: I = udu = f (g())g ()d = 5 ( + )( )d = + d = d = ( )d = + = + + Υάρχουν δυντοί συνδυσµοί γι τις τιµές των κι. Γι όλους υτούς τους συνδυσµούς των κι η τιµή του ολοκληρώµτος Ι είνι η ίδι, φού οι κι είνι ντίστροφοι, άρ η τιµή του + κι γι τις δύο τιµές του είνι η ίδι κι ίση µε 7. Το ίδιο ισχύει κι γι την τιµή του 8 + =. 9 Έτσι γι κάθε ειλογή των τιµών κι η τιµή του ολοκληρώµτος είνι άντοτε η 8 7 75 ίδι κι ίση µε ( ) = 9 7 Πράδειγµ ο Στο ράδειγµ υτό η συνάρτηση g δεν είνι - κι η f δεν ορίζετι σε ολόκληρο διάστηµ g( ). Υάρχουν άλι τρόοι ειλογής των νέων ορίων κι, λλά χρειάζετι κι εέκτση της f ώστε η νέ συνάρτηση f ν ορίζετι στο διάστηµ g( ). ίνετι η συνάρτηση f :[,] R µε f (u) = u u [,] Ν υολογιστεί το ολοκλήρωµ I= f (u)du ) Με εύρεση µις ρχικής της f ) Με την ντικτάστση u = g() = Λύση Σελ. 7
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 ) u I = u du = = 9 ) Θέτουµε u = du = ( )d Ότν u = =. Οι ρίζες υτής είνι =, = Ότν u = =. Οι ρίζες υτής είνι =, = Η συνάρτηση g λοιόν δεν είνι Ονοµάζουµε οοιδήοτε των τιµών, κι οοιδήοτε των τιµών, Συνδυάζοντς κάθε τιµή του µε κάθε τιµή του δηµιουργούντι κλειστά διστήµτ της µορφής = [,] ή = [,] Θ εξετάσουµε γι οι ό τ διστήµτ υτά ισχύει ο τύος της λλγής µετλητής u u f (u)du = f (g())g ()d Το ρόληµ εντοίζετι στην ερίτωση ου το διάστηµ [,] είνι γνήσιο υοσύνολο του συνόλου g( ). Βρίσκουµε λοιόν το g( ) γι κάθε δυντό συνδυσµό των τιµών κι. Είνι g () = ( ) Σχηµτίζουµε τον ρκάτω ίνκ µετολών της g. g () g () -o o =- = = = +o o - - - + + + +ο ο - +ο ο Τ διστήµτ µε άκρ τ κι κι τ ντίστοιχ σύνολ τιµών της g σε υτά όως ροκύτει ό τον ράνω ίνκ είνι: = [, ] = [,] µε g( ) = g([,]) = [,] ) ) = [, ] = [, ] µε g( ) = g([,]) g([,]) = [,] [,] = [,] γ) = [, ] = [, ] µε g( ) = g([,]) g([, ]) = [,] [,] = [,] δ) = [, ] = [,] µε g( ) = g([,]) = [,] Γι τις εριτώσεις () κι (δ) εειδή η f είνι ορισµένη κι συνεχής στο g( ) = [,] εφρµόζετι ο τύος της λλγής κι είνι: Γι το : Ι = f (u)du = f (g())g ()d = h()d όου h() = f (g())g ()d = ( ) ( ) = 5 + 6 8 Μι ρχική της h στο R είνι η 6 5 8 H() = + Σελ. 8
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Άρ I = H( ) H() = 9 = 9 Γι το Ι = f (u)du = h()d = H() H() = 9 = 9 Γι τις εριτώσεις () κι (γ) εειδή g( ) = [,] [,] δεν µορούµε ν εφρµόσουµε άµεσ τον τύο της λλγής. Θ εφρµόσουµε τον τύο της λλγής γι µι εέκτση της f στο [,] ή κι σε ευρύτερο σύνολο. Θ ειειώνουµε τον τύο της λλγής στην ερίτωση υτή εεκτείνοντς την f µε τρεις διφορετικούς τρόους. Η εέκτση f της f µορεί ν είνι οοιδήοτε, ρκεί ν είνι συνεχής στο διάστηµ [,]. η εέκτση της f: Θεωρούµε την εέκτση f της f στο R µε f (u) = u u R Η f είνι συνεχής στο [,] κι θ έχουµε: Γι το Ι = f (u)du = f (u)du = f (g())g ()d = Γι το Ι = f (u)du = f (u)du = f (g())g ()d = Η( ) Η() = 9 = 9 h()d = H() H() = 9 = 9 h()d= ηλδή σε κάθε ερίτωση η τιµή του ολοκληρώµτος είνι η ίδι, ίση µε 9. η εέκτση της f: ν u [, ] Μι άλλη συνεχής εέκτση της f στο [,] είνι η f () = u ν u [, ] Γι τη συνάρτηση υτή, στο διάστηµ (οοιοδήοτε ό τ,,, ) είνι: Ι = f (u)du = f (u)du = f (g())g ()d = h ()d Όου h () = f (g())g () Αό τον ίνκ µετολών ροκύτουν τ εξής σύνολ τιµών γι την g([,]) = [g(),g( )] = [,] g([,]) = [g(),g()] = [,] Σελ. 9 g() =
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 g([,]) = [g(),g()] = [,] g([,]) = [g(),g()] = [,] h() ν [, ] Εοµένως h () = ν [, ] h() ν [,] Γι τ διστήµτ κι είνι όως κι ριν Ι= 9 Γι το Ι= f (u)du= f (u)du= h ()d= d + h()d = H() H() = 9 = 9 Γι το h ()d+ h ()d= Ι= f (u)du= f (u)du= h ()d= h ()d = h ()d h ()d = h()d d = H() + H( ) = + 9 = 9 ηλδή σε κάθε ερίτωση είνι κι άλι Ι= 9 η εέκτση της f: Μι άλλη συνεχής εέκτση της f είνι η Θ είνι κι άλι όου u ν u [, ] f (u) = u ν u [, ] Ι = f (u)du = f (u)du = f (g())g ()d = h ()d = = h () f (g())g () f ( )( ) h() ν [, ] Σύµφων µε τ ράνω θ είνι: h () = h () ν [, ] h() ν [,] Όου h () = ( )( ) = 6 + Μι ρχική της h είνι η G() = + Έχουµε λοιόν γι κθέν ό τ διστήµτ Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Γι το διάστηµ Η( ) Η() = 9 = 9 Ι= f (u)du= f (u)du= h ()d= h()d= Γι το διάστηµ Ι= f (u)du= f (u)du= h ()d= h ()d+ h ()d= h ()d+ h()d= G() G() H() H() Γι το διάστηµ + = + 9 = 9 Ι= f (u)du= f (u)du= h ()d= h ()d = h ()d h ()d = h()d h ()d H() H( ) G() G() = + + = + 9 + = 9 Γι το διάστηµ Ι= f (u)du= f (u)du= h ()d= h()d = Η() Η() = 9 = 9 Κι άλι, όως νµένοντν, η τιµή του ολοκληρώµτος είνι άντοτε η ίδι γι οοιδήοτε ειλογή των ορίων κι. Αοδεικνύουµε τώρ µερικά θεωρήµτ ου φορούν την λλγή της µετλητής κι είνι χρήσιµ γι τη λύση ολλών σκήσεων. Τονίζουµε ότι γι το σχολικό ιλίο το d είνι µέρος του συµολισµού του ολοκληρώµτος κι δεν έχουν νόηµ ράξεις ου εριέχουν το d. Πλιότερ το σύµολο d ρίστνε το διφορικό του κι το dy το διφορικό της συνάρτησης κι τότε οι ράξεις µετξύ διφορικών κι συνρτήσεων είχν νόηµ. Γι τις οδείξεις των θεωρηµάτων οφύγµε τον υστηρό τρόο εφρµογής του θεωρήµτος ου εριγράψµε στο ο κι ο ράδειγµ κι ρλληλιστήκµε µε τον τρόο εφρµογής του θεωρήµτος του σχολικού ιλίου γι ν γίνουν ιο εύκολ κτνοητά τ θεωρήµτ ου κολουθούν. Ο ρλληλισµός υτός οηθά την εφρµογή του ράνω θεωρήµτος κι στις λές εριτώσεις ου εριγράφουµε ρκάτω δεν δηµιουργεί λάθη. Κτά την εφρµογή του τύου δ f ()d = f (g(y)) g (y)dy είνι σν ν ντικθιστούµε το µε το g(y) κι το d µε το g (y)dy τ οοί όως είµε δεν έχουν νόηµ γ Σελ.
