η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i Να βρείτε τις τιµές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της παραβολής y = είναι ψηλότερα από την γραφική παράσταση της ευθείας ΜΝ Από τον τύπο της συνάρτησης έχουµε ότι f( ) = ( ) =, f(0) = 0 =, f() = = 0 f = = 5, Α = + 5 0 5 + 8 = 5 y y λ ΜΝ = = 0 + f( ) = ( ) = 8 εποµένως = εποµένως η ευθεία ΜΝ έχει εξίσωση την y = + β και επειδή διέρχεται από το Ν (, 0) έχουµε 0= + β β = οπότε η ζητούµενη εξίσωση είναι η y = + i Θα πρέπει να ισχύει > + + > 0 λύνοντας κατά τα γνωστά την ανίσωση βρίσκουµε ότι αυτή αληθεύει όταν < ή >
. Ένα σχολείο έχει 4 εκπαιδευτικούς από τους οποίους οι 8 είναι άντρες µεταξύ των οποίων είναι φιλόλογοι, επίσης υπάρχουν 0 γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουµε έναν εκπαιδευτικό στη τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Είναι γυναίκα και όχι φιλόλογος Είναι άντρας φιλόλογος i Είναι άντρας ή φιλόλογος iν) εν είναι φιλόλογος Από τα δεδοµένα προκύπτει ότι οι γυναίκες εκπαιδευτικοί είναι 6 εκ των οποίων οι 0 είναι φιλόλογοι, άρα οι 6 γυναίκες δεν είναι φιλόλογοι. Έστω τα ενδεχόµενα 8 Α: είναι άντρας οπότε Ρ(Α) = 4 Τότε Α είναι το ενδεχόµενο : δεν είναι άντρας δηλαδή είναι γυναίκα 6 Με Ρ(Α ) = 4 και Φ: είναι φιλόλογος µε Ρ(Φ) = 4 Εποµένως Το ενδεχόµενο είναι γυναίκα και όχι φιλόλογος είναι το Α Φ 6 µε Ρ( Α Φ ) = = 4 4 Το ενδεχόµενο: είναι άντρας φιλόλογος είναι το µε Ρ ( Α Φ) = 4 i Το ενδεχόµενο είναι άντρας ή φιλόλογος είναι το µε. Α Φ Α Φ 8 Ρ ( Α Φ) =Ρ( Α) +Ρ( Φ) Ρ( Α Φ) = + = 4 4 4 iν) Το ενδεχόµενο : εν είναι φιλόλογος είναι το Φ µε Ρ(Φ ) = Ρ(Φ) = = 4 4 8 4
. Να λυθούν οι εξισώσεις ( + ) 5 + 4 = 0 4 = 0 (+ ) 5 i + 5+ 6 = + ( + ) 5 + 4 = 0 + 5 + 4 = 0 Θέτω + = y οπότε έχω y 5y 4 = 0 y = 7 ή y = αν y = 7 τότε + =7 + = ± 7 = 4 ή = 0 αν y = τότε + = η οποία είναι αδύνατη 4 = 0 Θέτω = y οπότε έχω y y = 0 y = ή y = αν y = τότε = = ± αν y = τότε = η οποία είναι αδύνατη i (+ ) 5 5+ 6 = + + (+ ) + 5 = + ( )( ) Ε K Π = ( )( ) 0 και τότε ( )( ) (+ ) + ( )( ) ( )( + ) + 5 = ( )( + ) 4 + = 0 = ή = 5 ( )( ) η = απορρίπτεται λόγω των περιορισµών = ( )( ) +
4. Nα αποδείξετε ότι α + β = ( α + β) αβ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση + (λ + ) + λ =0 έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε λ R i Αν και είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε τις τιµές του λ έτσι ώστε να ισχύει + = 0 iν) Αν λ = να βρείτε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες ρ = και ρ = B = ( α + β) αβ = α + αβ + β αβ = α + β = Α = 4( λ + ) 4(λ ) = = 4λ + 4λ + 8 = = λ + 4λ + 4 + λ + 4 = (λ + ) + λ + 4 > 0 για κάθε λ R Συνεπώς η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες i + = 0 και µε βάση το ( ερώτηµα ( + ) = 0 () όµως + = ( λ + ) και = λ εποµένως η () γίνεται 4 ( λ + ) (λ ) = 0 iν) S = ρ + ρ = λ + λ = 0 λ = ή λ = + Όταν λ = είναι S = + και Ρ = = ( ) = 0 και Ρ = ( ) = 9 Η ζητούµενη εξίσωση είναι η S + P = 0 0 + 9 = 0
