INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr. prof. dr. MARKO SLAPAR INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 203

Zahvala Najlepše se zahvaljujem mentorju dr. Marku Slaparju za vso strokovno pomoč, ki mi jo je nudil pri pisanju diplomske naloge. Hvala Vam, ker ste si vedno vzeli čas in mi kadarkoli pomagali. Še enkrat Vam hvala za vse. Zahvaljujem se svoji družini, ki me je v vseh letih študija spodbujala in mi stala ob strani. Zahvaljujem se svojemu fantu Matjažu za vso spodbudo v času študija in potrpežljivost v času pisanja diplomske naloge. Hvala tudi vsem mojim prijateljem, ki so me v času izpitnega obdobja vedno spodbujali in mislili name.

Povzetek V diplomski nalogi je predstavljen postopek razcepa racionalne funkcije na parcialne ulomke, katerega uporabljamo pri integriranju tako realne kot kompleksne racionalne funkcije. Na začetku diplome je citiran Laplacev izrek, preko katerega pridemo do vpeljave kompleksnih števil v razcep racionalne funkcije. S pomočjo tega izreka predstavimo pomen razcepa racionalne funkcije in poudarimo razliko med razcepom racionalne funkcije v kompleksnem in realnem. Ta razlika se nato odraža tudi na samem postopku integracije. V prvih dveh poglavjih predstavimo razcepa racionalne funkcije v realnem in kompleksnem ter njuno enoličnost. V naslednjem poglavju predstavimo postopek integracije v realnem in kompleksnem in pokažemo, da sta rezultata enaka. Ključne besede: razcep racionalne funkcije, parcialni ulomek, kompleksna števila, realna števila, integriranje. Abstract The intention of this diploma thesis is to present the procedure of partial fractions decomposition of rational functions and its use for integration of real and complex rational functions. Laplace theorem, quoted at the beginning, leads us to use complex numbers in the decomposition of rational functions. We use the theorem to show the reason for the partial fraction decomposition, and to emphasize the difference between the decomposition using either real or complex numbers. This difference is later also seen in the procedure of integration. The first two chapters are devoted to finding partial fraction decompositions and their uniqueness. In the next chapter, we present the integration procedures using either real or complex decomposition, and show that they both give the same result. Key words: decomposition of rational function, partial fraction, complex numbers, real numbers, integration.

Kazalo Poglavje. Uvod.. Postopek integriranja racionalne funkcije Poglavje 2. Razcep na parcialne ulomke v C 3 2.. Enoličnost razcepa na parcialne ulomke v kompleksnem 5 Poglavje 3. Razcep na parcialne ulomke v R 9 3.. Enoličnost razcepa v R 2 Poglavje 4. Integracija parcialnih ulomkov 7 4.. Integracija v realnem 7 4.2. Integriranje v kompleksnem 2 4.3. Primer 25 Poglavje 5. Sklep 27 Literatura 29

POGLAVJE Uvod Laplacev izrek pravi: Nedoločeni integral racionalne funkcije je vedno elementarna funkcija. Le ta je ali racionalna funkcija, ali pa vsota racionalne funkcije in logaritmov racionalnih funkcij, pomnoženih s konstantami. [3] Da se približamo ideji, ki jo je predstavil Laplace, moramo najprej dobro predstaviti pojem parcialni ulomek. Računanja integralov racionalnih funkcij se lotimo z razcepom funkcije na parcialne ulomke, katere nato po pravilih integriranja tudi izračunamo. Parcialni ulomki so racionalne funkcije posebne oblike, kjer je imenovalec podan kot linearni faktor (x α) m ali pa kot nerazcepni kvadratni faktor (x 2 pxq) n []. Pri obravnavi integralov, se navadno srečamo z računanjem integralov v realnem. Kar pomeni, da polinom v imenovalcu racionalne funkcije razcepimo na linearne in kvadratne (nerazcepne) faktorje. Zakaj bi torej poleg razcepa racionalne funkcije na parcialne ulomke sedaj obravnavali še razcep na parcialne ulomke v kompleksnem? V kompleksnem lahko vsak polinom, ki nastopa v imenovalcu racionalne funkcije, razcepimo na same linearne faktorje. To pa pomeni, da imamo torej v A končnem razcepu člene oblike, kjer je α kompleksna ničla. Torej pri integriranju zmanjšamo nabor funkcij, saj dobimo v (x α) m rezultatu integrala le vsoto logaritmov in racionalnih funkcij... Postopek integriranja racionalne funkcije Kot smo že omenili, za računanje integrala racionalne funkcije p(x) najprej naredimo razcep na parcialne ulomke. Predpostavili bomo, da je stopnja polinoma p manjša od stopnje polinoma q. V nasprotnem primeru polinoma najprej delimo. V splošnem poteka postopek integriranja po naslednjih korakih (povzeto po []).

