t 2 c2 2 Φ = 0. (2.1)

2 Bylgjuaflfræði Eftir að de Broglie setti fram tilgátu sína og í ljós kom að hún átti við rök að styðjast var ljóst að finna þyrfti bylgjujöfnu sem þessar bylgjur hlíttu. Rafsegulbylgjur, hljóðbylgjur og margs konar fleiri bylgjur eru lausnir á venjulegu bylgjujöfnunni svonefndu, þ.e. ( ) 2 t 2 c2 2 Φ = 0. (2.1) Hér er Φ breytistærðin sem lýsir bylgjuútslaginu og c er bylgjuhraðinn. Fyrir hljóðbylgjur er Φ þrýstingur, fyrir rafsegulbylgjur rafsvið (eða segulsvið) o.s.frv. Fyrsta markmið okkar í þessum kafla er að finna hliðstæðu (2.1) fyrir de Broglie-bylgjur. 2.1 Jafna Schrödingers Í síðasta kafla sáum við að samkvæmt hugmynd de Broglies má tileinka sérhverri ögn bylgju. Ef ögnin hefur massa m, er með skriðþunga p í stefnu x-áss og orku E þá er tilsvarandi bylgja með öldulengd λ = h/p og hreyfist í stefnu x-áss, þ.e. í sömu stefnu og ögnin. Við getum okkur þess einnig til að tíðni bylgjunnar uppfylli jöfnu Einsteins, E = ω. Slík bylgja hefur formið eða ef við notum tvinntölugild föll, sem er þægilegra, cos(xp/ ωt), (2.2) Ψ p (x, t) = e ixp/ iωt, (2.3) þar sem fyrir frjálsa ögn gildir enn fremur p 2 /2m = E. einfaldri línulegri hlutafleiðujöfnu. Ef við diffrum fallið (2.3) með tilliti til t fæst Fallið (2.3) er lausn á Ψ p t = iωψ p (2.4) = i p2 2m Ψ p (2.5) = i ( i ) 2 Ψ p, 2m x (2.6) svo að Ψ p er lausn á jöfnunni i 2 Ψ(x, t) = t 2m 2 Ψ(x, t). (2.7) x2 Jafna (2.7) nefnist Schrödinger-jafnan (eftir austurríska eðlisfræðingnum Erwin Schrödinger), nánar tiltekið Schrödinger-jafnan fyrir frjálsa ögn í einni vídd. Tilsvarandi jafna í þremur víddum er greinilega i 2 Ψ(r, t) = t 2m 2 Ψ(r, t) (2.8) 21

með sömu rökum og við beittum í einvíða tilvikinu. Ekki ber að líta á þessa umræðu sem útleiðslu á (2.7). Við höfum einungis fetað í fótspor Schrödingers og bent á að (2.3) er lausn á (2.7). Jöfnu Schrödingers er ekki unnt að leiða út frá klassískri eðlisfræði. Hún er hornsteinn nýrrar kenningar um hreyfingu smárra agna og er því ósannanleg staðhæfing sem er réttlætt með því að lýsing agna sem grundvallast á jöfnunni kemur heim og saman við tilraunir. Ekki er erfitt að sjá hvernig er eðlilegt að alhæfa (2.7) fyrir ögn sem hreyfist í ytra kraftsviði F. Ef rita má kraftinn sem stigul mættis, F (x) = V (x), þá er orka agnar með skriðþunga p E = p2 + V (x). (2.9) 2m Ef við notum sömu formúlu og áður til að tengja tíðni við orku sést að (2.3) er lausn á jöfnunni i ( ) t Ψ(x, t) = 2 2 2m x + V (x) Ψ(x, t). (2.10) 2 Í þremur víddum er tilsvarandi jafna i ( ) t Ψ(r, t) = 2 2m 2 + V (r) Ψ(r, t), (2.11) þar sem V (r) er mætti ytri krafta. Ef ekki er unnt að lýsa kraftsviðinu sem stigli mættis verður að fá Schrödinger-jöfnuna með öðrum hætti sem ekki verður fjallað um hér. Jafna (2.11) er Schrödinger-jafnan fyrir ögn á hreyfingu í þremur víddum í ytra kraftsviði F = V. Aðferðir til að leysa þessa jöfnu og eðlisfræðileg túlkun lausna hennar verður helsta viðfangsefni okkar í þessum fyrirlestrum. Við tökum strax eftir nokkrum eiginleikum Schrödinger-jöfnunnar: Jafnan er línuleg, svo að mengi allra lausna hennar myndar línulegt rúm, þ.e. við