Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 ( y ( y 1 G. x x Θέτοντας y xz, η διαφορική εξίσωση μετατρέπεται στην σ.δ.ε. xz 1 1 z. (1.1 Η τελευταία σδε αυτή επιδέχεται ως ιδιάζουσες λύσεις 1 τις συναρτήσεις z(x 1 και z(x 1, το οποίο σημαίνει ότι η αρχική δ.ε. επιδέχεται τις (ειδικές λύσεις y(x x και y(x x, αντίστοιχα. Στα (συνεκτικά χωρία του x, z επιπέδου που χωρίζουν οι ευθείες z ±1, η σ.δ.ε. (1.1 μπορεί να γραφεί στην μορφή dz 1 1 z x dx, 1 Υπενθυμίζουμε ότι, οι ιδιάζουσες λύσεις προκύπτουν θεωρώντας στάσιμες λύσεις, δηλαδή θέτοντας στη σδε την συνθήκη z (x 0. Στην συγκεκριμένη σδε (1.1, αν z (x 0 τότε θα πρέπει z(x ±1, που ικανοποιούν πράγματι την συνθήκη z (x 0. από όπου, μετά την ολοκλήρωση κατά μέλη, βρίσκουμε arcsin(z ln x + c, c R. Επιστρέφοντας στην μεταβλητή y xz, συμπεραίνουμε ότι η γενική λύση της αρχικής σδε δίνεται έμμεσα από τη σχέση ( y(x arcsin ln x + c, c R x καθώς και οι ειδικές λύσεις y(x x και y(x x. Άσκηση. Να βρεθεί η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών dx 3x y + y x 3, y(1. + 3xy Η εξίσωση μπορεί να γραφεί ισοδύναμα στη μορφή 3x y + y + (x 3 + 3xyy 0. (.1
Θεωρούμε τις συναρτήσεις M(x, y 3x y + y, N(x, y x 3 + 3xy. Οι συναρτήσεις αυτές, ως πολυώνυμα των x και y, ανήκουν στην κλάση C (R και M y (x, y 3x + y, N x (x, y 6x + 3y, για όλα τα (x, y R. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι η δ.ε. δεν είναι ακριβής, αφού M y N x. Από την άλλη όμως, N x (x, y M y (x, y M(x, y 3x + y 3x y + y 3x + y (3x + yy 1 y F (y. Συνεπώς, η εξίσωση (.1 δέχεται έναν ολοκληρωτικό ( µ(y exp F (y e ln y y. Έτσι λοιπόν, καταλήγουμε στην ακριβή διαφορική εξίσωση 3x y + y 3 + (x 3 y + 3xy y 0. (. Παρατηρούμε όμως ότι, και x (x3 y + xy 3 3x y + y 3 y (x3 y + xy 3 x 3 y + 3xy. Επομένως, η σ.δ.ε. (. γράφεται ισοδύναμα ως 0 x (x3 y + xy 3 + y (x3 y + xy 3 y d dx (x3 y + xy 3, άρα η γενική λύση της δ.ε. (., και συνεπώς και της (.1, δίνεται έμμεσα από τη σχέση x 3 y + xy 3 c, c R. (.3 Συγκεκριμένα, για τη λύση που περνάει από το σημείο (1,, η σταθερά c θα πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση ( + ( 3 c, δηλαδή θα πρέπει c 4. Συμπερασματικά, η λύση y(x του π.α.τ. δίνεται πεπλεγμένα μέσω της σχέσης x 3 y(x + xy(x 3 4. Γενικά, για κάθε τιμή της παραμέτρου c, οι ολοκληρωτικές καμπύλες της σδε, αποτελούνται από τρεις συνεκτικές συνιστώσες, που αντιστοιχούν στις τρεις πραγματικές συναρτήσεις που προκύπτουν από την επίλυση του πολυωνύμου τρίτου βαθμού (.3 ως προς y (ή ισοδύναμα ως προς x. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται η ολοκληρωτική καμπύλη για c 4. Η μοναδική λύση του πατ είναι εκείνη η συνεκτική συνιστώσα της καμπύλης που διέρχεται από το σημείο (1,. Η ευθεία y 0 (x-άξονας είναι ιδιάζουσα λύση της σδε.
