o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

010-011 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση

Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 1 Δίνεται η συνάρτηση g με g () = - 1. A) Για ποιες τιμές του R έχουμε g () = 0; B) Για ποιες τιμές του R η γραφική παράσταση της συνάρτησης g () βρίσκεται κατω από τον άξονα Να βρείτε: τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f 1, h 1, φ 1 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: f() log(9 ) Β) f() 1. 4 f e 1 Ε) f 1 1 5 Ζ) f 1 εφ Δ) f ημ ημ ² 5 ΣΤ) g 4 Η) f() Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων 4 f ln 1 h ln ln 5 k 1 φ() ln r t() = log(-log) 4 Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: 1 f Β) ρ() = ln 1 φ() =e +1 - Δ) g 1 Ε) σ() = ln Ζ) π()=ημ(+ π ) 5 Aν f() = ln(+1)και g() = 4 οριστούν οι συναρτήσεις: f + g, f.g f/g. Να 6 Να βρείτε τα κοινά σημείο των αξόνων με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων A f() = - -5- B f() = e - -1 f 1 ln 7 Εξετάστε αν οι συναρτήσεις με τύπους: f Β) f και g()= 1 1 και g f() = ln 4 και g() = 4ln είναι ίσες. Στην περίπτωση που δεν είναι, να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο, του, στο οποίο είναι ίσες. 8 Να βρεθούν τα σημεία τομής με τους άξονες των συναρτήσεων: f()= - και g()= -1 καθώς και τα κοινά τους σημεία. 1 9 Δίνεται η συνάρτηση f log. 1 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. β) Να δείξετε ότι : f( 1)+f( )=f 1 για κάθε 1 1 1, του πεδίου ορισμού της f. 1 10 Αν f τότε να αποδείξετε ότι 1 1 f 1 1 f() και f f() 11 Έστω η συνάρτηση f() α 5 β 1 A) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β, έτσι ώστε τα σημεία (, 5) και (1,0) να ανήκουν στη C f. B) Να μετασχηματιστεί ο τύπος της συνάρτησης σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει f() 0. 1 Δίνεται η συνάρτηση f Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α 1,f(1) και Β 1, f( 1) 1 Δίνεται η συνάρτηση f α Nα βρεθεί το α ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο Μ(4,) 14 Aν για μια συνάρτηση f ισχύει A) f( )+f()=, τότε να βρείτε το f(0) και το f(1) 1 B) f () f =, 0, τότε να βρείτε το f(). 15 Έστω η ευθεία: y (λ λ) 1 Αν διέρχεται από το σημείο (1,-1) να βρεθεί το λ Β) Για ποιες τιμές του λ η είναι παράλληλη προς το Ποια τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες 16 Nα εξετάσετε την μονοτονία των συναρτήσεων f g ln1 1 h e k, >0 1 10.09

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων 010 011 ΚΕΦ1 17 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 7 1 e Β) 4 1 Δ) 1 1 Ε) 1 1 1 18 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: A) Ε) 9 1 1 1 t 4t 4t t (t )(t ) ( ) B) 9 7 10 Δ) 5 15 1 ΣΤ) 1 1 19 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Ε) π συν 1 ημ 9 1 7 6 1 5 6 Β) 4 1 5 Δ) 4 4 0 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 5 8 4 1 1 5 Β) 4 16 Δ) 1 1 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 1 4 1 1 1 Β) 0 5 Δ) 5 6 5 ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 5 Β) 0 5 5 Δ) 4 4 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 1 1 1 1 1 Β) 4 16 9 Δ) 5 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Ε) 7 1 1 8 4 7 4 Β) 0 ² 4 ² Δ) 1 1 Στ) 6 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 7 7 ² 7 1 1 0 1 1 Δ) 9 Β) 16 4 7 Αν f() 4 τότε α α 4 α ) β ) 4 10 5 5 5 Ε) 10 5 ( 4 ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο 4 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Β) 0 1 1 1 4 5 1 Δ) 5 5 0 4 4 Ε) 9 Στ) 1 10.09

