16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex H. Să se determine numărul arborilor parţiali ai grafului H. Problema 2. Fie G = (V, E) un graf dat prin listele de adiacenţă, cu n vârfuri şi cu gradul maxim 2. Descrieţi un algoritm de complexitate timp O(n) pentru aflarea numărului de stabilitate, α(g), al acestui graf. Problema 3. Fie D = (V, E) un digraf. Se consideră digraful D c = (V c, E c ), unde V c este mulţimea componentelor tari conexe ale lui D, iar (C 1, C 2 ) E c dacă şi numai dacă C 1 şi C 2 sunt componente tari conexe diferite ale lui D şi există v C 1, u C 2 astfel încât (v, u) E. Demonstraţi că D c este un digraf aciclic (nu are circuite). Problema 4. Demonstraţi că pentru un graf oarecare G se poate construi în timp polinomial un graf bipartit G 1 astfel încât G este hamiltonian dacă şi numai dacă G 1 este hamiltonian. Problema 5. Fie x 1 un flux de valoare maximă în reţeaua R = (G, s, t, c). Să se arate că se poate construi în O( V + E ) o secţiune (S x 1, T x 1 ) astfel încât v(x 1 ) = c(s x 1, T x 1 ). Baza=10 puncte; Fiecare problemă=10 puncte; Redactaţi soluţiile pe foile proprii. 1
16-17 ianuarie 2016 a Problema 1. Să se arate că dacă G este graful reprezentativ al muchiilor unui graf H (G = L(H)), atunci G este un graf K 1,3 -free. Problema 2. Fie G = (V, E) un graf dat prin listele de adiacenţă, cu n vârfuri şi cu gradul maxim 2. Descrieţi un algoritm de complexitate timp O(n) pentru aflarea numărului cromatic, χ(g), al acestui graf. Problema 3. În reţeaua R = (G, s, t, c), x 1 x 2 sunt două fluxuri diferite, dar de aceeaşi valoare v(x 1 ) = v(x 2 ). Demonstraţi că există C un C-drum închis relativ la x 1 cu proprietatea că C, obţinut prin parcurgerea în sens contrar a lui C, este C-drum închis relativ la fluxul x 2. Problema 4. Se cunoaşte un algoritm care testează dacă un graf 2-conex G este planar, având complexitatea timp O( G ). Descrieţi (în limbaj natural) cum se poate folosi acesta pentru a testa dacă un graf oarecare H este planar în timpul O( H ) (justificare). Problema 5. Demonstraţi că dacă M 1 şi M 2 sunt două cuplaje în graful G cu M 1 M 2 = k atunci există în G k drumuri de creştere ale cuplajului M 2 distincte şi având doar muchii din M 1 M 2. a Baza=10 puncte; Fiecare problemă=10 puncte; Redactaţi soluţiile pe foile proprii. 2
16-17 ianuarie 2016 b Problema 1. Arătaţi că pentru orice graf G are loc inegalitatea χ(g) α(g) G. Problema 2. Fie G = (V, E) un graf dat prin listele de adiacenţă, cu n vârfuri şi cu gradul maxim 2. Descrieţi un algoritm de complexitate timp O(n) pentru testa dacă graful G este hamiltonian. Problema 3. În reţeaua R = (G, s, t, c) se cunoaşte un flux x de valoare v = v(x) > 0. Fie v un număr real astfel încât 0 < v < v. Descrieţi un algoritm eficient care să transforme fluxul x într-un flux de valoare v. Ce complexitate timp are algoritmul propus? Problema 4. Fie G = (V, E) un graf fără vârfuri izolate. Dacă A este o mulţime de muchii, notăm cu δ(a) reuniunea vârfurilor muchiilor din A. Descrieţi un algoritm care să determine o mulţime de muchii A de cardinal minim printre toate mulţimile de muchii A care satisfac proprietatea că δ(a) = V. Problema 5. Demonstraţi că dacă problema de mai jos se poate rezolva în timp polinomial, atunci se poate determina în timp polinomial numărul de stabilitate al unui graf oarecare. Intrare : G graf, k N. Întrebare: Există în G o clică Q cu Q k? b Baza=10 puncte; Fiecare problemă=10 puncte; Redactaţi soluţiile pe foile proprii. 3