Imenovalec razcepimo na produkt linearnih in kvadratnih faktorjev, če imamo razcep v realnem, oziroma na produkt linearnih faktorjev, če imamo razcep v kompleksnem. Poiščemo nastavek za razcep na parcialne ulomke. faktor (x α m ) km A m x α m k nastavku prispeva vsoto A 2 m (x α m ) A km m 2 (x α m ), km Vsak linearni kjer so A m, A 2 m,..., A km m konstante. Vsak kvadratni faktor (x 2 p l x q l ) m l pa k nastavku prispeva vsoto Bx C (x 2 b x c ) B2x C2 (x 2 b x c ) Bl k l x Ck l l, 2 (x 2 b l x c l ) k l kjer so B, C, B2, C2,..., Bk l l, Ck l l konstante. Določimo neznane konstante. To naredimo tako, da uredimo nastavek. Najprej celotni nastavek pomnožimo s, odpravimo oklepaje in poenostavimo izraze. Dobimo polinom, katerega koeficienti so izrazi v neznanih konstantah. Ta polinom pa je enak polinomu p(x), zato se morajo istoležni koeficienti ujemati. Za izračun neznanih konstant tako dobimo sistem enačb, katerega rešimo s pomočjo metode zaporednega izločanja spremenljivk. Ko določimo vse neznane konstante je potrebno izračunati integrale posameznih parcalnih ulomkov, katere smo dobili v razcepu racionalne funkcije. Podrobneje si bomo postopek integriranja parcialnih ulomkov ogledali v poglavju 4. 2

POGLAVJE 2 Razcep na parcialne ulomke v C Naj bo F polje. Z F[x] označimo glavni kolobar polinomov s koeficienti v F nad obsegom F(x). Polinomi so oblike p(x) = a n x n a n x n... a 0 ; a 0,..., a n F, obseg racionalnih funkcij s koeficienti v F, označeno z F(x), pa zapišemo kot F(x) = { } p(x) ; p(x), F[x]. Vsak polinom iz F[x] lahko razstavimo na en sam način kot produkt nerazcepnih faktorjev ([4]). Linearni polinomi x a so nerazcepni nad vsakim obsegom. Če je polinom p(x) stopnje n, se da razstaviti na kvečjemu n faktorjev. Element x F, za katerega je p(x ) = 0 imenujemo ničla polinoma p(x). Vzemimo sedaj F = C. Po Osnovnem izreku algebre ([4, stran 36]) ima vsak nekonstanten polinom vsaj eno ničlo in posledično so nerazcepni faktorji v C[x] ravno linearni polinomi. Naj bo sedaj x x ničla polinoma p(x). Potem lahko p(x) delimo z x x (postopek deljenja lahko naredimo s Hornerjevim algoritmom). Torej p(x) = (x x )p (x), kjer je p (x) polinom stopnje n. ustreza x 2 enačbi Če je x 2 ničla polinoma p (x), p (x) = a n x n... b x b 0 = 0. Polinom p (x) je deljiv z x x 2, torej je p (x) = (x x 2 )p 2 (x). Polinom p 2 (x) je stopnje n 2. Ta korak ponavljamo, dokler imajo dobljeni polinomi še kakšno ničlo. V najboljšem primeru pridemo po n korakih do polinoma stopnje nič. Prvotni polinom p(x) smo torej razcepili na linearne faktorje p(x) = a n (x α ) k (x α 2 ) k2 (x α m ) km, 3

kjer so α, α 2,..., α m različne si ničle polinoma p(x). Racionalne funkcije posebne oblike A (x α) k bomo imenovali parcialni ulomki. V nadaljevanju bomo pokazali, da lahko vsako racionalno funkcijo p(x) C(x) enolično razcepimo na vsoto parcialnih ulomkov. Trditev 2.. Naj bo p(x), kjer p(x), C[x], pri čemer sta si polinoma p(x) in tuja, torej nimata skupnih ničel, stopnja polinoma p(x) pa je manjša od stopnje polinoma. Naj bo = a(x α ) k (x α l ) k l razcep polinoma na nerazcepne faktorje v C[x]. Potem obstaja razcep racionalne funkcije p(x) C(x) na parcialne ulomke, ki ga zapišemo kot: p(x) = A (x α ) A 2 (x α ) 2 A k (x α ) k Al (x α l ) A l k l, (x α l ) k l pri čemer so A, A 2,..., A k,..., A l,..., A l k l C. Dokaz. Imejmo racionalno funkcijo Q(x) = p(x), kjer sta p(x), iz C[x]. Polinoma p(x) in nimata skupne ničle, stopnja polinoma p(x) pa je manjša od stopnje polinoma. Vemo, da lahko polinom zapišemo kot = a n (x α i ) k i. Naj bo h(x) = a n (x α i ) k i. i= Torej je = (x α ) k h(x), kjer za h(x) velja h(α ) 0, stopnja ničle α pa je k. Potem je kjer je A = p(α ) h(α ). Velja p(x) p(x) = A (x α ) p (x) k q (x), A (x α ) = p(x) k (x α ) k h(x) = p(x) p(α ) h(α ) h(x) (x α ) k h(x) =: i=2 A (x α ) k = p (x) (x α ) k h(x). Pokažimo, da je stopnja polinoma p (x) manjša od stopnje polinoma. Ker je p (x) = p(x) p(α ) h(α h(x), bo v primeru, ko je stopnja ) 4

polinoma h(x) manjša od stopnje polinoma p(x), stopnja polinoma p (x) manjša ali enaka stopnji polinoma p(x), kar pomeni, da je st. p (x) < st.. Če pa je stopnja polinoma h(x) večja od stopnje polinoma p(x) ali pa je polinom p(x) konstanten polinom, bo stopnja razlike polinomov p(x) p(α ) h(α h(x) še vedno manjša od stopnje polinoma ), saj je st. h(x) < st.. Vstavimo v polinom p (x) ničlo α : p (α ) = p(α ) p(α ) h(α ) h(α ) = 0. Zato je p (x) = (x α ) m p 2 (x), kjer je m > 0, m k in p 2 (α ) 0. Ko okrajšamo ničle, dobimo p (x) = (x α ) m p 2 (x) = (x α ) k h(x) (x α ) k h(x) Za racionalno funkcijo p 2(x) q (x) torej velja: p 2 (x) (x α ) k m h(x) =: p 2(x) q (x). i) Stopnja polinoma q je manjša od stopnje polinoma q. Očitno je stopnja polinoma q (x) manjša od stopnje polinoma, saj je q (x) = (x α ) k m h(x), = (x α ) k h(x). Stopnja ničle je po okrajšanju pri polinomu q (x) za m manjša od stopnje ničle polinoma. ii) Stopnja polinoma p 2 je manjša od stopnje polinoma q. Kot smo pokazali, je stopnja polinoma p (x) manjša od stopnje polinoma. Ker pri obeh polinomih stopnjo ničle zmanjšamo za m, bo torej tudi stopnja polinoma p 2 (x) manjša od stopnje polinoma q (x). iii) Polinom q (x) ima natanko iste ničle kot polinom, ki so natanko enakih stopenj, razen pri ničli x = α, kjer je stopnja te ničle polinoma q (x) strogo manjša od stopnje te ničle polinoma. Po indukciji na stopnjo imenovalca dobimo, da v kompleksnem obstaja razcep racionalne funkcije na parcialne ulomke. 2.. Enoličnost razcepa na parcialne ulomke v kompleksnem A l k l (x α l ) k l Naj bo p(x) = A (x α ) A2 (x α ) 2 A k (x α ) k Al (x α l ) razcep racionalne funkcije na parcialne ulomke v C, kot smo ga dobili v prejšnjem razdelku. Če želimo sedaj racionalno funkcijo p(x) razcepiti na parcialne ulomke še na drug način, moramo upoštevati, 5

da morajo imeti parcialni ulomki v imenovalcih prav tako le faktorje oblike (x α l ) n j, kjer je n j k l, saj se morajo stopnje polov ujemati. Vsi možni razcepi racionalne funkcije p(x) se torej morda razlikujejo le v konstantah v števcih parcialnih ulomkov. Izrek 2.2. Naj bo p(x), kjer p(x), C[x], pri čemer sta si polinoma p(x) in tuja, stopnja polinoma p(x) pa je manjša od stopnje polinoma. Za funkcijo p(x) C(x) v kompleksnem obstaja enoličen razcep na parcialne ulomke. Dokaz. Obstoj razcepa smo dokazali, sedaj pa pokažemo še, da je tak razcep enoličen. Dokažimo trditev s protislovjem. Imejmo torej dva različna razcepa racionalne funkcije podane v kompleksnem. in Zato je p(x) = A (x α ) A 2 (x α ) 2 A k (x α ) k Al (x α l ) A l k l, (x α l ) k l p(x) = à (x α ) à 2 (x α ) 2 à k (x α ) k à l (x α l ) à l k l. (x α l ) k l 0 = A à (x α ) A2 Ã2 (x α ) 2 A k à k (x α ) k Al Ãl (x α l ) Al k l Ãl k l. (x α l ) k l Naj se pri neki kompleksni ničli α n polinoma, kjer n l, konstanti A n m in Ãn m razlikujeta, torej A n m Ãn m, pri čemer, pa so vse nadaljnje konstante pri tej ničli med seboj enake, torej A n m = à n m, A n m2 = Ãn m2,..., A n m kn = Ãn m kn. Množimo sedaj enakost z (x α n ) m : 0 = A à (x α ) (x α n) m (A n m Ãn m) Al k l Ãl k l (x α (x α l ) k n ) m. l 6

Vstavimo sedaj v dobljeno enakost ničlo x = α n. Velja 0 = A n m Ãn m in zato A n m = Ãn m. Slednje je v nasprotju z našo predpostavko, da sta konstanti različni. Torej je razcep racionalne funkcije na parcialne ulomke v kompleksnem res enoličen. 7

POGLAVJE 3 Razcep na parcialne ulomke v R Naj bo R[x], torej polinom z realnimi koeficienti. Polinom zapišimo kot razcep = a(x α ) k (x α ) k (x α l ) k l (x α l ) k l (x β ) m (x β j ) m j, pri čemer so α,..., α l C \ R, β,..., β j R. Ničle iz C\R nastopajo v konjugiranih parih, saj za vsako ničlo α polinoma velja: 0 = q(α) = q(α) = q(ᾱ). Če konjugirane člene med seboj zmnožimo, dobimo = a(x 2 b x c ) k (x 2 b l x c l ) k l (x β ) m (x β j ) m j, pri čemer so diskriminante kvadratnih faktorjev, ki smo jih dobili z množenjem konjugiranih členov, negativne. Z množenjem smo torej dobili razcep R na nerazcepne faktorje znotraj R[x]. Pri obravnavi razcepa v realnem bomo racionalne fukcije oblik A (x β) m, β R in Bx C (x 2 bx c) k, D = b2 4c < 0 poimenovali parcialni ulomki. Trditev 3.. Naj bo p(x), kjer je p(x), R, pri čemer sta si polinoma p(x) in tuja, stopnja polinoma p(x) pa je manjša od stopnje polinoma. Naj bo = a(x 2 b x c ) k (x 2 b l x c l ) k l (x β ) m (x β j ) m j razcep polinoma na nerazcepne faktorje v R[x]. Potem obstaja razcep racionalne funkcije p(x) R(x) na 9

