COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ

COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI a XI-a A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ. PROF. COORDONATOR GH. COTFAS APRILIE 0

de Algebra clasa a XI-a P : Deermiaul uei marici ese egal cu deermiaul maricei raspuse adică A de A P : Dacă oae elemeele uei liii (sau coloae) dir-u deermia su ule, auci deermiaul ese ul. P : Dacă îr-u deermia schimbăm două liii (sau coloae) îre ele, auci obţiem o u deermia egal cu opusul deermiaului iiţial. P 4 : Dacă u deermia are două liii (sau coloae) ideice, auci deermiaul ese ul. P 5 : Dacă oae elemeele uei liii (sau coloae) dir-u deermia su imulţie cu u umăr k, auci obţiem u deermia care ese egal cu k îmulţi cu deermiaul iiţial. P 6 : Dacă elemeele a două liii (sau coloae) ale uei deermia su proporţioale, auci deermiaul ese ul. P 7 : Dacă o liie (sau coloaă) dir-u deermia ese o combiație liiară a celorlale liii (sau coloae), auci deermiaul ese ul. P 8 : Dacă la o liie (sau coloaă) aduăm elemeele alei liii (sau coloae) îmulţie cu acelaşi umăr eul, auci deermiaul are aceeaşi valoare. P 9 : a... a a... a a... a........................... a b... a b...... i i i i a a i i b b i i.............................. a... a a... a b... b IMPORTANT: rebuie să şim formulele peru deermiați : riughiular(subdiagoal, supradiagoal), Vadermode, circular Def : Fie Aaij M. Se umeşe mior asocia elemeului a, ij deermiaul de ordi - obțiu pri elimiarea liiei i şi a coloaei j di maricea A. Se oează pri ij sau ij Def : Se umeşe compleme algebric asocia elemeului a, umărul ij i j ij ij. (sem ori mior) Proprieăți deermiați: i i) de A= i i ai i ai i... ai i ai iaii... ai i dezvolarea deermiaului după liia i ii) de A= j j j aj j a j j... aj j aj j a j j... aj j dezvolarea deermiaului după coloaa j ii) de AB de A de B şi de AA... Ade Ade A... de A iii) de( A ) de A de ka k de A şi de A de A dacă deermiaul ese de ordi iv)

Teorema Cayley-Hamilo : A r( A) Ade( A) I O, AM * Coseciţa:de( A) 0 A r( A) A, de, dacă A I par Coseciţa: r( A) 0 A, de( A) A, dacă impar * Coseciţa : r( A) 0 si de( A) 0 A x Ay I, Proprieăți urmă: Tr A B Tr A Tr B i) ii) Tr kaktr A, k iii) TrABTrB A iv) TrA Tr A v) TrABTrA TrB Obs: Teorema Cayley-Hamilo peru maricele de ordi A A sad I O, AM( ) ude r A, s, d dea Def : A M se umeșe iversabilă (esigulară) dacă exisă B M cu proprieaea: AB BA I şi oăm B cu A - ( A - iversa maricei păraice A ). * A A ude A * ese reciproca(adjuc maricei A şi se obţie di A de A îlocuid fiecare eleme cu complemeul său algebric. IMPORTANT: i) O marice păraică A ese iversabilă dea 0 ; ii) ( AB) B A * iii) A A de A * * iv) AA A Ade A I dacă A iversabilă v) A X = B X = A B, X A= B X = B A - - A X B= C X = A C B - - * dacă A, B, C iversabile Def 4 : Se umeşe mior de ordi k al maricei A M m, deermiaul maricei păraice de ordi k exrase di A, forma cu elemeele siuae la iersecția a k liii și k coloae. Def 5 : Ragul maricei A, oa rag A, ese cel mai mare ordi al miorilor euli obțiuți di maricea A. T: (Cramer). Dacă umărul ecuoscuelor ese egal cu umărul ecuaţiilor (sisem părai şi deermiaul maricei sisemului ese eul, auci sisemul ese compaibil deermia şi soluţia ese: x x x x, x,..., x,

