ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3. Δίνεται το πολυώνυμο P() 6 α β το οποίο έχει παράγοντα το και όταν διαιρείται με το δίνει υπόλοιπο i. Να δείξετε ότι: α και β 6 ii. Να λύσετε την εξίσωση P()=0 iii. Να λύσετε την ανίσωση P() 0. Δίνεται η συνάρτηση f() (3 α ), και α. i. Αν το σημείο Μ(,3) ανήκει στην γραφική παράσταση της f, να βρείτε το α. ii. Για α = 0 να λύσετε τις εξισώσεις: α. f() f(). β. f(ημ ) 3 3. Δίνεται η συνάρτηση ln f() ln i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης. ii. Να λύσετε την εξίσωση f(). iii. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα '.. Δίνεται η συνάρτηση f() log, 0 α) Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης A f( ) f(00) 00 β) Να αποδείξετε ότι : f(3) 3f() f(6) f(0) γ) Να λύσετε την εξίσωση: 3 (f()) (f()) (f()) (f()) 0 5. Δίνεται το πολυώνυμο 3 P() α 3 β α i. Αν το P() έχει ρίζα τον αριθμό 3 και παράγοντα το, να υπολογίσετε τις τιμές των α και β. ii. Για α, β 8 να λύσετε την ανίσωση P() 0. 6. Δίνεται η συνάρτηση f() =., R α) Να τοποθετήσετε σε μια σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, αιτιολογώντας την απάντηση, τους αριθμούς: f ( ), f ( ),, f (-). Επιμέλεια:r.tsif@gmil.com Σελίδα
β) Να λύσετε την εξίσωση: f() 3f() 0. γ) Να λύσετε την ανίσωση: f( ) > f(). 7. Δίνεται η συνάρτηση ln(3 ) f() ln(5). α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να δείξετε ότι το σημείο Α (7,f(7) ) βρίσκεται πάνω από τον άξονα. γ) Να λύσετε την εξίσωση f(). 8. Α) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: 0 0 0 i) Α = συν 70 ημ 0 + ημ70 συν 0 0. ii) Β = π συν. Β) Αν Α = και Β = 3, τότε: π π i) Να αποδείξετε ότι συν ( ) + συν ( 6 6 ) = 3 συν. π π ii) Να λύσετε την εξίσωση συν ( ) + συν ( ) = 6 6 Β Α. 9. Δίνονται τα πολυώνυμα: Α() = 3 + 6 7 και B() = 3 +. α) Να κάνετε τη διαίρεση Α():Β(), να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β) Αν το πηλίκο της διαίρεσης Α():Β() είναι το πολυώνυμο π() = - και το πολυώνυμο 3 P() λ έχει παράγοντα το π() τότε: i) Να βρείτε το λ R. ii) Για λ= να βρεθούν τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P() βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0. Δίνεται η συνάρτηση f() = log( 8) log log7. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. 8 β) Να δείξετε ότι f() = log 7 γ) Να λύσετε την εξίσωση: f() = 0. δ) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού f(), αιτιολογώντας την απάντηση. Επιμέλεια:r.tsif@gmil.com Σελίδα
. Να επιλυθεί η ανίσωση : 5 3 π π. Να αποδείξετε ότι: Α) συν συν ημ συν π B) κατόπιν για 0, να αποδείξετε ότι: π π π π log συν συν log συν συν log(ημ) e 3. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln e i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. ii. Να λύσετε την εξίσωση f() = ln3. iii. Δείξτε ότι για κάθε > 0, ισχύει f() <.. Δίνεται η συνάρτηση f() = κ ln(0 e ) λ ln(e ) i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. ii. Αν η Cf περνά από τα σημεία Μ(ln3, ln7) και N(ln9, ln7) να βρείτε τις τιμές των κ, λ. iii. Εάν κ = και λ = τότε: α) Να λύσετε την εξίσωση f() = ln5. β) Να λύσετε την ανίσωση f() <. 