8 Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους των συναρτήσεων: A) f 11 B) f ln f ln Δ) f ημ συν Ε) f α ΣΤ) f ημ e ημ Ζ) f, α R e e Η) f α 1, α R Θ) f 1 1 ln Ι) f Ι f 1 ΙΒ) f ημσυνθ 4, θ R Ι f() e 1 ΙΔ) f 1 ΙΕ) 1 f 1 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ κίνηση δίνεται συναρτήσει του χρόνου t από τον τύπο ημ Ιστ) f 1 εφ 9 Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους των συναρτήσεων: e 1 A) f e 1 B) f 1 f ln(² e) Δ) f εφ 1 Ε) f συν ΣΤ) f 1 ημ 1 συν Ζ) f ημσυν Η) f ln ln Θ) f ημ συν e 1 Ι) f ln 1 1 Ι f e e ΙΒ) f e ημ Ι f 1 συν 0 Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων: 1 Να αποδείξετε ότι : f ln και g() ln(ημ) ημ Αν f τότε f f f 0. Β) Αν f e ημ τότε f f f 0 Αν f() e τότε f () f () 4e 0 s(t)= t -t. Να βρείτε: α) Τη μέση ταχύτητα του κινητού στο,4 β) Τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t 4 Αν f() e λ f () f () f (0)f() 8f() 0, να υπολογιστεί ο λεr ώστε: 5 Δίνεται η συνάρτηση f() e να αποδείξετε ότι f () f () 0 για κάθε R. 6 Να βρείτε πολυώνυμο P δευτέρου βαθμού τέτοιο ώστε να είναι P0 1, P1 6, P0 7 Ένας πληθυσμός μικροβίων Ρ μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t (σε ώρες) σύμφωνα με τον τύπο Pt 10 510 1 t 1 α) Να βρείτε τον αρχικό χρόνο αριθμό μικροβίων β) Να βρείτε τον αριθμό των μικροβίων όταν t 9 h γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού των μικροβίων ως προς το χρόνο, όταν t 9 ώρες 8 Δίνεται η συνάρτηση f με f () = e α, α R. Να βρείτε: Τις τιμές του α, ώστε να ισχύει η σχέση f () + f () = f (), για κάθε R. 9 Η θέση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται συναρτήσει του χρόνου t από τον τύπο st t t. Να βρείτε: α) Τη μέση ταχύτητα του κινητού στο,4 β) Τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού όταν t 40 Έστω η συνάρτηση f() e e, R A) Nα αποδείξετε ότι f () 4f() B) Να λύσετε την εξίσωση 1 f() f () e Αν f,g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο 1 1 1 R και ισχύει:, R, να αποδείξετε ότι f() g() e f g () g() g f () f() Η θέση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραμμη

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων 010 011 4 10.09

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ EΦΑΠΤΟΜΕΝΗ 41 Να βρείτε τα σημεία της γραφικής 49 Έστω η συνάρτηση f() 10 παράστασης της συνάρτησης f στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στο άξονα όταν: Να βρείτε τα σημεία στα οποία η εφαπτομένη e f() 6 1 Β) f f ln 4 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: ημ f στο σημείο της με 0 π συν ln Β) f, στο σημείο της με τετμημένη 1 φ 1 στο σημείο της με τεταγμένη 7 Δ) fθ 4 Αν π συνθ σφθ στο σημείο της με θ g() α βln( 1), 1, τότε να βρείτε τα α, β έτσι ώστε η γραφική παράσταση της g να έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα των στα σημεία με τετμημένες 0, 1,5. 1 44 Έστω η συνάρτηση f 1, R. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f, που είναι παράλληλες στην ευθεία y. 45 Έστω η συνάρτηση f 1, R. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f, που σχηματίζει με τον γωνία 15. 46 Δίνεται η f ln. Να βρείτε : Τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη (ε) της C στο σημείο της f A 1,f(1),με τον άξονα. Β) Το σημείο όπου η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στο Την εξίσωση της εφαπτόμενης στο 0= 47 Δίνεται η συνάρτηση f με f α 1, R, α R. Nα βρείτε: α) το α ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφα πτομένης της καμπύλης της f στο A1,f(1) να είναι 4. β) την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το ρυθμό μεταβολής της παραγώγου f στα σημεία αυτά. Β) Στο σημείο (του α ερωτ.) με τη μικρότερη τετμημένη να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης. 50 Δίνεται η συνάρτηση f με f α β, α,β R. Να υπολογίσετε τα α,β ώστε η y 1 να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη. 51 Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της 4 γραφικής παράστασης Cf της f με f στα σημεία που τέμνει τους άξονες είναι παράλληλες 5 Έστω η συνάρτησης f α β 9 1. να προσδιορίσετε τα α, β R έτσι ώστε το σημείο A, 10 να ανήκει στη γραφική παράσταση C της f και η εφαπτομένη της C στο σημείο Α να έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αριθμό. 5 Έστω ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και είναι fημ e συν για κάθε 0,π αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο 0,f(0) σχηματίζει ισοσκελές τρίγωνο με τους άξονες.. Να 54 Έστω ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και είναι f1 f1 e. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γ.π. της g f ln() στο o 55 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, R με f 4 ln. Να βρείτε την e εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της A5,f(5). 56 Έστω η f ln 1 α β. Να βρεθούν οι τιμές των α,β ώστε η y 1 5 να είναι εφαπτομένη της C f στο o 0 48 Δίνεται η συνάρτηση f με f αe β 1, R, α,β R. Nα βρείτε: α) τα α,β ώστε η εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο 0,1 να είναι παράλληλη στην y 1 β) την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης 57 Δίνονται τα σημεία A(ln, 0) και B(0, e ), > 0. Αν η f() εκφράζει την απόσταση των σημείων Α και Β, να βρείτε: Ι) Τη συνάρτηση f () II) Την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ1,f(1). 5

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων 010 011 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ 58 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα q θετικές σταθερές, να αποδείξετε ότι το V έχει τη ακρότατα κάθε μια από τις συναρτήσεις: p μέγιστη τιμή του όταν r. 4 f 8 5 q Β) g() e f e, R Δ) f (1 ) Ε) f 6 Στ) ln f, [10, 100] 59 Δίνεται η συνάρτηση f με f e. α) Να βρεθούν οι f, f. β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά της. 60 Δίνεται f η συνάρτηση με f 1 A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και την f' B) Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία. 61 Έστω η συνάρτηση f() = e ( -5+α), α R. Να αποδείξετε ότι f () + f() = (f ()+e ) B) Να βρείτε το α ώστε η εφαπτόμενη στο σημείο (1, f(1)) να είναι παράλληλη στον. Για την τιμή του α που βρήκατε, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 6 Δίνεται η συνάρτηση f με f κ λ, R, κ, λ R. α) Να βρείτε τα κ, λ ώστε η f να έχει στη θέση o 1 τοπικό ακρότατο ίσο με. β) Για τις τιμές των κ, λ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 1 6 Αν f α β τότε i) Να βρείτε τους αριθμούς α,β R για του οποίους ισχύει f1 f1 0. ii) ακρότατα της f. Αν α=1 και β=0, τότε να βρείτε τα τοπικά 64 Δίνεται η συνάρτηση f αe βe, όπου α,β θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε οτι η α 66 Έστω η συνάρτηση f e β, α,β R A) Nα βρείτε το α ώστε 4f ()-4β(-1)=4f()+f () Β) Να βρεθεί το β ώστε η εφαπτομένη της f στο σημείο (0,f(0)) να είναι παράλληλη στον άξονα. Για τις τιμές των α,β που βρήκατε να μελετηθεί η f() ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. 67 Σε ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() 6 1 η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης; 68 Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ln η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης; 69 Δίνεται η συνάρτηση f e e Να βρείτε τα ακρότατά της Β) Να αποδείξετε την ανίσωση 1 e e 70 Δίνεται η συνάρτηση όπου R. Να βρείτε: το πεδίο ορισμού της Β) το f(), 0 f() την παράγωγο της συνάρτησης f, 1 1 4 5 Δ) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της συνάρτησης f. 71 Δίνεται η συνάρτηση f με f α λ, R κ,α,λ σταθερές. Βρείτε το α ώστε f 1 1 Β) Βρείτε το f f Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο. Δ) Εάν το ελάχιστο της f είναι το λ 1, βρείτε το λ. Ε) Βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της C f στο σημείο 1,f(1). Στ) Βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της f στο o 1, ελάχιστη τιμή της f είναι αβ. 65 Αν V r 100p(1 ln r) 100qr, όπου p και Μ. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων 010 011 7 10.09