ude ese deermiaul sisemului iar x i se obţie di îlocuid coloaa coeficieţilor lui x cu coloaa ermeilor liberi, i T: (Kroecker-Capelli). U sisem liiar ese compaibil dacă şi umai dacă ragul maricii sisemului ese egal cu ragul maricii exise. a a... a a... a b A............ A............ a a... a a... a b m m m m m m Maricea sisemului Maricea exisă sisemului T: (Rouche). U sisem liiar ese compaibil dacă şi umai dacă oţi miorii caracerisici su uli. - Pri mior caracerisic îţelegem miorul pricipal borda cu coloaa ermeilor liberi (miorul pricipal ese miorul care e dă ragul maricei) ALGORITM DE REZOLVARE S.E.L. -.Calculăm ragul maricii şi sabilim miorul pricipal -.Calculăm miorii caracerisici c dacă exisă (vezi obs.) -.Dacă u mior caracerisic c 0 auci S.E.L icompaibil - 4.Dacă oţi miorii caracerisici su uli auci S.E.L compaibil şi coiuăm cu pasul 5-5. Formăm sisemul făcu cu ecuaţiile pricipale şi ecuoscuele pricipale obţiu di miorul pricipal - 6.Aflăm soluţia sisemului î fucţie de ecuoscuele secudare oae cu,,... şi sisemul ese compaibil simplu edeermia sau compaibil dublu edeermia sau... OBS: rag A rag A adică - Dacă u exisă miori caracerisici auci sisemul ese compaibil şi urmăm algorimul cu pasul 5 - Sisemele liiare omogee su mereu compaile şi admi soluţia baală (0,0,...0) - Sisemele liiare omogee admi şi ale soluţii diferie de cea rivială dacă 0 ( Dacă 0 auci admie soluţia uică (0,0,...0) ) - U sisem păraic ese compaibil edeermia dacă 0 şi oţi deermiaţi caracerisici su uli - U sisem păraic ese icompaibil dacă 0 şi u deermia caracerisic ese eul

a b Se cosideră maricea A =, cu ab, şi b 0. V c d Să se arae că dacă maricea X M verifică relaţia AX = XA, auci u v exisă uv,, asfel îcâ X =. v u * x y Să se arae că, A =, ude y x ( a + b ) + ( a b ), a + b x y a = b =. Să se rezolve î mulţimea M ( ) ecuaţia X =. Soluţie propusă și redacaă de Caica Băja, clasa a XI-a A, m Fie X = M p q o marice asfel îcâ AX a b m am + bp a + bq A X = b a p q = bm ap b aq + + m a b ma + b mb + a X A= p q b a = pa + qb pb + qa Di egaliaea AX = XA rezulă sisemul am + bp = ma + b b a + bq = mb + a p= b oăm bq= mb b 0 p = = v oăm bm + ap = pa + qb bm= qb q= m = u b + aq = pb + qa b= pb, deci = XA. u v X = v u cu uv,. Demosrăm pri iducţie maemaică după. x y ( a+ + ( a ( a+ ( a Noăm P : A =, x =, y =, y x Verificare: ( a+ + ( a x = = a x y a b P() : A= ude = ( A). y x b a ( a+ ( a y = = b Presupuem P( ) adevăraă şi demosrăm că P P( + ) Demosraţie:

+ + + + A = y+ x+ P : x demosraă. y ude x y a b = = y x = b a + A A A ( a+ + ( a x+ = ( a+ ( a y+ = + + + + relaţie care rebuie ( a+ + ( a ( a+ ( a a b = = ( a+ ( a ( a+ + ( a b a ( a+ + ( a ( a+ ( a ( a+ + ( a ( a+ ( a a + b b + a = = ( a+ + ( a ( a+ ( a ( a+ + ( a ( a+ ( a b + a a + b + + + + ( a+ + ( a ( a+ ( a x+ y+ = = + + + + ( a+ ( a ( a+ + ( a y+ x+ * P ese adevăraă. Î cocluzie Noăm A =. Fie X o soluţie a ecuaţiei dae. 4 4 u v Di X = X X X = X X X A= A X X = v u ( u+ v) + ( u v) ( u+ v) ( u v) X = = ( u+ v) ( u v) ( u+ v) + ( u v) ( u+ v) + ( u v) + = u ( u v) ( u v) 4 ( u v) u v = + + = + = + = ( u+ v) ( u v) u+ v u v = u v = u v= = v = + deci X = ese soluţia ecuaţiei dae. +

