Δίθυρα κυκλώµατα ΗΡΑΚΛΗ Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΥ: ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Περιεχόµενα 9. Παράµετροι και περιγραφή διθύρων 530 9... Περιγραφή µε την µήτρα Ζ 53 9..2. Περιγραφή µε την µήτρα Υ 533 9..3. Περιγραφή µε την µήτρα Τ 535 9..4. Περιγραφή µε την µήτρα h 537 9..5. Περιγραφή µε την µήτρα g 538 9..6 Ισοδυναµία παραµέτρων 539 9.2 Ισοδυναµία διθύρων 540 9.2. Ισοδύναµα Τ και Π 54 9.3 Σύνδεση Διθύρων 543 9.4 Χρήσιµες συναρτήσεις διθύρων 545 9.5 Αντιστρεψιµότητα και συµµετρία 547 9.6 Δύο χρήσιµα θεωρήµατα 548 9.6. Θεώρηµα αντιστάθµισης Ι 549 9.6.2 Θεώρηµα αντιστάθµισης ΙΙ 552 Ασκήσεις και Προβλήµατα 556-529-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 9. Παράµετροι και περιγραφή διθύρων Ενα κύκλωµα µε τέσσερις ακροδέκτες ενδιαφέροντος, οργανωµένους σε δύο ζεύγη, όπως στο σχήµα 9., λέγεται δίθυρο αν ισχύει η συνθήκη Brune: Ι =-Ι N και Ι 2 =-Ι 2 N οπότε οι ακροδέκτες -N και 2-2N αποτελούν την θύρα και 2 αντίστοιχα. ΣΧΗΜΑ 9. Σε κάθε θύρα ορίζονται φυσικά δύο ηλεκτρικά µεγέθη, το ρεύµα Ι i και η τάση V i για i=,2. Αξίζει να σηµειωθεί ευθύς εξ αρχής ότι σε κάθε θύρα µόνο η µια µεταβλητή είναι ανεξάρτητη, η δε άλλη καθορίζεται απο αυτήν και το υπόλοιπο κύκλωµα. Ετσι σε κάθε θύρα, αν η µία ποσότητα Ι i η V i θεωρηθεί ως διέγερση του διθύρου, η αλλη ποσότητα θα είναι απόκριση στην θεωρούµενη διέγερση. Ενώ ένα µονόθυρο κύκλωµα περιγράφεται µόνο µε δύο τρόπους (V=ZI και I=YV ) στην περίπτωση των διθύρων υπάρχουν περισσότεροι τρόποι περιγραφής µε την περιγραφή δύο µεταβλητών του συναρτήσει των άλλων δύο. Τα µονόθυρα στοιχεία περιγράφονται από την σχέση ρεύµατος-τάσεως V=ZI, η οποία είναι ανεξάρτητη από το που είναι συνδεµένα. Η µετασχηµατισµένη τους αντίσταση Z, δεν εξαρτάται παρά µόνον από το ίδιο το µονόθυρο. Ο δεύτερος τρόπος περιγραφής τους είναι η έκφραση του ρεύµατος συναρτήσει της τάσης I=YV, όπου η Y είναι η µετασχηµατισµένη τους αγωγιµότητα, που είναι το αντίστροφο της Z. ΣΧΗΜΑ 9.2 Στα δίθυρα κυκλώµατα έχουµε δύο τάσεις και δύο ρεύµατα και αναζητούµε τον αναξάρτητο από το που είναι συνδεµένο το δίθυρο τρόπο περιγραφής τους, -530-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ εκφράζοντας τις δύο µεταβλητές συναρτήσει των δύο άλλων. Υπάρχουν τρεις τρόποι περιγραφής ενός διθύρου. Κάθε τρόπος οδηγεί στον ορισµό δύο παραµέτρων του διθύρου συναρτήσει των δύο άλλων. Σε κάθε τρόπο περιγραφής, υπάρχει και ο αντίστροφος, γεγονός που ανεβάζει τον συνολικό αριθµό των περιγραφών σε εξη. Ολοι οι τρόποι περιγραφής του διθύρου είναι ισοδύναµοι, µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο που η περιγρφή ενός αντιστάτη από την αντίστασή του ή την αγωγιµότητά του είναι το ίδιο ακριβής και χρήσιµη. 9... Περιγραφή µε την µήτρα Ζ Παράµετροι µιγαδικών αντιστάσεων µε ανοιχτοκυκλώµατα Στην περίπτωση αυτή το δίθυρο περιγράφεται απο το σύστηµα V z I % z 2 z 2 I % (9.α) ή σε µητρική µορφή V z z 2 I z 2 ή V Z I (9.β) Η µήτρα Z ονοµάζεται µήτρα µιγαδικών αντιστάσεων µε ανοιχτοκυκλώµατα αφού τα στοιχεία της µπορούν και υπολογίζονται θεωρώντας κάθε φορά ότι η µια θύρα είναι ανοικτή. Τόσο οι τάσεις όσο και τα ρεύµατα, είναι µετασχηµατισµένα κατά Laplace και εποµένως και οι παράµετροι z ij είναι συναρτήσεις του s. Οι παραπάνω εξισώσεις καθορίζουν το µοντέλο του διθύρου του σχήµαος 9.3. ΣΧΗΜΑ 9.3 Οι εξωτερικοί ορισµοί των παραµέτρων µιγαδικής αντίστασης µε ανοιχτοκυκλώµατα δίνονται παρακάτω. Ο όρος "εξωτερικοί" υποδηλώνει ότι τα εµπλεκόµενα µεγέθη για τον ορισµό των παραµέτρων µπορούν να µετρηθούν στις θύρες του διθύρου, χωρίς να χρειάζονται εσωτερικές λεπτοµέρειες του κυκλώµατος. -53-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ z V I 0 z 2 I 0 (9.2) I 0 z 2 V I 0 Στα κυκλώµατα RLCM (δηλ. µε αντιστάσεις, πηνία, πυκνωτές και µετασχηµατιστές) και γενικά σε όλα τα