parcialne ulomke, ki ga zapišemo kot p(x) = A (x β ) A 2 (x β ) 2... A m (x β ) m Aj (x β j ) A j m j (x β j ) m j B x C (x 2 b x c ) B 2x C 2 (x 2 b x c ) 2... B k x C k (x 2 b x c ) k Bl x C l (x 2 b l x c l ) Bl k l x Ck l l. (x 2 b l x c l ) k l Dokaz. Naj bo Q(x) = p(x), kjer je p(x), R[x], α C \ R pa je ničla polinoma. Polinom lahko zapišemo kot = (x α) k (x α) k h(x), kjer je h(x) R[x], h(α) 0, h(α) 0. Zapišimo racionalno funkcijo p(x) Torej je p (x) q (x) = p(x) = kot p(x) = A p (x) (x α) k q (x), kjer je A = p(α) A (x α) = p(x) k (x α) k (x α) k h(x) p(x) p(α)h(x)(x α)k h(α)(α α) k (x α) k (x α) k h(x) = p(x)h(α)(α α) k p(α)h(x)(x α) k h(α)(α α) k (x α) k (x α) k h(x) h(α)(α α) k. p(α) h(α)(α α) k (x α) k = Ker lahko polinom zapišemo kot = (x α) k (x α) k h(x), bomo torej racionalno funkcijo p (x) napisali kot razcep na parcialni ulomek kjer je Zato je kjer je B, torej (x α) k B = p (α) q (α) = p (x) q (x) = q (x) B (x α) p 2(x) k q 2 (x), p(α)h(α)(α α) k p(α)h(α)(α α) k h(α)(α α) k (α α) k h(α) p(x) = = A (x α) A k (x α) p 2(x) k q 2 (x), p 2 (x) q 2 (x) = p(x) A (x α) A k (x α). k p(α) h(α)(α α) k = A. Stopnja polinoma p 2 (x) je manjša od stopnje polinoma q 2 (x), polinom q 2 (x) ima iste ničle kot polinom in so le-te istih stopenj, razen pri 0.

ničlah α in α, kjer so stopnje manjše. Funkcija p 2(x) je realna funkcija, saj je v primeru, ko je x R, vsota Torej je Poglejmo si sedaj razcep q 2 (x) A A (x α) k (x α) k p(x) A (x α) A k (x α) R(x). k A A : (x α) k (x α) k A (x α) k A (x α) k = Cx D (x α) k (x α) k p 3(x) q 3 (x), kjer sta p 3 (x), q 3 (x) R[x], q 3 (x) = (x α) l (x α) l ter l < k. res, je realna funkcija. A(x α) k A(x α) k = Cx D p 3(x) q 3 (x) (x α)k (x α) k. Vstavimo sedaj ničli α in α iz česar sledi A(α α) A(α α) C = α α Ker sta C, D R, je p 3 (x) q 3 (x) = x = α : A(α α) k = Cα D x = α : A(α α) k = Cα D, R, D = Aα(α α) Aα(α α) α α A (x α) A k (x α) Cx D k (x α) k (x α) R(x). k Če je to R. Stopnja polinoma p 3 (x) je manjša od stopnje polinoma q 3 (x), polinom q 3 (x) ima le ničli α in α, vendar nižjih stopenj. Dobili smo razcep Recimo, da je p(x) = Torej funkcijo p(x) Cx D (x α) k (x α) p 3(x) k q 3 (x) p 2(x) q 2 (x). p 3 (x) q 3 (x) p 2(x) q 2 (x) =: p 4(x) q 4 (x). zapišemo kot p(x) = Cx D (x α) k (x α) p 4(x) k q 4 (x). Ker je stopnja polinoma p 2 (x) manjša od stopnje polinoma q 2 (x) in stopnja polinoma p 3 (x) manjša od stopnje polinoma q 3 (x), je torej tudi

