ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία
7.1 Πολυσυγγραμμικότητα: Εισαγωγή Παραβίαση υπόθεσης Οι ανεξάρτητες μεταβλητές δεν πρέπει να σχετίζονται γραμμικά μεταξύ τους. Η παραβίαση οδηγεί σε ύπαρξη γραμμικής σχέσης μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών. Που εμφανίζεται Κάθε μοντέλο κυρίως χρονοσειρών και ίσως και σε περιπτώσεις διαστρωματικών στοιχείων. Οικονομετρία 2
7.2 Είδη πολυσυγγραμμικότητας Στην περίπτωση της τέλειας (πλήρης) πολυσυγγραμμικότητας οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων είναι ακαθόριστοι. Επίσης, στην περίπτωση αυτή είναι αδύνατος ο προσδιορισμός των ατομικών επιδράσεων των ανεξάρτητων μεταβλητών στην εξαρτημένη. Σπάνια όμως οι ανεξάρτητες μεταβλητές θα συσχετίζονται τέλεια γραμμικά (μερική). Πιο πιθανόν είναι να παρατηρηθεί υψηλή πολυσυγγραμμικότητα. Οικονομετρία 3
7.2 Είδη πολυσυγγραμμικότητας Παράδειγμα Έστω το υπόδειγμα Y t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 X 2t + u t και έστω ότι υπάρχει η ακόλουθη γραμμική σχέση ανάμεσα στις ανεξάρτητες μεταβλητές: X 2t = 2X 1t Σε αυτή την περίπτωση ο εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων δεν είναι εφικτός. Θυμηθείτε σε μορφή πινάκων ότι ˆ ' X ' Y X X 1 Δεν υπάρχει ο αντίστροφος του Χ Χ. Οικονομετρία 4
7.3 Συνέπειες πολυσυγγραμμικότητας Πλήρης πολυσυγγραμμικότητα Απροσδιοριστία των συντελεστών β. Είναι δυνατόν να παρουσιαστούν ακραίες διασπορές των εκτιμητών ελαχίστων τετραγώνων. Υψηλά τυπικά σφάλματα. Αδύνατη η κατασκευή των διαστημάτων εμπιστοσύνης. Οικονομετρία 5
7.3 Συνέπειες πολυσυγγραμμικότητας Μερική πολυσυγγραμμικότητα Οι εκτιμητές είναι άριστοι γραμμικοί αμερόληπτοι αλλά οι διασπορές των εκτιμητριών υπερεκτιμώνται. Κάποιες πιθανές επιδράσεις είναι οι ακόλουθες: Υψηλός συντελεστής προσδιορισμού αλλά λίγες στατιστικά σημαντικές παράμετροι της πολλαπλής παλινδρόμησης. Υψηλοί ανά δυο συσχετισμοί των ανεξάρτητων μεταβλητών. Οι εκτιμήσεις να έρχονται σε αντίθεση με τις υπάρχουσες οικονομικές θεωρίες και/ή να παρουσιάζουν υψηλές τιμές τυπικών σφαλμάτων. Με την προσθαφαίρεση ανεξάρτητων μεταβλητών να παρατηρείται ευαισθησία των εκτιμήσεων. Με την προσθαφαίρεση παρατηρήσεων να παρατηρείται ευαισθησία των εκτιμήσεων. Οικονομετρία 6
7.3 Συνέπειες πολυσυγγραμμικότητας Μερική πολυσυγγραμμικότητα Τα χαρακτηριστικά αυτά αποδεικνύουν πιθανή πολυσυγγραμμικότητα αλλά δεν μπορούν να θεωρηθούν επαρκή. Για παράδειγμα, ένα απρόσμενο πρόσημο σε έναν εκτιμητή ελαχίστων τετραγώνων δεν οδηγεί απαραίτητα σε πρόβλημα πολυσυγγραμμικότητας. Αντιθέτως, είναι δυνατόν να υπάρχει λάθος οικονομική θεωρητική τεκμηρίωση. Για παράδειγμα, ένα αγαθό που θεωρείται κατώτερο στην πραγματικότητα να μην είναι. Επιπλέον, με τη προσθήκη επιπλέον παρατηρήσεων μπορεί να παρατηρηθεί μια ευαισθησία στις εκτιμήσεις που μπορεί όμως ναοφείλεται σε δομική αλλαγή. Οικονομετρία 7