αντιστρέψιµα (reciprocal) κυκλώµατα αποδεικνύεται ότι z 2 =z 2. Παρατηρήστε επίσης ότι η παράµετρος z είναι η µετασχηµατισµένη (µιγαδική) αντίσταση εισόδου µε ανοιχτοκυκλωµένη την έξοδο και η η αντίσταση εξόδου µε ανοιχτοκυκλωµένη την είσοδο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9. Στο κύκλωµα του σχήµατος 9.4 είναι προφανές ότι µε ανοικτοκυκλωµένη την έξοδο z %R ενώ µε ανοικτοκυκλωµένη την είσοδο z sc 22 %R sc 2 Γιά τον υπολογισµό της z 2 θεωρώντας την θύρα 2 ανοικτοκυκλωµένη ( =0) έχουµε: z 2 I R R I I αφού όλο το ρεύµα περνάει από την αντίσταση R και η τάση της είναι ίση µε την τάση της θύρας 2 λόγω του ανοικτοκυκλώµατος. ΣΧΗΜΑ 9.4 Αντίστοιχα, για τον υπολογισµό της z 2 θεωρούµε ανοικτό κύκλωµα στην θύρα ( Ι =0), οπότε το ρεύµα Ι 2 περνάει όλο από την αντίσταση: z 2 V R R -532-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Εποµένως οι παράµετροι µιγαδικής αντίστασης µε ανοικτοκυκλώµατα είναι Z R% sc R R R% sc2 9..2. Περιγραφή µε την µήτρα Υ Παράµετροι µιγαδικών αγωγιµοτήτων µε βραχυκυκλώµατα Αντιστρέφοντας την προηγούµενη περιγραφή βρίσκουµε: I y V % y 2 y 2 V % y 22 (9.3α) ή σε µητρική µορφή I y y 2 y 2 y 22 V ή I Y V (9.3β) Η µήτρα Y λέγεται µήτρα µιγαδικών αγωγιµοτήτων µε βραχυκυκλώµατα γιατί τα στοιχεία της µπορούν και υπολογίζονται θεωρώντας κάθε φορά ότι η µια θύρα είναι βραχυκυκλωµένη. Οι ορισµοί των παραµέτρων µιγαδικής αγωγιµότητας µε βραχυκυκλώµατα δίνονται παρακάτω. y I V 0 y 2 V 0 (9.4) y 22 V 0 y 2 I V 0 Οι εξισώσεις 9.3 καθορίζουν το µοντέλο του διθύρου του σχήµατος 9.5. ΣΧΗΜΑ 9.5 Στα κυκλώµατα RLCM (δηλ. µε αντιστάσεις, πηνία, πυκνωτές και µετασχηµατιστές) -533-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ και γενικά σε όλα τα αντιστρέψιµα (reciprocal) κυκλώµατα ισχύει y 2 =y 2. Παρατηρήστε ότι η παράµετρος y είναι η µιγαδική αγωγιµότητα εισόδου µε βραχυκυκλωµένη την έξοδο και η y 22 η αγωγιµότητα εξόδου µε βραχυκυκλωµένη την είσοδο. Σηµειώστε επίσης ότι γιά τις µήτρες Y και Z ισχύει ότι Y=Z - ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9.2 Υπολογισµός των παραµέτρων y ij του κυκλώµατος της εφαρµογής 9. (σχήµα 9.4). Στο κύκλωµα του σχήµατος 9.6 είναι προφανές ότι µε βραχυκυκλωµένη την έξοδο y R % sc src 2 % αφού ο πυκνωτής συνδέεται µε το βραχυκύκλωµα παράλληλα προς την αντίσταση. Με βραχυκυκλωµένη την είσοδο, έχουµε για την αγωγιµότητα εξόδου y 22 R % sc 2 src % ΣΧΗΜΑ 9.6 Γιά τον υπολογισµό της y 2 = /V θεωρώντας την θύρα 2 βραχυκυκλωµένη ( =0) έχουµε (ΝΡΚ): απ όπου βρίσκουµε (V & V) sc & VsC 2 V R V V sc R % sc % sc 2 και εποµένως &VsC 2 & V s 2 C C 2 R % sc % sc 2 Από τον ορισµό του y 2 προκύπτει ότι τελικά y 2 V! s 2 C C 2 R % sc % sc 2-534-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Με αντίστοιχο τρόπο, βραχυκυκλώνοντας την είσοδο, βρίσκουµε ότι y 2! s 2 C C 2 R % sc % sc 2 y 2 9..3. Περιγραφή µε την µήτρα Τ Παράµετροι µετάδοσης ή αλυσίδας ή παράµετροι ABCD Κατά την περιγραφή αυτή, το δίθυρο περιγράφοεται απο τις εξισώσεις V A & B I C & D (9.5α) ή σε µητρική µορφή V A B I C D & ή V I T & (9.5β) Οι εξωτερικοί ορισµοί των στοιχείων της µήτρας Τ δίνονται παρακάτω: A V 0 B & V 0 (9.6) C I 0 D & I 0 Η µήτρα Τ υπάρχει πάντα σε αντίθεση µε τις Ζ και Y που σε µερικές περιπτώσεις δεν υπάρχουν, πράγµα που σηµαίνει ότι τα αντίστοιχα κυκλώµατα δεν µπορούν να περιγραφούν από αυτές. Αποδεικνύεται ότι στα αντιστρέψιµα κυκλώµατα RLCM ισχύει πάντα η ταυτότητα AD-BC=. Αν αντιστρέψει κανείς την περιγραφή και εκφράσει τα, συναρτήσει των V, I, θα οδηγηθεί σε έναν ακόµα τρόπο περιγραφής του διθύρου, τον αντίστροφο, ο οποίος όµως δεν χρησιµοποιείται ιδιαίτερα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9.3 Να υπολογιστούν οι παράµετροι ABCD του διθύρου κυκλώµατος του σχ. 9.4. Με βραχυκυκλωµένη την θύρα 2 (σχήµα 9.7), υπολογίζουµε τις παραµέτρους Β και D. έχουµε από τον