4 VIJAT E FUQISE TË DYTË

4 VIJAT E FUQISE TË DYTË Trjt e pergjthshme e ekucionit lgjebrik te fuqise të dytë me dy ndryshore x, y është: Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0, (*) Ku të pktën njëri prej koeficentëve A, B dhe C është i ndryshëm ng zero. Vijën plne me ekucion krtezin te trjtës (*) e qujmë vijë lgjebrike të fuqisë së dytë. Të till jnë: rrethi, elipsi, hiperbol dhe prbol, që do të shqyrtojmë në këtë kpitull. Meqë to mund të përftohen ng ndërprerj me plne të sipërfqes konike rrethore të drejtë, bshkërisht, emërohen prerje konike ose shkurt konike. 4.1 Rrethi Le të jenë Q pikë fikse e plnit dhe r numër pozitiv. Bshkësi e pikve të plnit, çdonjër prej të cilve k lrgesë r ng pik Q është rrethi me qëndër Q dhe me reze r. Ekucioni krtezin i rrethit me qëndër Q(, b) dhe me reze r është (x-) +(y-b) =r. Atë mund t rishkrujmë në trjtën x +y +Dx+Ey+F=0, (** ) ku D=-, E=-B dhe F= +b -r. Kështu, rrethi është vijë e fuqisë së dytë. E zemë se n është dhënë një ekucion i tjtës (*), ku D, E dhe F jnë numr relë çfrdo. Cili është grfi i tij në plnin koordintiv Oxy? Ekucioni (** ) është i njëvlershëm me ekucionin 111

D E 1 ( x ) ( y ) ( D E 4F). 4 Jnë të mundshme tri rstet e mëposhtëme. 1) D +E -4F>0. Grfi i ekucionit (*) është rrethi me qender D E Q(, ) dhe me reze 1 r D E 4F. ) D +E D E -4F=0. Grfi i ekucionit (*) përmbn vetëm pikën (, ). 3) D +E -4F<0. Ekucioni nuk k zgjidhje në numr relë. Grfi i tij qështë bshkësi boshe. Pr, grfi i ekucionit (**) është rreth ose pikë ose bshkësi boshe. Shembull 1 Gjeni ekucionin e rrethit, që klon ng pikt P 1 (, -1), P (0, 1) dhe P 3 (-4, -5). Zgjidhje Ekziston pik e vetme Q(x, y), e tillë që QP 1 =QP =QP 3. Vërtet, prej kushteve : ( x ) ( y 1) x ( y 1), ( x 4) ( y 5) x ( y 1), 7 1 gjejmë Q(, ). Ekucioni i kërkur është 5 5 7 1 338 ( x ) ( y ). 5 5 5 Tngentet e rrethit Le të jetë ( rr) rreth dhe P 0 pikë e tij. Drejtëz (t), që klon ng pik P 0 dhe që nuk k pike tjetër të përbshkët me rrethin (rr) është tngente e rrethit (rr) në pikën P 0. Drejtëz pingule me rezen e 11

rrethit (rr) në pikën P 0 të tij është tngente e rrethit në pikën P 0 dhe nsjellts (fig.4.1). Në qoftë se (t) është tngente e rrethit (rr): (x-) +(y-b) =r në pikën P(x 0, y 0 ) të tij, tëhere për çdo pikë P(x, y) (t) dhe vetëm për to, plotësohet kushti:. =0, ku =(x 0 -, y 0 -b), =(x-x 0, y-y 0 ) ose (x 0 -) (x-x 0 )+(y 0 --b) (y-y 0 )=0. Meqë (x 0 -) +(y 0 -b) =r, del se (t): (x 0 -) (x-) +(y 0 -b) (y-b)=r Këtë ekucion mund t rishkrujmë në trjtën : (x 0 -) [(x-)-(x 0 -)]+(y 0 -b) [(y-b)- (y 0 -b)]=0. Shembull Gjeni ekucionin e tngentes të rrethit x +y +4x-6y-10=0 në pikën P 0 (1, -1) të tij. Zgjidhje E rishkrujmë ekucionin e dhënë në trjtën (x-) +(y-b) =r : (x +4x+4)+(y -6y+9)=10+4+9, (x+) +(y-3) =3. Ekucioni i kërkur është: (1+) (x+)+(-1-3) (y-3)=3 ose 3x-4y-5=0. 113

Shembull 3 Jepen rrethi x +y +4x-10y+4=0 dhe pik A(3, ). Gjeni ekucionet e tngenteve te mundshme të tij, që klojnë ng pik A. Zgjidhje Qëndr e rrethit të dhënë është Q(-, 5) dhe rezj e tij r=5. Meqenese AQ 34 5, del se pik A ndodhet jshte rrethit të dhënë. Ekucioni i çdo drejtëze me kofiçient këndor k, që klon ng pik A është: y-=k(x-3). () Drejtëz me ekucion () është tngente e rrethit të dhënë, tëhere dhe vetëm tëhere kur lrges e sj ng pik Q(-, 5) është 5. Prej kushtit k 5 3k 5, k 1 del se k= 15 8. Rrjedhimisht, drejtëz 8x-15y+6=0 është tngente e rrethit, që klon ng pik A. Ndërkq ng pik A(3, ) klon edhe drejtëz x-3=0, pingule me boshtin Ox. Lrges e pikës Q prej sj është 3-(-)=5. Pr, edhe drejtëz x-3=0 është tngente e rrethit, që klon ng pik A. Ekucionet prmetrikë të rrethit. Le të jetë dhënë rrethi me ekucion dekrtin : (x-) +(y-b) =R. Shënojmë me P(x;y) një pikë cfrdo të rrethit dhe këndi që formon me boshtin Ox. Ekucionet prmetrike të rrethit jnë: x R cos y b Rsin 114

Probleme 4.1 1. Gjeni ekucionin e rrethit në çdonjërin prej rsteve të mëposhtëme. 1) Qendr e rrethit është (3, -7) dhe rezj e tij është ) Qendr e rrethit është (-4, ) dhe (, -1) është pik e tij. 3) Pikt (-6, 3) dhe (4, -5) jnë skjet e një dimetri të tij. 4) Rrethi tkon boshtet koordintive në pikt (, 0) dhe (0, -).. Përcktoni grfin e secilit prej ekucioneve të mëposhtme dhe skicojeni të. 1) x +y -4x+y=0 5) ) x +y +6y-16=0 6) 3) x +y +x-3y+3=0 7) 4) x +y -x+6y+5=0 8) y y - 5 - (x -1) 9 - (x -1) x 3 4 y x -3-4 y. Gjeni ekucionin e rrethit që klon ng pikt P 1 (, 3), P (0, 5) dhe P 3 (1, -1). 3. Gjeni ekucionin e rrethit të jshtëshkrur trekëndshit, brinjët e të cilit ndodhen në drejtëzt x+=0, y-4=0 dhe 3x-4y-10=0. 5. Jepen rrthët x +y +5x+y-6=0 dhe x +y +x-y-15=0. Gjeni: 1) lrgesën ndërmjet qendrve të tyre; ) ekucionin e drejtëzës, që klon ng pikëprerjet e tyre. 115

