A Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 1. kx x kx x kx x kx x x 8 x 5x 10 x x x x x x. λ 5x 10x 5 x x 10 x x x κ x x κ ( x ) λ( x ). ( α 1 )( x ) α ( x ) ( α 1)( x ) α ( x ) ( α )( x ) α ( x ). 1x 1 kx k x z 5x 15 z αx β βx α 10x x 10 1x 5. x 9 x x 1 x x x 15x 0x z 18ω zω 6. 7. ( ) ( β) ( ) ( β) 8x 7ax 1 a β αβ αβ 6 α α β αγ βγ β αβ αβ 6α x x x x a x a x 8. α γ x 1 x x 9 x 6 1 x x 9 α β 9 81α 9β 9. 6 6 16 α x ω x x 16 x x α β 7αβ 10. 5 x x αx α βx β x x x x x 8 9 9 1 B Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 1. α αβ β x x x x x x 1 x x x 1 x. 9x 1xk k 9 x 6 x 8x 16 x kx kx k x x. 00x 600x 00 6 x x 1 x x x x x x x. 5 5 16 6 6 α αβ β α αβ β κ 6κ 9 Μαθηματικός Τηλ 10651576-7 /106500 1
Γ Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 1. x x x x 10 x 5 x x x 5 x x 6 x 1 7x. x 7x 100 0 6 x 5 x x 1 x Δ Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 1. α β αβ α β ( x 1) x 0α 5α β 8 αβ 8x 6 x 1x 9 5. x 9x 6 kx 8kx kx 8 k 8x 7x 1 x x 9 x x x 1 5 7. 6x x 9 x 5x 81 x 6x 8 x ( 1 κ λ) κ λ 1 5 ( ) ( ) ( ) α α α α α ( ) ( κ λ) ( κ λ). x 1 1 1 1 x x 9 6 Ε Να γίνουν γινόµενα οι παραστάσεις. ν 1 ν ν 1) x 10x 1x 8 x ) 5 x 5 x 15 x ) 15α β α β 6α β ) α µ βν α ν µβ 6) x( α β ) αβ ( x ) ν µ ν µ ν µ 5) α x α αβ x αβ β x β 16 8 κ κ 7) 5x 6 8) x 9) α β 10) 8x 5 x ν ν µ µ 11) 9x x 16 1) 16 9x 56x 1) α α β β 1) κ λ κ λ κ λ κλ 15) x 15x 16) x x 15 17) x 11x 1 18)9x 6x 19***) x 8 0****) α α β β 1***) x 500 ***) α 18 α 5 ) 9x 6x ω ) 6 α 6 αβ 9 β γ 10 γδ 5 δ 5) x x 8 8 6) x x 7) x x ω x ω ω x ω x ω x ω 8) x x 6 6 8 8 9) α β 0) α x Μαθηματικός Τηλ 10651576-7 /106500
Τηλ 10651576-7 /106500 1 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : i i i x x = x x x x = x x x x = 16x x 9 x = 16x x 9 x 8 6 8 6 6 i i 6x 5x = 6x 6x 5x 5x = 6 x 6 5 x x 5 x = 6x 60x 5x = 6x 60x 5x 6 6 6 5 5 6 i i Αν x = - - 7 και = 7 - να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x - x 7 7 7 7 ( 7)( 7 ) Αντικαθιστούµε τo x και στην Α και έχουµε : A= 7 7 = = ( 16 7 7 7 ) = ( 1) ( 7) ( 7 8 7 16) ( 16 7 ) = ( 7) 7 ( 8 7) ( 16 7) = = 7 8 7 16 8 7 9= 7 8 7 16 8 7 18= 8 α β α - β Να αποδειχθεί ότι : - = α β Βγάζουµε την µεγάλη παρένθεση υψώνοντας αριθµητή και παρονοµαστή στη δευτέρα. αβ α β α αββ α αββ Θα έχουµε : = = = αβ =αβ οµώνυµα α αββ α αβ β Να βρεθούν τα αναπτύγµατα ( α ) βγ Με βάση την προσεταιριστική ιδιότητα : αβγ= αβ γ=α βγ έχουµε : όρ ( αβ ) γ = ( αβ ) ( αβ) γγ =α αββ ( αγβγ ) γ = 1 όρ =α β γ αβ βγ αγ Μαθηματικός Τηλ 10651576-7 /106500 1