ΝΡΚ -535-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (V & V) sc & VsC 2 V R απ όπου βρίσκουµε V V sc R %sc %sc 2 και εποµένως &VsC 2! V s 2 C C 2 R %sc %sc 2 ΣΧΗΜΑ 9.7 Από τον ορισµό του Β προκύπτει ότι τελικά B & V R % sc % sc 2 s 2 C C 2 s(c % C 2 )R % s 2 RC C 2 Για το D χρειαζόµαστε τις εκφράσεις των δύο ρευµάτων. Εχουµε ήδη βρεί ότι &VsC 2 Ι % Ι 2 V R από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι D & I % sc 2 R sc 2 R % sc 2 R Για τον υπολογισµό των A και C, θεωρούµε ανοικτοκύκλωµα στην θύρα 2. Κάτω από αυτές τις συνθήκες, η τάση του αντιστάτη γίνεται και όλο το ρεύµα Ι -536-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ περνάει από την R. Eποµένως έχουµε (V & ) sc R απ όπου προκύπτει ότι A V sc R % sc R sc R Για το C έχουµε C I I I R R (Ελέγξτε αν AD-BC=, ελέγχοντας µε έτσι και την ορθότητα των αποτελεσµάτων.) 9..4. Περιγραφή µε την µήτρα h (Υβριδικές παράµετροι) Η περιγραφή του διθύρου µε τις ιβρυδικές παραµέτρους χρησιµοποιείται κυρίως στην ανάλυση κυκλωµάτων µε transistor. Κατά την περιγραφή αυτή το δίθυρο περιγράφεται απο τις εξισώσεις: V h I % h 2 h 2 I % h 22 (9.7α) V h h 2 I h 2 h 22 ή V h I (9.7β) Οι εξωτερικοί ορισµοί των στοιχείων της µήτρας h δίνονται παρακάτω: h V I V2 0 h 2 I V2 0 h 2 V I 0 h 22 I 0 (9.8) ΣΧΗΜΑ 9.8-537-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Οι σχέσεις 9.7 περιγραφής του διθύρου µε τις υβριδικές παραµέτρους, καθορίζουν το το µοντέλο του διθύρου του σχήµατος 9.8. Στα αντιστρέψιµα κυκλώµατα RLCM (όχι στο transistor) αποδεικνύεται ότι ισχύει η ταυτότητα h 2 =-h 2. 9..5. Περιγραφή µε την µήτρα g (Αντίστροφες υβριδικές παράµετροι) Η περιγραφή του διθύρου µε τις αντίστροφες ιβρυδικές παραµέτρους χρησιµοποιείται κυρίως στην ανάλυση κυκλωµάτων µε transistor. Κατά την περιγραφή αυτή το δίθυρο περιγράφεται απο τις εξισώσεις I g V % g 2 g 2 V % g 22 ή σε µητρική µορφή (9.9) I g g 2 V g 2 g 22 ή I g V Οι εξωτερικοί ορισµοί των στοιχείων της µήτρας g δίνονται παρακάτω: g I V I2 0 g 2 V I2 0 g 2 I V 0 g 22 V 0 (9.0) Οι εξισώσεις περιγραφής του διθύρου µε τις αντίστροφες υβριδικές παραµέτρους, καθορίζουν το µοντέλο του διθύρου του σχήµατος 9.9. ΣΧΗΜΑ 9.9 Η µήτρα g είναι πάντα το αντίστροφο της h δηλ. g=h -. Στα αντιστρέψιµα κυκλώ- µατα RLCM (όχι στο transistor!) αποδεικνύεται ότι ισχύει η ταυτότητα g 2 =-g 2. -538-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑΣ 9.: ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΔΙΘΥΡΩΝ (Οι µήτρες στην ίδια σειρά είναι ισοδύναµες) Δ x =x x 22 -x 2 x 2 Z Y T h g Z z z 2 z 2 y 22 Δ y & y 2 Δ y & y 2 Δ y y Δ y A C C Δ T C D C Δ h h 22 h 2 h 22 & h 2 h 22 h 22 g & g 2 g g 2 g Δ g g Y Δ z & z 2 Δ z & z 2 Δ z z Δ z y y 2 y 2 y 22 D B & B & Δ T B A B h & h 2 h h 2 h Δ h h Δ g g 22 g 2 g 22 & g 2 g 22 g 22 T z z 2 Δ z z 2 z 2 z 2 & y 22 y 2 & y 2 & Δ y y 2 & y y 2 A B C D & Δ h h 2 & h h 2 & h 22 h 2 & h 2 g 2 g 22 g 2 g g 2 Δ g g 2 h Δ z z 2 & z 2 y & y 2 y y 2 y Δ y y B D & D & Δ T D C D h h 2 h 2 h 22 g 22 Δ g & g 2 Δ g & g 2 Δ g g Δ g g z & z 2 z z 2 z Δ z z Δ y y 22 y 2 y 22 & y 2 y 22 y 22 C A A & Δ T A B A h 22 Δ h & h 2 Δ h & h 2 Δ h h Δ h g g 2 g 2 g 22 9..6 Ισοδυναµία παραµέτρων Αναφέραµε ήδη ότι όλες οι περιγραφές των δυθύρων είναι ισοδύναµες. Είναι λοιπόν φυσικό να υπάρχουν και σχέσεις µεταξύ τους. Γιά παράδειγµα η µήτρα Υ είναι η αντίστροφη της Ζ. Ολες όµως οι ισοδυναµίες δίνονται στον πίνακα 9. από τον οποίο µπορούµε να υπολογίζουµε όποιες παραµέτρους θέλουµε αν έχουµε κάποιες άλλες. -539-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9.4 Για το εικονιζόµενο δίθυρο κύκλωµα έχουµε βρεί ότι z sc %R sc 2 %R z 2 z 2 R Μπορούµε τώρα να υπολογίσουµε τις υβριδικές, ή οποιεσδήποτε άλλες παραµέτρους, από τον πίνακα ισοδυναµίας παραµέτρων. Σύµφωνα µε τον πίνακα αυτό h h 2 h 2 h 22 Δ z z 2 & z 2 Δ z z z 2 & z 2 z 