6 Gjeni ekucionin e tngentes të rrethit x +y -x-1=0 në pikën P 0 (,-1) të tij. 7. Gjeni ekucionin e rrethit me qender ( 0, ) në qoftëse drejtëz 3 x+4y-5=0 është tngente e tij. 8. Gjeni ekucionin e rrethit tngente me boshtin Ox, qendr e të cilit ndodhet në drejtëzën x+y-1=0, në se rezj e tij është 5. 9. Gjeni ekucionin e rrethit, në qoftë se drejtëz x-y-7=0 është tngente në pikën e tij (0, 3) dhe drejtëz x-y+3=0, është tngente e tij. 10. Drejtëzt x-3y-7=0 dhe 3x+y-1=0 jnë tngente të rrethit, qendr e të cilit ndodhet në drejtëzën x-3y+3=0. Gjeni ekucionin e rrethit. 11.Gjeni ekucionin e tngenteve të rrethit x +y -8x+13=0, që klojnë ng origjin e koordintve. 1. Gjeni ekucionin e tngenteve të përbshkët të rrthëve x +y -6x=0 dhe x +y -6y=0. 13. Jepet rrethi (rr): x +y -x=0. Gjeni ekucionin krtezin të grfit, që përmbn meset e kordve të rrethit (rr) me njërin skj të përbshkët pikën O(0, 0). 116

4. Elipsi Le te jene F 1 dhe F dy pik fikse të plnit, c, lrges ndermjet tyre dhe numur, >c. Elips qujmë bshkesinë e pikve të plnit, çdonjër prej të cilve, shumën e lrgesve ng pikt F 1 e F e k të brbrtë me. Ndërkq, pikt F 1 e F jnë vtrt, mesi i segmentit F 1 F është qendr dhe numri c, lrges vtrore e elipsit. Ekucioni knonik i elipsit Le te jetë (e) elipsi, me vtr F 1 (-c, 0) e F (c, 0) dhe me shumë të lrgesve ng vtrt të çdo pike të tij (fig. 4.). Për çdo pikë P(x, y) PF 1 +PF =, x P(x,y) kemi: ( x c) y ( x c) y. F 1 (-c,0) O F (c,0) y Rrjedhimisht, del se fig 4. ( x c) y 4 4 ( x c) y ( x c) y ose ( x c) y cx. Po te ngremë në ktror çdo në të këtij ekucioni dhe të kryejmë shndërrime të kuptueshme, mrrim ekucionin ( -c )x + y = ( -c ). Meqë >c kemi -c >0. Shënojmë b = -c dhe e rishkrujmë ekucionin e mësipërm në trjtën x y 1. () b 117

Kështu, çifti koordintiv (x, y) i çdo pike të elipsit (e) vërteton ekucionin (). Ansjellts, në se (x, y) është zgjidhje e ekucionit (), tëhere pik P(x, y) është pikë e elipsit (e). Për këtë, mund të bindemi, duke kryer shndërrimet e nsjellt me to që kryem për të klur ng kushti PF 1 +PF = tek brzimi (). Me në të tyre klojmë ng brzimi () në kushtin PF 1 +PF =, që tregon që pik P(x, y) është pikë e elipsit (e). Pr ekucioni () ështe ekucioni krtezin i elipsit (e) me vtr F 1 (-c, 0) e F (c, 0) dhe me shumen te lrgesve ng to te çdo pike te tij,. Ekucionin () e qujme ekucion knonik te elipsit (e). Ai tregon se elipsi eshte nje vije e fuqise se dyte. Shqyrtimi lgjebrik i ekucionit knonik te elipsit () n zbulon veti gjeometrike te tij. Meqe zevendesimi ne ekucionin (), i x me -x dhe pstj i y me -y te çon ne nje ekucion te njevlershem me të, del se elipsi (e) është simetrik ne lidhje me boshtin Oy, Ox dhe me origjinen e kordintve.pikëprerjet e elipsit (e) me boshtin Ox jnë A 1 (-, 0) e A (, 0) dhe boshtin Oy B 1 (0, -b) dhe B (0, b). Prej ekucionit (), del se 1 x y 0, b d.m.th x 0, ose - x. Ne mënyrë të ngjshme gjejme se b y b. Kështu, per çdo pikë P(x, y) te elipsit (e), kemi x dhe y b. Ndërkq, per çdo 0 x dhe y 0 kemi: y b, x Prej ng del se x ritet ng 0 në, y zvogëlohet ng b ne 0. Bzur dhe në përfundimet e mësipërme, rezulton se elipsi k formën e tregur ne fig 4.3. Segmenti A 1 A me gjtësi është boshti i mdh, segmenti B 1 B me 118

x B (0, b) P(x,y) A 1 (-,0) F 1 (-c,0)) O F (c,0) A (,0) y Fig. 4.3 B 1 (0,-b) gjtësi b, b c, është boshti i vogël dhe pikt A 1, A, B 1, B jnë kulmet e elipsit. Në rstin kur vtrt e elipsit jnë F 1 (0, -c), F (0, c), d.m.th ndodhen në boshtin Oy e jnë simetrike ne lidhje me origjinen e sistemit koordintiv Oxy dhe shum e lrgësive ng to e çdo pike të elipsit është, tëhere ekucioni knonik i tij është: x y 1, b - c b Shembull 1 Skiconi grfin e ekucionit: 4x +7x =8. Zgjidhje Ekucioni i dhënë është i njëvlershëm me ekucionin: x 7 y 4 1, 119

Vërejme se ky ekucion është i trjtës (), ku =7 dhe b =4. Gjejmë c 7 4 13. Grfi i kërkur është elipsi me vtr ( 3, 0) dhe kulme ( 7, 0) e (0, ). Shembull Gjeni ekucionin knonik të elipsit, vtrt e të cilit ndodhen në boshtin Oy dhe jnë simetrike në lidhje me origjinën O, në qoftë se njëri kulm i tij është (0, -3) dhe (, -1) është pikë e tij. ng del se r 1 y d 1 P(x,y) d x F 1 O Fig. 4.4 r F x 9 b. Ekucioni i kërkur është: 4 x y 1 9 9 4 x Zgjidhje Prej të dhënve del se ekucioni knonik i elipsit është i trjtës: x y 1, 9 b Meqenëse (, -1) është pikë e tij, kemi ( ) b ( 1) 1, prej Jshtëqëndërsi dhe vijt drejtuese të elipsit. Le të jetë (e) elipsi me lrgesë vtrore c dhe bosht të mdh. Numrin c 10

e qujmë jshtëqëndërsi (eksentricitet) të elipsit (e). Për çdo elips kemi 0<<1. Meqë ε b, po qe 0, del se b ; pr, form e elipsit është shumë fër formës së rrethit; po qe 1, del se b ose b 0, d.m.th form e elipsit është shumë e zgjerur. Vij drejtuese (direktris) të elipsit (e) me ekucion knonik x y 1 b qujmë drejtëzt: (d 1): x 0 dhe (d ): x- 0. Për vijt drejtuese (d 1 ) dhe (d ) do të themi se jnë të njënshme, përktësisht me vtrt F 1 dhe F. Meqenëse, del se vijt drejtuese të elipsit ndodhen jshtë tij. Le të jetë P(x, y) pikë e elipsit (e). Shënojmë me r 1 dhe me r lrgest e sj ng vtrt, përktësisht F 1 dhe F dhe me d 1 e d lrgest e sj ng vijt drejtuese, përktësisht (d 1 ) e (d ). Si duket edhe ng figur 4.4, meqenëse: r r, gjejmë: 1 r 1 r 1 (x c) - r y, r (x - c) y 4cx, (r r ) (r - r ) 4cx, 1 r 1 x, r - x 1, Ndërkq, kemi: 11

d1 x, d x. Prndj: r1 x r x dhe d d 1 x x Këto brzime tregojnë një veti të rëndësishme të elipsit të cilën e shpreh kjo teoremë: Teoremë Rporti i lrgesës të çdo pike të elipsit ng njër vtër me lrgesën e sj ng vij drejtuese e njënshme me të vtër është konstnt, i brbrtë me jshtëqëndërsinë e elipsit. Tngentet e elipsit Le të jenë (e) elips dhe (t) drejtëz që klon ng pik P 0 e tij. Drejtëz (t) është tngente e elipsit (e) në pikën P 0 të tij, në qoftë se P 0 është e vetmj pikë e përbshkët e tyre (fig.4.5). E zemë se ( x y e ) : 1, b dhe se P 0 (x 0, y 0 ) (e) Drejtëz me koefiçent këndor k :y-y 0 =k(x-x 0 ) është tngente me elipsin (e) 1