stopnja polinoma p 4 (x) manjša od stopnje polinoma q 4 (x). Ker ima polinom q 4 (x) manjšo stopnjo kot polinom, je po indukciji zopet p 4 (x) q 4 (x) = A (x α) m A 2 (x α) m = C x D (x α) m (x α) m p 5(x) q 5 (x). Po indukciji na stopnjo imenovalca tako dobimo razcep na parcialne ulomke v realnem. V kolikor ima polinom samo realne ničle, pa je postopek nižanja stopnje imenovalca enak kot pri razcepu v kompleksnem. 3.. Enoličnost razcepa v R Izrek 3.2. Naj bo p(x) racionalna funkcija, kjer je p(x), R[x], pri čemer sta si polinoma p(x) in tuja, stopnja polinoma p(x) pa je manjša od stopnje polinoma. Za racionalno funkcijo p(x) R(x) v realnem obstaja enoličen razcep na parcialne ulomke. Dokaz. Dokazati moramo le še enoličnost razcepa. Dokažimo trditev s protislovjem. Imejmo dva različna razcepa racionalne funkcije p(x) R: p(x) = A (x β ) A 2 (x β ) 2 A m (x β ) m Aj (x β j ) A j m j (x β j ) m j B x C (x 2 b x c ) B 2x C 2 (x 2 b x c ) 2 B k x C k (x 2 b x c ) k Bl x C l (x 2 b l x c l ) in Bl k l x C l k l (x 2 b l x c l ) k l p(x) = Ã (x β ) Ã 2 (x β ) 2 Ã h (x β ) h Ãj (x β j ) Ã j h j (x β j ) B x C h j (x 2 b x c ) B 2 x C 2 (x 2 b 2 x c 2 ) 2 B k x C k (x 2 b x c ) Bl x C l k (x 2 b l x c l ) B k l l x C k l l. (x 2 b l x c l ) k l 2

Zato je 0 = A à (x β ) A2 Ã2 (x β ) 2 A h à h (x β ) h Aj Ãj (x β j ) () Aj h j Ãj h j (x β j ) (B B )x C C h j (x 2 px q) (B 2 B 2)x C2 C 2 (B k B k )x Ck C k (x 2 px q) 2 (x 2 px q) k (Bl B l )x C l C l (x 2 px q) (Bl k l B k l l )x Ck l l C k l l. (x 2 px q) k l Ločimo sedaj dva primera: i) Naj bo pri nekem n j, A n m Ãn m. V tem primeru je dokaz povsem enak kot dokaz za enoličnost razcepa v C, le da je ničla, pri kateri se navedeni konstanti razlikujeta, realna. Dokaz si bralec lahko prebere v poglavju. ii) Naj se pri nekem kvadratnem členu (x 2 b n x c n ) polinoma, kjer n l, konstanti Bm n in B m n ali Cm n in C m n razlikujeta, torej Bm n B m n ali Cm n C m, n pri čemer pa so vse nadaljnje konstante pri tem faktorju med seboj enake, torej Bm n = B m, n Bm2 n = B m2, n..., Bm n kn = B m n kn ali Cm n = C m, n Cm2 n = C m2, n..., Cm n kn = C m n kn. Kot smo že ugotovili, smo kvadratne člene v razcepu dobili tako, da smo pomnožili konjugirane člene. Člen (x2 b n x c n ) lahko torej zapišemo kot (x 2 b n x c n ) m = (x α n ) m (x α n ) m, kjer sta α n in α n kompleksni ničli. 3

Množimo torej enakost () z (x α n ) m (x α n ) m in dobimo 0 = A à (x β ) (x α n) m (x α n ) m A2 Ã2 (x β ) 2 (x α n) m (x α n ) m A h à h (x β ) h (x α n) m (x α n ) m Aj Ãj (x β j ) (x α n) m (x α n ) m Aj h j Ãj h j (x β j ) h j (x α n) m (x α n ) m (B B )x C C (x 2 px q) (x α n ) m (x α n ) m (B k B k )x Ck C k (x α (x 2 px q) k n ) m (x α n ) m (B n m B n m)x C n m C n m (Bl B )x l C l C l (x α (x 2 n ) m (x α n ) m px q) (Bl k l B k l l )x Ck l l C k l l (x α (x 2 px q) k n ) m (x α n ) m. l Če vstavimo sedaj v dobljeno enakost kompleksno ničlo α n, dobimo 0 = (B n m B n m)α n (C n m C n m). (2) Če pa vstavimo v dobljeno enakost kompleksno ničlo α n, dobimo 0 = (B n m B n m)α n (C n m C n m). (3) Enačbi (2) in (3) odštejemo in dobimo 0 = (B n m B n m)(α n α n ). Vemo, da razlika dveh kompleksnih števil, ki sta konjugirani, ne bo enaka nič, saj pri odštevanju imaginarnega dela ne izgubimo. Torej α n α n 0. Da bo produkt (B n m B n m)(α n α n ) enak 0, mora biti torej razlika B n m B n m enaka 0. Od tod sledi B n m B n m = 0, oziroma B n m = B n m. 4

Če se vrnemo k enačbama (2) in (3) ugotovimo, da bo desna stran enačbe enaka nič natanko tedaj, ko bo tudi člen (C n m C n m) enak 0. Od tod sledi oziroma C n m C n m = 0, C n m = C n m. To pa je v nasprotju z našo predpostavko, da je B n m B n m ali C n m C n m. Torej je razcep racionalne funkcije na parcialne ulomke v realnem res enoličen. 5