5. Δίνεται η συνάρτηση f() =(ln θ + ), R. i. Να βρείτε τις τιμές του θ για τις οποίες ορίζεται η συνάρτηση. ii. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το Α (, 6) να βρείτε το θ. iii. Για θ = e, να λύσετε την ανίσωση: 6 f() 8 > 6. lnf (μ) lnf (μ) iv. Να αποδείξετε ότι για κάθε μr και θ > e ισχύει: e > 3. 6. Α. Να λύσετε τις ανισώσεις: < και >. Β. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln( 3 + ). i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να αποδείξετε ότι f() f( ) = 3ln. iii) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες f() = f() iv) Αν κr ώστε κ 3 κ + = 0, να συγκρίνετε τους αριθμούς f( ) και f(κ). 7. Δίνεται η συνάρτηση f e. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R π ii. Να λύσετε την εξίσωση ημ f f 0 e π 3π iii. Να λύσετε την εξίσωση εφ f 0 0 στο διάστημα, 8. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() = α + (α ) 3 3α, αr. Α. Να βρεθεί το αr ώστε το Ρ() να έχει παράγοντα το. Β. Για α = i. Να γραφεί η ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης του Ρ() με το + ii. Να λυθεί η εξίσωση Ρ() = 0 iii. Για ποιες τιμές του R ισχύει Ρ() 0 9. Α. Να αποδείξετε ότι log α (θ θ ) = log α θ + log α θ, θ, θ > 0, α > 0 και α, Επιμέλεια:r.tsif@gmil.com Σελίδα 3
Β. Να συμπληρώσετε τα κενά στην παρακάτω πρόταση Η συνάρτηση f() = e έχει πεδίο ορισμού το και σύνολο τιμών το Είναι γνησίως, η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα ψ ψ στο (, ) και έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα Γ. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιο σας ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι Σωστές και ποιες Λάθος: α. Η συνάρτηση f() = συν είναι περιοδική με περίοδο Τ = π β. Ισχύει = 0 log για κάθε πραγματικό αριθμό. γ. Αν εφ = εφθ τότε = κπ + θ, κ Z δ. Αν το πολυώνυμο Ρ() έχει παράγοντα το - ρ τότε ο ρ είναι ρίζα του Ρ() ε. Αν < ψ και 0 < α < τότε α < α ψ 0. Α) Έστω α 0 με α. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θ,θ 0 ισχύει ότι log θ θ log θ log θ α α α Α) Πότε ένας αριθμός ρ λέγεται ρίζα ενός πολυωνύμου P ; Α3) Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις με τη λέξη Σωστή ή Λάθος, γράφοντας την απάντηση στο τετράδιο σας: α) Η διαίρεση ενός πολυωνύμου P με το ρ μπορεί να δώσει υπόλοιπο, ένα πολυώνυμο ου βαθμού. β) Η εκθετική συνάρτηση f α με 0 α και R, είναι γνήσια φθίνουσα στο R αν και μόνο αν 0 α log θ θ γ) Για κάθε θ 0 και 0 α ισχύει ότι α log α. δ) Οι λύσεις της εξίσωσης εφ εφθ με α α. Να λυθεί η εξίσωση σφ 3 συν = συν σφ 3 π,θ κπ είναι οι κπ θ με κ Z. Να λύσετε καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις α) συν = 0 β) 3 8 + = 0 γ) συν 3 8συν + ημ + 3 = 0 3. Δίνεται η συνάρτηση π f ημ α) Να γράψετε (χωρίς απόδειξη) το πεδίο ορισμού της Α f και την περίοδό της T β) να βρείτε το ελάχιστο της f καθώς και τις τιμές του για τις οποίες παρουσιάζεται το ελάχιστο αυτό γ) Να λυθεί στο διάστημα 0,π η ανισοϊσότητα f 3. Α. Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών 3 αριθμών η εξίσωση 6 6 0 Β. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f 6 0 και της ευθείας 3 ε : y σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oy. Επιμέλεια:r.tsif@gmil.com Σελίδα