Drejtëz e dhënë është tngente me elipsin (e) në pikën P 0, tehere dhe vetëm tëhere kur sistemi i ekucioneve : x y 1, b ( ) y k( x x0 ) y0, k një zgjidhje të vetme dhe kjo është pikërisht, (x 0, y 0 ). Prej ekucioneve te sistemit () rrjedh ekucioni: x k (x x 0) ky 0(x x 0) y0 1 0. b x 0 Po të zevendësojmë në të y0 b (1 ) dhe të kryejmë shndërrimet e kuptueshme, përftojmë ekucionin: x x 0 k (x x 0 ) ky0 (x x 0 )[ ] 0, ( ) b Zgjidhj (x 0, y 0 ) është e vetmj zgjidhje e sistemit (), tëhere dhe vetëm tëhere kur ekucioni i fuqisë së dytë () k dy rrënjë rele të brbrt me x 0, ku x 0 është rrënjë e ekucionit : x x 0 k (x x 0 ) ky0 0 b b x 0 ose kur k. y0 Kështu, drejtëz b x 0 y y0 (x x 0 ) y 0 13

është tngentj e elipsit (e) me pikën P 0 (x 0, y 0 ) të tij. Meqë x 0 y0 1, ekucionin e sj mund t shkrujmë në trjtën: b x 0x y0y 1. b x Shembull 3 Gjeni ekucionin e tngentes të elipsit y 1 4 1 ( 3, - ) të tij. në pikën Zgjidhje Ekucioni i kërkur është: 3x 4 1 y 1 ose 3x y 4 0. x Shembull 4 Jepet elipsi y 1 dhe pik (-3, 1). Gjeni ekucionet e 4 tngenteve të mundëshme të elipsit të dhënë, që klojnë ng pik e dhënë. Zgjidhje Pik e dhënë ndodhet jshtë elipsit të dhënë. E zemë se drejtëz x0x y0 y 1 4 është tngente e elipsit të dhënë në pikën P 0 (x 0, y 0 ) dhe që klon ng pik (-3, ). Prej kushteve 3x 0 y 0 1, 4 x 0 y 0 1 4 14

4 5 Gjejmë: x 0 =0, y 0 =1 ose x 0, y0 -. Pr ng pik (-3, 1) klojnë 13 13 dy tngente të elipsit të dhënë. y-1=0, 6x+5y+13=0. Ekucionet prmetrike të elipsit. Është dhënë elipsi me ekucion knonik : x y 1 (fig. 4.6) b Me qendër në origjinën O ndërtojmë rrthë me rreze,b dhe shënojmë me këndin trigonometric që formon me boshtin Ox një gjysëm drejtëz me origjinë në pikën O. Pikt M dhe Q jnë pikt e prerjes së kësj gjysëm drejtëze me rrthët me rreze dhe b. Ng pik Q heqim drejtëzën prlele me boshtin Oy dhe ng pik M heqim drejtëzen prlele me boshtin Ox. Të provojmë që pik P(x;y), pik e prerjes së këtyre dy drejtëzve është pikë e Fig 4.6 elipsit të dhënë.shënojmë me M 1 dhe Q 1 projeksionet këndrejt të pikve M dhe Q në boshtin Ox. Shihet qrtë ng figur që : x OQ1 OQ cos, y=q1 P=M1M=OM sin. Kështu mund të shkrujmë ekucionet prmetrikë të elipsit: x cos y bsin 15

Probleme 4. Në ushtrimet 1-6 gjeni ekucionet knonike të elipsit me vtr F 1, F dhe kulme V 1, V. Skiconi këto elipse. 1. F 1 (4, 0), F (-4, 0); V 1 (5, 0), V (, -5, 0). F 1 (1, 0), F (-1, 0); V 1 (13, 0), V (-13, 0) 3. F 1 (5, 0), F (-5, 0); V 1 (3, 0); V (-3, 0) 4. F 1 (1, 0), F (-0); V 1 (5, 0), V (-5, 0) 5. F 1 (0, 4), F (0, -4); V 1 (0, 5), V (0, -5) 6. F 1 (0, 3), F (0, -3); V 1 (0, 5), V (0, -5). Në ushtrimet ng 7-10, gjeni koordintt e kulmeve V 1 dhe V si dhe të vtrve të elipsit me ekucione të dhën. 7. 4x +9y =36 8. 16x +y =64 9. 4x +36y =36 10. 7x +3y =1. c 11. Jepet pik P(c, 0), c>0 dhe drejjtëz x, 0,. Shënojmë me r(m) dhe d(m), lrgest e pikës M(x, y) të pikës përktësisht me pikën e dhënë dhe drejtëzën e dhënë. Gjeni ekucionin krte zin të grfit r( M ) G M ( x, y) \. d( M ) 1. Gjeni ekucionin e tngentes të elipsit 3x +5y =3 në pikën (-1, ) të tij. 16

13. Gjeni ekucionet e tngenteve të elipsit x +9y =9, që klojnë ng pik (, -1). x y 14.Vertetoni se prodhimi i lrgesve të vtrve të elipsit 1 b ng çfrdo tngente e tij është konstnt, i brbrtë me b. 4.3 Hiperbol Le të jenë F 1 dhe F dy pik fikse të plnit, c lrges ndërmjet tyre dhe numër, 0<<c. Hiperbolë qujmë bshkësinë e pikve të plnit, për çdo njërën prej të cilve vler bsolute e diferencve të lrgësive të sj ng pikt F 1 dhe F është e brbrtë me. Pikt F 1 e F vtrt, mesi i segmentit F 1 F është qëndr dhe numri c, lrges vtrore e hiperbolës. Ekucioni knonik i hiperbolës Le të jetë (h) hiperbol me vtrt F 1 (-c, 0) e F (c, 0) dhe vler bsolute të diferencës të lrgesve ng to të çdo pike P(x, y) të sj, (fig 4.7). Prej kushtit PF PF, 1 kemi brzimet ( x c) y ( x c) y Ng të cilt rrjedh brzimi: x y 1, b c - b () 17

Ekucioni () vertetohet ng çifti kordintiv (x, y) i çdo pike të hiperbolës (h) dhe vetëm i këtyre pikve. Ai është ekucioni knonik i sj. Kështu hiperbol është ekucion i grdës së dytë. Prej shqyrtimit të ekucionit (), rezulton: hiperbol (h) është simetrike në lidhje me çdonjërin bosht kordintiv dhe në lidhje me origjinën e kordintve. Pikëprerjet e sj me boshtin Ox jnë pikt A 1 (-, 0) dhe A (, 0). Boshti Oy nuk e pret hiperbolën, meqenese (fig 4.8) x y ( 1 ) 1 b kemi x. Për çdo pikë të hiperbolës që ndodhet në kudrtin e prë, kemi b y x. Shihet se kur x rritet p kufi duke fillur ng dhe y rritet p kufi. Nërkq meqenëse b b x x, del se pik P(x,y) e hiperbolës ndodhet nën pikën me të njëjtë bshisë të b drejtëzës me ekucion y x. Prej këndej dhe simetrisë së hiperbolës, rrjedh se pikt e sj ndodhen në pjesën e plnit Oxy që kufizohet ng drejtëzt b b y x dhe y - x. x y Këto dy drejtëz jnë simptott e hiperbolës 1. Vemë re se to b klojnë ng origjin O dhe përmbjnë digonlet e drejtkëndshit, që përftohet ng drejtëzt x 0, y b 0. 18