2 Αντικαθιστώντας τις γνωστές τιµές των παραµέτρων z, βρίσκουµε τις υβρίδικές παραµέτρους h. 9.2 Ισοδυναµία διθύρων Δύο δίθυρα κυκλώµατα ορίζονται ως ισοδύναµα αν έχουν ίσες οποιεσδήποτε παραµέτρους. Αν γιά παράδειγµα τα δίθυρα Ν και Ν 2 έχουν ίσες παραµέτρους ABCD, είναι ισοδύναµα. Το ίδιο ισοδύναµα είναι αν έχουν ίσες τις υβριδικές ή άλλες παραµέτρους. Η ισοδυναµία αναφέρεται στους ακροδέκτες των κυκλωµάτων πράγµα που σηµαίνει ότι ένα κύκλωµα µπορεί να αντικατασταθεί µε το ισοδύναµό του χωρίς το υπόλοιπο σύστηµα, στο οποίο είναι συνδεµένο στις θύρες του, να αντιληφθεί την αντικατάσταση. -540-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 9.2. Ισοδύναµα Τ και Π Κάθε δίθυρο κύκλωµα έχει ένα ισοδύναµο τύπου-τ και ένα ισοδύναµο τύπου-π. Στο σχήµα 9.0α φαίνεται ένα αντιστρέψιµο δίθυρo RLCM κύκλωµα, που το περιγράφουµε µε τις παραµέτρους z και το ισοδύναµό του τύπου-τ µε: Z = z - z 2 Z 2 = z 2 Z 3 = - z 2. Αντίστοιχα, στο σχήµα 9.0β φαίνεται ένα αντιστρέψιµο (RLCM) δίθυρο κύκλωµα, που το περιγράφουµε µε τις παραµέτρους y και το ισοδύναµό του τύπου-π µε: Y = y + y 2 Y 2 = -y 2 Y 3 = y 22 + y 2. ΣΧΗΜΑ 9.0 Η απόδειξη και των δύο ισοδυναµιών έγκειται στον υπολογισµό των παραµέτρων των κυκλωµάτων τύπου-τ και Π µε την χρήση των ορισµών. Η ύπαρξη των ισοδυνάµων κυκλωµάτων τύπου-τ και Π γιά κάθε δίθυρο δεν σηµαίνει κατ ανάγκην ότι τα ισοδύναµα αυτά κυκλώµατα είναι πιό απλά, αφού η συνθετότητα των κλάδων τους εξαρτάται άµεσα από την συνθετότητα του αρχικού διθύρου. Πολλές φορές µάλιστα, τα ισοδύναµα τύπου-τ ή Π µπορεί να περιέχουν µη πραγµατοποιήσιµους µε RLCM κλάδους, όπως γιά παράδειγµα αρνητικά πηνία ή πυκνωτές. Αυτό σηµαίνει ότι τα ισοδύναµα Τ και Π ενός διθύρου υπάρχουν πάντοτε ως θεωρητικά κύκλωµατα (στο χαρτί) αλλά µπορεί να µην είναι πραγµατοποιήσιµα, µε τα συµβατικά τουλάχιστον στοιχεία RLCM. Αυτό φυσικά δεν είναι κάτι καινούργιο. Η ύπαρξη ισοδυνάµων Τ και Π κυκλωµάτων, υποδηλώνει ουσιαστικά και την ισοδυναµία Τ και Π ή τον µετασχηµατισµό "αστέρα σε τρίγωνο". Οταν όµως διδάσκεται ο µετασχηµατισµός αυτός συνήθως δεν τονίζεται η παρατήρηση ότι ένας αστέρας έχει πάντα ένα -54-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ισοδύναµο τρίγωνο, το οποίο όµως µπορεί να µην είναι πραγµατοποιήσιµο µε RLCM. Ως επιβεβαίωση της παρατήρησης αυτής, µελετήστε το σχήµα 9., όπου γιά το εικονιζόµενο τύπου Τ κύκλωµα (α) υπάρχει το ισοδύναµο τύπου Π κύκλωµα (β). ΣΧΗΜΑ 9. Η πραγµατοποίησή του ισοδυνάµου Π, απαιτεί την χρήση ενός στοιχείου µε µετασχηµατισµένη αντίσταση της µορφής ks 3, που δεν είναι πραγµατοποιήσιµο µε RLCM. Παρ όλα αυτά το ισοδύναµο τύπου Π υπάρχει τουλάχιστον στο χαρτί. Μπορεί εξάλλου το µη πραγµατοποιήσιµο στοιχείο να είναι πραγµατοποιήσιµο σε κάποια άλλη τεχνολογία, γιά παράδειγµα µε ενεργά κυκλώµατα. ΠΙΝΑΚΑΣ 9.2: ΟΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΛΑΔΩΝ Ο πίνακας δίνει τις παραµέτρους z ij, y ij και ABCD των βασικών κλάδων z z 2 y y 2 A B z 2 y 2 y 22 C D ΔΕΝ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΔΕΝ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ Z Z Z Z ΔΕΝ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ Z & Z & Z Z ΔΕΝ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ 0 0 Ζ 0 0 Z -542-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 9.3 Σύνδεση Διθύρων Δύο δίθυρα µπορούν να συνδεθούν κατά τρείς θεµελιώδεις τρόπους: στη σειρά, παράλληλα και σε αλυσίδα. Στη σύνδεση σειράς, συνδέονται στη σειρά οι θύρες, όπως στο σχήµα 9.2 Το δίθυρο που προκύπτει από την σύνδεση σειράς, έχει µήτρα παραµέτρων µιγαδικής αντίστασης µε ανοιχτοκυκλώµατα ίση µε το άθροισµα των αντίστοιχων µητρών των συνδεόµενων διθύρων. Αν δηλ. είναι Ζ και ZN οι µήτρες των παραµέτρων-z των συνδεοµένων στη σειρά κυκλωµάτων, η µήτρα παραµέτρων-z του διθύρου που προκύπτει είναι Z o =Ζ+ΖN. ΣΧΗΜΑ 9.2 Δύο