Se cosideră maricea A M ( ), A =. V Să se arae că exisă a asfel îcâ A Să se calculeze ( A A ) 0. 5 X = A, X M. Să se rezolve ecuaţia = aa. Soluţie propusă și redacaă de Adrea Cîrsea, clasa a XI-a A, Meoda. Calcul efeciv 6 6 A = A a = = = = Meoda. Folosim relaţia Cayley-Hamilo: de r A = + = de ( A) = = 0 C H A A= O A = A a = A r A A + A I = O 0 A A = = = M 0 0 0 0 4 4k M = = = I M = I M = I, k 0 0 0 0 A A = M = M M = I M = 0 Deci 0 0 0 5 5 5 4 de de de 0 C X = A X = A X = H X = r X X X = X. Fie = 0 Îlocuim î ecuaţia iiţială şi avem: = =, 0 care ese formula soluţiei. 4 X A X A 4 Acum rebuie să aflăm pe. 5 5 Di X = A r 4 ( X ) = r A r ( A) 4 = = = 4 şi obţiem soluţia X = = = = 8. 5 4 5

0 Se cosideră maricea A= 0 M( ). 0 Să se verifice egaliaea A A= I. Să se calculeze A. Să se arae că A 0 + A 0 = 0 ( A+ I ). V Soluţie propusă și redacaă de Mădăli Dermișek, clasa a XI-a A, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A= 0 0 0 = 0 = 0 0 = I Di pucul rezulă că A( A I) = I A ( A I) I A ( A I ) = = =. Puem folosi și meoda de calcul a iversei cu formula * A = A, de ( A) 0 de A Demosrăm pri iducţie maemaică propoziţia : * P : A + + A = ( A+ I), Verificare: P() : A + A= ( A+ I) A = A+ I ese adevăraă coform pucului Presupuem P( ) adevăraă şi demosrăm că P P( + ). Demosraţie: + + + P ( + ) : A + A = ( A+ I) relaţie care rebuie demosraă + + + A + A = A( A + A ) = A ( A+ I) = ( A + A) = + = ( A A+ A) = (A+ I) = ( A+ I) I * Î cocluzie P( ese ) adevăraă şi peru = 0 obţiem A 0 A 0 0 ( A I ) + = +..

Se cosideră maricea A. V4 Să se calculeze ragul maricei A. Să se demosreze că de A A 0. Să se deermie o marice eulă B M, asfel îcâ AB O. Soluţie propusă și redacaă de Tii Gocz, clasa a XI-a A, Maricea are miorul 6 0 deci rag A. 5 4 A A A 8 4 5 5 4 5 4 5 4 5 C +C de( A A) 8 4 4 4 0 4 5 4 5 4 5 4 b b Fie maricea eulă B b b4, BM, b5 b 6 b b AB O 4 b b O b5 b 6 bbb5 b b4 b6 0 0 b b b5 b b4 b 6 0 0 bb b5 0 b b b5 0 ec.+ec. b4b b5 0 b b4 b6 0 ec.+ec.4 b 4b4 b 6 0 b b4 b6 0 b b5, b puem lua b b6, b4 deci maricea B M, are proprieaea ceruă. coloae ideice

M = 0 a, ude 6 4 8 b V5 Să se arae că ABC,, su coliiare. Să se deermie ragul maricei M î cazul a =, b= 0. Să se arae că dacă uul dire miorii de ordi rei ai lui M, care coţi ulima coloaă, ese ul, auci rag ( M ) =. Se cosideră pucele A( 0, 6 ), B(, 4 ), C(, 8) şi maricea ab,. Soluţie propusă și redacaă de Remus Herciu, clasa a XI-a A, ABC,, coliiare = 0 0 6 0 0 L+ L = 4 = = = ( ) = 0 6 8 4 0 6 deci pucele A,B,C su coliiare. a =, b= 0 M = 0 6 4 8 0 Fie miorul 0 0 =, deci raga. Miorii de ordiul rei care se obţi pri bordarea celui aerior su: 0 = 8 6 6+ 4= 0 şi 0 = 8 6 = 0 deci raga =. 6 4 8 6 4 0 Fie pucul D( ab, ). Deoarece uul dire miorii de ordi rei care coţi ulima coloaă ese ul, rezulă că pucul D( ab, ) ese coliiar cu două dire pucele ABC,, oae pucele ABC,, și D su coliiare, deci oți miorii de ordi rei su uli rag ( M ) =.