Fkti që hiperbol k simptot, shpreh një veti të rëndësishme të sj: në qoftë se pik M(x, y) e hiperbolës (h), lrgohet pmbrimisht mbi të, t zemë mbi pjesën që ndodhet në kudrtin e prë, tëhere lrges e sj ng b drejtëz y x shkon në zero. Ng s u tregu del se hiperbol (h) ekucionin knonik të së cilës shqyrtum, k formën e prqitur në figurën 4.8. Pikt A 1 (-,0), A (,0) jnë kulmet e boshtit rel dhe B 1 (0,-b), B (0,b) jnë kulmet e boshtit imgjinr Ekucioni knonik i hiperbolës vtrt e së cilës jnë F 1 (0,-c) dhe F (0,c) dhe vler bsolute e diferencës së lrgesve ng to të çdo pike të sj është, 0<<c, është: y x 1, b c. b 19

kulmet e së cilës jnë A 1 (0,-), A (0,) dhe simptot y x e y x. b b Jshtëqendërsi dhe vijt drejtuese të hiperbolës. c Numrin e qujmë jshtëqendërsi të hiperbolës. Meqë c> del se >1. Vijt drejtuese të hiperbolës jnë x y 1 qujme drejtezt (d 1) : x =0dhe x- 0. Meqë b, vijt drejtuese të hiperbolës ndodhen midis dy degëve të sj. x y Lrgëst e pikës P(x, y) të hiperbolës 1 me vtrt F 1, F, jnë b përktësisht: r x dhe r x 1 Ndërs lrgest e sj ng vijt drejtuese (d 1 ) dhe (d ) jnë përktësisht d1 x dhe d x Teoremë Rporti i lrgësisë të çdo pike të hiperbolës ng njër vtër me lrgesën e sj ng vij drejtuese e njënshme me të është konstnte, i brbrtë me jshtëqendërsinë e hiperbolës. Shembull 1 x y Jepet hiperbol 1. Gjeni vtrt, kulmet, gjtësinë e boshteve, 16 64 jshtëqendërsinë, vijt drejtuese dhe ekucionet e simptotve të sj. 68 Gjeni lrgësinë ng vtrt të pikes C( 5, ). 3 130

Zgjidhje Prej ekucionit të dhënë meret vesh se vtrt e hiperbolës ndodhen në boshtin Ox, qëndr e sj është origjin O dhe se =6, b=8. Gjejmë: c 36 64 10, F 1 (-10,0), F (10,0), A 1 (-6,0), A (6,0), =1, b=16, 5, ekucionet e vijve drejtuese: 3 18 4 x dhe ekucionet e simptodve y x 5 3 Pik C ndodhet në hiperbolën e dhënë, prndj lrgest e sj r 1 dhe r, përktësisht ng vtrt F 1 dhe F, jnë: 5 5 r1 6 ( 15) 19, r 6 ( 15) 31 3 3 Tngentet e hiperbolës. Drejtëz (t) e cil k me hiperbolën (h) një dhe vetëm një pikë të përbshkët është tngente e hiperbolës në të pikë. Në qoftë se P(x 0, y 0 ) është pikë e hiperbolës x y ( h) : 1, b tëhere ekucioni i tngentes në pikën P 0 të sj është x0x y0y 1. b (Për këtë fkt lexuesi mund të bindet me në rsyetimesh të ngjshme me to që kemi tregur për tngenten e elipsit në një pikë të tij.) Probleme 4.3 Në ushtrimet ng 1-4 gjeni ekucionin për hiperbolën me vtr F 1 dhe F dhe kulme A 1 dhe A. 1- F 1 (5, 0), F (-5, 0), A 1 (3, 0), A (-3, 0) - F 1 (5, 0), F (-5, 0), A 1 (4, 0), A (-4, 0) 131

3- F 1 ( 13, 0), F (- 13, 0), A 1 (3, 0), A (-4, 0) 4- F 1( 5,0), F (- 5,0), A 1( 3,0), A (- 3,0) Në ushtrimet ng 5-8 gjeni koordintt e kulmeve dhe të vtrve si dhe ekucionin e simptotve të hiperbolës me ekucion të dhënë. x y 5 1 5 16 x y 6 1 8 4 y x 7 1 16 5 y x 8 1 16 9 9- Gjeni ekucionin krtezin të hiperbolës me vtr në pikt F 1 (4, 0), F (-4, 0) dhe që përmbn pikën S(14, 4). 10- Gjeni ekucionin e hiperbolës me bosht kryesor boshtin Ox dhe që përmbn pikt S(, 1) dhe T(4, 3) x y 11- Tregoni që gjërësi vtrore e hiperbolës me ekucion 1 b ështe b.( Gjërësi vtrore do të qujmë gjtësinë e segmentit, mesi i të cilit ndodhet në një ng vtrt e hiperbolës, është pingul me boshtin e hiperbolës dhe dy skjet e tij ndodhen në hiperbolë) 1- Gjeni ekucionin e hiperbolës me qender në origjinën e koordintve, me gjërësi vtrore 36 dhe me vtër F (-1,0). 13- Tregoni që në qoftë se x >x 1 dhe y >y 1, tëhere 13

x x y y 1 1 y x 1 1 0 1 14- Përcktoni grfin me ekucion të dhënë në ushtrimin 13 në rstin kur (x 1, y 1 )=(0, 0), por (x, y ) (0, 0). 4.4 Prbol Bshkësinë e pikve të plnit, çdo pikë e së cilës lrgesën ng nje drejtëz fikse e k të brbrtë me distncën ng një pikë fikse F do t qujmë prbolë (fig 4.9). Pik F quhet vtër e prbolës dhe drejtëz quhet vijë drejtuese (direktrisë). Drejtëzën që përmbn vtrën e prbolës dhe është pingul me direktrisën e qujmë bosht të prbolës. Pikën e prerjes të prbolës me boshtin e qujmë kulm të prbolës. Duket qrtë që prbol është simetrike në lidhje me boshtin e sj. Më poshtë po nxjerim ekucionin e prbolës me bosht simetrie boshti Oy me direktrisë (vijë drejtuese) drejtëzën me ekucion y=-p dhe me vtër piken F(0, p). (fig 4.10) F Fig 4.9 y F(0, u-f p) f u M(x,y) O u-ë y=-p Ë(x,-p) x Fig 4.10 133

Le të jetë M(x, y) një pikë çfrdo e prbolës si në figurën 4.10.Në bzë të përkufizimit të prbolës kemi: u -f = u - ë, Duke zvendësur në ekucionin e mësipërm do të kemi: ( x, y) (0, p) ( x, y) ( x, p), x ( y p) 0 ( y p), x ( y p) ( y p), x y py p y py p, x 4 py p Në qoftë se ekucioni i direktrisës (vijës drejtuese) do të ishte: y, tëhere ekucioni i prboleës do të ishte: x =py Në mënyrë nloge do të tregonim se ekucioni i prbolës bosht simetrie boshtin Ox dhe me direktrisë drejtëzën me ekucion x=-p është: y =4px ose y p =px kur direktris k ekucionin: x. Ne prgrfet psrdhëse do të shqyrtojmë ekucionin e përgjthshëm të prbolës. Shembull 1 Gjeni koordintt e vtrës F dhe ekucionin e direktrisës së prbolës me ekucion y =-8x. Zgjidhje Duke u bzur në formën stndrte të ekucionit të prbolës, nxjerim se p=-. Në këtë mënyrë nxjerim që vtr F k koordint (-, 0) dhe ekucioni i direktrisës do të jetë x=. 134