Άσκηση 3. (i Έστω a 1, a, b 1 και b πραγματικοί αριθμοί ώστε a 1 b a b 1 0. (3.1 Να βρεθούν πραγματικοί αριθμοί h, k, έτσι ώστε ο μετασχηματισμός x + h y ỹ + k να μετατρέπει τη διαφορική εξίσωση dx a 1x + b 1 y + c 1 a x + b y + c, c 1, c R σε ομογενή διαφορική εξίσωση, δηλαδή σε εξίσωση της μορφής ( dỹ ỹ d G. (ii Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 10 x + y dx x y 9, σε οποιοδήποτε συνεκτικό χωρίο D του R, που δεν περιέχει κανένα Υπενθυμίζουμε ότι ένα χωρίο του R τμήμα της ευθείας y x 9. λέγεται συνεκτικό αν δεν είναι η ένωση δυο, ή περισσότερων, ξένων χωρίων του R. (i Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό x + h, y ỹ + k, στη σ.δ.ε. dx a 1x + b 1 y + c 1 a x + b y + c, βρίσκουμε ότι η τελευταία μετασχηματίζεται στην παρακάτω σδε dỹ d a 1 + a 1 h + b 1 ỹ + b 1 k + c 1 a + a h + b ỹ + b k + c a 1 + b 1 ỹ + (a 1 h + b 1 k + c 1 a + b ỹ + (a h + b k + c. Η μετασχηματισμένη σδε είναι ομογενής αν ισχύει ότι και a 1 h + b 1 k + c 1 0 a h + b k + c 0, Πραγματικά, στην περίπτωση αυτή η μετασχηματισμένη σδε ανάγεται στην dỹ d a 1 + b 1 ỹ a + b ỹ a ( 1 + b ỹ ( 1 ỹ ( a + b ỹ G, σε οποιοδήποτε χωρίο του R που δεν περιέχει την ευθεία 0. Αρκεί, λοιπόν, οι αριθμοί h, k να ικανοποιούν το γραμμικό σύστημα a 1 h + b 1 k c 1 a h + b k c
το οποίο ισοδύναμα, σε μορφή πινάκων, γράφεται ως ( ( ( a 1 b 1 h c 1. a b k c Η ορίζουσα του πίνακα ( a 1 b 1 A a b είναι det A a 1 b a b 1. Από την υπόθεση της άσκησης (σχέση (3.1, έχουμε ότι det A 0, και συνεπώς το παραπάνω σύστημα έχει μοναδική λύση, την ( h k ( A 1 c 1 c ( ( 1 b b 1 a 1 b a b 1 a a 1 ( ( 1 b b 1 a 1 b a b 1 a a 1 c 1 c c 1 c. Συμπερασματικά, ο μετασχηματισμός 3 x + h y ỹ + k 3 Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία του μετασχηματισμού αυτού; με ( ( ( h 1 b b 1 c 1, k a 1 b a b 1 a a 1 c μετατρέπει τη διαφορική εξίσωση dx a 1x + b 1 y + c 1 a x + b y + c στην ομογενή διαφορική εξίσωση dỹ d a ( 1 + b ỹ 1 ( a + b ỹ. (ii Η συγκεκριμένη σδε ανήκει στην κλάση των σδε του ερωτήματος (i και a 1 b a b 1 ( ( 1 4 0. Συνεπώς, εφραμόζοντας το μετασχηματισμό x + h για ( ( ( h 1 1 k 10 9 y ỹ + k ( ( 1 1 1 1 ( 10 9 5 9 10 9 ( 4, 1
οδηγούμαστε στην ομογενή σδε dỹ d + ( ỹ ( ỹ. (3. Εισάγοντας την εξαρτημένη μεταβλητή z ỹ/, η εξίσωση (3. μετατρέπεται στη σδε z + z z z που, ισοδύναμα, γίνεται z z z. (3.3 Οι ιδιάζουσες λύσεις της σδε (3.3 είναι οι z(x ±, οι οποίες αντιστοιχούν στις ειδικές λύσεις της σδε (3., ỹ ±, οι οποίες με τη σειρά τους, αντιστοιχούν στις ειδικές λύσεις της αρχικής σδε, y (x 4 1 x 3 1 και y (x 4 1 x + 3 1. Στο x, z επίπεδο, στα χωρία που δεν περιέχουν τις ευθείες z ±, η σδε (3.3 παίρνει τη μορφή z z z 1 και άρα z z dz ln + 1 c, c R. Η συνάρτηση z z αναλύεται σε απλά κλάσματα ως οπότε z z 1 1 z + 1 1 z +, ( 1 ln z ( + 1 ln z + ln + c. Επιστρέφοντας στις αρχικές μεταβλητές x και y, μέσω των σχέσεων z ỹ/, x + 4 και y ỹ 1, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η γενική λύση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης δίνεται, πεπλεγμένα, από τη σχέση ( 1 ln y + 1 x 4 ( +1 ln y + 1 x 4 + ln +c, c R μαζί με τις ειδικές λύσεις y(x x 3 1, y(x x + 3 1.
