MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM

Lea Lepmann Tiit Lepmann MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM Ülesanded, lahendused, kommentaarid ja soovitused

Kõigi käesolevas kogumikus kasutatud riigi- ja katseeksamite ülesannete autoriõigused kuuluvad Sihtasutusele Innove. Toimetanud Kristi Kingo Kujundanud Irina Gron Autoriõigus: AS Atlex ja autorid, 016 Kõik õigused kaitstud. Igasugune autoriõigusega kaitstud materjali ebaseaduslik paljundamine ja levitamine toob kaasa seaduses ettenähtud vastutuse. AS Atlex Kivi 3 51009 Tartu Tel 734 9099 Faks 734 8915 atlex@atlex.ee www.atlex.ee ISBN 978-9949-49-61-9

SAATEKS Käesolev kogumik on mõeldud eeskätt matemaatika kitsa või laia kursuse riigieksamiks valmistuvatele abiturientidele ja teistele, kes soovivad mingil põhjusel seda eksamit sooritada. Usume, et ka matemaatikaõpetajad leiavad siit ideid oma õpilaste paremaks ettevalmistamiseks. Kogumik sisaldab kõiki 014. ja 015. aasta laia ja kitsa kursuse matemaatika riigieksami ülesandeid koos lahendustega. Esmalt on esitatud 014. ja 015. aasta eksamiülesannete tekstid, millele on lisatud ülesannete lahendatused protsentides. Lahendatus näitab, mitu protsenti maksimaalsest võimalikust punktide arvust eksamil tegelikult keskmiselt saadi. See näitaja annab lahendajale aimu ülesande raskusest. Ülesannete tekstidele järgnevad lahendused. Kus võimalik, esitatakse ülesandele mitu erinevat lahendusteed. Neid kõiki tasub uurida. Siis saab kogumiku kasutaja otsustada, milline neist on talle sobivaim ja mõistetavaim. Erinevate lahenduskäikude läbitöötamine aitab ülesande lahendusteed valida ka tulevikus muude ülesannete puhul. Kitsa ja laia kursuse eksamid sisaldavad 50 punkti ulatuses ühisosa. Need ülesanded on mõlemas eksamitöös suhteliselt sarnased. Ka kõigi selliste ülesannete lahendused esitatakse kogumikus täies mahus. Kitsa kursuse eksami ülesannete lahendusi seletatakse mõnevõrra detailsemalt kui laia kursuse omi. Seetõttu on laia kursuse eksamiks valmistujatel soovitav uurida või lahendada ka kitsa kursuse ülesandeid ja vastupidi. Iga ülesande lahendusele eelneb rubriik Meenutuseks. Selles esitatakse olulisemad ülesande lahendamiseks vajaminevad matemaatika mõisted ja seosed. Kindlasti ei piisa riigieksamile minekuks vaid nende valemite ja mõistete omandamisest. Ülesande erinevatele lahendustele järgneb rubriik Kommentaare ja soovitusi. Raamatu autorid on mõlema aasta eksamitööde osas läbi viinud tulemuste statistilise analüüsi (vt SA Innove kodulehelt rubriike Riigieksamid/Materjalid ) ja läbi vaadanud ca 10% kummagi aasta juhuvalikuga komplekteeritud eksamitöödest. Selle analüüsi olulisemad tulemused kajastuvadki vaadeldavas rubriigis. Lugeja leiab siit näiteid eksamitöödes sagedamini esinenud vigadest ja soovitusi nende vältimiseks. Samuti juhitakse tähelepanu lahenduse vormistamisele ja antakse ideid ülesandele sobivaima lahendustee valikuks. Liiga keeruline ja pikk lahendustee võtab eksamil rohkem aega ja annab ka rohkem võimalusi vigade tekkeks. Kogumiku kasutajal ei soovita me alustada esitatud lahenduste uurimisest. Navigatsiooniseadme (GPSi) kasutamine teejuhina võõras linnas ei taga tavaliselt läbitud marsruudi meelde jäämist, nii ei taga ka kogumikus esitatud lahendustega tutvumine ja neist arusaamine veel oskust analoogilisi ülesandeid iseseisvalt lahendada. Parim tee matemaatika õppimiseks on ise ülesanded läbi lahendada. 3