Shembull Gjeni koordintt e vtrës dhe ekucionin krtezin të direktrisës të prbolës që k kulmin në origjinën e koordintve dhe që klon në pikt S(-3, 3) dhe T(3, 3). Zgjidhje Duket qrtë që pikt S(-3, 3) dhe T(3, 3) jnë simetrike në lidhje me boshtin Oy. Kështu form stndrte e ekucionit të prbolës do të jetë x =4py. Duke zëvendësur koordint e pikës S ose T në këtë ekucion do të përftonim; 9=1p, ose 3 p. 4 3 Në këtë mënyrë koordintt e vtrës jnë 0, dhe ekucioni i 4 3 direktrisës është y. 4 Shembull 3 Duke përdorur përkufizimin e prbolës gjeni ekucionin krtezin të sj me vtër pikën F(3,4) dhe direktrisë x=7. Zgjidhje Duke psur prsysh figurën 4.11, një pikë çfrdo M(x, y) ndodhet mbi prbolë tëhere dhe vetëm tëhere kur Duke zëvendësur do të kemi: u -f = u - ë 135

( x, y) (3,4) ( x, y) (7, y), ( x 3) ( y 4) ( x 7) 0. Duke cur të dy nët në ktror dhe duke kryer veprimet mrrim: y -8y+8x-4=0 Probleme 4.4 Në ushtrimet ng 1-3 duke përdorur përkufizimin e prbolës, gjeni ekucionin krtezin të prbolës me vtër dhe direktrisë të dhënë. 1- F(5, ); ekucioni i direktrisës x=1. - F(4, -5); ekucioni i direktrisës y=1. 3- F(8, 0); ekucioni i direktrisës x=1. Duke ditur se form e përgjithshme e ekucionit krtezin të prbolës me bosht prlel me boshtin Oy është y=x +bx+c, në ushtrimet ng 4-6, gjeni ekucionin krtezin të prbolës që klon në tre pik të dhën Q, S, T. 4- Q(0, 1), S(1, 6), T(-1, 0). 5- Q(0, 3), S(1, 3), T(, 1). 136

6- Q(0, -5), S(1, -), T(-, 7). 7- Tregoni që ekucioni krtezin i prbolës me vtër F(0, p) dhe me direktrisë me ekucion x=-p është y =4px. 8- Tregoni që gjërësi vtrore e prbolës me ekucion x =4py është 4 p. (Gjerësi vtrore të prbolës do të qujmë gjtësinë e segmentit, mesi i të cilit ndodhet në vtër, është pingulme boshtin e prbolës dhe dy skjet e tij ndodhen në prbolë). 9- Gjeni ekucionin krtezin të rrethit që përmbn kulmin e prbolës si dhe dy skjet të segmentit, gjtësi e të cilit përbën gjërësinë vtrore të prbolës me ekucion x=4py. 10- Tregoni që rrethi dimetri i së cilit është i brbrtë me gjerësinë vtrore të prbolës me ekucion x =4py, është tngent me direktrisën e kësj prbole. 4.5 Ekucioni polr i vijës. Shndërrimi i koordintve. 4.5.1 Sistemi koordintiv polr Deri tni ne kemi operur me sistem koordintiv krtezin në pln. Në këtë prgrf ne do te diskutojmë një sistem tjetër të dobishëm në pln të cilin do t qujmë sistem koordintiv polr. Le të jetë një reze me origjinë në pikën O Për çdo pikë M të plnit le të jetë një reze që klon në pikën M dhe me origjinë në pikën O dhe këndi që formon rezj me rezen. Do të biem dkort që si kh pozitiv për mtjen e këndeve do të mrim khun e kundërt të rrotullimit të krepve të orës. Në këtë mënyrë si duket edhe në figurën 4.1, pik M është e 137

përcktur në mënyrë të plotë prej çiftit koordintiv (r,), ku r është lrges ng pik O tek pik M dhe këndi që formon rezj me rezen. (Si vihet re nuk është i kufizur, sikurse ndodh me këndin ndërmjet dy 0 vektoreve ku këndi merr vlert 0 360 Në këtë mënyrë çiftin koordintiv (r,) do t qujmë çiftin e koordintve polre të pikës M. Rezen do t qujme boshtin polr, dhe pikën O do t qujmë pol. Në qoftë se një pikë M k çiftin polr r,. Si shikohet pik M mund të përcktohet ng një infinitet çiftesh të formёs r, k. Shembull 1 Ndërtoni pikën M me koordint polre (, -85 0 ).(fig 4.13) Zgjidhje Së pri ndertojme rezen e cil formon këndin -85 0 me boshtin polr. Mbi kete rreze fiksojme piken M, me lrgesi njesi ng poli. Deri tni ne kemi trjtur ndertimin e pikve ne pln ku ne çiftin koordintiv polr (r,), r është një numur jonegtiv.në dis situt të ne mund t hsim edhe si numur negtiv.në këtë rst në qoftë se pik M k çiftin koordintiv (r,), ku r<0, tëhere pikën M ne mund t ndërtojmë duke ndërtur pikën me koordint polre (-r, +). Pikërisht kjo pikë do 138

të përfqësojë pikën M(r,). Le t ilustrojmë këtë me figurën e mëposhtëme.(fig 4.14) Siç tregohet dhe ne figurën e mësipërme, në fillim ndërtojmë pikën S me koordint polre (-r, ). Zgjtim rezen polre të pikës S në drejtimin e kundërt të sj dhe mbi këtë zgjtim në lrgësinë r ng poli fiksojmë pikën M të kërkur. Le të trjtojmë lidhjen mindis koordintve krtezine dhe polre të një pike M të plnit. Siç tregohet në figurën 4.15 si pol i një sistemi koordintiv polr, zgjedhim origjinën e një sistemi koordintiv krtezin këndrejtë në pln dhe si bosht polr, pjesën jonegtive të boshtit të bshisve. 139

Le të zëmë se pik M k çiftin kordintiv krtezin (x, y) dhe të polr (r, ). Siç shihet ng figur këto koordint jnë të lidhur sips relcioneve: x=r cos dhe y=r sin. (1) Në rstin kur x +y 0, do të kemi: x y r x y, cos, sin. () x y x y Shembull ) Gjeni koordintt krtezine të pikës me koordint polre (3, 10 0 ). b) Gjeni dy çifte polre, njërin me r>0 dhe tjetrin me r<0 për pikën me koordint krtezine (, ). Zgjidhje Duke zbtur relcionet (1), do të mrrim: 1 3 x r y 0 cos 3cos10 3( ), 3 3 3 0 rsin 3sin10 3( ) 3 3 3 Ne kete menyre ( xy, ) (, ). b) Duke zbtur relcionet () ne do te kemi: r x y ( ) ( ) 4 ; cos dhe sin. Në këtë mënyrë për r>0, do të kemi: - r=, cos, dhe sin = 140