Ορθογώνιες Τροχιές Καμπυλών Έστω C F μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών του επιπέδου που δίνεται από μια σχέση της μορφής F (x, y, c 0, c R Ορθογώνιες τροχιές της οικογένειας C F, καλείται η οικογένεια καμπυλών CF του επιπέδου, της οποίας το κάθε μέλος τέμνει κάθετα κάθε μέλος της οικογένειας καμπυλών C F. Η μέθοδος για την εύρεσή τους στηρίζεται στο γεγονός ότι οι κλίσεις, s 1, s δύο κάθετα τεμνόμενων καμπυλών σε ένα σημείο, ικανοποιούν την σχέση s 1 s 1. Πιο συγκεκριμένα, για να βρούμε τις ορθογώνιες τροχιές μιας δοσμένης οικογένειας καμπυλών C F ακολουθούμε τα εξής βήματα: Πρώτα απ όλα βρίσκουμε την σδε που ικανοποιεί η οικογένεια καμπυλών C F. Αυτό επιτυγχάνεται, ως εξής: Παραγωγίζουμε την σχέση F (x, y, c 0 ως προς x θεωρώντας το y ως συνάρτηση του x, δηλαδή: F x + F y y (x 0 Από τις δυο σχέσεις F (x, y, c 0 F x + F y y (x 0 απαλείφουμε τη σταθερή c. 4 Έτσι καταλήγουμε σε μια σχέση της μορφής G(x, y, y 0. 4 Λύνουμε την μια εξίσωση ως προς c και αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στην άλλη. Η τελευταία είναι η σδε που ικανοποιούν τα μέλη της οικογένειας καμπυλών C F. Εκτελούμε στην σδε G(x, y, y 0 την αντικατάσταση y 1 y και έτσι παίρνουμε την σδε G (x, y, 1y 0 Η τελευταία είναι η σδε που ικανοποιούν τα μέλη της οικογένειας καμπυλών CF, τα οποία τέμνουν κάθετα όλα τα μέλη της οικογένειας καμπυλών C F. Συμπερασματικά, η γενική λύση της σδε αριστερά αποτελεί το ζητούμενο, δηλαδή την εξίσωση των ορθογώνιων τροχιών της οικογένειας καμπυλών C F.
