ški fkultt Bogd - hnik 3 Pdvnj 5 Ktnj tčk od djtvom cntln il Zkon ovš Nk omt ktnj tčk m m n koju dluj mo cntln il F i čmu j cnt il u noktnoj tčki O omnt il F u odnou n tčku O j z v vm ktnj tčk jdnk nuli tj ( F ) = tko d vži zkon o odžnju momnt količ ktnj tčk Ol ldi L O = m( ) = cont L O = m = m Rzlikuju dv lučj: L O = cont i L O = Ako j L O = cont vkto L O j uvn n vkto i m ldi d j tjktoij tčk kiv koj id vni koj olzi koz cnt il O uvn j n vkto L O T vn nziv Llov vn Ako j L O = tčk kć volijki Sktok bz tčk mož izziti u obliku da S = = ( ) S = cont što znči d j u lučju ktnj tčk od djtvom cntln il ktok bz tčk kontntn vkto j da = C A = Ct + C gd j C - tgcion kontnt Dkl i ktnju tčk n koju dluj cntln il ovš koju oiuj njn vkto oložj mnj oocionlno vmnu N onovu thodnog ldi d j L O = ms ko tčk n koju dluj cntln il kć u vni n im Oxy vkto L O j tlno uvn n tu vn ldi Cz LOz = msz Cz odnono S z = Ktički momnt tčk izžn u thodnom m obliku nziv tgl ovš U olno-cildkom koonom itmu j k S = S = & ϕ k = S zk L Oz = m ϕ& & ϕ& Difncijln jdnč ktnj tčk od djtvom cntln il = & = coα = & ϕ = α Iz onovn jdnč dmik tčk dobij m = m(& & ϕ& ) = F m = m( & ϕ + & & ϕ) = F d Kko j ( ) difncijln jdnč = && ϕ + & & ϕ = & ϕ d ktnj tčk u m ( ϕ& & ) = F ( ϕ& ) = Iz dug od thodnih jdnč ldi njn vi tgl koji mož izziti ko ojkcij S ktok bz S n ou Oz tj ϕ& == S z = C = cont N tj z nč j & ϕ = & ϕ = = α Td vži d j C = & ϕ = & ϕ = α difncijln jdnč u m( & & ϕ& ) = F ( ) ϕ& = C = cont
ški fkultt Bogd - hnik 3 Pdvnj 5 Bov jdnč Ptotvlj d j m tj d j C Izvodi o vmnu otg tčk u d d C d & = ϕ = = C & d& C d d 4C d & = ϕ = C = & j d F ( ) + = 4mC što dtvlj Bovu jdnču tj difncijlnu jdnču ktnj tčk od djtvom cntln il Ktnj tčk od djtvom Njutnov il ošt gvitcij Nk omt ktnj tčk m m koju ivlči tlo m cntom ivlčnj u tčki O ilom koj dfiš omoću Njutnov il ošt gvitcij m F = f gd j f univzln gvitcion kontnt tojnj tčk od cnt tl cnt ivlčnj Pojkcij il F n vc koji olzi koz cnt tl i tčku koji j odđn jdičnim vktoom ( = ) j m F ( ) = f Difncijln jdnč ktnj omtn tčk j d f f + = 4C 4C = d + = šnj = + = C coϕ + C ϕ = h h d = C coϕ + C ϕ + d & = = = = C ϕ + C coϕ & ϕ šnj j t = C = O ϕ = = = & C = coα = & ϕ = ctgα = α ctgα = coϕ ϕ + Uvođnjm novih kontnti = Aco β ctgα = A β ctg α ( ) = Aco( ϕ β ) + A = + tgβ = ctgα ko j A = i ψ = ϕ β šnj j = i dtvlj liju utnj omtn + coψ tčk Potg dotiž ktmnu vdnot z ψ = i odnono z ψ = π i U vom lučju imnilc u thodnoj lciji im mimlnu vdnot tj ψ = = m = u dugom lučju otg dotiž mkimlnu vdnot tj +
ški fkultt Bogd - hnik 3 Pdvnj 5 3 ψ = π = mx = Zž d u otzim m i mx odđn dv tčk n vcu ψ = Ako tj vc uvoji z ou Ox Dktovog vouglog koonog itm Oxy lij utnj tčk mož izziti i n ldći nč x + y = ( x) tj dtvlj jdnču konunog k u Dktovim koom Pi tom j: tčk O - foku (žiž) konunog k; - fokuni otg; Ox - fokun o imtij koj olzi koz njbližu tčku P konunog k (ihl) i njudljniju tčku konunog k (fl) umn j m ihlu; ψ - ugo izmđu fokun o imtij i otg; - mt duž otg nomlnog n fokunoj oi imtij i - kcnticitt konunog k U lučju kd j = ldi y = x što dtvlj jdnču bol Kd j > izz + coψ mož biti jdnk nuli što znči d otg mož d bud i bkončno vliki Ovkvo