5. O πρώτος όρος α µιας γεωµετρικής προόδου είναι α = 7 και ο λόγος λ είναι λ = Να υπολογίσετε τον 4 ο όρο α 4 Να υπολογίσετε το άθροισµα S 5 των 5 πρώτων όρων της προόδου i Σε αριθµητική πρόοδο µε πρώτον όρο το S 5 της γεωµετρικής προόδου και διαφορά ω = λ = Έχουµε να βρείτε τον δέκατο όρο α 0 της αριθµητικής προόδου α 4 = α λ = 7 = 7 7 = Από τον τύπο : S 5 = S 5 = i α λ λ ( 5 ) έχουµε ότι 5 7 44 7 7 4 = = 4 4 Θα είναι α 0 = α + 9ω = = 6 + 9 = 5 = 6
5. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου µε Ρ(Α) = 0,9, Ρ(Β) = 0,8 και Ρ( Α Β) = 0,. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β Πραγµατοποιείται µόνο το Β i Ακριβώς ένα από τα Α, Β πραγµατοποιείται iν) Κανένα από τα Α, Β δεν πραγµατοποιείται. Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο Α Β Άρα Ρ( Α Β ) =Ρ( Α ) +Ρ( Β) Ρ( Α Β ) = 0,9+ 0,8 ( Ρ( Α Β ) ) = = 0,9 + 0,8 + 0, = Πραγµατοποιείται µόνο το Β σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το Β Α άρα i Ρ(Β Α) = Ρ(Β) Ρ(Α Β)=0, 8 0,7 = 0, Ακριβώς ένα από τα Α, Β πραγµατοποιείται σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ( Α Β) ( Β Α) άρα Ρ [( Α Β) ( Β Α)] =Ρ( Α Β) +Ρ( Β Α) Ρ[( Α Β) ( Β Α)] = = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) = 0,9 + 0,8 0,7 = 0,. iν) Κανένα από τα Α,Β δεν πραγµατοποιείται σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο ( Α Β ) οπότε Ρ(Α Β) = Ρ(Α Β) = = 0
6. Να αποδείξετε ότι = 6 Να λυθούν οι εξισώσεις α) 6 + = β) 9 + 6 + = 0 = ( ) = 6 = 6 α) Με βάση το (α) η εξίσωση γίνεται + = 6 + 6 = 6 = 4 ( = 4 ή = 4) = 7 ή = β) 9 + 6 + = 0 9 = 0 και 6 + = 0 =
7. Σε ένα θέατρο η πρώτη σειρά έχει 70 καθίσµατα και η τελευταία 50. Το πλήθος των καθισµάτων κάθε σειράς σχηµατίζει αριθµητική πρόοδο. Η προτελευταία σειρά έχει 40 καθίσµατα περισσότερα από την η σειρά Αποδείξτε ότι κάθε σειρά έχει 0 καθίσµατα περισσότερα από την προηγούµενη της Να βρείτε πόσα καθίσµατα έχει το θέατρο i Την πρώτη παράσταση την παρακολούθησαν 00 θεατές ενώ σε κάθε επόµενη παράσταση ο αριθµός των θεατών διπλασιαζότανε. Ποια είναι η παράσταση κατά την οποία για πρώτη φορά γέµισε το θέατρο; Έστω ν το πλήθος των σειρών του θεάτρου και ω η διαφορά της προόδου τότε από τα δεδοµένα έχουµε α = 70, α ν = 50, α ν- = α + 40 () αφού α ν = α ν- + ω λόγω των () έχουµε 50 = α + 40+ ω 50 = α + ω + 40 + ω 50 = 0 + ω ω = 0 Άρα κάθε σειρά έχει 0 καθίσµατα περισσότερα από την προηγούµενη της Τώρα από τον τύπο α ν = α + (ν ) ω 50 = 70 +( ν )0 ν = 0 Το πλήθος των καθισµάτων του θεάτρου είναι ίσο µε ( α +α0 )0 S 0 = = i (70+ 50)0 = 600 O αριθµός των θεατών κάθε παράστασης σχηµατίζει γεωµετρική πρόοδο µε πρώτον όρο α = 00 και λόγο λ = ψάχνουµε να βρούµε εκείνο τον όρο της γεωµετρικής προόδου ο οποίος είναι ίσος µε 600 Αν α k είναι ο ζητούµενος όρος τότε από τον τύπο α k = α λ κ- µε αντικατάσταση των δεδοµένων έχουµε
600 = 00 k- k- = 6 k- = 4 k = 5. Άρα το θέατρο γέµισε για πρώτη φορά στην 5 η παράσταση.
8. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν Ρ(Α Β) =, Ρ(Α Β) = και Ρ(Β Α) = 4 0 Να βρείτε την Ρ(Α) είξτε ότι Ρ(Β) = 4 i Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: α) Ένα µόνα από τα Α, Β πραγµατοποιείται. β) Το πολύ ένα από τα Α, Β πραγµατοποιείται Ρ( Α Β ) = 4 Ρ( Α) Ρ( Α Β ) = 4 Ρ( Α) = 0 4 Ρ ( Α) = + = 4 0 Ρ( Β Α ) = 0 Ρ( Β ) Ρ( Β Α ) = Ρ( Β) [ Ρ( Α) Ρ( Α Β )] = Ρ(Β) + = 0 0 Ρ( Β ) = 4 i α) Ρ[ ( Α Β) ( Β Α )] = = Ρ ( Α Β ) +Ρ( Β Α ) 9 = Ρ( Α ) +Ρ( Β) Ρ( Α Β ) = 0
β) Το πολύ ένα από τα Α, Β πραγµατοποιείται σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο : ( Α Β ) οπότε Ρ ( Α Β ) = Ρ ( Α Β ) = = 0 = 9 0
9. Έστω η συνάρτηση f() = λ + 6 6 + 9, λ R Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Μ, να βρείτε το λ i Αν λ = 5 δείξτε ότι f() = iν) Να βρείτε για ποιες τιµές του η γραφική παράσταση της f είναι ψηλότερα από τον άξονα των Προτεινόµενη λύση Πρέπει 6 + 9 0 ( ) 0 εποµένως Α f = R {} Πρέπει f() = 7 λ = 4 λ = 5 i Για λ = 5 έχουµε f() = 5 + 6 = 6 + 9 ( )( ) = ( ) iν) Πρέπει να ισχύει f() >0 > 0 ( )( ) >0 < ή >
0. Έστω η εξίσωση ( λ ) + = 0, λ R είξτε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ίση µε = 4λ 4λ Να λυθεί η ανίσωση < 0 i Να προσδιορίσετε τις τιµές του λ έτσι ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες iν) Αν, οι άνισες ρίζες της εξίσωσης, να λύσετε την ανίσωση + + < Προτεινόµενη λύση = β 4αγ = (λ ) 4 = 4λ 4λ + 4 = 4λ 4λ < 0 4λ 4λ < 0 Οι ρίζες του τριώνυµου = 4λ 4λ είναι οι λ =, λ = το πρόσηµο του τριώνυµου φαίνεται στον πίνακα λ Πρόσηµο του + 0 0 + + Από τον πίνακα βλέπουµε ότι < 0 < λ < i Θα πρέπει > 0 πράγµα που όπως φαίνεται από τον πίνακα του ( ισχύει όταν λ< iν) ή λ > Με την προϋπόθεση ότι λ < + = β = λ εποµένως α ή λ > + + < λ + < λ + < () από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι < λ + < < λ < 0 < λ < 0 και λόγω των () < λ <