δίθυρα συνδέονται παράλληλα, συνδέοντας τις θύρες τους παράλληλα, όπως στο σχήµα 9.3. Από την παράλληλη σύνδεση δύο διθύρων προκύπτει ένα συνολικό δίθυρο, του οποίου η µήτρα παραµέτρων µιγαδικής αγωγιµότητος µε βραχυκυκλώ- µατα ισούται µε το άθροισµα των αντιστοίχων µητρών των συνδεόµενων διθύρων. Αν δηλ. είναι Y και YN οι µήτρες των παραµέτρων-y των συνδεοµένων παράλληλα κυκλωµάτων, η µήτρα y του διθύρου που προκύπτει είναι Y o =Y+YN. ΣΧΗΜΑ 9.3-543-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Συνδέοντας την θύρα εξόδου ενός διθύρου µε την θύρα εισόδου ενός άλλου όπως στο σχήµα 9.4, προκύπτει ένα συνολικό δίθυρο. ΣΧΗΜΑ 9.4 Η σύνδεση αυτή ονοµάζεται σύνδεση αλυσίδας ή σύνδεση καταράκτη (cascade). Η σύνδεση αυτή είναι η πιό κοινή στα ηλεκτρονικά και πολλοί την αποκαλούν εσφαλµένα σύνδεση σειράς. Στη σύνδεση αλυσίδας, το συνολικό δίθυρο που προκύπτει έχει µήτρα Τ ο (ABCD), που ισούται µε το γινόµενο των αντίστοιχων µητρών των δύο συνδεοµένων διθύρων δηλ. Τ o = Τ Τ 2 όπου Τ και Τ 2 είναι οι µήτρες ABCD των συνδεοµένων διθύρων. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9.5 Το δίθυρο του σχήµατος 9.5 µπορεί κανείς να το δεί ως την αλυσωτή σύνδεση των τριών επιµέρους απλών διθύρων.η µήτρα ABCD του συνολικού κυκλώµατος θα είναι το γινόµενο των επιµέρους µητρών ABCD ενός παράλληλου πυκνωτή, ενός πηνίου σειράς και ενός άλλου παράλληλου πυκνωτή, σύµφωνα µε τον πίνακα 9.2 του κεφαλαίου αυτού που δίνει τις παραµέτρους των απλών κλάδων. A o B o C o D o 0 s s 0 0 s s 2 % s s%(s 2 %)s s 2 % Από τον ορισµό της παραµέτρου Α, ως λόγου της τάσης εισόδου προς την τάση εξόδου µε ανοιχτοκυκλωµένη έξοδο, είναι προφανές ότι παρέχεται η δυνατότητα -544-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ εύκολου υπολογισµού της συνάρτησης µεταφοράς τάσης ενός κυκλώµατος, αν είναι γνωστές οι παράµετροι ABCD. Η συνάρτηση µεταφοράς H= /E για παράδειγµα του εικονιζόµενου διπλά τερµατισµένου διθύρου, είναι ίση µε /Α ο αν Α ο B o C o D o είναι οι παράµετροι µετάδοσης του συνολικού διθύρου που προκύπτει από την αλυσωτή σύνδεση της αντίστασης σειράς µε το δίθυρο και την παράλληλη αντίσταση φορτίου. Ο πολλαπλασιασµός των τριών µητρών δίνει την συνολική µήτρα µετάδοσης T 0 : T 0 A 0 B 0 C 0 D 0 A % B % R s C % R s D C % D B % R s D D Είναι προφανές ότι: H E A o A % B % R s C % R s D 9.4 Χρήσιµες συναρτήσεις διθύρων Ενα δίθυρο χρησιµοποιείται για να επεξεργαστεί την διέργεση και να δώσει µια επιθυµητή απόκριση. Ετσι ένα δίθυρο έχει πάντα µια διέγερση στην µία θύρα, που µπορεί να είναι πηγή τάσεως ή πηγή ρεύµατος (µε ή χωρίς απώλειες). Η άλλη θύρα µπορεί να είναι ανοιχτοκυκλωµένη, βραχυκυκλωµένη ή τερµατισµένη (φορτωµένη) µέ ένα φορτίο Ζ L που συνήθως είναι (ή προσεγγίζεται µε) ωµικό. Παρακάτω δίνονται δύο χρήσιµες συναρτήσεις του διθύρου χωρίς τερµατισµό. -545-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ H v E z 2 z y 2 y 22 A (9.) H I I z 2 y 2 y D (9.2) Για το τερµατισµένο µόνον στην έξοδο δίθυρο αποδεκνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: H v E I 2 E z 2 Δ z % Z y 2 % y 22 A % B (9.3) H I I z 2 % y 2 Δ T % y C % D (9.4) Γιά την συνάρτηση µεταφοράς του διπλά τερµατισµένου διθύρου έχουµε: H v E E z 2 Δ z % z % R s % R s y 22 Δ y R s % y R s % y 22 % A % B % CR s % DR s (9.5) -546-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Τέλος παρακάτω δίδονται οι αντιστάσεις εισόδου και εξόδου του τερµατισµένου διθύρου: Z IΝ V I Z ΟUT z & & z 2 2 % z 2 2 R s % z A % B C % D DR s % B CR s % A (9.6) 9.5 Αντιστρεψιµότητα και συµµετρία Αναφερόµενοι στο σχήµα 9.6 µπορούµε να ορίσουµε την αντιστρεψιµότητα (reciprocity) ως εξής: ΣΧΗΜΑ 9.6 Στό δίθυρο του σχήµατος 9.6α η διέγερση V προκαλεί απόκριση. Αν η V µεταφερθεί στην θύρα 2 όπως έγινε στο σχήµα 9.6β, τότε αν το προκαλούµενο ρεύµα στην θύρα είναι ίσο µε το Ι 2 της