Άσκηση 4. Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές της οικογένειας των παραβολών του επιπέδου, y c x, c R με c 0. Παραγωγίζοντας την εξίσωση y c x ως προς x, έχουμε y y c Απαλείφουμε από τις σχέσεις y c x και y y c την παράμετρο c και έχουμε xy y c x y. και αφού c 0, τότε y 0, και συνεπώς η σδε που ικανοποιεί η οικογένεια των παραβολών είναι η x y y Εκτελούμε στην τελευταία την αντικατάσταση y 1/y, και γίνεται x 1 y y ή ισοδύναμα, y y + x 0. Η τελευταία είναι η σδε των ζητούμενων ορθογώνιων τροχιών των δοσμένων παραβολών και ολοκληρώνεται πολύ εύκολα (χωριζομένων μεταβλητών για να μας δώσει y + x C. Επομένως, οι ορθογώνιες τροχίες της οικογένειας y c x, είναι οι ελλείψεις της μορφής y + x C, C > 0. Οι ορθογώνιες τροχιές της οικογένειας των παραβολών (μπλε καμπύλες είναι μια οικογένεια ελλείψεων (διακεκομμένες κόκκινες καμπύλες. Άσκηση 5. Να βρεθεί η οικογένεια των καμπυλών του επιπέδου που τέμνουν κάθετα κάθε ευθεία της μορφής y m x, m R. Η οικογένεια των ζητούμενων καμπυλών, είναι οι ορθογώνιες τροχιές της οικογένειας ευθειών y m x, m R. Παραγωγίζοντας, την σχέση y m x ως προς x παίρνουμε y m και απαλείφοντας την παράμετρο m, από τις δυο τελευταίες εξισώσεις παίρνουμε x y y. Επομένως, η διαφορική εξίσωση των ορθογώνιων τροχιών είναι x 1 y y y y + x 0 y y + x 0 (y + x 0. Συνεπώς, οι καμπύλες που τέμνουν κάθετα κάθε ευθεία της μορφής y m x, m R, είναι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το (0, 0. y + x C, C > 0. Οι ορθογώνιες τροχιές της οικογένειας των ευθειών y m x, είναι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το (0, 0.
Άσκηση 6. Να βρεθεί η οικογένεια των καμπυλών του επιπέδου που τέμνουν κάθετα την οικογένεια καμπυλών x + y c x, c R, με c 0. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η οικογένεια των δοσμένων καμπυλών, είναι κύκλοι της μορφής (x c + y c Θα βρούμε τις ορθογώνιες τροχιές των παραπάνω κύκλων. Παραγωγίζοντας, την τελευταία ως προς x παίρνουμε (x c + y y 0 c x + y y και αντικαθιστώντας στην x + y c x εύκολα βρίσκουμε ότι η σδε της δοσμένης οικογένειας κύκλων είναι η x y y y x Αντικαθιστώντας στην τελευταία y 1/y η σδε των ορθογώνιων τροχιών είναι η x y 1 y y x (y x y + x y 0 Η τελευταία είναι ομογενής σδε. Όμως, ακολουθώντας τα βήματα για την εύρεση ολοκληρωτικού παράγοντα βρίσκουμε ότι διαιρώντας την σδε με y μετατρέπεται σε ακριβή. Πράγματι η σδε x y dx + (1 x y 0 είναι ακριβής. Η συνάρτηση δυναμικού είναι u(x, y x y + y, αφού u x x y και u y 1 x y. Συνεπώς οι ορθογώνιες τροχιές δίνονται από την μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών u(x, y C x y + y C x + y C y Πρόκειται για μια άλλη μονοπαραμετρική οικογένεια κύκλων της μορφής x + (y C C, C R, C 0, τα κέντρα των οποίων διατρέχουν τον y-άξονα, σε αντιδιαστολή με την αρχική οικογένεια κύκλων των οποίων τα κέντρα διατρέχουν τον x-άξονα. Οι οικογένειες των κύκλων που τέμνονται κάθετα.
Τροχιές που τέμνονται υπό γωνία β: Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα tan(α ± β tan α ± tan β 1 tan α tan β μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι αν y F (x, y είναι η σδε μιας οικογένειας καμπυλών C F, τότε η οικογένεια καμπυλών που τέμνει κάθε μέλος της C F υπό γωνία β δίνεται από την γενική λύση της σδε y F (x, y + tan β (A.1 1 F (x, y tan β Όταν β π τότε tan β. Ωστόσο, και η περίπτωση αυτή περιλαμβάνεται στην (A.1. Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή στην (A.1 με cos β και θέτοντας β π, η σδε ανάγεται στην y 1 F (x, y δηλαδή στην σδε των ορθογώνιων τροχιών της οικογένειας C F.