vojtvo im hibol Kd j < vidi d izz + coψ n mož d bud jdnk nuli što znči d otzi nikd n mogu biti bkončno vliki Putnj u ovom lučju mogu d budu mo li Z = ldi x + y = što znči d j u ovom lučju č o kužnici Iz thodnih zmtnj mož zključiti d oblik kiv konunog k zvii mo od kcnticitt koji iz ikznog otuk švnj difncijln jdnč dtvlj tgcionu kontntu Zbog tog j otbno odditi zvinot vlič od očtnih ulov Nk j tčk zočl ktnj iz ihl P ili fl tj nk j u očtnom tnutku t = ψ = ψ = π ( t ) = ψ Difncjm o vmnu jdnč ktnj dobij & = ψ& ( + coψ ) Koitći očtn vdnoti ldi = ψ = = = m = ψ =π = = mx + & = oizilzi d očtn bz tčk im mo očnu komonntu tj = tj o ( ) = 9 S tko im očtnim ulovim ktnj tčk odđn j i vlič U tom cilju tb nj odditi vliču z to j nohodn dvotuk ktok bz tčk C Kko j C = ldi = f = Pthodno nlizo ktnj tčk mož olužiti ko modl ktnj f lnt Sunčvog itm Pi tom uzim d n lnt dluj jdn cntln il iz cnt Sunc n tlit ojdih lnt cntln il cntom u odgovjućoj lnti Tkv ktnj nzivju Klov Klovi zkoni Pomtjući iključivo ktnj lnt Sunčvog itm Kl j uočio odđn zkonitoti ngo što j Njutn fomulio voj zkon Klovi zkoni gl: ) Sv lnt kću o litičnim utnjm u čijoj jdnoj žiži nlzi Sunc
ški fkultt Bogd - hnik 3 Pdvnj 5 4 ) ktoi oložj lnt u odnou n Sunc oiuju z jdnk vmn jdnk ovš 3) Kvi vmn obilžnj lnt oko Sunc odno ko kubovi vćih oluo njihovih utnj Zž d j zmtno ktnj od djtvom Njutnov il ošt gvitcij u glnoti I Klovim zkonom Tkođ zž d j u dodšnjim zmtnjim oučn i II Klov zkon koji ukzuj n čjnicu d j ktok bz lnt i ktnju lnt oko Sunc kontntn Pi jdnom unom obilku lnt oko Sunc vkto oložj lnt oiš ovšu li koj j odđn A = bπ = CT gd j vlik oluo li b ml oluo li C ktok bz lnt i T vm obilk lnt oko Sunc Kko j = ( ) m + = tojnj izmđu žiž (foku) c li o c = ldi c = l oluo li b mož ovzti vličom m olzći od lcij b = c j b = Sd j vm obilk lnt oko 3 π 4π 3 Sunc T = T = Ako u T i T vmn obilžnj dvju lnt C f 3 T oko Sunc i vć oluo njihovih utnj ldi = 3 T Tjktoij vštčkih Zmljih tlit Nk u očtni ulovi ktnj tlit i : = = m + o ili = = mx i ( ) = 9 odnono d kcnticitt mož izziti u obliku = gd j f Z Z oznčn m Zmlj Kd tlit nlzi n ovši m Z Zmlj td Njutnov il ošt gvitcij vodi n F ( ) = mg = f gd R j R olučnik Zmlj i uzim d j R 6 37 km j f Z = gr tko d j tnzitt očtn bz tlit gr ( + ) = gr ) Tjktoij tlit bić kužnic ko j = i td j = gr b) Tjktoij tlit bić li ko j < < i td j < mx
ški fkultt Bogd - hnik 3 Pdvnj 5 5 Ako j gr gr < < tlit kć o lii obilzći Zmlju ko j gr < < tlit vć n Zmlju (lučj vžn u blitici) c) Tjktoij tlit bić bol ko j = i td j d) Tjktoij tlit bić hibol ko j > i td j gr = gr > Z ulov oltnj tlit u blizi Zmlj kd j = R dobij v komičk bz tj nohodn tnzitt očtn bz tlit d bi on kužio oko Zmlj km = = gr 7 9 Dug komičk bz tj nohodn tnzitt očtn km bz tlit d bi on nutio obitu oko Zmlj j = = gr Smo tjktoij oblik kužnic i li koj otižu očtnim bzm km km odđnim 7 9 < mogu biti tjktoij vštčkih Zmljih tlit Dmik ltivnog ktnj tčk Difncijln jdnč ltivnog ktnj tčk Ktnj tčk u odnou n cijln koon itm koji mtju ulovno noktnim nziv olutno ktnj tčk Potoji čitv niz oblm ktnj tčk koj kć u odnou n nko tlo i čmu to tlo kć n oizvoljn nč u odnou n cijlni kooni itm nog od ovih