ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Σχετικά έγγραφα
Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑ ΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει , z 2 Μονάδες 2 β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x 0

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β;

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. log x2

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β;

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

( 0) = lim. g x - 1 -

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ολοκληρωτικος λογισμος

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Απόδειξη σελ

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

άρα ο μετασχηματισμός Τ είναι κανονικός 1 1 (ε) : 2x - y + 5 = y - - x + 5 =

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 24 / 5 / 08 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 0) και ακτίνα ρ = 2

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑ Α Β ) 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ.

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 A ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

Γενικές ασκήσεις σελίδας

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Transcript:

ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχς σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν >0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Αν <0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Μονάδες 0 Α Έστω µι συνάρτηση συνεχς σ έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Πότε λέµε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ άνω είνι κυρτ στο ; Μονάδες 5 B Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Γι κάθε µιγδικό ριθµό ισχύει Μονάδες Αν υπάρχει το lim > 0, τότε >0 κοντά στο 0 0 Μονάδες γ H εικόν ενός διστµτος µέσω µις συνεχούς κι µη στθερς συνάρτησης είνι διάστηµ Μονάδες δ Ισχύει ο τύπος ', γι κάθε R Μονάδες ε Ισχύει η σχέση g' d [ g ] ' g d, όπου,g είνι συνεχείς συνρτσεις στο [, ] Μονάδες Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone

ΘΕΜΑ ο Θεωρούµε τη συνάρτηση µε Ν ποδείξετε ότι η είνι - Μονάδες 6 Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση - της κι ν ρείτε τον τύπο της γ i Ν ρείτε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτσεων κι - µε την ευθεί Μονάδες ii Ν υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτσεων κι - Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ο ίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί µε,, µε κι 0 Ν ποδείξετε ότι: i Μονάδες 9 ii κι R e ΘΕΜΑ ο Ν ρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των,, στο µιγδικό επίπεδο, κθώς κι το είδος του τριγώνου που υτές σχηµτίζουν ίνετι η συνάρτηση ln Ν ρείτε το πεδίο ορισµού κι το σύνολο τιµών της συνάρτησης N ποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει κριώς ρίζες στο πεδίο ορισµού της Μονάδες 5 γ Αν η εφπτοµένη της γρφικς πράστσης της συνάρτησης g ln στο σηµείο A,ln µε >0 κι η εφπτοµένη της γρφικς πράστσης της συνάρτησης h e στο σηµείο B, e µε R τυτίζοντι, τότε ν δείξετε ότι ο ριθµός είνι ρίζ της εξίσωσης 0 Μονάδες 9 δ Ν ιτιολογσετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτσεων g κι h έχουν κριώς δύο κοινές εφπτόµενες Μονάδες Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί Σχολ ιλίο σελ 5 Α Ορισµός Σχολ ιλίο σελ 7 Β Λ Σ γ Σ δ Λ ε Σ ΘΕΜΑ ο, Η είνι πργωγίσιµη στο [, µε ' > 0 γι κάθε, Άρ γνησίως ύξουσ στο [, κι εποµένως είνι κι - Αφού η είνι - υπάρχει η - ντίστροφη συνάρτηση της µε - : A R Αφού η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχς στο Α [, έπετι ότι A, lim, [ [ Τώρ ν - - - Επειδ - 0, - 0, έχουµε, [,, [,, [,, [,, [, Τελικά, [, Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone

Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone γ i Έχουµε Τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων κι - µε την είνι τ Α,, Β, ii Οι συνρτσεις κι - είνι συνεχείς άρ κι η διφορά τους είνι συνεχς ] [ ] [ Πρ οκύπτει 0 0 ηλδ τ κοινά τους σηµεί είνι τ Α,, Β, Επειδ 0-0 Επίσης είνι 0 γι [,] Άρ - - 0 γι [,] Οπότε το εµδόν του ζητούµενου χωρίου είνι τµ d d E

Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone 5 ΘΕΜΑ ο i Από τη σχέση 0 έχουµε ισοδύνµ Θ δείξουµε ότι Πράγµτι η λόγω της γράφετι ισοδύνµ: Η τελευτί σχέση είνι ληθς λόγω της υπόθεσης, άρ κι η Με νάλογο τρόπο δείχνουµε ότι Από τις κι προκύπτει ότι Άρ ii Είνι: Άρ Οπότε Τότε: Re Re Επειδ προκύπτει ότι οι εικόνες των µιγδικών Γ, B, A ρίσκοντι σε κύκλο µε κέντρο Ο 0, 0 κι κτίν

ρ Άρ ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είνι ο πρπάνω κύκλος Λόγω τώρ της σχέσης προκύπτει ότι οι κορυφές A, B, Γ ποτελούν κορυφές ισόπλευρου τριγώνου εγγεγρµµένου στον πρπάνω γεωµετρικό τόπο ΘΕΜΑ ο Πρέπει > 0 κι Άρ A 0,, Η είνι πργωγίσιµη στο Α ως διφορά πργωγίσιµων συνρτσεων, µε ' < 0 γι κάθε A Άρ η είνι γνησίως φθίνουσ σε κάθε έν πό τ διστµτ 0, κι, Επειδ τώρ lim, lim κι η συνεχς κι γνησίως φθίνουσ 0 στο 0, είνι 0, R Επίσης επειδ lim, lim κι η συνεχς κι γνησίως φθίνουσ στο,, είνι, R Έτσι συνολικά το σύνολο τιµών της είνι 0,, R Επειδ 0, R έπετι O 0, δηλδ υπάρχει 0, ωστε 0 Η ρίζ υτ είνι µονδικ στο 0,, φού η είνι γνησίως φθίνουσ κι άρ - Οµοίως επειδ, R έπετι O δηλδ υπάρχει, ώστε 0 Η ρίζ υτ είνι επίσης µονδικ στο,, φού η είνι γνησίως φθίνουσ κι άρ - Έτσι η έχει κριώς ρίζες γ Η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικς πράστσης της g ln στο σηµείο A,ln, >0 είνι: ln a ε Η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικς πράστσης της B, e, R είνι: Οι ε, ε τυτίζοντι ν κι µόνο ν e ln κι ln e e Τότε η γράφετι: e e e ε e στο σηµείο Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone 6

ln ln ln ln ln ln ln 0 0 δ Από το γ προκύπτει ότι οι γρφικές πρστάσεις των g, h έχουν κοιν εφπτόµενη στ σηµεί τους Α, ln κι Β, e ντίστοιχ ν κι µόνον ν: ln 0 Επειδ η 0 έχει δύο δικεκριµένες ρίζες 0, κι, προκύπτουν δύο εφπτόµενες οι ε : ln ε : ln Οι εφπτόµενες υτές είνι κριώς δύο δικεκριµένες φού έχουν δύο δικεκριµένους συντελεστές διεύθυνσης, ντίστοιχ,, 0, Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone 7