B) Να βρείτε τις τετμημένες,, 3 των σημείων τομής τους B) Αν A,0,B,0, Γ 3,0 είναι οι ορθές προβολές των σημείων τομής τους στον άξονα να δικαιολογήσετε (αποδείξετε) ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική παράσταση της,, ευθείας ε για τα 3 5. Δίνεται η συνάρτηση f() ημ(). i) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης και να κάνετε μία πρόχειρη γραφική της παράσταση. ii) Να λύσετε την εξίσωση f(). 6. i) Να λυθεί η εξίσωση συν() ημ 3π ii) Να βρείτε τις λύσεις της παραπάνω εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα 0, iii) Για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού α η εξίσωση συν() α είναι αδύνατη. 7. Δίνονται τα πολυώνυμα : Ρ() = 3 α (α + β) + 6 και Q() = +. i) Να βρείτε τα α, β αν το Ρ() έχει παράγοντα το πολυώνυμο Q(). ii) Για α = και β = 3 να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του Ρ() δια του Q(). iii) Να λύσετε την ανίσωση : P() 8.A. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες) i) συν( ) = ii) εφ(π + ) = iii) συν( 5π + ) = iv) ημ(π )= Β) Έστω P() ένα πολυώνυμο του και α ένας πραγματικός αριθμός. Αν π() είναι το πηλίκο και υ() το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P() με το πολυώνυμο ( α), τότε : α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P() με το ( α). β) Το υπόλοιπο υ() είναι : Α. Πάντοτε πολυώνυμο ίδιου βαθμού με το P(). Β. Πολυώνυμο πρώτου βαθμού. Γ. Σταθερό πολυώνυμο. Δ. Πάντοτε το μηδενικό πολυώνυμο. Να γράψετε στο φύλλο την σωστή απάντηση Επιμέλεια:r.tsif@gmil.com Σελίδα 5
9. A. Δίνεται η συνάρτηση f()= ημ( + 5π ) i) Να βρείτε την περίοδο Τ, το μέγιστο και το ελάχιστο της f. ii) Να λυθεί η εξίσωση f() = B. Να λυθεί η εξίσωση : ημ + συν =. 30. Για τη γωνία θ ισχύουν τα εξής: π < θ < π και 5ημ θ 3ημθ + 6 = 0 i. Να αποδείξετε ότι ημθ = 3 5. ii. Να υπολογίστε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ. 3. A. Αν το Ρ() = λ 3 ( λ) + (λ + 5) έχει ρίζα το τότε το λ ισούται με: i:, ii: 0, iii:, iv:, v: Β. Δίνεται το πολυώνυμο P()= ( 3 + )( 5)+ 6 + 7. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του: i) P():( 3 + ) ii) P():( 5) 3. A. α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : (0 α και θ,θ 0) logα θ ) log... ) log... 3) log... )... κ (θ ) 5) log α θ... 6) log... (θ ) β. Αν 0 α καιθ, θ 0να αποδείξετε την ισότητα log α(θ θ ) log θ log θ Β. α. Η παράσταση log5 log3 είναι ίση με : ) log ) log5 3) log5 ) log8 5) log5 3 β. Η παράσταση log6+ log7 είναι ίση με : 3 ) ) log3 3) )log6 5)log36 log5 7 γ. Η παράσταση 5 είναι ίση με log5 7 ) log )7 3) 35 )log7 5) 7 5 5 δ. Η παράσταση log 3 είναι ίση με : ) log 5 ) log 63 3) 5log 3 ) log 5 5) 3 5 log 8log3 Γ. Να αποδειχθεί ότι 00 π π 33. Έστω οι συναρτήσειςf()=συν - -συν και g()=συν 3 + + ημ. α. Να δείξετε ότι: f()= 3ημ και g()= συν. β. Να λύσετε την εξίσωση: g()= f(). γ. Να δείξετε ότι: f()+5g ()-8=συν.. Επιμέλεια:r.tsif@gmil.com Σελίδα 6