Seega tuleks kõigepealt püüda ülesannet ikkagi ise lahendada. Kui see ei õnnestu, võib lahenduse ideele juhatada rubriigis Meenutuseks esitatu. Kui ka see ei aita, siis võiks abi otsida alajaotusest Kommentaare ja soovitusi. Kogumikus esitatud lahenduste uurimine jäägu sellel teel kõige viimaseks õlekõrreks. Kui olete ise ülesandele ühe või mitu lahendusteed leidnud, on selle järel soovitav tutvuda ka kogumikus esitatud lahenduskäikudega ja võrrelda neid enda omaga. Tuleks mõelda veel üldisemalt: milline tee ja miks on mõistlik tulevikus analoogiliste ülesannete lahendamiseks valida. Kogumiku lõppu on lisatud ülesandeid päris iseseisvaks lahendamiseks. Need pärinevad aastatel 01 ja 013 läbiviidud matemaatika riigieksamit ettevalmistavatest katsetöödest. Autorid tänavad SA Innovet loa eest kasutada matemaatika riigieksami materjale. Jõudu ja edu matemaatikaülesannete lahendamisel! Autorid

SISUKORD 014. ja 015. aasta matemaatika riigieksami ülesanded... 6 Kitsa kursuse eksam 014... 6 Laia kursuse eksam 014... 9 Kitsa kursuse eksam 015... 1 Laia kursuse eksam 015... 15 Lahendused... 18 Kitsa kursuse eksam 014... 18 Laia kursuse eksam 014... 50 Kitsa kursuse eksam 015... 81 Laia kursuse eksam 015...11 Iseseisvaks lahendamiseks... 145 5

014. ja 015. aasta MATEMAATIKA RIIGIEKSAMI ÜLESANDED Kitsa kursuse eksam 014 I osa (lahendusaeg 10 min) I-1*. (5 punkti, lahendatus,8%) 1 Lihtsustage avaldis k k k k 1 ja arvutage kirjalikult selle täpne väärtus, kui 1 k = 16 1. I-*. (5 punkti, lahendatus 56,3%) Poes on müügil melonid kolmest riigist Hispaaniast, Kreekast ja Marokost. Melonid ei erine väliselt, küll aga erinevad maitse poolest. Müügisaali letil on 5 Hispaanias, 7 Kreekas ja 3 Marokos kasvatatud melonit. Leidke tõenäosus, et 1) üks juhuslikult valitud melon on kasvatatud Marokos; ) üks juhuslikult valitud melon ei ole pärit Hispaaniast; 3) kaks juhuslikult valitud melonit on mõlemad kasvatatud Kreekas. I-3. (5 punkti, lahendatus 35,0%) On antud funktsioon f x x x ( ) = 4 3 + 7. Leidke kõik argumendi x väärtused, mille korral on funktsiooni f (x) väärtused suuremad arvust 6. I-4. (5 punkti, lahendatus 4,3%) Joonisel on funktsiooni f (x) = sin x graafik. 1. Lahendage võrrand sin x = 1 lõigul [0; π].. Leidke funktsiooni f (x) = sin x kahanemisvahemik lõigul [0; π]. 1 Tärniga on märgitud kitsa ja laia kursuse eksami ühisossa kuuluvad ülesanded. 6

