ài tập ôn đội tuyển năm 015 guyễn Văn inh Số 6 ài 1. ho tứ giác ngoại tiếp. hứng minh rằng trung trực của các cạnh,,, cắt nhau tạo thành một tứ giác ngoại tiếp. J 1 1 1 1 hứng minh. Gọi 1 1 1 1 là tứ giác tạo bởi giao điểm các trung trực của,,,. Gọi là giao của và, (J) là đường tròn nội tiếp tam giác. Kẻ tiếp tuyến của (J) song song với, cắt, lần lượt tại,. a có tứ giác J nội tiếp nên J = J = J. Suy ra J. Suy ra = J hay J =. ặt khác, = 90 + 1 = 90 + 1 = J. Suy ra J. a thu được = hay J =. J Suy ra = hay =. Vậy. o 1, 1 lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác, nên 1 1 hay 1 1. à 1 1 nên 1 1 và lại có 1 1 nên 1 1 1. hứng minh tương tự suy ra tứ giác 1 1 1 1 đồng dạng tứ giác. à tứ giác ngoại tiếp nên 1 1 1 1 ngoại tiếp. ài. ho tứ giác nội tiếp. ột đường tròn bất kì qua, cắt, tại 1,, cắt, tại 1,. ột đường tròn bất kì qua, cắt, tại 1,, cắt, tại 1,. 1
hứng minh rằng các đường thẳng 1, 1, 1, 1 cắt nhau tạo thành một tứ giác ngoại tiếp. Q 1 1 1 1 hứng minh. Gọi Q là tứ giác tạo bởi giao điểm của 1, 1, 1, 1. o các tứ giác và nội tiếp nên, tương tự 1 1. ừ đó suy ra 1 1 là hình thang cân, ta thu được 1 1 là tam giác cân. hứng minh tương tự suy ra các tam giác Q 1 1, 1, 1 cân. Suy ra + Q = + + 1 + 1 Q = 1 + 1 + 1 + Q 1 = Q +. Vậy tứ giác Q ngoại tiếp. ài 3. (guyễn Văn inh). ho tứ giác. Gọi, lần lượt là hình chiếu của, trên ;, lần lượt là hình chiếu của, trên. hứng minh rằng tứ giác ngoại tiếp khi và chỉ khi tứ giác ngoại tiếp. ' ' ' '
hứng minh. ễ thấy các tứ giác,,, nội tiếp đường tròn đường kính,,,. Đặt = = = = α. heo định lý hàm số sin, = sin = sin α, = sin = sin α. Suy ra + = sin α( + ). ương tự + = sin α( + ). ừ đó tứ giác ngoại tiếp khi và chỉ khi + = + khi và chỉ khi + = + hay tứ giác ngoại tiếp. ài 4. (Đào hanh ai). ho tứ giác ngoại tiếp. giao tại. ột đường tròn ω có tâm bất kì. ác đường đối cực của, ứng với ω cắt tại,. ác đường đối cực của, ứng với ω cắt tại,. hứng minh rằng tứ giác ngoại tiếp. hứng minh. ách 1. ' U ' Q X Y ' ' V Gọi X, Y,, là các điểm liên hợp của,,, ứng với ω. Suy ra Y nội tiếp đường tròn đường kính. a có Y. =. nên Y nội tiếp. ừ đó. ương tự suy ra hai tứ giác và có cạnh tương ứng song song. ừ đó ta có thể chọn ω sao cho,. Gọi,, Q là tiếp điểm của đường tròn () nội tiếp tứ giác với,,. cắt, lần lượt tại U, V. o nên U = = U, suy ra = U = Q. ương tự, = V = Q. Gọi R là giao của và R + R suy ra RU = RV =. Vậy U, V là tiếp điểm của đường tròn (J) nội tiếp tam giác R với R, R. hư vậy (J) tiếp xúc với,, lần lượt tại U, V, Q. ặt khác,,, đồng quy nên,, UV đồng quy. Áp dụng định lý rianchon đảo cho lục giác U V suy ra tiếp xúc với (J). Vậy tứ giác ngoại tiếp hay ngoại tiếp. ách. 3
' X Y ' ' ' Gọi X, Y,, lần lượt là điểm liên hợp với,,, ứng với ω. Gọi r là bán kính của ω. a có X = Y = = = r nên phép nghịch đảo r :,,,. o đó là tứ giác ngoại tiếp (xem []). Áp dụng bài toán 3 suy ra đpcm. ài 5. ho tứ giác lưỡng tâm có tâm đường tròn ngoại tiếp là. Gọi, F lần lượt là giao điểm của và, và. hứng minh rằng tồn tại một đường tròn tâm tiếp xúc với bốn đường tròn ngoại tiếp các tam giác,, F, F. hứng minh. rước tiên ta phát biểu một bổ đề. ổ đề 1. ho tứ giác nội tiếp đường tròn (), ngoại tiếp đường tròn (). giao tại. Khi đó,, thẳng hàng. hứng minh. 1 1 1 1 Gọi 1, 1, 1, 1 lần lượt là giao điểm của,,, với (). ằng một số phép cộng góc đơn giản dễ thấy 1 1 và 1 1 là các đường kính của (). Gọi là giao điểm của 1 và 1. Áp dụng định lý ascal cho 6 điểm 1, 1, 1, 1,, suy ra,, thẳng hàng. ại áp dụng định lý ascal cho 6 điểm,,,, 1, 1 suy ra,, thẳng hàng. hư vậy nằm trên. rở lại bài toán. 4