7 Σώμα κινείται σε οριζόντιο άξονα ακολουθώντας τη συνάρτηση θέσης (t) =t -6t +9t+5 (t σε sec, σε m) α. Ποια η αρχική ταχύτητα του σώματος; β. Ποια η ταχύτητα και η επιτάχυνση όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση 5m; γ. Πότε το σώμα έχει μηδενική ταχύτητα. Ποια η θέση και η επιτάχυνση αυτής της χρονικής στιγμής; δ. Ποιο διάστημα διένυσε το σώμα τα πρώτα sec της κίνησης του; ε. Περιγράψτε την κίνηση του σώματος στο [0,5] 4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων 010 011 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 77 Έχουμε δύο φάρμακα για την υπόταση των ενηλίκων. Η μεταβολή της πίεσης σε συνάρτηση με το t χρόνο των δύο φαρμάκων είναι: π t te και t π t t e t 0,1 (t σε ώρες). Ποιο από τα δύο φάρμακα δίνει τη μεγαλύτερη μέγιστη πίεση και ποιο φάρμακο φέρνει το αποτέλεσμα αυτό πιο γρήγορα; 78 Δίνεται η ευθεία y. Να βρείτε το σημείο της ευθείας αυτής το οποίο απέχει από το σημείο A9,4 τη μικρότερη δυνατή απόσταση. 1 7 Οι συνολικές πωλήσεις ενός μοντέλου αυτοκινήτου δίνονται από τη συνάρτηση 10000 f(t) 10 t 10 1 e, όπου t 0,0 είναι ο χρόνος σε μήνες από την έναρξη των πωλήσεων. Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός αύξησης των συνολικών πωλήσεων γίνεται μέγιστος καθώς και τη μέγιστη τιμή του. 74 Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π κάθε μονάδας προϊόντος συναρτήσει του πλήθους των μονάδων παραγωγής σύμφωνα με τον τύπο: Π() 195. Το κόστος παραγωγής ανά μονάδα προϊόντος είναι 0 και επιπλέον η βιομηχανία πληρώνει φόρο 6 για κάθε μονάδα προϊόντος. Να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος θα πρέπει να παράγει η βιομηχανία ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος. 75 Ενα φορτηγό διανύει καθημερινά 100 km με σταθερή ταχύτητα km/h. Τα καύσιμα κοστίζουν 0,8 το λίτρο και καταναλώνονται με ρυθμό lt/h. 400 Αν τα υπόλοιπα έξοδα του φορτηγού ανέρχονται σε 9 την ώρα, τότε: α) να εκφράσετε το κόστος της διαδρομής αυτής ως συνάρτηση της ταχύτητας, β ) να βρείτε την ταχύτητα που πρέπει να έχει το φορτηγό, ώστε τα έξοδά του να είναι τα ελάχιστα, γ) πόσα είναι τα ελάχιστα αυτά έξοδα; 76 Μια εταιρεία διαθέτει 0000 για να περιφράξει ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου. Η πλευρά ΑΒ πρόκειται να κατασκευαστεί από υλικό που κοστίζει 6 /m και οι πλευρές ΑΔ και ΒΓ από υλικό που κοστίζει 5 /m. Στην πλευρά ΓΔ θα κατασκευαστεί ένας τοίχος του οποίου το κόστος θα ανέλθει σε 4000.Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου ώστε να έχει το μεγαλύτερο εμβαδό. 79 Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 8. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενό τους. 80 Απ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό είναι εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο. 64m ποιο 81 Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 4 cm να βρείτε εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδό. 8 Να βρεθεί το πλησιέστερο σημείο της παραβολής y στην ευθεία y 5. 8 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο,4 και σχηματίζει με τους ημιάξονες Ο και Oy τρίγωνο ελαχίστου εμβαδού. 84 Η θέση ενός υλικού σημείου που βάλλεται, με φορά προς τα πάνω, από το έδαφος δίνεται από τον τύπο yt 5t0 t όπου t ο χρόνος της κίνησης σε sec. Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου όταν t 11sec. Τι συμπεραίνετε για την κίνησή του τη στιγμή αυτή; Β) Να βρείτε την αρχική ταχύτητα του σημείου και το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει. Σε ποια χρ. στιγμή το ύψος του είναι 75 m ; 85 Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα AB μήκους 10 m του οποίου τα άκρα A και B ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy και O αντίστοιχα. m Το σημείο B κινείται με ταχύτητα u και η θέση sec του στον άξονα O δίνεται από την συνάρτηση St ut,t 0,5 όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρεθεί το εμβαδό Et του τριγώνου OAB ως συνάρτηση του t Β) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του Et τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του OA είναι 6 m; Μ. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr

άξονα yy Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf στο παραπάνω σημείο καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζει αυτή με τους άξονες. Δ) Αποδείξτε ότι f"() f () 4 1 4 f() Ε) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτόμενης για 87 Μια αυτοκινητοβιομηχανία υπολόγισε ότι η σχέση μεταξύ της τιμής Τ ενός νέου μοντέλου αυτοκινήτου και της ζητούμενης ποσότητας αυτοκινήτων του μοντέλου αυτού δίνεται από τη συνάρτηση: T 0, 4000 για 0 1000 Να βρεθεί η συνάρτηση E των εσόδων της αυτοκινητοβιομηχανίας Β) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης εσόδων Αν το κόστος των μονάδων αυτοκινήτου που παράγονται, δίνεται από τη σχέση: K 950 50000 για 0 10000 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση κέρδους P Δ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης κέρδους Ε) Για ποια έχει η αυτοκινητοβιομηχανία το μέγιστο κέρδος. 88 Δινεται η συναρτηση f() ln(). Να βρείτε : Τα σημεια στα οποια η C f τεμνει τους αξονες Β) Να βρεθει το διαστημα στο οποιο η C f είναι πανω από την ευθεια y=e Να βρεθει η f () e Δ) Να βρεθει το f Ε) Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης της C f που είναι παράλληλη στην ευθεία με αξίσωση y e 89 Έστω η συνάρτηση f 1 e, R A) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της f A 1,f(1). B) Nα βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f. Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ α β 86 Έστω η συνάρτηση f με f() e με 90 Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα πάνω σε άξονα ώστε η θέση του την τυχαία χρονική στιγμή t (σε α,β R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται sec) να δίνεται από τον τύπο t t 1t 45t σε από τα σημεία: A(1,e ) και B( 1,e), τότε: μέτρα (m). Να βρείτε: Να βρεθεί ο τύπος της την ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή Β) Να βρεθεί το σημείο τομής της C f με τον t Β) τις χρονικές στιγμές που το σώμα είναι ακίνητο την απόσταση των θέσεων του σώματος όταν αυτό είναι ακίνητο. 91 Έστω η συνάρτηση f με f e 1 A) Nα βρείτε την τιμή της παράστασης: f ()+f ()-f()+ B) Nα υπολογίσετε το f 1 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη C f, στο σημείο της με τετμημένη 1 9 Αν η εφαπτομένη ε στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f : R R στο σημείο της A 1,f(1) είναι παράλληλη στην ευθεία y 0 τότε: Να βρείτε τον f 1 Β) Να αποδείξετε ότι η ε εφάπτεται στη C g με στο σημείο της B0,g(0) g f 1 1 9 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln 1 και g α β, α,β R. Να βρείτε: την εξίσωση της εφαπτομένης ε της C f στο σημείο της A1,f(1) Β) τα α,β ώστε η ε να εφάπτεται στη C g στο σημείο της B,g(). 94 Θεωρούμε τη συνάρτηση g µε τύπο g f f, 0,, f0,, f f f 4 f4 4. A) Αν η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A1,f(1) είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y 1, να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο B1,g(1), είναι παράλληλη στον άξονα. B) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία εφάπτεται στη C της g στο σημείο g Γ 4,g(4). 9