I-5*. (10 punkti, lahendatus 5,4%) Lahendage võrrandid: 3 1. 16 x = log ( x+ 8) + log 5 = log ( x).. I-6*. (10 punkti, lahendatus 6,4%) Metsaäärne peenramaa on täisnurkse trapetsi kujuline. Peenramaad tahetakse metsloomade eest kaitsta võrguga. Trapetsikujulise peenramaa lühem diagonaal on 10 m, pikem haar 6 m ja nendevaheline nurk 10. Mitu meetrit võrku kulub peenramaa piiramiseks? Lõppvastus esitage täpsusega 1 meeter. I-7. (10 punkti, lahendatus 51,0%) 1*. Oksjonil müüdi maali alghinnaga 150 eurot. Nii esimene kui ka iga järgmine hinnapakkuja suurendas panust ühe ja sama summa võrra. On teada, et kümnes pakkumine oli 900 eurot ja maali ostis kolmekümnenda pakkumise teinud osaleja. Mis hinnaga osteti maal?. Samal oksjonil müüdi ka antiikese, mille väärtus oli 10 000 eurot. Palju maksab antiikese 4 aasta pärast, kui selle väärtus kasvab 0% aastas? II osa (lahendusaeg 150 min) II-1. (10 punkti, lahendatus 30,3%) 1 3 On antud funktsiooni f( x) = x x graafik (vt joonist). 3 3 1*. Leidke funktsiooni f (x) nullkohad ja positiivsuspiirkond. *. Arvutage funktsiooni f (x) miinimumpunkti koordinaadid. 3. Arvutage f (x) graafiku kõikide selliste punktide koordinaadid, mille korral kehtib võrdus f ' (x) = x. II-. (10 punkti, lahendatus 18,8%) On antud punktid A( 1; 1) ja B(5; 3). 1. Ringjoone diameeter on lõik AB. Koostage ringjoone võrrand.. Arvutage selle ringjoone pikkus. 3. Koostage lõigu AB keskristsirge võrrand. 7

II-3*. (10 punkti, lahendatus 17,1%) Väikeses tõlkebüroos töötab 3 inimest: juhataja, tõlk ja toimetaja. 1. Kui tõsta tõlgi palka 10% ja toimetaja palka 0% võrra, siis oleks nende palkade summa 1600 eurot. Kui aga tõlgi palka tõsta 0% ja toimetaja palka 10% võrra, siis oleks nende palkade summa 160 eurot. Arvutage tõlgi ja toimetaja palk.. Kõikide töötajate palkade summa on 3000 eurot. Mitu protsenti moodustab juhataja palk tõlgi palgast? II-4. (10 punkti, lahendatus 33,0%) Kõvertrapetsit piiravad jooned y x x = + 5, x = 1, x = ja x-telg. 1. Joonistage kõvertrapets koordinaatteljestikku.. Arvutage kõvertrapetsi pindala. II-5. (10 punkti, lahendatus 31,1%) Korrapärase kolmnurkse püstprisma kujulisse vaasi valatakse pool liitrit vett. Vaasi kõrgus on 0 cm ja põhiserv on 14 cm. 1. Arvutage veetaseme kõrgus vaasis.. Kui suur osa vaasi sisust jääb veega täitmata? NB! Vaasi seinte ja põhja paksust arvutamisel ei arvestata. 8

Laia kursuse eksam 014 I osa (lahendusaeg 10 min) I-1*. (5 punkti, lahendatus 61,7%) Lihtsustage avaldis m m+ m + m 1 ja arvutage kirjalikult selle täpne väärtus, kui 1 m = 7 3. I-*. (5 punkti, lahendatus 83,4%) Poes on müügil melonid kolmest riigist Marokost, Hispaaniast ja Kreekast. Melonid ei erine väliselt, küll aga erinevad maitse poolest. Müügisaali letil on 5 Marokos, 7 Hispaanias ja 3 Kreekas kasvatatud melonit. Leidke tõenäosus, et 1) üks juhuslikult valitud melon on kasvatatud Kreekas; ) üks juhuslikult valitud melon ei ole pärit Marokost; 3) kaks juhuslikult valitud melonit on mõlemad kasvatatud Hispaanias. I-3. (5 punkti, lahendatus 63,6%) Joonisel on funktsioonide f( x) = x + 6x 5 ja g(x) = 5 x graafikud. 1. Viirutage antud joontega piiratud kujund.. Arvutage selle viirutatud kujundi pindala. I-4. (5 punkti, lahendatus 60,7%) Ruumis on antud vektorid a = ( 1; 5; 4) ja b = (3; 5; ). Arvutage vektori c = a b koordinaadid ning nurk vektorite a ja b vahel. I-5*. (10 punkti, lahendatus 59,0%) Lahendage võrrandid: 5 1. 16 x+ = 3 log ( x+ 5) + log 5 = log ( x 5).. 9