getum lagt saman lausnir og margfaldað þær með föstum og þannig fengið nýjar lausnir. Jafnan er 1. stigs í tíma svo að Ψ(x, 0) ákvarðar Ψ(x, t) fyrir öll gildi á t. Þessi eiginleiki Schrödinger-jöfnunnar gerir hana allfrábrugðna hreyfijöfnum sem við eigum að venjast úr klassískri eðlisfræði og eru almennt 2. stigs í tíma: Tilgreina þarf staðsetningu og hraða efnisagna kl. t = 0 til að unnt sé að segja til um hreyfingu þeirra fyrir t > 0. Kvaðratrótin af 1 kemur fyrir í jöfnunni svo að lausnir eru almennt tvinntölugildar. Síðasttalda atriðið gerir okkur erfitt um vik að gefa bylgjufallinu Ψ eðlisfræðilega túlkun. Fallið Ψ hlýtur þó í einhverjum skilningi að lýsa staðsetningu agnar. Með hliðsjón af t.d. rafsegulbylgjum og hljóðbylgjum þar sem styrkurinn er í réttu hlutfalli við útslagið í öðru veldi er ekki fráleitt að geta sér þess til að Ψ(x, t) 2 sé tengt líkindum þess að ögnin sé í punktinum x á tímanum t. Að vísu er ekki unnt að túlka stærðina P (x, t) = Ψ(x, t) 2 sem líkindi heldur verður að líta á hana sem 22

líkindaþéttleika, þ.e. við heildum P (x, t) yfir svæði Ω til að fá líkindin P Ω (t) á því að ögnin sé á svæðinu Ω á tímanum t: P Ω (t) = P (x, t) dx. (2.12) Ω Tilsvarandi formúla gildir í þremur víddum, þ.e. líkur þess að ögn með bylgjufall Ψ(r, t) sé á svæðinu Ω R 3 kl. t eru P Ω (t) = Ψ(r, t) 2 d 3 r. (2.13) Ω Til að þessi túlkun fái staðist er ljóst að við verðum að einskorða okkur við bylgjuföll sem eru þannig að heildið af P (x, t) yfir allt rúmið er 1. Líkur eru víddarlaus stærð svo að mælivídd bylgjufallsins Ψ er einn deilt með kvaðratrótin af lengd fyrir lausnir á Schrödinger-jöfnunni í einni rúmvídd. Fyrir lausnir á þrívíðu Schrödinger-jöfnunni er mælivídd bylgjufallsins lengd í veldinu 3/2 af sömu ástæðu. Fallið Ψ p sem við notuðum til að leiða líkur að jöfnu Schrödingers er ekki hægt að túlka beint á þann hátt sem hér var lýst því að Ψ p (x, t) = 1 fyrir öll gildi á x og t. Um það fjöllum við nánar í næstu grein. 2.2 Lýsing frjálsra agna bylgjupakkar Fall ψ frá rauntöluásnum í tvinntöluplanið er sagt vera staðlanlegt ef ψ(x) 2 dx <. (2.14) Tilsvarandi nafngift er notuð um tvinntölugild föll á R 3 ef tölugildi þeirra í öðru veldi er heildanlegt yfir allt rúmið. Hér og eftirleiðis merkir heildismerki að heildað er yfir allt rúmið, sem er yfirleitt R eða R 3. Ef fall er ekki 0 6 og staðlanlegt er ljóst að eftir margföldun með viðeigandi fasta er heildi þess yfir allt rúmið 1. Eftir slíka margföldun er fallið sagt vera staðlað. Ef líkindatúlkun lausna Schrödingerjöfnunnar, sem drepið var á að framan, á við rök að styðjast er ljóst að við höfum mestan áhuga á staðlanlegum lausnum á Schrödinger-jöfnunni. Schrödinger-jafnan er línuleg svo að línulegar samantektir falla af gerðinni (2.3) eru lausnir á (2.7). Ekki er erfitt að ganga úr skugga um að endanlegar línulegar samantektir af föllum eins og Ψ p eru aldrei staðlanlegar en heildun yfir p með viðeigandi vægi getur gefið okkur staðlanlegar lausnir á (2.7). Lítum á dæmi. Við heildum Ψ p yfir endanlegt bil í p og setjum t = 0 til þæginda. Það er hentugt að nota breytistærðina k = p/ sem hefur víddina 1 deilt með lengd og nefnist öldutala. Takið eftir að k = 2π/λ þar sem λ er de Broglie-bylgjulengd agnar með skriðþunga p. Setjum Ψ(x, 0) = a a e ikx dk (2.15) = 2 sin ax. (2.16) x 6 Við segjum að fall sé 0 ef heildi þess yfir sérhvert hlutmengi í R er 0. Fall sem tekur t.d. gildið 1 í einum punkti en er 0 í öllum öðrum punktum er því 0 frá okkar sjónarhóli. 23