προηγούµενης κατάστασης, τότε το δίθυρο λέγεται -547-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ αντιστρεπτό ή αντιστρέψιµο (reciprocal). Γενικά αν ένα δίθυρο είναι αντιστρεπτό ο λόγος εξόδου-εισόδου είναι ανεξάρτητος των θυρών. Τα κυκλώµατα RLCM είναι αντιστρεπτά σε αντίθεση µε τα κυκλώµατα που περιέχουν εξαρτηµένες πηγές ή transistors, τα οποία κατά κανόνα είναι µη αντιστρεπτά. Στα αντιστρεπτά δίθυρα κυκλώµατα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις που ήδη έχουν αναφερθεί: z 2 z 2 y 2 y 2 AD&BC h 2 &h 2 g 2 &g 2 Συµµετρικό είναι ένα δίθυρο όταν µπορούν να αντιµετατεθούν οι θύρες του χωρίς να µεταβληθούν τα ρεύµατα και οι τάσεις τους. Τα γεωµετρικά συµµετρικά δίθυρα είναι και ηλεκτρικά συµµετρικά ενώ ένα δίθυρο µπορεί να είναι ηλεκτρικά συµµετρικό χωρίς κατ ανάγκην να έχει γεωµετρική συµµετρία. Στα συµµετρικά δίθυρα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις στις παραµέτρους τους: z y y 22 AD h h 22 %h 2 h 2 g g 22 %g 2 g 2 9.6 Δύο χρήσιµα θεωρήµατα ενεργού αντιστάθµισης Θεωρούµε ένα δίθυρο κύκλωµα τερµατισµένο µε µια αντίσταση Z L, όπως στο σχήµα 9.7α. Το δίθυρο περιγράφεται µε τις παραµέτρους αντίστασης µε ανοιχτοκυκλώµατα ως εξής: V z z 2 z 2 I Κάνοντας χρήση του µοντέλου του σχήµατος 9.7β, εύκολα αποδεικνύεται ότι η αντίσταση εισόδου Z του τερµατισµένου διθύρου κυκλώµατος,, ότι είναι : Z z & z 2 z 2 % Z L Η.Γ.Δηµόπουλος, "Ενεργός-RC Πραγµατοποίηση Βασικών Οδηγουσών Συναρτήσεων και Εφαρµογή στην Προσοµοίωση Παθητικών Φίλτρων µε Ενεργά", Επιστηµονική Επετηρίδα ΤΕΙ Πειραιά, 993-548-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Από το ίδιο κύκλωµα αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση µεταφοράς τάσης είναι: H V z 2 Z L Δ Z % z Z L όπου Δ z είναι η ορίζουσα της µήτρας των παραµέτρων z ij. ΣΧΗΜΑ 9.7 Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις υπολογίζεται η αντίσταση εισόδου του τερµατισµένου διθύρου συναρτήσει της συνάρτησης µεταφοράς τάσης, που δίνεται από την σχέση: z Z 2 Z L H % Z L Τα θεωρήµατα που ακολουθούν αποδεικνύουν ότι αν αφαιρεθεί το φορτίο και προστεθεί µιά κατάλληλη ενεργός αντιστάθµιση, οι αντιστάσεις εισόδου και εξόδου του νέου κυκλώµατος εµφανίζουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες. 9.6. Θεώρηµα αντιστάθµισης Ι Θεωρούµε το κύκλωµα του σχήµατος 9.8β, το οποίο παράγεται από το δίθυρο του σχήµατος 9.8α µε την αφαίρεση του φορτίου και την προσθήκη ενός ιδανικού ενισχυτή (άπειρης αντίστασης εισόδου και µηδενικής αντίστασης εξόδου) µε κέρδος H, ίσο δηλ. µε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του αρχικού τερµατισµένου δίθυρου κυκλώµατος. -549-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Το Θεώρηµα Ι διατυπώνεται ως εξής: Αν σε ένα τερµατισµένο στην έξοδο δίθυρο, µε αντίσταση εισόδου Z, αφαιρεθεί το φορτίο και αυτή η αφαίρεση αντισταθµιστεί µε την προσθήκη ενός ιδανικού ενισχυτή, κέρδους ίσου µε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του, η αντίσταση εισόδου του νέου κυκλώµατος είναι ίση µε αυτήν του αρχικού, δηλ. Z. ΣΧΗΜΑ 9.8 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Στο κύκλωµα του σχήµατος 9.8β, η τάση είναι ίση µε HV λόγω του ενισχυτού κέρδους H. Αν από την δεύτερη των εξισώσεων περιγραφής του διθύρου εκφράσουµε το Ι 2 παίρνουµε: Αντικαθιστώντας την τιµή αυτή στην εξισώσεων περιγραφής) παίρνουµε: HV & z 2 I V z I %z 2 (πρώτη των V z I % z 2 HV & z 2 z 2 I Διευθετώντας την εξίσωση αυτή βρίσκουµε γιά την αντίσταση εισόδου του νέου -550-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ κυκλώµατος: Z N V I z & z 2 z 2 & z 2 H z & z 2 z 2 & z 2 H Αντικαθιστώντας το H από την σχέση που το εκφράζει συναρτήσει των παραµέτρων z και βρίσκουµε ότι z Z N z & 2 z 2 % Z L Z ο.ε.