0 0 Meqenëse cos 315 dhe sin 315 ; një çift koordintiv polr me r>0 do të të jetë (, 315 0 ) Në mënyrë të ngjshme, për r<0 ne do të kemi: r=-, cos, dhe sin ; Në këtë mënyrë çifti koordintiv me r<0 është : (-, 135 0 ). 4.5. Ekucioni vijës në koordint polre Në prgrfin e mësipërm ne tregum se koordintt krtezine dhe to polre lidhen sips relcioneve: x r cos, y r sin, dhe për x y 0, do të kemi: x y r x y, ose cos, sin x y x y. Këto relcione mund të përdoren për të shndërrur ekucionin krtezin të një vije në ekucion polr dhe nsjellts. Shembull 1 Shndërroni ekucionin y=x+3 në një ekucion polr të formës r=f(). Zgjidhje Dime që ndërmjet koordintve polre dhe krtezine ekzistojnë lidhjet: y=r cos, y=r sin, Duke zvendësur tek ekucioni krtezin i dhënë do të kemi r sin()=r cos()+3. Ng ku mund të përftojmë: r(sin-cos)=3 141

ose 3 r. sin cos Ng ekucioni polr i mësipërm duket qrtë se vlert e për të cilën sin=cos, nuk ndodhen në fushën e ndryshimit të. Shihet qrtë se vlert e ndlur jnë: k, k numur i plotë. 4 Shembull Shndërroni ekucionin polr : 1 r 1 cos në një ekucion krtezin dhe skiconi grfin e këtij ekucioni. Zgjidhje Duke përjshtur vlert e për të cilën 1-cos=0, ne mund t rishkrujmë ndryshe ekucionin polr r(1-cos)=1 ose r-r cos=1. Duke përdorur formult që lidhin koordintt polre me to krtezine, përftojmë ekucionin e mëposhtëm: x y x x y 1 x. Duke i ngritur në ktror të dy nët e ekucionit të fundit, do të kemi: x +y =1+x+x, ose y =x+1. Shihet qrtë se ekucioni i fundit është ekucioni i një prbole me kulm 1 në pikën me koordint (,0) (fig. 4.16). 1, 14

y (-1/,0) (0,1 ) O x Figur 4.15 (0,-1) Është e ntyrshme që çdo ekucion polr shtu si dhe ekucioni krtezin prqet një grf. Grf të një ekucioni polr në një pln koordintiv polr është bshkësi e të gjith pikve të plnit, që knë të pktën një çift polr (r,) që kënq ekucionin polr. E kemi theksur më lrt që një pikë mund të ketë një pfundësi çiftesh koordintive polre. Është e qrtë që një pikë që ndodhet në grf mund të ketë dis çifte koordintsh polre që nuk kënqin ekucionin.për shembull çifti koordintiv polr (-3, 180 0 ), nuk e kënq ekucionin r=3. Megjithtë pik me këto koordint polre ndodhet në grfin me ekucion r=3. Shembull 3 Skiconi grfet e ekucioneve polre të mëposhtme: () r=3, (b) =45 0, (c) r=3 cos, (d) r=sin. Zgjidhje () Meqenëse r është konstnt, kjo do të thotë që është e njëjtë për të gjith vlert e. Pr çdo pikë koordintt e së cilës jnë të formës (3, ) është në grf dhe nsjellts. Në këtë mënyrë grfi i ekucionit () do të jetë një rreth me qendër në pikën O dhe reze r=3, si është tregur më poshtë. (fig. 4.17) 143

(b) Meqenëse është konstnt, tëhere jo është e njëjtë për të gjith vlert e r. Në këtë mënyrë çdo pikë koordintt e së cilës jnë të formës (r,45 0 ) ndodhet në grf dhe nsjellts. Në këtë mënyrë grfi është një drejtëz që klon në pol dhe formon këndin 45 0 me boshtin polr. Pikt për të cilën r>0 ndodhen në kudrtin e prë dhe pikt për të cilën r<0 ndodhen në kudrtin e tretë. I lihet lexuesit të ndërtojë këtë grf (c) r=3cos. Grfi me ekucion polr r=3cos, është një rreth me qendër në pikën Q ( 3,0). I lihet lexuesit të tregojë në detje ndërtimin e këtij grfi. (fig. 4.18) 144

Më poshtë po jpim dis rregull të përgjithshme që duhet t i kemi prsysh gjtë ndërtimit të një grfi të dhënë me ekucion polr: 1. Në qoftë se duke zëvendësur me -, ekucioni polr nuk ndryshon, tëhere grfi me këtë ekucion do të jetë simetrik në lidhje me boshtin polr.. Në qoftë se duke zëvendësur me -, ekucioni polr nuk ndryshon, tëhere grfi me këtë ekucion polr do të jetë simetrik në lidhje me drejtëzën që k ekucion polr:. 3. Në qoftë se duke zvendësur tek ekucioni polr r me r, ekucioni polr nuk ndryshon, tëhere grfi me këtë ekucion polr do të jetë simetrik në lidhje me polin. 4. Në qoftë se duke zëvendësur tek ekucioni polr me, ekucioni polr nuk ndryshon, tëhere grfi me këtë ekucion polr do 145

të jetë simetrik në lidhje me drejtëzën që k për ekucion polr ekucionin:. 4 4.5.3 Ekucioni polr i konikeve Le të konsiderojmë një pjesë të konikes që e k vtrën në pol dhe drejtëzën me ekucion krtezin të formës x=-p, (p>0) si vij drejtues e sj, si në figurën 4.19. Në pjesën e konikeve e kemi theksur që rporti i lrgësisë të një pike çfrdo të konikes ng vtr, me lrgësinë e sj ng vij drejtuese që ndodhet në nën e vtrës, është një mdhësi konstnte dhe e brbrtë me d( O,M) jshtëqëndërsinë e kësj konike, d.m.th d(, M) ose d( O,M) [ d(, M )] Është e qrtë që, d( O,M ) r 146

Në qoftë se shënojmë me l(q, R) dhe l(r, M), përktësisht lrgest ng pik Q tek R dhe ng pik R tek M, tëhere do të kemi: d(, M) l( Q,R) l( R,M ) p r cos. Duke kryer zvendësimet do të mrim: r p r cos, r ( p r cos ). pr mrrim dy ekucione: r p r cos dhe r ( p r cos ). Meqenëse këto dy ekucione prqesin të njëjtin grf (Pse?), ne mund te mrim vetëm njërin prej tyre, pr: r p r cos ose përfundimisht p r 1 cos (). Ekucionin () do t qujmë form polre e ekucionit të një konike, me vtër në pol dhe me vijë drejtuese vijën me ekucion x=-p Kuptohet se për <1 kemi elips, >1 kemi hiperbolë dhe =1 kemi prbolë. Në qoftë se ng vtr O klojmë pingulen me boshtin Ox, duke shënur me N pikën e prerjes së sj me koniken dhe ON=q, do të kemi: q p ose q p, ng ku ekucioni (*) do të mrë formën: q r 1 cos Shembull 1 Emëroni, gjeni ekucionin krtezin dhe skiconi grfin e ekucionit polr: 4 r cos 147

Zgjidhje Duke fktorizur në emërues do të përftojmë ekucionin në formën: r 1 1 cos Duke psur prsysh ekucionin () del se 1 dhe p= Në këtë mënyrë vij e kërkur është nje elips gjithshtu kemi që p=4, kështu ekucioni i vijës drejtuese është x=-4. Për të skicur grfin e këtij ekucioni polr, së pri gjejmë dis pik të vijës. Duke zvendësur 0, 90, 180 dhe 70 në vlert e në ekucionin polr, do të përftojmë r=4,, 4 3 dhe respektivisht. Në këtë mënyrë pikt (4, 0 0 ), (, 90 0 ), ( 4 3, 1800 ) dhe (, 70 0 ) ndodhen në elips. Duke njohur këto pik ne mund të ndërtojmë vijën si më poshtë (fig. 4.0) 148