G K H X Y J F Gọi là điểm iquel của tứ giác toàn phần F. Khi đó dễ thấy nằm trên F và,, thẳng hàng. Áp dụng bổ đề trên suy ra,,, thẳng hàng. ừ kẻ tiếp tuyến K, tới (). ừ kẻ H K,. Gọi X, Y,, lần lượt là tiếp điểm của,,, với (). heo kết quả quen thuộc,,, X, Y đồng quy tại. o đó F là đường đối cực của với đường tròn (). Suy ra nằm trên đường đối cực của với () hay nằm trên K. heo định lý rocard, là trực tâm của tam giác F suy ra. =.F. ặt khác tứ giác nội tiếp nên bằng một số phép cộng góc đơn giản, phân giác các góc và F vuông góc với nhau tại. ức là tam giác F vuông tại có là đường cao. a thu được.f =. hư vậy. = hay =. Gọi là giao của với H. a có = = K H =. Suy ra, tức là là trung điểm H. Gọi G, J là giao điểm thứ hai của K, với (). a có () là đường tròn nội tiếp tam giác nên theo định lý oncelet, () đồng thời là đường tròn nội tiếp tam giác GJ. à là trung điểm đoạn nối hai tiếp điểm của đường tròn ω(, H) với G, J nên theo bổ đề Sawayama, ω là đường tròn mixtilinear nội tiếp ứng với đỉnh của tam giác GJ. ức là ω tiếp xúc với (). hứng minh tương tự ta cũng có ω tiếp xúc với (), (F ), (F ). 5
ài 6. ho tứ giác ngoại tiếp đường tròn (). giao tại, giao tại. Đường thẳng qua vuông góc với cắt, lần lượt tại X, Y. Đường thẳng qua X song song với cắt đường thẳng qua Y song song với tại. hứng minh rằng X + Y = X + Y. W V Q K Y S F R X G J hứng minh. Gọi,,, Q lần lượt là tiếp điểm của () với,,,. Q cắt tại W, Q cắt tại V. XY cắt, tại S, R. a có nằm trên đường đối cực của, F, V, W nên, F, V, W nằm trên đường đối cực của, suy ra, F, V, W thẳng hàng. heo định lý rocard, F nên F XY. ại có (F ) = 1 nên X = Y. ương tự S = R. Qua Y kẻ đường song song với cắt Q tại, suy ra Y =. à X = Y nên Y = QX. ừ đó QX =. Vậy X + Y = Q + =. Gọi J, K là giao của X, Y với. Qua X kẻ đường song song với cắt tại G. Suy ra XG = XJ. à X = Y nên X = KY. Suy ra X + Y = J + K = J. a có J = X R = Y S = K nên,, F thẳng hàng. ễ thấy V,, thẳng hàng. Suy ra J F = X R = X S = V V F. hư vậy ta cần chứng minh V V F = F hay V = V F sin sin V F, khi và chỉ khi = F sin V sin F V, hiển nhiên đúng. Vậy = J hay X + Y = X + Y. ài 7. ột đường thẳng qua và song song với một cạnh của tứ giác lưỡng tâm cắt hai cạnh đối diện còn lại tại,. hứng minh rằng độ dài không phụ thuộc vào việc chọn cạnh của tứ giác để kẻ song song với nó. 6
K hứng minh. Gọi và K là hai đường thẳng qua và lần lượt song song với, (, K ;, ). a có = = 180 o = K nên tứ giác K nội tiếp, từ đó hai tam giác K và đồng dạng. o hai tam giác này có đường cao hạ từ đều bằng r nên K =, =, K =. ễ thấy tam giác cân tại nên =. ương tự, =, K = K, =. Suy ra = + K = + + + K = + + K = + = 1 ( + + + ). = 1 ( + ++) và không phụ thuộc vào việc chọn cạnh của tứ giác. 4 7