( α ) βγ όρ ( α β ) γ = ( α β ) ( α β) γγ =α αββ ( αγ βγ ) γ = 1 όρ ( α ) β γ =α β γ αβ βγ αγ όρ ( αβ) γ = ( αβ) ( αβ) γγ =α αββ ( αγβγ ) γ = 1 όρ ( α ) β γ ( α β) γ 1 όρ όρ =α β γ αβ βγ αγ 5 Να αποδείξετε ότι : = α β α β γγ =α αββ αγ βγ γ = =α β γ αβ βγ αγ α β γ αβ γ α βγ αβγ = 8αγ Με βάση την άσκηση αποδείξαµε ότι: α β γ =α β γ αβ αγ βγ αβ γ =α β γ αβ αγ βγ α βγ =α β γ αβ αγ βα αβγ =α β γ αβ αγ βα Ά ρα θα έχουµε : α β γ αβ αγ βγ α β γ αβ αγ βγ ( ) ( ) α β γ αβ αγ βα α β γ αβ αγ βα = α β γ αγ α β γ αβ αγ βα α β γ αβ αγ βα = α β γ α β γ 8 αγ αγ= αγ Μαθηματικός Τηλ 10651576-7 /106500
6 Αν = να βρείτε την τιµή της παράστασης i) Α= και ii) Β= i) Θα υψώσουµε την δοσµένη σχέση στο τετράγωνο. Έτσι θα έχουµε: = = 1 Άρα Α = = 1 = 16 = 16 = 16 Έχουµε = ii) Β = - 7 Nα βρεθούν τα αναπτύγµατα : = = = 1 = 8 α α = α α α α α α 1 όρ όρ = α α α α α α 6 6 9 = 7α 9 α α 16 α α 6α = 7α 108α 1α 6α 6 6 9 = 7α 108α 1α 6α 6 7 7 9 1 = = όρ 1 όρ ( x ) x ( ) ( ) ( x ) ( ) ( x ) ( x ) 8 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : ( x ) ( x ) ( ) = x x x = 8 x 16 x 6 x 9 6 6 9 6 6 = 8 8 x 96 x 6 x Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα α β ( α β ) = α - β 1 όρ όρ ΕΞΥΠΝΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ!!! ο ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Τον 1 όρο µας τον δείχνει η παρένθεση της διαφοράς ( α β). α β = β α Άρα : x ( )( ) α β β α = x = 9x 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 α β β α = α β β α = β α = = β α = 9β α = 9β α ( αβ ) = ( α β) ( α β ) = ( αβ) ( βα ) = ( β ( α) ) Μαθηματικός Τηλ 10651576-7 /106500
9 Να γίνουν γινόµενα οι παραστάσεις : 8 6 1 16x 5x [ ] Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα : α - β = α - β α β ιαφορά Τετραγώνων 1 Για αριθµούς χρησιµοποιούµε τον ορισµό της ρίζας. Άρα : 16 =, 5= 5 Για τις µεταβλητές διαιρούµε τον εκθέτη µε το 8 6 8 6 Άρα : x x = x, = 1 1 6 x x = x, = 8 6 1 8 6 1 6 Την παράσταση 16x 5x την γράφουµε:16x 5x = x 5x 1 όρ όρ M ε βάση την παραπάνω ταυτότητα έχουµε : 16x 5x = x 5x = x 5x x 5x 1 όρ όρ 8 6 1 6 6 6 10 Να αποδείξετε ότι : ( α β ) ( α 1 β 1 ) ( α β ) ( α 6 β 6 ) ( α 1 β 1 ) = ( β α 1 β 1 ) Θα ξεκινήσουµε από το 1 µέλ για να καταλήξουµε στο. Θα οµαδοποιήσουµε τις παρενθέσεις σε αύξουσα σειρά των δυνάµεων Έτσι θα έχουµε: ο 6 6 1 1 1 1 α β α β α β α β α β ιαφορά Τετραγώνων α β αβ =α β 6 6 1 1 1 1 = α β α β α β α β 6 6 6 6 1 1 1 1 = α β α β α β α β 6 6 6 6 1 1 1 1 6 6 1 1 1 1 = α β α β α β α β = α β α β α β ιαφορά Τετραγώνων α β αβ = α β Μαθηματικός Τηλ 10651576-7 /106500 ο ( α β ) =α αββ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = α β α β α β = α β α β ιαφορά Τετραγώνων α β αβ =α β ( 1 1) 1 1 = α β α α β β = α = β α β β α Τετράγωνο ιαφοράς 1 1 1 1 α β β = β α β
