Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 8 Χειμερινό Εξάμηνο 23 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Ανακοινώσεις To μάθημα MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή έως χθες θα γίνει στις 6//24: Office Hours: Δευτέρα -3 μμ, Εργαστήριο Εμβιομηχανικής, Ισόγειο Κτηρίου Μ (2 772-56) DMmeche23@gmail.com http://cw.mech.ntua.gr/ml2365 2
Περιεχόμενα Μορφές Δυναμικών Εξισώσεων Μ-Κ, μεταβλητές κατάστασης, συνάρτηση μεταφοράς Επίλυση δυναμικών εξισώσεων Μεταβατική απόκριση πρωτοβάθμιου δυναμικού συστήματος Παραδείγματα 3
Δυναμικές Εξισώσεις Μοντελοποίηση Μ q q + C q q + K q = ξ grav + ξ nonlin + ξ Μη γραμμικές δυναμικές εξισώσεις Γραμμικοποίηση Μ q + C q + K q = ξ Γραμμικές δυναμικές εξισώσεις (Μ-Κ) x = A x + B u y = C x + D u Eξισώσεις μεταβλητών κατάστασης Y(s) = H(s) U(s) Συνάρτηση μεταφοράς 4
Δυναμικές Εξισώσεις Γραμμικές δυναμικές εξισώσεις Μ-Κ Μητρώο αδράνειας Μ q + C q + K q = ξ Μητρώο απόσβεσης Μητρώο ελαστικότητας Εξισώσεις μεταβλητών κατάστασης x = q q x = A x + Β u Μεταβλητές κατάστασης A = Εξωτερική διέγερση O M K I M C u = ξ Διεγέρσεις συστήματος Β = O M 5
Δυναμικές Εξισώσεις Εξισώσεις μεταβλητών κατάστασης με εξόδους x = A x + Β u y = C x + D u x = q q Μεταβλητές κατάστασης u = ξ Διεγέρσεις συστήματος y Διάνυσμα εξόδου (οποιαδήποτε σύνολο μεταβλητών ενδιαφέροντος) 6
Συνάρτηση Μεταφοράς Για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Περιγραφή του συστήματος μέσω του μητρώου μεταφοράς H(s) Y(s) = H(s) U(s) Στην περίπτωση μιας εισόδου και μιας εξόδου H s = β m s m + β m s m + + β s + β s n + α n s n + + α s + α Υπολογίζεται μέσω του μ/χ Laplace Περισσότερα σε επόμενη παράδοση 7
Ιδιότητες Γραμμικών Συστημάτων Επαλληλία q t = q h (t) + q p (t) Απόκριση Ειδική λύση (διέγερση, μηδενικές αρχικές συνθήκες) Χρονική ανεξαρτησία Η απόκριση δεν εξαρτάται από πότε έγινε η διέγερση Ευστάθεια Ομογενής λύση (χωρίς διέγερση, αρχικές συνθήκες) Απόκριση σε αρχικές συνθήκες καταλήγει στο q t = 8
Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. Μοντέλο: m x + c x + k x = f(t) x + c m x + k m x = Αδιάστατοποιημένο μοντέλο x + 2 ζ ω x + ω 2 x = ω = k m Λόγος απόσβεσης Φυσική κυκλική συχνότητα 2 ζ ω = c m 9
Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. x + 2ζωx + ω 2 x = x() = x x () = u x h t = c e λ t + c 2 e λ 2t λ, λ 2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λ 2 + 2ζωλ + ω 2 = Σταθερές c, c 2 προκύπτουν από αρχικές συνθήκες x, u Το σημείο ισορροπίας του συστήματος είναι το x = Η μοναδική λύση που προκύπτει θέτοντας x = x =
x(t) x (t) u(t) Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση ζ>: Υπερκρίσιμη απόσβεση.9.8 Τα λ, λ 2 είναι πραγματικοί αρνητικοί αριθμοί =.2, = =.2, = 2 =.2, = 4.5 λ,2 = ζω ± ω ζ 2 =.2, = =.2, = 2 =.2, = 4.7.6.5.4.3.2. -.5 - -.5 2 4 6 8 time -2 - -.5.5 Καθώς αυξάνεται η φυσική συχνότητα (για σταθερό ζ), η απόκριση γίνεται πιο γρήγορη (χρειάζεται λιγότερος χρόνος για να καταλήξει το σύστημα στο σημείο ισορροπίας x=) x(t)
x(t) x (t) u(t) Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση ζ>: Υπερκρίσιμη απόσβεση.9.8.7.6.5.4.3 =, = =.5, = = 3, =. -. -.2 -.3 -.4 -.5 -.6 -.7 =, = =.5, = = 3, =.2 -.8. -.9 5 5 2 25 3 time -.2.4.6.8 Καθώς αυξάνεται ο λόγος απόσβεσης ζ (για σταθερό ω), η απόκριση γίνεται πιο αργή (χρειάζεται περισσότερος χρόνος για να καταλήξει στο σημείο ισορροπίας x=) x(t) 2
