ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχς σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν >0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Αν <0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Μονάδες 0 Α Έστω µι συνάρτηση συνεχς σ έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Πότε λέµε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ άνω είνι κυρτ στο ; Μονάδες 5 B Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Γι κάθε µιγδικό ριθµό ισχύει Μονάδες Αν υπάρχει το lim > 0, τότε >0 κοντά στο 0 0 Μονάδες γ H εικόν ενός διστµτος µέσω µις συνεχούς κι µη στθερς συνάρτησης είνι διάστηµ Μονάδες δ Ισχύει ο τύπος ', γι κάθε R Μονάδες ε Ισχύει η σχέση g' d [ g ] ' g d, όπου,g είνι συνεχείς συνρτσεις στο [, ] Μονάδες Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone
ΘΕΜΑ ο Θεωρούµε τη συνάρτηση µε Ν ποδείξετε ότι η είνι - Μονάδες 6 Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση - της κι ν ρείτε τον τύπο της γ i Ν ρείτε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτσεων κι - µε την ευθεί Μονάδες ii Ν υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτσεων κι - Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ο ίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί µε,, µε κι 0 Ν ποδείξετε ότι: i Μονάδες 9 ii κι R e ΘΕΜΑ ο Ν ρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των,, στο µιγδικό επίπεδο, κθώς κι το είδος του τριγώνου που υτές σχηµτίζουν ίνετι η συνάρτηση ln Ν ρείτε το πεδίο ορισµού κι το σύνολο τιµών της συνάρτησης N ποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει κριώς ρίζες στο πεδίο ορισµού της Μονάδες 5 γ Αν η εφπτοµένη της γρφικς πράστσης της συνάρτησης g ln στο σηµείο A,ln µε >0 κι η εφπτοµένη της γρφικς πράστσης της συνάρτησης h e στο σηµείο B, e µε R τυτίζοντι, τότε ν δείξετε ότι ο ριθµός είνι ρίζ της εξίσωσης 0 Μονάδες 9 δ Ν ιτιολογσετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτσεων g κι h έχουν κριώς δύο κοινές εφπτόµενες Μονάδες Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί Σχολ ιλίο σελ 5 Α Ορισµός Σχολ ιλίο σελ 7 Β Λ Σ γ Σ δ Λ ε Σ ΘΕΜΑ ο, Η είνι πργωγίσιµη στο [, µε ' > 0 γι κάθε, Άρ γνησίως ύξουσ στο [, κι εποµένως είνι κι - Αφού η είνι - υπάρχει η - ντίστροφη συνάρτηση της µε - : A R Αφού η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχς στο Α [, έπετι ότι A, lim, [ [ Τώρ ν - - - Επειδ - 0, - 0, έχουµε, [,, [,, [,, [,, [, Τελικά, [, Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone
Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone γ i Έχουµε Τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων κι - µε την είνι τ Α,, Β, ii Οι συνρτσεις κι - είνι συνεχείς άρ κι η διφορά τους είνι συνεχς ] [ ] [ Πρ οκύπτει 0 0 ηλδ τ κοινά τους σηµεί είνι τ Α,, Β, Επειδ 0-0 Επίσης είνι 0 γι [,] Άρ - - 0 γι [,] Οπότε το εµδόν του ζητούµενου χωρίου είνι τµ d d E
Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone 5 ΘΕΜΑ ο i Από τη σχέση 0 έχουµε ισοδύνµ Θ δείξουµε ότι Πράγµτι η λόγω της γράφετι ισοδύνµ: Η τελευτί σχέση είνι ληθς λόγω της υπόθεσης, άρ κι η Με νάλογο τρόπο δείχνουµε ότι Από τις κι προκύπτει ότι Άρ ii Είνι: Άρ Οπότε Τότε: Re Re Επειδ προκύπτει ότι οι εικόνες των µιγδικών Γ, B, A ρίσκοντι σε κύκλο µε κέντρο Ο 0, 0 κι κτίν
ρ Άρ ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είνι ο πρπάνω κύκλος Λόγω τώρ της σχέσης προκύπτει ότι οι κορυφές A, B, Γ ποτελούν κορυφές ισόπλευρου τριγώνου εγγεγρµµένου στον πρπάνω γεωµετρικό τόπο ΘΕΜΑ ο Πρέπει > 0 κι Άρ A 0,, Η είνι πργωγίσιµη στο Α ως διφορά πργωγίσιµων συνρτσεων, µε ' < 0 γι κάθε A Άρ η είνι γνησίως φθίνουσ σε κάθε έν πό τ διστµτ 0, κι, Επειδ τώρ lim, lim κι η συνεχς κι γνησίως φθίνουσ 0 στο 0, είνι 0, R Επίσης επειδ lim, lim κι η συνεχς κι γνησίως φθίνουσ στο,, είνι, R Έτσι συνολικά το σύνολο τιµών της είνι 0,, R Επειδ 0, R έπετι O 0, δηλδ υπάρχει 0, ωστε 0 Η ρίζ υτ είνι µονδικ στο 0,, φού η είνι γνησίως φθίνουσ κι άρ - Οµοίως επειδ, R έπετι O δηλδ υπάρχει, ώστε 0 Η ρίζ υτ είνι επίσης µονδικ στο,, φού η είνι γνησίως φθίνουσ κι άρ - Έτσι η έχει κριώς ρίζες γ Η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικς πράστσης της g ln στο σηµείο A,ln, >0 είνι: ln a ε Η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικς πράστσης της B, e, R είνι: Οι ε, ε τυτίζοντι ν κι µόνο ν e ln κι ln e e Τότε η γράφετι: e e e ε e στο σηµείο Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone 6
ln ln ln ln ln ln ln 0 0 δ Από το γ προκύπτει ότι οι γρφικές πρστάσεις των g, h έχουν κοιν εφπτόµενη στ σηµεί τους Α, ln κι Β, e ντίστοιχ ν κι µόνον ν: ln 0 Επειδ η 0 έχει δύο δικεκριµένες ρίζες 0, κι, προκύπτουν δύο εφπτόµενες οι ε : ln ε : ln Οι εφπτόµενες υτές είνι κριώς δύο δικεκριµένες φού έχουν δύο δικεκριµένους συντελεστές διεύθυνσης, ντίστοιχ,, 0, Τεχνικ Επεξεργσί: Kestone 7