δ. Το γεγονός ότι γιά την απόδειξη του θεωρήµατος χρησιµοποιήθηκε η περιγραφή του διθύρου µε τις παραµέτρους µιγαδικής αντίστασης µε ανοιχτοκυκλώµατα z,, z 2 και z 2 δεν προϋποθέτει την ύπαρξη των παραµέτρων αυτών. Η απόδειξη µπορεί να γίνει και µε την χρήση των παραµέτρων ABCD V I A B C D & Η αντίσταση εισόδου του τερµατισµένου διθύρου του σχήµατος 9.8α είναι συναρτήσει των παραµέτρων ABCD Z AZ L % B CZ L % D ενώ η συνάρτηση µεταφοράς τάσης H V Z L AZ L % B Ερχόµενοι τώρα στο κύκλωµα του σχήµατος 9.8β µε τον ενισχυτή αντιστάθµισης και προκειµένου να υπολογίσουµε την αντίσταση εισόδου του, Z IN, υπολογίζουµε το Ι 2 από την δεύτερη των εξισώσεων περιγραφής µε τις παραµέτρους ABCD και αντικαθιστώντας το στην πρώτη εξίσωση περιγραφής παίρνουµε: Z ΙΝ V B I D & H AD & BC όπου φυσικά έχουµε χρησιµοποιήσει το γεγονός ότι =HV. Χρησιµοποι- -55-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ώντας την H V Z L AZ L % B παίρνουµε Z ΙN AZ L % B CZ L % D Z ο.ε.δ. 9.6.2 Θεώρηµα αντιστάθµισης ΙΙ Αν σε ένα αντιστρέψιµο τερµατισµένο στην έξοδο µε φορτίο Z L δίθυρο, αφαιρεθεί το φορτίο Z L και αυτή η αφαίρεση αντισταθµιστεί µε την προσθήκη ενός ιδανικού (άπειρης αντίστασης εισόδου και µηδενικής αντίστασης εξόδου) ενισχυτή, κέρδους ίσου µε το αντίστροφο της συνάρτησης µεταφοράς τάσης του, όπως στο σχήµα 9.9β, η αντίσταση εξόδου του νέου κυκλώµατος είναι ίση µε την αντίθετη αντίσταση του φορτίου που αφαιρέθηκε, δηλ. -Z L. ΣΧΗΜΑ 9.9 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Στο κύκλωµα του σχήµατος 9.9β, η τάση V είναι ίση µε V H λόγω του ενισχυτού κέρδους /H. Αν από την πρώτη των εξισώσεων περιγραφής -552-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ του διθύρου µε τις παραµέτρους z V z I %z 2 εκφράσουµε το Ι παίρνουµε: Z 2N I H & z 2 z Αντικαθιστώντας την τιµή αυτή στην δεύτερη των εξισώσεων περιγραφής παίρνου- µε: z 2 z H & z 2 z 2 I z 2 % Διευθετώντας την εξίσωση αυτή βρίσκουµε γιά την αντίσταση εισόδου του νέου κυκλώµατος: & z 2 z 2 z & z 2 z H z & z 2 z 2 z & z 2 H Αντικαθιστώντας το H από την H V z 2 Z L Δ Z % z Z L και χρησιµοποιώντας την συνθήκη αντιστρεψιµότητος (reciprocity) z 2 =z 2, βρίσκουµε ότι Δ Z 2N Z z 2 Z L z z 2 Z L & z 2 Δ Z & z z 2 Z L! Z L Παρατηρήστε ότι στο θεώρηµα ΙΙ απαιτείται η αντιστρεψιµότητα του διθύρου, δηλ. z 2 =z 2 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗΣ Τα δύο θεωρήµατα αντιστάθµισης µπορούν να χρησιµοποιηθούν σε πολλές περιπτώσεις σύνθεσης οδηγουσών συναρτήσεων, όπως γιά παράδειγµα για την παραγωγή ενεργών-rc κυκλωµάτων που προσοµοιώνουν πηνία. -553-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ Εφαρµόζοντας το πρώτο θεώρηµα στο τερµατισµένο δίθυρο του σχήµατος 9.20α, το οποίο έχει αντίσταση εισόδου -R o και συνάρτηση µεταφοράς τάσης H=2, προκύπτει το κύκλωµα του σχήµατος 9.20β, το οποίο σύµφωνα µε το θεώρηµα Ι θα έχει την ίδια αντίσταση εισόδου, δηλ. -R o. Στο σχήµα 9.20γ, ο ενισχυτής κέρδους 2 έχει πραγµατοποιηθεί µε έναν τελεστικό ενισχυτή και δύο ίσες αντιστάσεις R A =R B =R. ΣΧΗΜΑ 9.20 Με την αναπτυσσόµενη λογική, είναι δυνατή η πραγµατοποίηση αρνητικού πυκνωτή απλώς αντικαθιστώντας την αντίσταση R o του κυκλώµατος του σχήµατος 9.20γ µε πυκνωτή. Αν αντικατασταθεί η αντίσταση R B µε πυκνωτή, το κύκλωµα θα προσοµοιώνει γειωµένο αρνητικό επαγωγέα (αποδείξτε το). ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟΥ ΓΕΙΩΜΕΝΟΥ ΠΗΝΙΟΥ Η εφαρµογή του θεωρήµατος Ι στο δύθυρο του σχήµατος 9.2α, που έχει αντίσταση εισόδου Z=sL και συνάρτηση µεταφοράς τάσης ίση µε H&, οδηs L R γεί στο κύκλωµα του σχήµατος 9.2β. Η συνάρτηση µεταφοράς H µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε πολλούς τρόπους και ο καθένας οδηγεί σε ένα ενεργό κύκλωµα προσοµοίωσης γειωµένου πηνίου. Το σχήµα 9.22 δείχνει δύο υλοποιήσεις της H (βλέπε άσκηση 9.2), όπου Ro είναι η αντίσταση R του κλάδου σειράς του αρχικού διθύρου. Τα ενεργά κυκλώµατα αυτά έχουν και τα δύο αντίσταση εισόδου Zs