7.4 Εντοπισμός πολυσυγγραμμικότητας Η διαπίστωση του προβλήματος πραγματοποιείται με τους συντελεστές συσχέτισης. Ένας εμπειρικός κανόνας για πιθανά προβλήματα πολυσυγγραμμικότητας μπορεί να θεωρηθεί ένας συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των δυο ανεξάρτητων μεταβλητών μεγαλύτερος από 0,75 και μικρότερος από -0,75. Αξίζει να σημειωθεί οι υψηλοί μερικοί συντελεστές συσχέτισης είναι επαρκής συνθήκη αλλά όχι και αναγκαία. Δηλαδή, μπορεί να εμφανιστούν χαμηλοί μερικοί συντελεστές συσχέτισης αλλά να υπάρχει τέλεια πολυσυγγραμμικότητα. Οικονομετρία 8
7.4 Εντοπισμός πολυσυγγραμμικότητας Μια εναλλακτική μέθοδος για τη διάγνωση της πολυσυγγραμμικότητας αποτελεί η εξέταση των γραμμικών σχέσεων μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών σε μια πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση. Ένας απλός και αναμενόμενος έλεγχος είναι να θεωρηθεί μια βοηθητική παλινδρόμηση. Χ jt = β 0 + β 1 X 1t + + β k X kt + u t Αν δεν υπάρχει γραμμική σχέση τότε οι εκτιμήσεις των παραμέτρων αυτής της παλινδρόμησης δεν θα είναι στατιστικά σημαντικές. Ένας τέτοιος έλεγχος είναι απλά ο έλεγχος της συνολικής στατιστικής σημαντικότητας της βοηθητικής παλινδρόμησης. 2 R n k 1 Fj 2 ~ Fk 2, n k 1, j 1,..., k 1 R K 2 Οικονομετρία 9
7.4 Εντοπισμός πολυσυγγραμμικότητας Συντελεστής διόγκωσης της διακύμανσης Το VIF (Variance Inflation Factor) για κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ένα μέτρο, που υπολογίζει το λόγο των διασπορών κάθε συντελεστή παλινδρόμησης με αυτόν που θα υπήρχε αν η ανεξάρτητη μεταβλητή ήταν ασυσχέτιστη με τις υπόλοιπες. VIF j 1 1 R 2 j Οικονομετρία 10
7.4 Εντοπισμός πολυσυγγραμμικότητας Ο συντελεστής αυτός όταν υπάρχει πολυσυγγραμμικότητα δηλώνει την ταχύτητα αύξησης της διασποράς ενός εκτιμητή. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του τόσο έντονη πολυσυγγραμμικότητα υπάρχει. Ένας εμπειρικός κανόνας: Αν VIF>10 (που συμβαίνει όταν ο συντελεστής προσδιορισμού είναι μεγαλύτερος του 0,90) τότε η αντίστοιχη μεταβλητή δημιουργεί πρόβλημα. Τέλος, η πολυσυγγραμμικότητα μπορεί να εντοπιστεί από την ανάλυση των t-στατιστικών, του R 2 και των προσήμων των ερμηνευτικών μεταβλητών. Οικονομετρία 11
7.5 Διόρθωση πολυσυγγραμμικότητας Παράλειψη μεταβλητών Χρήση πληροφοριών εκ των προτέρων Αύξηση μεγέθους δείγματος Μετασχηματισμός μεταβλητών (πρώτες διαφορές, λογάριθμοι) Συνδυαστική ανάλυση στοιχείων Αλλαγή στη μαθηματική διατύπωση του υποδείγματος Οικονομετρία 12
7.6 Παράδειγμα Με στοιχεία της περιόδου 1975-2005 εκτιμήθηκε το ακόλουθο υπόδειγμα (με τις στατιστικές t στις παρενθέσεις): Y i = 44,87 (0,159) + 0,215 (1,257) Χ 1i + 0,322Χ 2i 0,097 (1,121) 1,277 Χ 3i R 2 = 0,974, F = 335,154, DW = 1,895 Η κριτική τιμή της στατιστικής t σε επίπεδο σημαντικότητας α=5% είναι: t crit = t 31 4, 0,025 = t 27, 0,025 = 2,056 Η κριτική τιμή της στατιστικής F σε επίπεδο σημαντικότητας α=5% είναι: F crit = F 3, 27, 0,05 = 2,95 Παρατηρούμε ότι οι συντελεστές είναι στατιστικά ασήμαντοι σε ατομικό επίπεδο αλλά εμφανίζεται υψηλό F και υψηλό R 2. Έχουμε αντιφατικά αποτελέσματα κάτι που αποτελεί ένδειξη πολυσυγγραμμικότητας. Οικονομετρία 13