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 σύµφων µε την θεωρί του σχολικού ιλίου. Τ νέ όρι γ κι δ ρίσκοντι ό τις σχέσεις g(γ) = κι g(δ) = Οι εριορισµοί γι ν ισχύει η ράνω ισότητ ισχύουν στ θεωρήµτ ου νφέρουµε ρκάτω κι δεν θ ελέγχοντι. Θεώρηµ ο (Βσική ρότση) Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστηµ = [,], τότε [,] + κι f()d = f( + )d Αόδειξη [,] + + + Θέτουµε τώρ = + y d = dy Ότν = y = κι Ότν = y = Άρ f ()d = f ( + y)( dy) = Ειδικές εριτώσεις Αν f συνεχής στο [,], τότε Αν f συνεχής στο [,], τότε f ( + )d f()d = f( )d Γι ν οδείξουµε µι σχέση της µορφής f ()d = f( )d δ f ()d= g()d δηλδή ισότητ ολοκληρωµάτων µε διφορετικά όρι, το σύνηθες είνι η λλγή µετλητής. εν οκλείοντι κι άλλοι τρόοι,.χ η διάσση του ολοκληρώµτος σε άθροισµ άλλων ολοκληρωµάτων σύµφων µε τον τύο γ γ δ f ()d= f ()d+ f ()d+ f ()d, γ δ λλά η λλγή µετλητής είνι το λέον σύνηθες στις εριτώσεις υτές. Η λλγή µετλητής µορεί ν γίνει µε άειρους τρόους ώστε ν δίνει τ νέ όρι στο ολοκλήρωµ. Πρέει ν ειλέγετι κάθε φορά εκείνη η λλγή ου συµφωνεί κι µε τ άλλ δεδοµέν του ρολήµτος. Στο θεώρηµ ου µόλις οδείξµε, ν κι έγινε λλγή της µετλητής, τ όρι στο νέο ολοκλήρωµ είνι τ ίδι µε τ ρχικά. Ασκήσεις ου στηρίζοντι στην λλγή υτή (κι είνι άρ ολλές) θεωρούντι κτά κάοιο τρόο έξυνες εειδή τ νέ όρι ου είνι ίδι µε τ ρχικά δεν ρέµουν στην λλγή της µετλητής. Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Θεώρηµ ο Αν f : A R είνι άρτι κι συνεχής κι Α, τότε f ()d= f()d f ()d= f ()d Αόδειξη Η γεωµετρική ερµηνεί των σχέσεων υτών δίνετι ό το διλνό σχήµ. Το γράφηµ της f είνι συµµετρικό ως ρος τον άξον των y κι τ εµδά των χωρίων ΑΟΖ κι ΟΒΓΖ είνι ίσ. ίνουµε τώρ την λγερική όδειξη των ράνω. Στο ολοκλήρωµ = Ι f ()d κάνουµε την ντικτάστση = y d = dy Άρ Ι = f ( y)( dy) κι εειδή f ( y) = f (y) διότι η f είνι άρτι, ρίσκουµε τελικά I= f (y)dy= f ()d Εοµένως f ()d= f ()d+ f ()d= Θεώρηµ ο Αν f : A R είνι εριττή κι συνεχής κι Α, τότε f ()d = f ()d f ()d= Αόδειξη: Η γεωµετρική ερµηνεί των σχέσεων υτών δίνετι στο διλνό σχήµ. Το γράφηµ της f είνι συµµετρικό ως ρος την ρχή Ο των συντετγµένων κι τ εµδά των χωρίων ΟΑ κι ΟΒΓ είνι ίσ. Το f ()d είνι το εµδόν του f ()d+ f ()d= f ()d Σελ.