POGLAVJE 4 Integracija parcialnih ulomkov 4.. Integracija v realnem Dokazali smo, da lahko vsako racionalno funkcijo p(x) v realnem in kompleksnem zapišemo kot vsoto parcialnih ulomkov. Oglejmo si sedaj integracijo racionalne funkcije p(x), katere razcep v realnem zapišemo na naslednji način: p(x) = A (x β ) A 2 (x β ) 2... A m (x β ) m Aj (x β j ) A j m j (x β j ) m j B x C (x 2 b x c ) B 2x C 2 (x 2 b x c ) 2... B k x C k (x 2 b x c ) k Bl x C l (x 2 b l x c l ) Bl k l x Ck l l. (x 2 b l x c l ) k l Računanja integrala racionalne funkcije p(x) se lotimo tako, da integriramo vsakega od sumandov v razcepu na parcialne ulomke. Da lahko to naredimo, moramo poznati naslednje tipe integralov: i) dx, x a ii) dx iii) iv), (x a) n axb dx, (x 2 pxq) axb dx, (x 2 pxq) n kjer je kvadratni polinom v imenovalcu zadnjih dveh integralov v realnem nerazcepen. Oglejmo si torej rešitve zgoraj naštetih integralov. i) dx x a = ln x a C, 7

ii) iii) dx (x a) = n n ax b (x 2 px q) dx C, (x a) n Rezultat danega integrala bomo dobili po nekaj korakih. preuredimo racionalno funkcijo Najprej a ap ax b (x 2 px q) = (2x p) (b 2 x 2 px q To naredimo zaradi lažjega integriranja v nadaljevanju. Od tod sledi ax b (x 2 px q) dx = a 2 Integral 2 ) 2x p 2b ap dx x 2 px q 2. dx x 2 px q. 2xp dx lahko izračunamo z uvedbo nove neznanke. x 2 pxq Recimo, da je t = x 2 px q in dt = (2x p)dx. Integral zapišemo z novo neznanko. 2x p x 2 px q dx = Za reševanje drugega integrala 2x p dt t(2x p) dt = t = ln t = ln(x2 px q). dx x 2 pxq najprej imenovalec, ki je nerazcepni polinom z diskriminanto D = p 2 4q < 0, zapišemo v obliki popolnega kvadrata: x 2 px q = (x p 2 )2 q p2 4 = (x p 4q p2 2 )2 4 = ( x p ) 2 D 2 4 = (x p D 2 )2 ( ) 2. 2 Zopet uvedemo novo spremenljivko t = x p, torej je dx = dt. Od 2 tod sledi x 2 px q dx = = D 2 ( t2 D 2 ) dt = D 2 (x p 2 )2 ( D ) dx = 2 2 arctan 8 t D 2 t 2 ( D ) dt 2 2 = 2 D arctan 2x p D.

iv) Če združimo skupaj, dobimo naslednjo rešitev: ax b (x 2 px q) dx =a 2 ln(x2 px q) (b ap 2 ) 2 D arctan 2x p D C. ax b (x 2 px q) n dx Postopek računanja danega integrala je precej zahteven, zato bomo manj natančni in bomo pokazali le obliko rezultata. Zopet naredimo razcep kot pri zgornjem primeru: a 2b ap ax b (x 2 px q) = (2x p) 2 2 n (x 2 px q). n Opazimo, da je 2x p pravzaprav odvod polinoma x 2 px q. Od tod sledi ax b (x 2 (x 2 px q) dx =a px q) n 2 (x 2 px q) dx n 2b ap 2 dx (x 2 px q) n. Izračunajmo vsakega izmed dobljenih integralov posebej. izračunamo s pomočjo uvedbe nove spremenljivke. Prvega Recimo, da je t = x 2 px q, torej je dt = (2x p)dx (x 2 px q) (x 2 px q) dx = 2x p dt n t n (2x p) dt = t = n nt n = n t n n = (x 2 px q). n Izračunajmo še drugi integral. dx (x 2 px q) = dx n ((x p/2) 2 D ) 2 2 ) n 2 = ( ) 2n dx D 2 (( D (x p/2)) 2 ). n Uvedemo novo neznanko t = 2 D (x p/2), torej je dt = 2 D dx. Dobimo integral dx (x 2 px q) = ( 2 ) 2n n D 9 dt (t 2 ) n.

Računamo naslednji integral z integracijo po delih (metoda per partes): I n = dt (t 2 ) n u = t du = 2n (t 2 ) n dv = dt v = t Dobimo dt (t 2 ) = t n (t 2 ) 2n n Od tod sledi formula oziroma (t 2 ) n dt t 2 dt (t 2 ) n t (t 2 = (t 2 ) 2n ) dt n (t 2 ) n = I n = t (t 2 ) n 2n dt (t 2 ) n 2n I n = t 2n ( t 2 ) 2n n 2n I n t 2n 3 2n 2 (t 2 ) n 2n 2 I n. Od tod induktivno izpeljemo naslednjo rešitev: I n = P (t) A arctan t, (t 2 ) n. dt (t 2 ) n. kjer je P (t) nek realen polinom stopnje 2n 3, A pa je realna konstanta. Če vnesemo v rešitev vrednost spremenljivke t, dobimo naslednjo rešitev: ax b (x 2 px q) n dx = P (x) (x 2 px q) n A ln(x2 px q) B arctan (x2 px q) D C. P (x) je polinom, ki ga je sicer potrebno natančno izračunati. V tem primeru smo to izpustili, mora pa biti stopnje manjše ali enake od n 3. A in B sta konstanti. Podpoglavje sem povzela po [2]. 20