x(t) x(t) Βηματική Απόκριση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση ζ>: Υπερκρίσιμη απόσβεση 4 3.5 3 2.5 2 =.2, =.5 =.2, = =.2, = 2.8.6 =.2, = =.5, = = 3., =.5.4.5.2 5 5 2 25 3 time 5 5 2 25 3 Καθώς αυξάνεται ο ζ ή ελατώνεται η ω, η απόκριση γίνεται πιο αργή (χρειάζεται περισσότερος χρόνος για να καταλήξει στην τελική τιμή). Η τελική τιμή x ss = ω 2 υπολογίζεται θέτωντας x = x = στην ΣΔΕ που περιγράφει την απόκριση x + 2ζωx + ω 2 x = time 3
x(t) x (t) u(t) Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση <ζ<: Υποκρίσιμη απόσβεση.8.6 Τα λ, λ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: =.4, = =.4, = 2 =.4, = 4.5 λ,2 = ζω ± ω ζ 2 j =.4, = =.4, = 2 =.4, = 4.4.2 -.5 - -.5 -.2-2 -.4 5 5 time -2.5 -.4 -.2.2.4.6.8 Καθώς αυξάνεται η φυσική συχνότητα (για σταθερό ζ), η απόκριση γίνεται πιο γρήγορη και χαρακτηρίζεται από πιο έντονες ταλαντώσεις (μεγαλύτερα x ) x(t) 4
x(t) x (t) u(t) Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση <ζ<: Υποκρίσιμη απόσβεση Τα λ, λ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: λ,2 = ζω ± ω ζ 2 j =.9, = =.5, = =.25, =.6.4 =.9, = =.5, = =.25, =.5.2 -.2 -.4 -.6 -.5 5 5 2 25 3 time -.8 -.5.5 Καθώς μειώνεται ο λόγος απόσβεσης ζ (για σταθερό ω), η απόκριση γίνεται πιο αργή και χαρακτηρίζεται από πιο έντονες ταλαντώσεις (μεγαλύτερη υπερακόντηση, μεγαλύτερα x x(t) 5
x(t) u(t) x(t) u(t) Βηματική Απόκριση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση <ζ<: Υποκρίσιμη απόσβεση Τα λ, λ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: λ,2 = ζω ± ω ζ 2 j 6 5 =.4, =.5 =.4, = =.4, = 2.5 =.9, = =.5, = =.25, = 4 3 2.5 5 5 2 25 3 x(t) time 5 5 2 25 3 x(t) time 6
x(t) Συνολική Απόκριση q t = q h (t) + q p (t) 2 =, =.25.5.5 -.5 - x()=u()=, step input x()= u()=2, no input x()= u()=2, step input -.5 5 5 2 time 7
x(t) x(t) Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο.9.8.7 =, = =.5, = = 3, = <ζ< Im(s).6.5.4.3.2 x. 5 5 2 25 3 time ζ> x x Re(s).5 =.9, = =.5, = =.25, = x -.5 5 5 2 25 3 time Ευστάθεια Αστάθεια 8
Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Μοναδιαίο Παλμό Ο μοναδιαίος παλμός διάρκειας Τ ορίζεται ως u p,t t = Ιδίοτητες:, t <, t < T T, t T Μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμική επαλληλία δύο βηματικών εισόδων τις στιγμές t= και t=t Καθώς Τ τότε η u p,t t τείνει στην συνάρτηση Dirac (κρουστική είσοδο) To χρονικό ολοκλήρωμα απο - έως ισούται με /T u p,t t = T u s t T u s t T u p,t τ dτ T lim u p,t t Τ + = u p,t τ dτ t = δ t = 9
Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Μοναδιαίο Παλμό Λόγω επαλληλίας, η απόκριση h p,t t ενός γραμμικού συστήματος σε μοναδιαίο παλμό εύρους Τ μπορεί να εκφραστεί μέσω της απόκρισης h s t του ίδιου συστήματος σε βηματική είσοδο h p,t t = T h s t T h s t T Καθώς Τ τότε η απόκριση h p,t t τείνει στην απόκριση h t του συστήματος σε κρουστική είσοδο Η h t υπολογίζετε ως η παράγωγος της απόκρισης h s t σε βηματική είσοδο lim Τ h p,t t = T h s t h s t T T dh s t dt T = dh s t dt = h(t) 2
Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Κρουστική Είσοδο Η απόκριση h t σε κρουστική είσοδο είναι χαρακτηριστικό μέγεθος του συστήματος Μπορεί να μετρηθεί πειραματικά Σε πραγματικά συστήματα h t = για t< Μπορεί να εκφραστεί σαν (για 2 ο -βάθμιο σύστημα) h t = c e λt + c e λ 2t όπου λ,2 : ρίζες χαρακτηριστικού πολυωνύμου του συστήματος Ο μετασχηματισμός Laplace της h t είναι η συνάρτηση μεταφοράς H(s) του συστήματος L{h t } = H(s) 2
h p,t (t) Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Κρουστική Είσοδο.5.4 T = 4 sec T = 2 sec T = sec T =.2 sec T =.5 sec.3.2. -. 5 5 Απόκριση του συστήματος x +.4x + x = f (ζ =.7, ω = ) σε μοναδιαίους παλμούς f = u p,t (t). Καθώς η διάρκεια Τ μικραίνει κάτω από κάποιο όριο (το οποίο εξαρτάται από το σύστημα) η απόκριση h p,t (t) δεν μεταβάλεται, και ταυτίζεται με την απόκριση σε κρουστική είσοδο h(t) time 22
Απόκριση σε τυχαία είσοδο H απόκριση y t ενός γραμμικού συστήματος σε μια οποιαδήποτε είσοδο u t μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης y t = h t u t = u t h t = h τ u t τ dτ = h t τ u τ dτ Απόκριση συστήματος σε κρουστική είσοδο Τυχαία είσοδος 23
Ολοκλήρωμα Συνέλιξης: Φυσική Σημασία Oποιαδήποτε είσοδος u(t) μπορεί να εκφραστεί σαν ένα άθροισμα παλμών πλάτους Τ (το Τ είναι αρκετά μικρό) u t = T u p,t (t k T) u(k T) k= Αναγκαίο διότι το u p,t περιέχει το /Τ ώστε το εμβαδόν του να είναι Η απόκριση του συστήματος σε αυτή την είσοδο (λόγω επαλληλίας) είναι το άθροισμα αποκρίσεων σε παλμούς: y t = T h p,t (t k T) u(k T) k= Όταν η διάρκεια T είναι αρκετά μικρή, τότε h p,t h ενώ το άθροισμα καταλήγει σε ολοκλήρωμα y t = h t τ u τ dτ 24
Αναλυτικός Υπολογισμός Συνέλιξης To ολοκλήρωμα της συνέλιξης μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: t y t = h t u t = h τ u t τ dτ = h τ u t τ dτ Η αλλαγή στα όρια της ολοκλήρωσης προκύπτει διότι h(t)=u(t)= για t< Διαδικασία υπολογισμού της y t Ξεκινώντας από την u(τ), η u(t-τ) προκύπτει γραφικά σε δύο βήματα. Η u(-τ) είναι ο «καθρέπτης» της u(τ) ως προς τον άξονα t= 2. Η u(t-τ) προκύπτει μετακινώντας την u(-τ) δεξιά κατά t Υπολογισμός της φ τ = u(t τ) h τ Η τιμή y t υπολογίαζεται ως το ολοκλήρωνα της φ τ από τ= έως τ=t 25
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Παράδειγμα: Nα υπολογιστεί αναλυτικά η απόκριση του συστήματος x + x + x = u (ζ =.5, ω = ) στην είσοδο u(t) όταν x = x = u(t) =, t < sin π t, t <, t D t u(t) Λύση O υπολογισμός της απόκρισης μέσω συνέλιξης χρειάζεται την απόκριση h(t) σε κρουστική είσοδο. Η απόκριση h(t) θα υπολογιστεί μέσω της απόκρισης σε βηματική είσοδο h s (t) 26
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Υπολογισμός της απόκρισης σε βηματική είσοδο h s (t) h s (t) ονομάζουμε την απόκριση x(t) σε βηματική είσοδο x t = x h t + x p t Η ειδική λύση x p t, είναι η λύση της ΣΔΕ x + x + x = Δοκιμάζουμε (βλέπε θεωρεία ΣΔΕ) λύσεις της μορφής x p t = c Αντικαθιστώντας την x p t στην ΣΔΕ προκύπτει c = οπότε η ειδική λύση είναι x p t = 27
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η ομογενής λύση x h t ισούται με (βλέπε θεωρεία ΣΔΕ): x h t = c e λ t + c 2 e λ 2t Όπου τα λ,2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λ 2 + λ + = Επειδή <ζ<, οι ρίζες είναι μιγαδικοί αριθμοί: λ,2 = ζω ± ω n j =.5 ± 3 2 j Επειδή οι ρίζες είναι μιγαδικοί αριθμοί, η ομογενής λύση γράφεται ως x h t = e.5t A sin ( 3 2 t + φ) 28