Probleme 4.5 Në ushtrimet e mëposhtme 1-6 ndërtoni pikt me koordintt polre të dhën: 1. (3, 5 0 ) 7 4. (1, ) 6. (, 10 0 ) 5. (-1, 40 0 ) 5 3. (, ) 6. (, ). 6 Në ushtrimet ng 7-1 gjeni dy çifte të koordintve polre, një me r>0 dhe tjetri me r<0, për pikt koordintt krtezine të së cilve jepen me poshtë: 7. (3, -3) 8. (1, ) 10. (-4, -43) 9. (0, 5) 11. (0, -4) 10. (3, -3) 1. (, -) 13. Tregoni që në qoftë se pik S(x 1, y 1 ) k koordint polre (r, ) dhe pik T(x, y ) k koordint polre (-r, ), tëhere x 1 =-x dhe y 1 =-y. 14. Tregoni që në qoftë se pik S(x 1, y 1 ) k koordint polre (r, ) dhe pik T(x, y ) k koordint polre (r, -), tëhere x 1 =x dhe y 1 =-y. Në ushtrimet ng 15-0, shndërroni ekucionin e dhënë krtezin në një ekucion polr të formës r=f() 15. x +y =5 18. 3x +4y =5 16. x +y=0 19. x -y =16 17. y=x-4 0. xy=4 149

Në ushtrimet ng 1-6, trnsformoni ekucionet e dhën polre në ekucione krtezine: 1. r=4 4.. r=4sin 5. 5 3. r 6. sin cos 3 r 3 cos 3 r sin r 5 cos 7. Tregoni se ekucioni polr i një rrethi me reze dhe qendër në pikën Q(r 1, 1 ) është: r rr cos( ) r 0. 1 1 1 Në ushtrimet ng 8-34 ndërtoni grfet me ekucionet polre të dhën më poshtë: 8. r=4 9. =60 0 4 35. r cos 30. r=sin 36. r 1 sin 31. r=sin3 37. r= (spirlj e rkimimedit) 3. r=(1-cos) (krdoid) 33. r=4-sin 34. r =cos (leminiskt) 38. Shkruni ekucionet polre të prbolve, vijt drejtuese të të cilve knë ekucione krtezine përktësisht x=-4 dhe y= 150

39. Shkruni ekucionet polre të elipsve me jshteqëndërsi përktësisht 3 4 dhe dhe me vij drejtuese përktësisht me ekucione 3 krtezine y=-6 dhe x=4. 40. Shkruni ekucionet polre të hiperbolve me jshteqëndërsi përktësisht dhe 3 dhe me vij drejtuese, përktësisht me ekucione x= dhe y=6. 41. Tregoni se ekucionet: p p r dhe r 1 cos 1 cos jnë ekucione të të njëjtit grf. 4.5.4 Zbtime të formulve të shndërrimit të koordintve nw vijt e grdws sw dytw Si kemi përmendur më lrt në këtë kpitull, ekucioni i formës : Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0, (1) ku A +B +C >0, quhet ekucioni i një vije lgjebrike të grdës së dytë.në qoftë se B=0, ekucioni merr formën: Ax +Cy +Dx+Ey+F=0 dhe ne mund të identifikojmë vijën duke plotësur ktrorët e x dhe y dhe duke kryer një zhvendosje prlele të boshteve koordintive. Në qoftë se B 0, ne nuk mund të identifikojmë drejtpërdrejt grfin e këtij ekucioni me në të kësj metode. Duke përdorur rrotullimin e boshteve koordintive, me në të formulve të shndërrimit ne mund fitojmë një ekucion që nuk përmbn termin x 1 y 1. Në qoftë se boshtet i rrotullojmë me një kënd, tëhere koordintt e rej dhe të vjetr do të lidhen sips formulve: x x1cos y1sin (*) y x1sin y1cos 151

Në qoftë se këto vler i zëvëndësojmë në ekucionin (1), do të përftojmë ekucionin: A 1 x 1 +B 1 x 1 y 1 +C 1 y 1 +D 1 x 1 +E 1 y 1 +F 1 =0 () Duke kryer veprimet del se: A1 Acos Bsin cos C sin, B1 ( C A)sin cos B(cos sin ), C1 Asin Bsin cos C sin, (*) D1 D cos E sin, E1 Dsin E cos, F1 F Për të mënjnur termin x 1 y 1, duhet që B 1 =0, pr: B1 ( C A)sin cos B(cos sin ), i cili është ekuivlent me ekucionin: ( C A)sin B cos 0 (3) Shqyrtojmë dy rste: 1) A=C dhe ) A C. 1) Në qoftë se A=C, ekucioni (3) do të mrë formën: Bcos 0, ng e cil do të kemi: cos 0 (Pse?). Vlert e që kënqin këtë ekucion jnë: k, k Z. Pr, k( ), k Z. Vler më e vogël positive e në këtë rst 4 është 4. Duke bërë rrotullimin e boshteve Ox dhe Oy me këtë kënd, ne eliminojmë B 1 ng ekucioni (). ) A C, tëhere ekucioni (3) do të jetë i njëvlershëm me ekucionin: sin B ( AC)sin Bcos, cos B ose tg A C A C. 15

Në këtë rst zgjedhim një vlerë të që verteton këtë ekucion trigonometrik me kushtin që 0 dhe bëjmë rrotullimin e boshteve me këtë kënd, duke mënjnur B 1 në ekucionin (). Shembull Të përcktohet dhe të ndërtohet grfi me ekucion: x -3xy+5y -4=0. Zgjidhje 3 3 Në këtë rst kemi: A=1, B=-3 dhe C=5 dhe tg. 1 5 4 Zgjedhim këndin të tillë që 0. Me qënëse tg 0ne mund zgjedhim 0. Zgjedhim këndin që plotëson kushtin: 4 4 3 cos, dhe sin =, i cili plotëson kushtet e mësipërme. 5 5 Duke përdorur formult: 1 cos 1-cos cos, sin =, ne pëcktojmë : 4 4 1 1-5 3 5 1 cos dhe sin =.Në këtë rst kemi mrrë 10 10 vlert positive për cos dhe sin, sepse 0. 4 Duke përdorur këto vler në formult e shndërrimit të koordinrve në rstin e rrotullimit, do të kemi: 153

3x1 y1 x 10 x1 3y1 y 10 Duke zëvendësur këto shprehje në ekucionin e grfit do të kemi: x1 y1 5x1 55y1 40, ose 1. 8 8 11 Ky është ekucioni i një elipsi, grfin e të cilit po e prqesim më poshtë (fig. 4.4). Duke u bzur në brzimet (*), ne mund të mrrim direkt informcione për grfin që prqetet me në të një ekucioni të përgjithshëm të grdës së dytë me dy ndryshore. Duke mbledhur në për në brzimet 1 dhe 3 do të kemi: A1 C1 A(cos sin ) C(cos sin ) A C Njëlloj tregohet që : 4A 1 C 1 -B 1 =4AC-B 154

Numri 4AC-B quhet krkteristikë e ekucionit (1). Brzimet e mësipërme tregojnë se ky numër dhe numri A+C jnë invrinte në lidhje me rrotullimin. Qëllimi i rrotullimit të boshteve është të shndërrojë ekucionin në një ekucion tjetër me B 1 =0. Ng invrinc e numrit 4AC-B, në qoftë se B 1 =0, do të kemi: 4A 1 C 1 =4AC-B. (4) Tregohet se ekucioni i formës: A 1 x C 1 y +D 1 x+e 1 y+f 1 =0, ku A 1 dhe C 1 nuk jnë njëkohësisht 0, prqet një grf të tipit eliptik, në qoftë se A 1 C 1 >0, të tipit prbolik në qoftë se A 1 C 1 =0 dhe hiperboloik në qoftë se A 1 C 1 <0. Duke u bzur në pohimet e mësipërme si dhe në brzimin (4), ne nxjerim si përfundim : Ekucioni i përgjithshëm i grdës së dytë: Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 prqet: 1) Grf të tipit eliptik në qoftë se 4AC-B >0, ) grf të tipt prbolik në qoftë se 4AC-B =0, 3) grft ë tipit hiperbolik në qoftë se 4AC-B <0. Më poshtë po jpim një tbelë e cil shpreh klsifikimin e vijve lgjebrike të grdës së dytë me në të koeficentëve të ekucionit: Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0. 155