I-6*. (10 punkti, lahendatus 58,5%) Metsaäärne põllumaa on täisnurkse trapetsi kujuline. Põllumaad tahetakse metsloomade eest kaitsta võrguga. Põllumaa lühem diagonaal on 0 m, pikem haar 1 m ja nendevaheline nurk 10. Mitu meetrit võrku kulub põllumaa piiramiseks? Lõppvastus esitage täpsusega 1 meeter. I-7. (10 punkti, lahendatus 55,3%) 1*. Oksjonil müüdi maali alghinnaga 150 eurot. Nii esimene kui ka iga järgmine hinnapakkuja suurendas panust ühe ja sama summa võrra. On teada, et kümnes pakkumine oli 1400 eurot ning maali ostis kolmekümnenda pakkumise teinud osaleja. Mis hinnaga osteti maal?. Samal oksjonil müüdi antiikese, mille ostuhind oli 500 eurot. Eksperdi hinnangul oli eseme tegelik väärtus vaid 1900 eurot. Eksperdi hinnangul tõuseb eseme väärtus 4% aastas. Mitu aastat peaks oksjoni toimumisest mööduma, et eseme tegelik väärtus ja ostuhind oleksid võrdsed? II osa (lahendusaeg 150 min) II-1. (10 punkti, lahendatus 51,7%) On antud funktsiooni 3 f( x) x x 3 3 = + graafik (vt joonist). 1*. Leidke funktsiooni f (x) nullkohad ja negatiivsuspiirkond. *. Arvutage funktsiooni f (x) maksimumpunkti koordinaadid. 3. Funktsiooni f (x) graafiku puutuja kohal x 0 = on sirge 14 y = x+. Koostage võrrand sirgele, mis on antud puutujaga 3 paralleelne ning ka antud funktsiooni graafiku puutuja. II-. (10 punkti, lahendatus 49,4% ) 1 Sirge s: y = x 1 lõikab x-telge punktis A. Sirge t läbib punkti A, on sirgega s risti ja lõikab y-telge punktis B. Sirge u läbib punkti B, on y-teljega risti ning lõikab sirget s punktis C. 1. Arvutage punktide A, B ja C koordinaadid ning koostage sirgete t ja u võrrandid.. Koostage kolmnurga ABC ümberringjoone võrrand. 10

II-3*. (10 punkti, lahendatus 60,1%) Väikeses tõlkebüroos töötab 3 inimest: juhataja, tõlk ja toimetaja. 1. Kui tõsta tõlgi palka 30% ja toimetaja palka 0% võrra, siis oleks nende palkade summa 400 eurot. Kui aga tõlgi palka tõsta 0% ja toimetaja palka 30% võrra, siis oleks nende palkade summa 350 eurot. Arvutage tõlgi ja toimetaja palk.. Kõikide töötajate palkade summa on 4000 eurot. Mitu protsenti moodustab juhataja palk tõlgi palgast? II-4. (10 punkti, lahendatus 33,4%) 1 On antud funktsioon f( x) = cos x. 1 1. Lahendage lõigul [0; π] võrrand f( x ) =. 8 π. Võrrandi f (x) a = 0 lahendite vahe lõigul [0; π] on. Leidke arvutuste teel parameetri a 3 väärtus. II-5. (10 punkti, lahendatus 37,6%) Püramiidi KABCD põhjaks on ruut ABCD. Püramiidi külgtahk KAB on risti põhjaga. Selle külgtahu kõrgus FK jaotab lõigu AB nii, et lõikude AF ja BF pikkused suhtuvad nagu 1 :. Püramiidi pikim külgserv KC pikkusega 4 cm moodustab püramiidi põhjaga nurga 45. Arvutage püramiidi KABCD ruumala. 11

Kitsa kursuse eksam 015 I osa (lahendusaeg 10 min) I-1*. (5 punkti, lahendatus 44,3%) Lihtsustage avaldis 4 4 1 b 3,5 1 6a a : a + a b 3a 6, kus a > 0, b 0. I-*. (5 punkti, lahendatus 34,%) 1 Joonestage koordinaatteljestikku sirged y = x+ ja x = 6. 1. Viirutage kujund, mis on piiratud antud sirgete ja mõlema koordinaatteljega.. Arvutage viirutatud kujundi pindala. I-3. (5 punkti, lahendatus 48,%) Joonisel on funktsiooni f( x) = cos x graafik π lõigul ; π. 1. Leidke antud lõigul funktsiooni f( x ) negatiivsuspiirkond ja graafiku miinimumpunkti koordinaadid.. Kas punkt A π ; 1 asub funktsiooni f( x ) 3 graafikul? Põhjendage oma vastust. I-4. (5 punkti, lahendatus 57,4%) Karbis on rohelised ja punased pliiatsid, kokku 7 pliiatsit. Valides juhuslikult ühe pliiatsi, on punase pliiatsi saamise tõenäosus 4 9. 1. Mitu punast ja mitu rohelist pliiatsit on karbis?. Arvutage järgmiste sündmuste tõenäosus: 1) üks juhuslikult võetud pliiats on roheline; ) kaks juhuslikult võetud pliiatsit on mõlemad punased. 1