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 χωρίου ΟΒΓ, ενώ το f ()d είνι το εµδόν του ΟΑ. ίνουµε τώρ την λγερική όδειξη των ράνω. Στο ολοκλήρωµ Ι= f ()d κάνουµε την ντικτάστση = y d = dy Άρ Ι = f ( y)( dy) κι εειδή f ( y) = f (y) διότι η f είνι εριττή, ρίσκουµε τελικά Εοµένως I = f (y)dy = f ()d f ()d= f ()d+ f ()d= f ()d + f ()d = Θεώρηµ ο Αν η συνάρτηση f : R R είνι συνεχής κι εριοδική µε ερίοδο Τ, τότε + Τ f ()d= f ()d Τ Αόδειξη Η γεωµετρική ερµηνεί της ράνω ρότσης οδίδετι µερικώς ό το διλνό σχήµ. Το + Τ f ()d ριστάνει το εµδόν του χωρίου ΕΖΒΗ ενώ το T f ()d ριστάνει το εµδόν του χωρίου ΟΑΒΗΓ. Τ εµδά υτά είνι ίσ διότι οτελούντι ό το κοινό µέρος ΑΒΗ κι τ ίσεµδικά χωρί ΑΕΖΒ κι Ο ΗΓ. Η λγερική όδειξη της ρότσης κολουθεί την γεωµετρική ερµηνεί κι έχει ως εξής: + Τ Τ + T f ()d= f ()d+ f ()d () Τ Στο ο ολοκλήρωµ εκτελούµε τον µετσχηµτισµό = y + T d = dy Είνι + Τ f ()d= f (y+ T) dy κι εειδή η f είνι εριοδική µε ερίοδο Τ, άρ T f (y+ T) = f (y) θ έχουµε + Τ f ()d= f (y)dy= f ()d T Σελ.
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ Εοµένως η () γίνετι: + Τ Τ f ()d= f ()d+ f ()d= T f ()d ίνουµε τώρ µερικές λές εφρµογές των ράνω θεωρηµάτων. ) Ν δειχθεί ότι ν ν ηµ d= συν d, * ν R + Αόδειξη Σύµφων µε το ο θεώρηµ θ έχουµε ) Ν οδειχθεί ότι Αόδειξη 6 ( ηµ συν)d = Ονοµάζουµε Ι το ολοκλήρωµ, δηλ. Σύµφων µε το ο θεώρηµ έχουµε I = ηµ( ) συν( ) d = 6 ηλδή Ι = Ι Ι = ) Ν υολογιστεί το Αόδειξη Ι= ηµ ν ν ν ηµ d = ηµ ( ) d = συν d I = ( ηµ συν)d 6 6 ηµ d + συν ( συν ηµ)d Η συνάρτηση f () = είνι εριττή, φού + συν ( ) ηµ( ) ηµ f ( ) = = = f () + συν( ) + συν Σύµφων εοµένως µε το ο θεώρηµ είνι I= ) ίνετι η συνάρτηση f () = + ln( + ). Ν υολογιστεί το (Υήρχν κι άλλ ερωτήµτ στο θέµ υτό τ οοί ρλείψµε) Λύση I = f ()d Πνελλδικές, Θέµ Γ, ερώτηµ Σελ. 5
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 f ()d ( ln( )d Όου I = + + = = d = = κι I= ln( + )d d+ ln( + )d= I+ I () Το I µορεί ν υολογιστεί χωρίς τη χρήση των θεωρηµάτων ου νφέρµε ως εξής: Θέτουµε + = y, άρ Ότν = y = Ότν = y = Άρ I= ln( + )d ( + ) d = dy d = dy = ln ydy = Με τη οήθει του ου θεωρήµτος ο υολογισµός είνι άµεσος. Η συνάρτηση Η () τώρ δίνει g() = ln( + ) είνι εριττή, άρ f ()d = I= ln( + )d= Ολοκλήρωµ ντίστροφης συνάρτησης Το ορισµένο ολοκλήρωµ της ντίστροφης µις συνάρτησης f µορεί ν υολογιστεί κι ν κόµη δεν γνωρίζουµε τον τύο της ντίστροφης. Γι τον υολογισµό του ολοκληρώµτος της ντίστροφης µις συνάρτησης f ρέει η f ν είνι συνεχής. Η συνέχει της f εξσφλίζετι ό το ρκάτω θεώρηµ το οοίο όµως δεν εριέχετι στο σχολικό ιλίο. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστηµ κι ντιστρέψιµη, τότε η συνεχής στο f( ). f είνι Πρά το ότι το θεώρηµ υτό δεν υάρχει στο σχολικό ιλίο, το τέθηκε στις Πνελλδικές εξετάσεις έν θέµ υολογισµού εµδού στο οοίο ιτούντν η συνέχει της ντίστροφης µις συνάρτησης η οοί όµως δεν δίνοντν. Θεωρήθηκε υθίρετ ό τους υοψήφιους ότι η f είνι συνεχής κι υτή η λύση θεωρήθηκε λήρης. Το θέµ υτό είχε ως εξής: Σελ. 6