Auðvelt er að ganga úr skugga um að fallið Ψ(x, 0) að ofan er staðlanlegt fyrir sérhvert gildi á a. Við tökum eftir því að ögn sem lýst er með bylgjufallinu (2.16) hefur ekki fastákveðinn skriðþunga því að fallið er gert úr planbylgjum með öldutölur á bilinu ( a, a). Óvissan í skriðþunga agnarinnar, p, er því væntanlega á stærðarþrepinu a. Í næstu grein skilgreinum við nákvæmlega hvað við eigum við með óvissu í gildi á mælistærðum. Við sjáum að breidd fallsins Ψ(x, 0), sem er á sama stærðarþrepi og óvissan í staðsetningu, x, er u.þ.b. a 1. Þá er x p, (2.17) sem er almenn niðurstaða um margfeldið af óvissu í staðsetningu og skriðþunga og nefnist óvissulögmál Heisenbergs. Við gerum óvissulögmálinu nákvæmari skil síðar. Það eru til fleiri aðferðir en að heilda svolítið yfir skriðþunga til að gefa bylgjufallinu (2.3) eðlisfræðilega merkingu. Ef heimurinn væri línubil (eða kassi í þremur víddum) með lengd L þá væri 1 L Ψ p (x, t) (2.18) stöðluð lausn á Schrödinger-jöfnunni. Oft getur verið til þæginda í útreikningum að ímynda sér að veröldin sé í stórum kassa en niðurstöður sem við viljum bera saman við mælingar mega ekki vera háðar stærð og lögun kassans! Önnur aðferð til að túlka Ψ p er að líta svo á að slíkt fall lýsi ekki einni ögn heldur agnastraumi með þéttleikann eina ögn í hverri rúmmálseiningu. Við ræðum þessa túlkun nánar síðar. Almennt getum við litið á lausnir á Schrödinger-jöfnunni af gerðinni Ψ(x, t) = φ(k)e ikx iωt dk. (2.19) Hér gefur fallið φ til kynna vægi skriðþunga p = k í heildinu. Við munum sýna eftirfarandi: Allar lausnir (2.7) má allar rita á forminu (2.19). Fallið Ψ(x, 0) er staðlanlegt þá og því aðeins að φ sé staðlanlegt. Ef Ψ(x, 0) er staðlað þá er Ψ(x, t) einnig staðlað fyrir öll gildi á t. Síðasta staðhæfingin er almennur eiginleiki lausna á (2.10) og verður sönnuð í 4. kafla. Fyrri staðhæfingarnar tvær eru í raun setningar úr Fourier-greiningu og verða sannaðar í næsta kafla. Hér skoðum við nánar lærdómsríkt dæmi. Lausnir á Schrödinger-jöfnunni af gerðinni (2.19) nefnast bylgjupakkar. Við skoðum nú bylgjupakka sem er þannig að reikna má heildið í (2.19) fyrir öll t. Hegðun þessa pakka er dæmigerð fyrir tímaþróun bylgjupakka. Látum a > 0 og tökum vægisfallið φ(k) = e k2 /a 2. (2.20) Við minnumst þess að e x2 dx = π, (2.21) 24