R A R B R ο R C -554-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ πραγµατοποιούν δηλ. γειωµένο πηνίο επαγωγής L R A R. R RC B ΣΧΗΜΑ 9.2 ΣΧΗΜΑ 9.22 Τα δύο αυτά κυκλώµατα, αν τα παρατηρήσει κανείς προσεκτικά, δεν είναι άλλα από το κύκλωµα Riordan. Η εφαρµογή του θεωρήµατος ΙΙ στο δίθυρο του σχηµατος 9.23α, το οποίο έχει συνάρτηση µεταφοράς τάσης H &sl, θα απαιτήσει έναν ενισχυτή κέρδους R 0 &sl T=/H δηλαδή: T& s L R 0 Η αντίσταση εξόδου του κυκλώµατος θα είναι τότε ίση µε το αντίθετο του φορτίου που αφαιρείται, δηλ. sl. Αυτή η συνάρτηση µεταφοράς Τ είναι της ίδιας ακριβώς µορφής µε την προηγούµενη H αλλά εδώ την υλοποιούµε όπως στο σχήµα 9.24-555-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (βλέπε άσκηση 9.2) και προκύπτει ένα καινούργιο κύκλωµα που προσοµοιώνει ένα γειωµένο πηνίο αφού η αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος αυτού είναι ZsCR R 0. ΣΧΗΜΑ 9.23 ΣΧΗΜΑ 9.24 Ασκήσεις και Προβλήµατα 9. Αποδείξτε ότι οι παράµετροι z του διθύρου του σχήµατος Α9. είναι: z R % sc & R 2 sl % 2R z 2 z 2 sc % sl % sc & s 2 L 2 sl % 2R slr sl % 2R -556-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ και από αυτές υπολογίστε τις ABCD. ΣΧΗΜΑ Α9. 9.2 Επιβεβαιώστε τις σχέσεις 9. έως 9.6 ΣΧΗΜΑ Α9.2 9.3 Αποδείξτε ότι τα εικονιζόµενα στο σχήµα Α9.2 δίθυρα είναι ισοδύναµα ΣΧΗΜΑ Α9.3 9.4 Αποδείξτε ότι το ισοδύναµο κύκλωµα τύπου-τ του διθύρου του σχήµατος Α9.3α είναι αυτό του σχήµατος Α9.3β. 9.5 Υπολογίστε τις παραµέτρους ABCD του παρακάτ ω διθύρου του σχήµατος Α9.4. -557-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ Α9.4 9.6 α) Υπολογίστε τις παραµέτρους ABCD των δύο διθύρων του σχ. Α9.5. ΣΧΗΜΑ Α9.5 β) Υπολογίστε την συνολική συνάρτηση µεταφοράς τάσης του κυκλώµατος που προκύπτει από την αλυσωτή σύνδεση των δύο διθύρων. ΣΧΗΜΑ Α9.6 9.7 Τα δύο δίθυρα του σχήµατος Α9.6 συνδέονται αλυσωτά µε την παρεµβολή ενός αποµονωτή και η συνολική συνάρτηση µεταφοράς είναι H V 0 0 0 &5 s 3 % 2s 2 % 2@0 5 s % 0 0 Το πρώτο δίθυρο έχει τις παραµέτρους ABCD που δείχνει το σχήµα. Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος Ν. 9.8 Στο κύκλωµα του σχήµατος Α9.7 α) Υπολογίστε τις παραµέτρους ABCD του αποµονωτή και υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος, βλέποντάς το ως αλυσωτή -558-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ σύνδεση απλών κλάδων β) Επιβεβαιώστε το αποτέλεσµα υπολογίζοντας την συνάρτηση µεταφοράς µε άλλο τρόπο. γ) Αν αντικατασταθεί ο αποµονωτής µε βραχυκύκλωµα, αλλάζει η συνάρτηση µεταφοράς; ΣΧΗΜΑ Α9.7 9.9 Χρησιµοποιώντας το πρώτο θεώρηµα αντιστάθµισης στο εικονιζόµενο στο σχήµα Α9.8α δίθυρο, σχεδιάσετε ένα ενεργό κύκλωµα-rc, του οποίου η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου θα είναι της ίδιας µορφής µε αυτή του παθητικού διθύρου, δηλ. R+sL ΣΧΗΜΑ Α9.8 9.0 Χρησιµοποιώντας το δεύτερο θεώρηµα αντιστάθµισης στο εικονιζόµενο στο σχήµα Α9.8β δίθυρο, σχεδιάσετε ένα ενεργό κύκλωµα-rc, το οποίο να προσοµοιώνει ένα γειωµένο πηνίο. 9. Εφαρµόστε το θεώρηµα αντιστάθµισης ΙΙ στο τερµατισµένο δίθυρο του διπλανού σχήµατος µε Z L & sb για να υλοποιήσετε ένα s%a γειωµένο πηνίο παράλληλα µε µια αντίσταση. 9.2 Αποδείξτε ότι τα τρία κυκλώµατα του σχήµατος Α9.9 έχουν συνάρτηση µεταφοράς της µορφής H& sk -559-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 9.9 ΥΠΟΔΕΙΞΗ Το κύκλωµα (α) είναι ένας µη αντιστρεπτικός ενισχυτής, στον οποίο το κύκλωµα από την αντιστρεπτική είσοδο προς την γή είναι ένας αρνητικός αντιστάτης. Στο κύκλωµα (β) η έξοδος του µη αντιστρεπτικού ενισχυτή τροφοδοτείται στην είσοδο ενός αντιστρεπτικού ολοκληρωτή, του οποίου όµως η µη αντιστρεπτική είσοδος αντί να είναι γειωµένη, παίρνει γνωστή τάση από την προηγούµενη βαθµίδα. Αντίστοιχα συµβαίνουν και στο κύκλωµα (γ), το οποίο παράγεται από το (β) µε αντιµετάθεση ενός πυκνωτή και ενός αντιστάτη. -560-