I-5. (10 punkti, lahendatus 31,%) Lahendage võrratusesüsteem 5 x< x 5 3x 3 x+ 1 4 6 ja leidke selle võrratusesüsteemi kõik täisarvulised lahendid. I-6. (10 punkti, lahendatus 7,9%) Lahendage võrrandid: 1. 9 x+ = 0 7 1 *. log x = log + log ( x+ 4) I-7*. (10 punkti, lahendatus 8,0%) Õpilane Juhan joonestas GeoGebra arvutiprogrammi abil võrdhaarse kolmnurga ABC. Kolmnurga haar BC oli pikkusega 10 cm ja tipunurk ACB oli 64. Juhan joonestas haarale BC kõrguse, mis jaotas kolmnurga ABC kaheks osaks: kolmnurkadeks ABD ja ACD. Juhanile näis, et kolmnurga ABD pindala oli korda suurem kui kolmnurga ACD pindala. Arvutage kolmnurkade ABD ja ACD pindalad ning otsustage, kas Juhanil oli õigus. II osa (lahendusaeg 150 min) II-1. (10 punkti, lahendatus 46,%) 1. Arvutage funktsiooni f( x) = x x 3 nullkohad ja graafiku haripunkti koordinaadid ning konstrueerige funktsiooni graafik. 3 *. On antud funktsioon gx ( ) = 1,5x 0,5 x. Arvutage selle funktsiooni ekstreemumkohad ja leidke kasvamisvahemik. 13

II-. (10 punkti, lahendatus 50,3%) Kolmnurga ABC tippude koordinaadid on A( 4; ), B(; 4) ja C(8; 4). 1. Joonestage kolmnurk ABC koordinaattasandile.. Koostage sirge AB võrrand. 3. Koostage võrrand sirgele, kui sirge läbib kolmnurga külje AC keskpunkti M ning on paralleelne kolmnurga küljega AB. Joonestage see sirge. II-3*. (10 punkti, lahendatus 9,7%) Perekond Kuusk jälgis 013. aasta 1. jaanuarist 014. aasta 31. detsembrini, kui palju kulus neil raha toidukaupade ostmiseks. Selgus, et vaadeldud perioodil kulus perel igas kuus ühe ja sama summa võrra rohkem raha kui eelmises kuus. 1. 013. aasta esimesel kahel kuul kulus perel toidukaupade ostmiseks kokku 67,5 eurot ja 014. aasta märtsis 370 eurot. Kui palju raha kulus perel toidukaupade ostmiseks 014. aasta detsembris?. Mitu eurot kulus perel vaadeldud perioodil toidukaupade ostmiseks keskmiselt ühes kuus? 3. Mitme protsendi võrra oli 014. aasta detsembrikuu kulu suurem 013. aasta jaanuarikuu kulust? II-4*. (10 punkti, lahendatus 1,6%) 1. Kui suure rasvasisaldusega koor saadi, kui segati 00 ml 10% rasvasisaldusega koort ja 300 ml 35% rasvasisaldusega koort?. Kui palju tuleb võtta 10% rasvasisaldusega koort ja kui palju 35% rasvasisaldusega koort, et nende segamise tulemusena saada 1000 ml 0% rasvasisaldusega koort? II-5. (10 punkti, lahendatus 43,5%) Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus on 10 cm ja põhitahu diagonaal on 1 cm. 1. Tehke ülesande tekstiga sobiv joonis.. Arvutage püramiidi ruumala ning nurk külgtahu ja põhitahu vahel. 14