4.2. Integriranje v kompleksnem Izračun integrala axb dx bi lahko pokazali s pomočjo kompleksne integracije. Kot smo pokazali pri dokazu za razcep racio- (x 2 pxq) n nalne funkcije v realnem, lahko vsako racionalno funkcijo p(x), kjer je deg(p(x)) = u in deg() = v ter velja u < v, zapišemo kot razcep na parcialne ulomke p(x) = A (x β ) A 2 (x β ) 2 A m (x β ) m A j (x β j ) A j m j (x β j ) m j B x C (x 2 b x c ) B 2x C 2 (x 2 b x c ) 2 B k x C k (x 2 b x c ) k Bl x C l (x 2 b l x c l ) Bl k l x Ck l l. (x 2 b l x c l ) k l Če vpeljemo kompleksna števila, lahko kvadratne faktorje, ki so sicer v realnem nerazcepni, v kompleksnem razcepimo na pokazali pa smo tudi, da je (x 2 b l x c l ) k l = (x α l ) k l (x α l ) k l, B l k l x C l k l (x 2 b l x c l ) k l = D l k l (x α l ) k l D l k l, (4) (x α l ) k l kjer so Dm n neke kompleksne konstante. Če upoštevamo enakost (4), lahko torej razcep racionalne funkcije p(x) na parcialne ulomke zapišemo kot p(x) = A (x β ) A 2 (x β ) 2 A m (x β ) m Aj (x β j ) A j m j (x β j ) m j D (x α ) D (x α ) D 2 (x α ) 2 D 2 (x α ) D k 2 (x α ) Dk k (x α ) k Dl (x α l ) Dl (x α l ) D l k l (x α l ) k l 2 D l k l. (x α l ) k l

Izračunajmo sedaj integral racionalne funkcije p(x). ( p(x) A dx = (x β ) A 2 (x β ) A m 2 (x β ) m Aj (x β j ) A j m j (x β j ) m j D (x α ) D (x α ) D 2 (x α ) 2 D 2 (x α ) 2 (x α ) Dk k (x α ) Dl k (x α l ) Dl (x α l ) ) D k D l k l D l k l dx = (x α l ) k l (x α l ) k l A = (x β ) dx A 2 (x β ) dx 2 A m (x β ) dx A j m (x β j ) dx A j m j (x β j ) dx D m j (x α ) dx D (x α ) dx D2 (x α ) dx 2 D 2 (x α ) 2 dx D k (x α ) k dx D l (x α l ) dx D l k l dx. (x α l ) k l 22 D k (x α ) k dx D l (x α l ) dx D l k l dx (x α l ) k l

Vse integrale preprosto izračunamo in dobimo p(x) dx = A ln x β A 2 (x β ) m A j m j A m (x β ) m A j ln x β j m j (x β j ) m j D ln(x α ) D ln(x α ) D 2 (x α ) D 2 (x α ) D k D k k (x α ) k k (x α ) k D l ln x α l D l ln x α l D l k l D l k l k l (x α l ) k l k l (x α l ) C = k l = A ln x β P (x) (x β ) m Aj ln x β j P j (x) (x β j ) m j D ln(x α ) D ln(x α ) Q (x) (x α ) k (x α ) k Dl ln(x α l ) D l ln(x α l ) Q l (x) (x α l ) k l (x α) k l, kjer so P m n in Q m n neki polinomi, katerih stopnje so nižje kot stopnje pripadajočih imenovalcev. Končni račun nam tako da p(x) dx = A ln x β A j ln x β j P (x) (x β ) m (x β j ) m j D ln(x α ) D ln(x α ) D l ln(x α l ) D l ln(x α l ) Q(x) (x α ) k (x α ) k (x α l ) k l (x α) k l, kjer sta zopet P (x) in Q(x) neka realna polinoma, katerih stopnje so nižje kot stopnje pripadajočih imenovalcev. Poglejmo si sedaj natančneje vsoto F ln(x α)f ln(x α). Ponovimo najprej nekaj dejstev o argumentu in logaritmu kompleksnega števila. Imejmo z = x iy in 23

arg(z) : C \ {0} ( π, π]. Potem je arg(z) = arctan( y ); x > 0, y 0 x π arctan( y ); x x < 0, y 0 π 2 x = 0, y 0 π 2 Za logaritem kompleksnega števila z velja ; x = 0, y 0. ln(z) = ln z i arg(z). Vrnimo se k računanju vsote, ki jo zapišemo s posplošenimi oznakami, kjer je F C in F = F if 2, F = F if 2 in α = α iα 2, ter upoštevajmo zveze (x α)(x α) = x 2 (α α)x αα = = x 2 2α x (α 2 α 2 2 ) D = 4α 2 4(α 2 α 2 2 ) = 4α 2 2 D = 4α 2 2 in D = 2 α 2 x 2 px q = x 2 2α x (α 2 α 2 2 ) (x 2 px q) = 2(x α ). Izračunajmo sedaj vsoto logaritmov, pri čemer upoštevamo zgoraj dobljene enakosti: F ln(x α) F ln(x α) = (F if 2 )(ln x α ) i arg(x α)) (F if 2 )(ln(x α) i arg(x α)) = F ln( x α x α ) if 2 ln x α x α if (arg(x α) arg(x α)) F 2 (arg(x α) arg(x α)). 24