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η συνολική λύση (ομογενής + ειδική) είναι: x t = e.5t A sin 3 2 t + φ + Οι σταθερές Α και φ υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες: x = A sin φ = x =.5 A sin φ + 3 2 A cos φ Συνδιάζοντας της δύο συνθήκες προκύπτει το σύστημα: A sin φ = A cos φ = 3 3 Eπειδή το πλάτος Α>, τότε τα sin φ και cos φ είναι αρνητικοί αριθμοί, οπότε η γωνία φ βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο. H λύση δίνει A =.35 και φ = 2π/3 29
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Οπότε η ομογενής λύση είναι: x h (t) = e t/2.35 sin ( 3 2 t 2π/3) Η συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς και της ειδικής λύσης x t = x p t + x h t = + e t/2.35 sin ( 3 2 t 2π/3) Η απόκριση ενός συστήματος σε βηματική είσοδο (μηδενικές αρχικές συνθήκες) ονομάζεται (για λόγους συμβολισμού) h s (t): h s t = + e t/2.35 sin ( 3 2 t 2π/3) 3
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Υπολογισμός της απόκρισης σε κρουστική είσοδο h(t) Η απόκριση σε κρουστική είσοδο h(t) προκύπτει από την χρονική παράγωγο της απόκρισης h s (t) h t = dh s t dt =.5.35 e t 2 sin 3 2 t 2π 3 + +.35 3 2 e t 2 cos 3 2 t 2π 3 Οπότε προκύπτει η έκφραση για την h(t) h t = e t 2 [.568 sin 3 2 t 2π 3 +.983 cos 3 2 t 2π 3 ] 3
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Συνέλιξης Τα επόμενα σχήματα δείχνουν τις γραφικές παραστάσεις για τις απόκρισεις h s (t), h(t) του συστήματος σε βηματική και κρουστική είσοδο αντίστοιχα.4.6.2.8 h s (t).5.4.3 h(t).6.2.4..2 5 5 2 time -. 5 5 2 time Μεταβατική (transient) απόκριση Μόνιμη (steady state) απόκριση Μεταβατική (transient) απόκριση Μόνιμη (steady state) απόκριση 32
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η απόκριση x t την στιγμή t> μπορεί να υπολογιστεί μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος διακρίνουμε 2 περιπτώσεις Κάθε περίπτωση διαφέρει στο εύρος του ολοκληρώματος, δηλαδή στο εύρος των τιμών του τ όπου το γινόμενο h τ u t τ είναι μη-μηδενικό Βλέπε επόμενα 2 slides x t = h τ u t τ dτ t 33
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Όταν t <, το γινόμενο h τ u t τ είναι μη-μηδενικό για τ < t Η απόκριση x t για οποιαδήποτε t < μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: t x t = h τ u t τ dτ t h τ sin ( π (t τ))dτ Παράδειγμα υπολογισμού της απόκρισης x(4) μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης. Η τιμή x(4) ισούται με το ολοκλήρωμα της u(t-τ)*h(τ) (τέταρτη εικόνα) =.5.5.5.5 u( ) - -5 5 5 u(- ) - -5 5 5 h( ) u(4- ) - -5 5 5 h( )*u(4- ) - -5 5 5 time 34
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Όταν t, το γινόμενο h τ u t τ είναι μημηδενικό για t τ < t Η απόκριση x t για οποιαδήποτε t μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: t x t = h τ u t τ dτ t t t h τ sin ( π (t τ))dτ Παράδειγμα υπολογισμού της απόκρισης x(5) μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης. Η τιμή x(5) ισούται με το ολοκλήρωμα της u(t-τ)*h(τ) (τέταρτη εικόνα) =.5.5.5.2 -.2 u( ) - -5 5 5 u(- ) - -5 5 5 h( ) u(5- ) - -5 5 5 - -5 5 5 time h( )*u(5- ) 35