oblm ogodnij j omtti u odnou n ncijln koon itm vzn z to oktno tlo Ktnj tčk u odnou n tkv koon itm nziv ltivno ktnj tčk U odnou n tkv koon itm u oštm lučju nć vžiti onovn jdnč dmik tčk Onovn jdnč dmik tčk u odnou n cijlni (ulovno noktni) kooni itm Oxyz j: m = F + R gd j olutno ubznj omtn tčk F zultnt vih ktivnih il koj dluju n tčku R kcij vz Poznto j iz kmtik d vži d ρ d = + + co = A + ε ρ + ω ( ω ρ ) = = = && ξ λ + && η μ + && ς ν co = ω gd j: A - ubznj tčk A (ol tnlcij) ω - non ugon bz (ugon bz tl I u odnou n cijlni kooni itm) ε - nono ugono ubznj (ugono ubznj tl I u odnou n cijlni kooni itm) ρ = ξ λ + η μ + ς ν - vkto oložj tčk u odnou n oktni kooni itm A ξηζ d ρ - ltivn bz tčk tj = = & ξ λ + & η μ + & ς ν i čmu j
ški fkultt Bogd - hnik 3 Pdvnj 5 6 d oznčn loklni (ltivni) izvod o vmnu i gd u λ μ i ν - jdični vktoi oktnog koonog itm A ξηζ Sd j m + m + mco = F + R odnono m = F + R m mco Ako uvdu oznk m = F m co = F co thodn jdnč dobij oblik m = F + R + F + Fco ktoi F i F co imju dimnziju il njihov m j uotn od m vkto ubznj i co ktivno kto F nziv non cijln il vkto F co - Koioliov cijln il Pthodn jdnč odđuj ktnj tčk u odnou n ncijlni kooni itm A ξηζ i on nziv onovn jdnč dmik ltivnog ktnj tčk U oštm lučju non cijln il im ti komonnt: FA = ma - non tnlton F = m( ε ρ ) - non obtn i F = m( ω ( ω ρ )) - non kitln Ako j z ncijlni (oktni) kooni itm A ξηζ izbn Dktov vougli kooni itm td j m & α ξ α = F + R + F + F m & η = F + R + F + F m && α ζ = F + R + F + F ξ ξ ξ coξ η η Ako j z ncijlni (oktni) kooni itm izbn iodni tijd u tčki ltivn utnj td dobijju ldć kln difncijln jdnč ltivnog ktnj tčk d m = Ft + Rt + Ft m = Fn + Rn + Fn + Fco n = F b + Rb + Fb + Fco b Rk Rltivn vnotž tčk Pod ltivnom vnotžom (miovnjm) tčk odzumv njno miovnj u odnou n ncijlni kooni itm Td j = = i F co = ω = j = F + R + F η coη Ov jdnč dtvlj jdnču ltivn vnotž tčk Tom o omni ktičk ngij i ltivnom ktnju tčk Difncijln jdnč ltivnog ktnj tčk j m = F + R + F m( ω ) d ρ nožći klno ltivnom bzom tčk = = & ξ λ + & η μ + & ς ν lvu i dnu tnu thodn jdnč ldi d m = F + R + F m( ω ) (747) Kko j ( ω ) = tj m d = F d ρ + R d ρ + F d ρ Lv tn ov jdnč mož tnfomiti n ldći nč ζ ζ ζ coζ
ški fkultt Bogd - hnik 3 Pdvnj 5 7 m d = d m = dek što znči d dtvlj difncijl ktičk ngij tčk i njnom ltivnom ktnju Sbici n dnoj tni jdnč dtvljju lmntn dov odgovjućih il n ltivnoj utnji tčk To znči d t jdnč mož iti u obliku de = δ A F + δ A R + δ A F k ( ) ( ) ( ) što dtvlj difncijlni oblik tom o omni ktičk ngij tčk i njnom ltivnom ktnju i mož fomuliti n ldći nč: difncijl ktičk ngij tčk i njnom ltivnom ktnju jdnk j zbiu lmntnih dov n ltivnom omnju zultnt vih ktivnih il kcij vz i non cijln il Intgcijom u odgovjućim gnicm ltivn bz tčk od do i u gnicm od oložj do oložj ltivn utnj tj dobij ( F ) + δ A ( R) δ A ( d m = A + δ F ) m m = A( ) ( F ) + A( ) ( R) + A( ) ( F ) (75) što dtvlj tomu o omni ktičk ngij tčk u končnom obliku i njnom ltivnom ktnju koj mož fomuliti n ldći nč: končn omn ktičk ngij tčk i njnom ltivnom ktnju n nkom končnom ltivnom omnju tčk jdnk j zbiu dov vih ktivnih il kcij vz i non cijln il n tom itom ltivnom omnju tčk