svo að Ψ(x, 0) = e k2 /a 2 e ikx dk (2.22) = e (k/a iax/2)2 a 2 x 2 /4 dk (2.23) = a π e a2 x 2 /4, (2.24) sem er augljóslega staðlanlegt fall af x. Svipaður reikningur sem byggist á að fylla í ferning fyrir t > 0 gefur Ψ(x, t) = e k2 /a 2 +ikx it k 2 /2m dk (2.25) = ( ) πa 2 1/2 ( exp 1 + i ta 2 /2m a 2 x 2 4 + 2i ta 2 /m ). (2.26) Í jöfnunni að ofan ber að velja þá kvaðratrót sem hefur jákvæðan raunhluta því að rótin verður að stefna á a π þegar t 0 og hún breytist samfellt með t. Við sjáum að óvissan í skriðþunga á tímanum t = 0 er á stærðarþrepinu a og á sama tíma er óvissan í staðsetningu a 1. Samband óvissu í skriðþunga og staðsetningu kl. t = 0 er því gefið með (2.17) eins og í fyrra dæminu sem við ræddum. Þegar t vex breikkar bylgjupakkinn eins og sést af (2.26) og breiddin á tímanum t er á sama stærðarþrepi og b(t) = a 2 + 2 t 2 a 2 4m. (2.27) 2 Óvissan í staðsetningu vex því með tíma eins og vænta má þegar skriðþunginn og þar með hraðinn er ekki fastákveðinn í upphafi. Óvissan í skriðþunga er hins vegar óháð t eins og við er að búast fyrir frjálsa ögn. Fyrir stór gildi á t sést að x t p/m. Sýna má að breidd allra bylgjupakka vex í réttu hlutfalli við t fyrir stór gildi á t. 2.3 Eðlisfræðileg túlkun bylgjufalla Við sáum í síðustu grein að eðlilegt er að túlka P (x, t) = Ψ(x, t) 2 sem líkindadreifingu fyrir staðsetningu agnar. Meðaltal af mörgum mælingum á staðsetningu er því x = xp (x, t) dx. (2.28) Stærðin x er einnig kölluð væntigildi staðsetningar. Þessi nafngift sem er hefðbundin getur þó verið villandi því að líkur þess að mæling á einhverri stærð gefi væntigildi hennar geta verið 0 eins og við munum sjá dæmi um síðar. Við skilgreinum óvissuna í staðsetningu, x, með x = (x x ) 2 P (x, t) dx. (2.29) 25

Í tölfræði er þessi stærð venjulega kölluð staðalfrávik líkindadreifingarinnar P (x, t). Ef f er eitthvert fall skilgreint á R þá er hentugt að skilgreina f(x) = f(x)p (x, t) dx. (2.30) Þá má rita x = x 2 x 2. (2.31) Á sama hátt og Ψ(x, t) 2 er líkindadreifing staðsetningar munum við túlka vægisfallið φ(k) þannig að líkindadreifing skriðþungans, Π(p), standi í réttu hlutfalli við φ(k) 2. Við gerum nánari grein fyrir þessu sambandi í kaflanum um Fouriergreiningu. Stærðir í skammtafræði sem eru þannig að tölugildi þeirra í öðru veldi gefa líkindaþéttleika eða líkindi nefnast líkindavísar (probability amplitudes). Fallið φ(k) stendur því í réttu hlutfalli við líkindavísi skriðþungans og Ψ er líkindavísir staðsetningar. Við skilgreinum nú væntigildi og óvissu í skriðþunga á sama hátt og fyrir staðsetningu með því að setja Π í stað P í jöfnum (2.28) og (2.29). Væntigildi og óvissa í öðrum mælistærðum eru skilgreind á sama hátt ef líkindadreifing þeirra er þekkt. Óvissulögmál Heisenbergs fyrir staðsetningu og skriðþunga er nú nákvæmlega ójafnan x p 2. (2.32) Við munum leiða þessa jöfnu af almennara óvissulögmáli síðar. 2.4 Smásjá Heisenbergs Það kann að koma spánskt fyrir sjónir að ekki sé unnt að ákvarða staðsetningu og skriðþunga betur en óvissulögmál Heisenbergs segir til um. Í klassískri aflfræði má ævinlega hugsa sér að truflun af völdum mælingar sé hversu lítil sem vera skal. Í skammtafræði er þetta ekki hægt þar sem sérhvert mælitæki er gert úr einhvers konar efnisögnum sem eru ofurseldar lögmálum skammtafræðinnar rétt eins og það sem mæla skal. Við skulum velta fyrir okkur ímyndaðri tilraun 7 til að mæla staðsetningu og skriðþunga rafeindar með mestu nákvæmni. Hugsum okkur að við höfum kyrrstæða rafeind og við viljum ákvarða staðsetningu