FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile circuitului Coniderând aceată umă pentru toate rezitoarele F * * = ( ) = R ( ) = R toate toate. toate rez. rez. rez. Pentru o bobină: * = L = L q toate ( ) * ( ) =... bob. unde matricea inductivităților L e conideră pozitiv definită. Coniderand toate bobinele cuplate intre ele: [ ] [ L ] [... ] t = Τ, Τ q
Pentru un condenator: * = * = SC SC Coniderăm uma pentru toate condenatoarele * = q =, C toate cond. Deci F S S toate * = + Τ + unde F, Τ, unt funcții de energie portile * Pentru un uniport impedanța de intrare ete Z ( = = = F + Τ + ) * i admitanța de intrare ete Y ( = = = F + Τ + ) unde F, Τ, unt functii de energie om arăta că imitanțele de intrare într-un uniport RLC paiv (cu R k >, L k >, C k >) unt funcții pozitiv reale.
FNCȚ POZT REALE O funcție pozitiv reală (f. p. r.) ete o funcție de variabilă complexă F ( care atiface conditiile:. R F( R. Re ReF( Sa arătăm ca Z( ete o f. p. r.. Fie =. Rezultă: Z = F + Τ + σ ω = σ + jω ReZ( = F + στ + i σ ReZ. m Z( = ωτ ( ) ( ) σ + ω σ + ω Deci impedanța de intrare Z( a dipolului RLC paiv (cu R >, L >, C > ) ete f. p. r. Caracterul pozitiv real al F ( ete o conditie neceara i uficienta pentru ca F ( a fie imitanță de intrare a unui dipol paiv ( R >, L >, C > ). Neceitatea a fot demontrata anterior. Suficienta e demontrează prin contrucția unei metode de inteză care determină topologia și parametrii unui circuit care are ca imitantă de intrare f. p. r. dată. F( circ. RLC paiv. P( Conditia ( R F( R) e tetează uor. Se tie ca F = unde P i Q unt polinoame cu Q( coeficienți reali, deci conditia ete atifacută. Conditia (Re ReF( ) e tetează mult mai greu. Se formulează condițiile A, B, C echivalente cu conditia. Acete condiții e tetează mai ușor decât condiția.
A. F ( ete analitică în emiplanul drept Funcția analitică într-un domeniu nu are ingularități în acet domeniu. P( F = ingularitățile unt polii ( ) = Q( μ cu Q μ B. Toți polii v = jωv (de pe axa imaginară) unt impli și au reziduul pozitiv C. ReF ( jω) ( R ef( pt. = jω) După ce e tetează relativ ușor condițiile A și B, condiția e tetează numai pentru mult mai implu decât tetarea pentru întreg emiplanul drept. Să arătăm că A, B, C A. = jω, ceea ce ete
Fie = σ + jω cu σ un pol de ordin de multiplicitate n. n jurul lui putem face aproximația: A F( n ( ) n, jϕ A n = e e j = ρ θ ReF n co( ϕ nθ ) chimba emnul de n ori A ρ B. S-a demontrat la funcția de reactanță C. ReF ( jω). Evident C Sa arătăm că A, B, C, Teorema valorii minime a părții reale Pentru o funcție de variabilă complexă, analitică într-un domeniu inchi și pe frontiera acetuia partea reală are o valoare minimă pe frontieră. Daca R domeniul devine emiplanul drept. A F( ete analitica în domeniu. C pe frontiera domeniului ReF. Conform teoremei valorii minime a părții reale rezulta ReF pt. Re.
Fie PROPRETĂȚ ALE FNCȚLOR POZT REALE P( F = unde P, Q- polinoame cu coeficienți reali Q(. Q ( ete polinom Hurwitz (condiția A) coeficienții lui ( Q unt pozitivi.. F ( ) i F - pozitiv reale F 3 = F ( F ) - pozitiv reala Conform proprietăților i R F R F R, Re ReF ReF ( F ) 3. F ( -p.r. - p.r. (conecință a proprietății ) F( Conecință: P ( ete polinom Hurwitz P ( ν ) = Re( ν ) <. Dacă zeroul ν ete pe axa imaginară ( ν = jων ) F '( ν ). M Fie F = o funcție de reactanță. n polul N = jω reziduul al lui F ( ) ete pozitiv: N df( M ' N MN ' M ' = > ' = = = M d N N 4. O funcție pozitiv reală nu are poli de ordin mai mare ca in i la. Polii de pe axa imaginară (incluiv cel din origine și cel de la infinit) unt impli (conditia B) Conecință: Diferenta intre gradele numaratorului i numitorului nu poate fi mai mare decat.
5. F ( functie pozitiv reală F = F X + Fa, unde F X ( ete o funcție de reactanță i F a ( ete o funcție de reactanță minimă. Dacă decompunem F( in fracții imple, F X ( e formează prin gruparea fracțiilor imple corepunzătoare polilor de pe axa imaginară, iar F a ( e formează prin gruparea fractiilor imple corepunzătoare celorlalți poli. 6. Proprietăți ale părților reală și imaginară ale F ( pentru = jω : F ( jω) = R( ω) + jx ( ω), F ( jω) = R( ω) jx ( ω) = F( jω) * Re F ( jω) = R( ω) = [ F( + F( ] = jω ete o funcție pară de ω mf ( jω) = X ( ω) ete o funcție impară de ω