Ker je x α x α = in arg(z) = arg(z) je ln( x α / x α ) = 0. Upoštevamo še arg(x α) = arg(x α). F ln(x α) F ln(x α) = F ln((x α)(x α)) 2F 2 arg(x α) = F ln(x 2 px q) 2F 2 arg(x α) = = F ln(x 2 px q) 2F 2 arg((x α ) iα 2 ) = = F ln(x 2 α 2 px q) 2F 2 (arctan ɛπ) = x α = F ln(x 2 px q) 2F 2 (± π 2 arctan x α α 2 ɛπ) = (5) = F ln(x 2 px q) 2F 2 (arctan x α α 2 C) = = F ln(x 2 px q) 2F 2 arctan (x2 px q) D 2F 2 C. Opomba. Število ɛ v zgornji enačbi je bodisi 0 ali, odvisno od tega, v katerem kvadrantu se nahaja število. Podobno je s ± znakom pred funkcijo arctan. Pri tem smo upoštevali formulo arctan(/t) = ±π/2 arctan t. Vse π-je, ki smo jih dobili v vrstici (5) seštejemo in pišemo kot konstanto C. Vrnimo se k rešitvi integrala racionalne funkcije p(x). Recimo, da je D = d i d, D = d i d,..., D l = d l i d l, D l = d l i d l. Torej je p(x) dx = A ln x β A j ln x β j R(x) (x β ) m (x β j ) m j (x 2 p x q ) k (x 2 p k x q k ) k l d ln(x 2 p x q ) 2 d arctan (x2 p x q ) D d l ln(x 2 p k x q k ) 2 d l arctan (x2 p k x q k ) Dk C. 4.3. Primer Kot primer si poglejmo integral 3x 3 5x 2 x 3 x 4 2x 3 2x 2 2x 3 dx. 25

Rešitev bomo izračunali s pomočjo razcepa na parcialne ulomke, ki smo ga spoznali v prejšnjih poglavjih. Uporabimo nastavek 3x 3 5x 2 x 3 (x )(x 3)(x 2 ) = A x B x 3 Cx D x 2. Ko odpravimo ulomke, dobimo 3x 3 5x 2 x 3 = x 3 (A B C) x 2 (3A B 2C D) x(a B 3C 2D) 3A B 3D in nato rešimo sistem linearnih enačb Rešitve so Tako dobimo razcep A B C = 3, 3A B 2C D = 5, A B 3C 2D =, A B 3D = 3. A = 5 2, B = 5, C = 3, D =. 2 3x 3 5x 2 x 3 x 4 2x 3 2x 2 2x 3 = 5 2(x ) 5 2(x 3) 3x x 2. S pomočjo obrazcev iz prejšnjega poglavja izračunamo integrale posameznega parcialnega ulomka. 5 2(x ) dx = 5 ln x 2 5 2(x 3) dx = 5 ln x 3 2 3x x 2 dx = 3 2 ln(x2 ) arctan x. Končna rešitev danega integrala je torej 3x 3 5x 2 x 3 x 4 2x 3 2x 2 2x 3 dx = 5 2(x ) dx 3x x 2 dx = 5 2 ln x 5 2 ln x 3 3 2 ln(x2 ) arctan x C. 5 2(x 3) dx 26

POGLAVJE 5 Sklep Z nazornim dokazom razcepa racionalne funkcije na parcialne ulomke v realnem in kompleksnem sem pokazala, da pri nadaljnji integraciji zmanjšamo nabor funkcij v rezultatu, v primeru da pri razcepu racionalne funkcije vpeljemo kompleksna števila. V tem primeru se namreč znebimo kvadratnih nerazcepnih faktorjev v imenovalcih razcepa, kar se kot prednost izkaže pri integriranju, saj je integral racionalne funkcije, ki ima v imenovalcu linearen polinom, kar naravni logaritem tega polinoma, pomnožen s konstanto. Če torej racionalno funkcijo razcepimo na parcialne ulomke v kompleksnem, imamo v rešitvi integrala te racionalne funkcije le naravne logaritme ali zopet racionalne funkcije, pomnožene s konstantami. Pokazala sem tudi, da je rezultat integriranja racionalne funkcije v kompleksnem z nekaj preoblikovanja povsem enak rezultatu integriranja le-te racionalne funkcije v realnem. Tako torej ni več nobenega dvoma v to, da bi se integriranja racionalne funkcije lotili s pomočjo kompleksnih števil, saj na ta način ne potrebujemo več težko zapomnljivih obrazcev za izračun integrala racionalnih funkcij, ki imajo v imenovalcu potenciran kvadratni polinom. V praksi se velikokrat izogibamo uporabi kompleksnih števil in jim ne pripisujemo velikega pomena, čeprav nam, kot lahko opazimo, stvari tudi olajšajo. Večkrat bi se morali vprašati, če je možno kompleksna števila uporabiti v različne namene in ne samo pri obravnavi posameznih tem kompleksne analize. 27

Literatura [] J. Cimprič, Integrali, 2006. Dostopno na spletnem naslovu: fmf.uni-lj.si/ ~cimpric/skripta/del3.pdf. [2] M. Slapar, Zapiski predavanj iz matematične analize, 202. Dostopno na spletnem naslovu: hrast.pef.uni-lj.si/~slaparma/ma.pdf. [3] M. Slapar, Integrali elementarnih funkcij. Obzornik za matematiko in fiziko, 2008, št. 2. [4] I. Vidav, Algebra, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko Univerze v Ljubljani, 972. 29