hennar. Við notum til þess smásjá eins og sýnt er á mynd 14. Ef smásjáin notast við ljós með öldulengd λ er mesta hugsanleg upplausn hennar (eftir x-ás) x λ sin θ, (2.33) þar sem 2θ er hornið sem smásjáin spannar. Betur er ekki unnt að ákvarða staðsetningu rafeindarinnar með þessum tækjabúnaði. Til að greina rafeindina þarf a.m.k. ein ljóseind að rekast á hana og ná inn í op smásjárinnar. Látum p γ tákna skriðþunga ljóseindarinnar áður en hún rekst á rafeindina. Engin tök eru á að vita hvar ljóseindin fer inn um smásjáropið svo að skriðþungi ljóseindarinnar í stefnu x-ássins er óviss sem nemur p γ p γ sin θ (2.34) 7 Sjá nánar á bls. 20 23 í [17]. 26

Linsa γ 2θ e x Mynd 14. Smásjá Heisenbergs til að ákvarða staðsetningu rafeindar á x-ásnum. eftir áreksturinn við rafeindina. Skriðþunginn er varðveittur við áreksturinn svo að skriðþungi rafeindarinnar er óviss sem nemur p = p γ eftir áreksturinn. Þar af leiðir að x p h, (2.35) þar sem við höfum notað okkur að p γ = h/λ. Ef reynt er að ákvarða um hvora raufina í tveggja raufa tilraun rafeind fer má sýna með áþekkum rökum og hér að ofan að víxlunarmynstrið eyðileggst. Til að greina um hvora raufina rafeind fer þarf að láta hana víxlverka við mælitæki, t.d. ljóseind og þar með fær rafeindin óþekktan skriðþunga sem smyr út víxlunarmynstrið. Ekki má draga þá ályktun af umræðunni í þessum kafla að það sé vanmætti og hugmyndaleysi tilraunaeðlisfræðinga um að kenna að ekki sé unnt að mæla staðsetningu og skriðþunga agna betur en óvissulögmálið segir til um. Ástæðan er sú agnir hafa ekki til að bera ákveðna staðsetningu og skriðþunga. Eins og við sáum í kaflanum um tveggja raufa tilraunina leiðir það til mótsagnar að ímynda sér tilvist agna sem hafa samtímis ákveðna staðsetningu og skriðþunga og hegða sér jafnframt eins og de Broglie-bylgjur. 2.5 Æfingadæmi * Dæmi 2.1. Lítilli kúlu með massa m er sleppt úr kyrrstöðu í hæð L yfir jörðu. Hve lítinn blett má gera ráð fyrir að unnt sé að hitta á jörðu niðri með kúlunni? Notið hér óvissulögmálið x p x fyrir staðsetningu og skriðþunga. Reiknið þvermál þessa bletts í metrum ef m = 1 g og L = 2 m. Notið röksemdafærslu af sama tagi til að leggja mat á hreyfiorku róteindar sem bundin er í kjarna með radíus 5 10 15 m. * Dæmi 2.2. Látum ψ(x, 0) = Ce b x, þar sem b > 0, vera bylgjufall agnar sem hreyfist í einni vídd. (a) Finnið C þannig að bylgjufallið sé staðlað og reiknið líkur þess að ögnin sé á svæðinu 0 x a. 27

(b) Finnið líkindadreifingu skriðþungans og reiknið líkur þess að skriðþunginn sé jákvæður. (c) Reiknið óvissurnar x og p og kannið hvort óvissulögmál Heisenbergs heldur. * Dæmi 2.3. Frjáls ögn á hreyfingu í einni vídd hefur bylgjufall ψ(x, 0) = { a 1/2 ef x a/2, 0 ef x > a/2 (2.36) á tímanum t = 0. (a) Finnið líkindadreifingu skriðþungans. (b) Ritið bylgjufall agnarinnar fyrir t > 0, sem heildi yfir skriðþunga p. (c) Rissið upp eins nákvæma mynd og þið getið af Re ψ(x, t) án þess þó að reikna heildið. Rökstyðjið myndina eins vel og þið getið. Dæmi 2.4. Reiknið út væntigildið x og óvissuna x fyrir bylgjupakkann ψ(x) = C exp (ikx (x x ) 0) 2. (2.37) 2a 2 28