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ 5 Έστω η συνάρτηση f () = + +. Ν υολογιστεί το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f, τον άξον των κι την ευθεί µε εξίσωση =. Πνελλδικές Λύση Αοδεικνύετι εύκολ ότι η f είνι γν. ύξουσ, άρ -, άρ ορίζετι η ντίστροφή της (υτό ζητούντν σε ροηγούµενο ερώτηµ). Το εδίο ορισµού της είνι το f ( R) = ( lim f (), lim f ()) = R f + Βρίσκουµε τ σηµεί τοµής της c f µε τον άξον των. Ζητούµε εκείν τ γι τ οοί f () = f (f ()) = f () = Το ζητούµενο εµδόν είνι ίσο µε E f ()d = Είνι f () = 5 + + Εκτελούµε τον µετσχηµτισµό = f (y) d = f (y)dy Ότν = f (y) = = f () y = Ότν = f (y) = = f () y = Εοµένως E f (f (y))f (y)dy = = 6 5y y y + + = 6 y (5y y )dy 5 5 + + = τ.µ 6 + + = 5 (5y y y)dy + + = Ο τρόος υολογισµού του ορισµένου ολοκληρώµτος της ντίστροφης µις συνάρτησης είνι υτός ου νλύσµε στο ράνω ρόληµ. Το ρόληµ µορεί ν λυθεί ευκολότερ ν χρησιµοοιήσουµε το ρκάτω θεώρηµ ου ουσιστικά υολογίζει το ολοκλήρωµ της ντίστροφης µις συνάρτησης f ό το ολοκλήρωµ της f. Θεώρηµ 5 ο Αν η συνάρτηση f :[,] R είνι συνεχής κι ντιστρέψιµη τότε: f () f()d + f ()d = f() f () f () Θεωρούµε γνωστό ότι η f είνι συνεχής στο διάστηµ ολοκλήρωσης. Αόδειξη Η όδειξη θ γίνει όως κριώς κάνµε στο ροηγούµενο ράδειγµ. Στο ο ολοκλήρωµ εκτελούµε τον µετσχηµτισµό = f (y) d = f (y)dy Ότν = f () f (y) = f () y = Ότν = f () f (y) = f () y = Σελ. 7
ο Σεµινάριο ιδκτικής Ο.Ε.Φ.Ε, Θεσσλονίκη 9--5 Εοµένως f () f () f ()d= Άρ f () f ()d+ f ()d= f () [ f ()] = f () f () f (f (y))f (y)dy = yf (y)dy = f ()d f ()d + f ()d = [ f () + f ()] d = [f ()] d = Με την χρήση του ράνω θεωρήµτος ο υολογισµός του εµδού του ροηγούµενου ρδείγµτος µορεί ν γίνει ιο σύντοµ. Πράγµτι: Θέλουµε ν υολογίσουµε το Σύµφων µε το θεώρηµ είνι: E f ()d = f () f ()d + f ()d = f () f () = f () = f () () Όµως: 5 f ()d ( )d 6 = + + = + + = 6 + + = κι η () δίνει 6 5 f ()d = = Είνι f f () f (f ()) f () ου ισχύει στο [,] Το ζητούµενο εµδόν είνι 5 E= f () d= f ()d= τ.µ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ: ) Θ.Ν. Κζντζή: Ολοκληρώµτ (Εκδόσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ) ) Σωτήρη Ντούγι: Αειροστικός Λογισµός I (Εκδόσεις Leader Books) ) Αντώνη Κυρικόουλου: Συνρτήσεις ου ορίζοντι ό ολοκληρώµτ https://drive.google.com/file/d/b9uhvymsvrpvotvjjoqhgmkk/edit ) Αντώνη Κυρικόουλου, Γιώργου Τσσόουλου: Το θεώρηµ ντικτάστσης στ ορισµέν ολοκληρώµτ κι µι νφορά στις συνρτήσεις της µορφής g() f (, t)dt = https://drive.google.com/file/d/b9uhvymsvrpytbnljjegp5uc/edit Σελ. 8
Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωµ 5) Michael Spivak: ιφορικός κι Ολοκληρωτικός Λογισµός (Πνειστηµικές εκδόσεις Κρήτης) 6) George B. Thomas Ross L. Finney: Αειροστικός Λογισµός, τόµος Α (Πνειστηµικές εκδόσεις Κρήτης) 7) Tom Apostol: Calculus Vol I 8) http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=5&t=795 Ενδιφέρουσ συζήτηση ιφωνίες γι το ν ρέει στην ντικτάστση στ ορισµέν ολοκληρώµτ η συνάρτηση g ν είνι - Σελ. 9