16-17 ianuarie 2016 c Problema 1. Demonstraţi că graful desenat mai jos nu este planar, utilizând formula lui Euler (şi ideia demonstraţiilor din curs ale corolariilor 1 şi 2 ale ei). Problema 2. Fie G = (V, E) un graf dat cu ajutorul listelor de adiacenţă. Descrieţi un algoritm care să determine ordinul maxim al unui subgraf conex al lui G. Problema 3. Descrieţi un algoritm cu timp de lucru polinomial pentru a afla dacă într-un graf bipartit dat există k vârfuri neadiacente două câte două (k N >0 este dat). Problema 4. Valoarea fluxului maxim în reţeaua R = (G, s, t, c) este v. Reţeaua R se obţine din R considerând capacitatea fiecărui arc e E(G) ca fiind c (e) = λ c(e), unde λ este un număr real pozitiv. Este adevărat că valoarea fluxului maxim în reţeaua R este λ v? (Justificaţi răspunsul) Problema 5. Demonstraţi că dacă o muchie e face parte din orice arbore parţial al unui graf conex G, atunci G e nu-i conex. c Baza=10 puncte; Fiecare problemă=10 puncte; Redactaţi soluţiile pe foile proprii. 4
16-17 ianuarie 2016 d Problema 1. Demonstraţi că graful de mai jos nu are cuplaj perfect. Problema 2. Fie G = (V, E) un graf conex reprezentat cu ajutorul listelor de adiacenţă. Descrieţi un algoritm de complexitate O( V + E ) care să testeze dacă un vârf dat s V este punct de articulaţie. Problema 3. Fie G = (V, E) un graf şi c : E R + o funcţie de pondere pe muchiile sale. O secţiune este o bipartiţie (S, V S) a lui V (cu S, V ). Definim ponderea secţiunii (S, V S) ca fiind suma ponderilor muchiilor care au exact o extremitate in S. Să se arate că se poate determina în timp polinomial o secţiune de pondere minimă în graful G rezolvând un număr polinomial de probleme de flux maxim pe reţele convenabil alese. Problema 4. Demonstraţi că problema 3-SAT se reduce polinomial la problema următoare: COL Intrare : G graf. Întrebare: Există în G trei clici Q 1, Q 2, Q 3 disjuncte cu Q 1 Q 2 Q 3 = V (G)? Problema 5. Demonstraţi că matricea de incidenţă a oricărui digraf are proprietatea că valoarea determinantului oricărei submatrici (obţinută prin tăierea de linii şi coloane) pătrate a ei este 0, 1, sau -1. d Baza=10 puncte; Fiecare problemă=10 puncte; Redactaţi soluţiile pe foile proprii. 5
16-17 ianuarie 2016 e Problema 1. Fie V = {1, 2, 3, 4, 5}. Să se determine în câte moduri diferite pot fi conectate cele cinci vârfuri astfel încât să se obţină un arbore. Problema 2. Fie G = (V, E) un graf conex cu n 3 vârfuri şi m > 1 muchii, reprezentat cu ajutorul listelor de adiacenţă. Descrieţi un algoritm care să determine în timpul O(n + m) dacă pentru o muchie dată e, graful G are un circuit care să conţină muchia e. Problema 3. Descrieţi un algoritm cu timp de lucru polinomial pentru a afla dacă într-un graf bipartit G dat există k vârfuri prin îndepărtarea cărora se obţine graful nul (k N, 0 < k < G ). Problema 4. Demonstraţi că în orice reţea R = (G, s, t, c) există un flux x de valoare maximă cu proprietatea că în orice circuit C al digrafului G există un arc (i, j) astfel încât x ij = 0. Problema 5. Demonstraţi că dacă se dispune de un algoritm care să testeze dacă un digraf oarecare dat are un drum hamiltonian (deschis) atunci se poate testa în timp polinomial dacă un digraf oarecare dat are un circuit hamiltonian. e Baza=10 puncte; Fiecare problemă=10 puncte; Redactaţi soluţiile pe foile proprii. 6