11 Να µετατραπούν τα παρακάτω κλάσµατα σε ρητούς παρονοµαστές. 8 15 5 10 i) ii) iii) iv) 5 8 5 6 7 5 7 Για να έχουµε σε ένα κλάσµα ρητό παρονοµαστή πρέπει να µην υπάρχουν ρίζες. Την απαλοιφή τους θα την καταφέρουµε πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή πάρασταση όπως µας δείχνει ο παρακάτω πίνακας. Μορφή Συζυγή Αποτέλεσµα αβ α β α β α β αβ α β α β α β α β α β α β α β κ αβ κ α β κα β κ α β κ αβ κα β κ αλ β κ α λ β κα λβ κ α λ β κ αλ β κα λβ **** Ιδιότητα ριζών : α = α *** Χρησιµοποιούµε την ταυτότητα ΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ : α β αβ =α β = α 8 i) 5 Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή παράσταση ( ) ( ) [ πρόσηµο] 8 8 ( 5 ) 8 ( 5 ) = = ( 5 ) ( 5 )( 5 ) ( ) της 5 η οποία είναι η 5. Αλλάζουµε απλά το ( ) ( ) [ πρόσηµο] 15 15 ( 8 5) 15 ( 8 5) ( 8 5) ( 8 5)( 8 5) ( ) 8 ( 5 ) 8 5 Ά ρα : = = ( 5) 5 16 11 15 ii) 8 5 Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή παράσταση της 8 5 η οποία είναι η 8 5. Αλλάζουµε απλά το Ά ρα : = = 15 ( 8 5) 15 8 5 = = ( 8) 8 5 17 5 Μαθηματικός Τηλ 10651576-7 /106500 5
5 iii) 6 7 Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή παράσταση ( ) ( ) [ πρόσηµο] 5 5 ( 6 7 ) 5 ( 6 7 ) ( 6 7 ) ( 6 7 )( 6 7 ) της 6 7 η οποία είναι η 6 7. Αλλάζουµε απλά το Ά ρα : = = 5 6 7 5 7 15 = = = 70 70 ( ) ( ) 6 8 ( 7 ) ( 7 ) 10 iv) 5 7 Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή παράσταση 70 ( ) ( ) [ πρόσηµο] 10 10 ( 5 7 ) 10 ( 5 7 ) ( 5 7 ) ( 5 7 )( 5 7 ) της 5 7 η οποία είναι η 5 7. Αλλάζουµε απλά το Ά ρα : = = 18 = 5 5 6 7 10 5 7 10 5 7 = = = 70 5 5 1 1 Αν x = να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: x 1 1 1 1 i) x ii) x iii) x ( 1 x) 1, x 0 x 8x x x Θα χησιµοποιήσουµε τις εξής ταυτότητες: ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΙΑΦΟΡΑΣ : α β =α αββ ΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒ ΩΝ : α β = ( α β)( α αββ ) 18 7 ( ) ( ) ΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ!!!! : Άθροισµα Κύβων α β = αβ α αββ 5 6 7 5 6 7 = = 6 8 9 88 18 10 5 7 10 5 7 = = 9 5 9 5 98 1 i) Θα υψώσουµε την ισότητα x = στο τετράγωνο και τα µέλη. x 1 Άρα θα έχουµε: x = x x x 1 x = 16 1 1 x = 17 x x 1 x 1 1 = 16 x 1 = 16 x x Μαθηματικός Τηλ 10651576-7 /106500 6
1 1 1 1 1 Άρα θα έχουµε: x = x = x x x 8x x x x x 1 όρ όρ ii) Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα ΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ : α β = α β α αββ 1 1 1 = x x 1 1 1 5 x x 17 x = = = = 5= 70 x x x ίσο µε ίσο µε 17 iii) Eφαρµόζουµε την Επιµεριστική Ιδιότητα 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x ( 1 x) 1 = x 1 x x 1 = x x = x x x x x x x x x x x = 17 70= 87 17 70 1 Να αποδείξετε ότι : 1 5 5 7 8 11 6= 5 7 8 Σε τέτοιου είδους ασκήσεις προσπαθούµε να δηµιουργήσουµε Ταυτότητες του τετραγώνου της µορφής : ( α± β ) = ( α ) ± α β ( β) = Έ χουµε : 1 5 5 7 8 11 6 5 7 5 7 5 7 8 8 6 = 5 7 5 7 5 7 8 8 6 = 5 7 5 7 5 7 8 8 ( αβ) = 5 7 5 7 5 7 8 8 8 ( 5 7) ( 5 7) ( 8 ) ( 8 ) ( α β) ( α β) = ( 5 7) ( 8 ) ( 5 7) ( 8 ) = = Μαθηματικός Τηλ 10651576-7 /106500 7