Probleme 1- Në ekucionet e grdës së dytë ng 1-6 gjeni vlerën për sin dhe cos, në mënyrë që rrotullimi i boshteve me kënd të mënjnojë termin xy. 1) x +xy+y +x-4y+5=0 ) x -5xy+y -7x+8y-3=0 3) x + 3 xy+5y +x-3y+8=0 4) 3xy- 3y +7x-4y+10=0 5) x +3xy-y +5x-4y-13=0 6) x +4xy+5y -8x+3y+1=0. - Në ushrimet ng 1-6, duke përdorur krkteristikën, të përcktohet tipi i grfit me ekucion të dhënë. Skiconi grfet me ekucione të dhën. 1) 3x +xy+3y =16 ) x -3xy+y =5 3) 3x +4 3xy-y =15 4) x +3xy-y =5 5) 7x -4xy+4y =40 6) 5x -1xy=10 3- Në ekucionet ng 1-7, duke përdorur rrotullimin e boshteve Ox dhe Oy, mënjnoni termin xy dhe duke përdorur zhvendosjen prlele mënjnoni termt e grdës së prë. 1) 3x +10xy+3y -x-14y-5=0 ) 4x +4xy+y -4x+38y-139=0 3) x - 3xy+ 3x-3y-3=0 4) 3xy-4y +x-y+1=0 5) x +xy+y +x-4y+5=0 6) x -5xy+y -7x+8y-3=0 4-Tregoni që krkteristik 4AC-B e ekucionit Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 është invrinte në lidhje me rrotullimin e boshteve. 156

4.6 Kordintt cilindrike dhe sferike. Në prgrfin prrdhës, theksum se koordintt polre në pln në dis rste jnë shumë më të përdorëshme se koordintt krtezine. Në hpësirë ekzistojnë sisteme koordintive tepër të përdorshme, përveç sistemit koordintiv krtezin. Kështu një ng kët është sistemi i koordintve cilindrike. Për të prë se si mund të ndërtojmë një sistem koordintiv të tillë në hpësirë, konsiderojmë një pln dhe një drejtëz pingul me plnin në pikën O (fig 4.5). Duke përdorur pikën O si pol formojmë një sistem koordintiv polr në plnin, shtu si e kemi theksur në prgrfin prrdhës dhe mbi drejtëzën mrrim një bosht të cilin do t qujmë bosht të pliktve (boshti Oz) me origjinë në pikën O. Si është tregur në figurën 4.5, çdo pike M të hpësirës mund ti vemë në korespodencë treshen e renditur (r,, z) të numrve, ku z është lrges e pikës M ng plni, ndërs (r, ) jnë kordintt polre të M në lidhje me sistemin polr, ku M është projeksioni kënddrejtë i pikës M mbi plnin. Treshen e renditur (r,, z) do t qujmë koordint cilindrike të pikës M. M z O r M fig. 4.5 157

Meqenëse çifti kordintiv polr i një pike në plnin nuk është i vetëm, tëhere edhe treshj koordintive (r,, z) nuk është e vetme për pikt e hpësirës. Është përdorur termi cilindrike sepse për çdo konstnte pozitive c, grfi me ekucion r=c është një cilindër me reze r dhe me bosht boshtin Oz. Duke orientur sistemin e koordintve cilindrike në mënyrë të tillë që boshti polr t i korespondojë boshtit pozitiv te Ox në një sistem koordintiv krtezin, boshti Oz i njejtë për të dy sistemet, r>0, =90, z=0 ti korespondojë boshti pozitiv Oy, ne mund gjejmë lidhjet mindis koordintve krtezine dhe tyre cilindrike (fig. 4.6) Shihet qrtë që khu pozitiv i rrotullimit është i njëjtë me të të sistemit polr në pln. Si tregohet në figurë për x +y 0, kemi: x y r x y, cos, sin ; () x y x y 158

ose x r cos, y r sin dhe z z () Shembull 1 Gjeni koordintt cilindrike të pikës M koordintt krtezine të së cilës jnë: (3, -1, 3). Zgjidhje Ng ekucionet (), duke mrrë x=, y=-1 dhe z=3 r ( 3) ( 1) 4. 3 Po të zgjedhim psh në mënyrë rbitrre r=, tëhere cos dhe 1 11 sin. Në këtë mënyrë kemi që k, ku k është numër i 6 plotë. Duke mrrë, p.sh, k=0 dhe duke ptur prsysh që z=3, tëhere 11 koordintt cilindrike të pikës M jnë (,,3). Njëlloj do të kishim 6 veprur po të zgjidhnim r=-. Shembull Gjeni ekucionin në koordint cilindrike të grfit me ekucion krtezin: x +y -4z =0 Zgjidhje Duke u bzur në formult (), ne mund të zëvendësojmë x +y me r dhe kështu përftojmë: r -4z =0 Atëhere r=z ose r=-z.meqenëse grfet e këtyre dy ekucioneve jnë të njëjt ne mund të mrrim cilindo prej tyre, p.sh, r=z. 159

Një sistem tjetër shumë i përdorshëm në hpësirë, është edhe sistemi i koordintve sferike. Dimë që një vektor në hpësirë është i përcktur ng gjtësi e tij dhe ng këndet që formon i me boshtet koordintive. Në këtë mënyrë ne mund të përcktojmë një pikë duke përcktur gjtësinë dhe këndet që formon me boshtet koordintive vektori që bshkon origjinën O me pikën M. Meqenëse këndet që formon vektori me boshtet koordintive nuk jnë të pvrur, ne mund të përcktojmë pikën M duke mrrë në konsidertë vetëm dy kënde. Le të jetë M projeksioni i pikës M në plnin Oxy. Si shikohet M është pikëprerj e plnit Oxy me drejtëzën që klon ng pik M pingul me plnin Oxy. Nëqoftë se shënojmë me lrgesën e pikës M ng pik O me, këndin që formon rezj vektore me boshtin Oz dhe këndin që formon rezj vektore me boshtin Ox, tëhere treshj e renditur (,, ) përbën koordintt sferike të pikës M. Termi sferike k të bëjë me fktin që në një sistem të koordintve sferike grfi i ekucionit =c, prqet një sferë me qendër në origjinën e koordintve dhe me reze c. Ashtu si dhe kordintt cilindrike edhe koordintt sferike nuk jnë të vetme.sidoqoftë të gjithë pikt përveç tyre të boshtit Oz mund të bëhen të vetme duke bërë kufizime për vlert e, dhe të. Kështu duke vënë kufizimet si më poshtë: 0, 0<, 0 çdo pikë k vetëm një treshe (,,) të koordintve sferike. Duke prë figurën 4.7, mund të përcktojmë lidhjen ndërmjet koordintve krtezine dhe tyre sferike si më poshtë: x= sin cos, y= sin sin, z= cos. 160

Në qoftë se x +y 0, tëhere x y cos, sin x y x y cos z x y, sin x y z x y z Shembull 1 Shkruni ekucionin krtezin të grfit, ekucioni i të cilit në koordint sferike është: sin cos Zgjidhje Duke përdorur formult që shprehin lidhjet ndërmjet koordintve krtezine dhe tyre sferike do të mrrim: x y z x y x ( )( ). x y z x y Në këtë mënyrë duke kryer veprimet mrrim ekucionin: x +y +z -x=0. Pr, është e qrtë që kemi të bëjmë me ekucionin e një sfere me qendër në pikën Q(,0,0 ) dhe me reze. 161