Se cosideră a, x, x, x rădăciile ecuaţiei x x + x a = 0 şi deermiaul x x x = x x x. V6 x x x Peru a =, să se deermie x, x, x. Să se arae că, peru orice a, ecuaţia are o sigură rădăciă reală. Să se arae că valoarea deermiaului u depide de a. Meoda. Peru a = avem ecuaţia Soluţie propusă și redacaă de Vlad Papacea, clasa a XI-a A, x x + x = 0 x x + x = 0 ( x )( x + x+ ) x( x ) = 0 ( x )( x x+ ) = 0 i. x = 0 x= ± i = i, ± i S = ii. x x + = 0 x, = Meoda. f = X X + X f = 0 rădăciă ( x ) f. Di schema lui Horer avem 0 q= x x+ = = ± i = = ± Scriem relaţiile lui Viee: a V = x+ x + x = = a a V = x x + x x+ x x = = a a0 V = x x x= = a a i x, i ± i S =, f Presupuem că poliomul f = X X + X are mai mul de o rădăciă reală [ X] are oae rădăciile reale. Șim că relaţia V ). x + x + x = V V x, x, x x + x + x = 0 x = x = x = 0, fals (u verifică a

Î cocluzie, ecuaţia are o sigură rădăciă reală. x x x Meoda. = x x x = x + x + x x xx = x + x + x a relația (*) x x x = V = a Dacă x, x, x su rădăciile ecuaţiei dae deci avem: x x + x a= 0 x x + x a = 0 x x + x a = 0 x + x + x ( x + x + x) + ( x+ x + x) a= 0 = 0 = V = x + x + x + 4 a = 0 x + x + x = a 4 (*) = a 4 a = 4u depide de a. Meoda. x x x deermia x+ x + x x x x x circular = x x x = x+ x + x x x = ( x+ x + x) x x = x x x x + x + x x x x x = ( x+ x + x) x + x + x ( x x + x x + x x) = ( ) = 4 = V 0 = = = v=

4 Se cosideră maricele A = 0, B = ( 0 0 0 ) şi sisemul 0 0 x + y + z + 4 = y + z + = V7 z + = Să se calculeze ragul maricei A. Să se deermie mulţimea soluţiilor sisemului. Să se demosreze că ecuaţia XA = B u are soluţii X M, ( ). Soluţie propusă și redacaă de Ramoa Părîjel, clasa a XI-a A, Maricea A are miorul Noăm = α şi sisemul devie: deermia riughiular 0 0 0 0 rag A =. = deci x = 0 x+ y+ z = 4α y = α y+ z = α S = 0, α, αα, α z α z α = = = α deci sisemul ese compaibil simplu edeermia. { } Presupuem pri reducere la absurd că ecuaţia daă are soluţia X = ( x x x ) M ( ), 4 XA = B = 0 0 + + + + + = ( x x x ) 0 ( 0 0 0 ) ( x x x x x x 4x x x ) ( 0 0 0 ) x = 0 x = 0 x x 0 + = x = 0 x+ x + x = 0 x = 0 4x+ x + x = 0 = fals Deci ecuaţia XA B X M,. = u are soluţii

Se cosideră maricea A= M ( ). V8 Să se calculeze de ( A ). + * Să se arae că A = A+ I, peru orice. Să se deermie A. Soluţie propusă și redacaă de Iria Pecu, clasa a XI-a A, C +C 0 0 C +C 0 de A = = 0 = ( + ) = 4. 0 0 Sau calcul efeciv: de( A ) = = 4 + P : A A I, Verificare: * = + P : A = A+ I A = A A= = 0 0 A+ I = + 0 0 = 0 0 deci P adevăraă. Presupuem că P( ese ) adevăraă şi demosrăm că P P( ) Demosraţie: + + + + P ( + ) : A = A+ I +. + + + + + + 4 A = A A = A+ I ( A+ I) = A + + A+ I = + + + + + + + 4 + + + 4 = ( A+ I) + A+ I = + A+ I = + + + = A+ I. Di egaliaea

= + A A I A A= I A A I = I A A I = I 0 A = ( A I ) = 0. 0 Puem folosi și meoda de calcul a iversei cu formula. =, de 0 de * A A A ( A)

Fie A( x, y ), B( x, y ), C( x, y ) rei puce di pla şi maricea A A B B C C xa ya M = xb yb M ( ). V9 xc yc Să se arae că, dacă A, B, C se află pe dreapa de ecuaţie y = x, auci de ( M ) = 0. Să se arae că, dacă riughiul ABC ese drepughic şi are caeele de lugime, auci de ( M ) = ±. Să se arae că, dacă maricea M ese iversabilă, auci suma elemeelor maricei M ese. Soluţie propusă și redacaă de Diaa Pop, clasa a XI-a A, Pucele y Coloae A = xa xa ya xa xa proporíoale ABC,, d: y= x yb = xb de ( M) = xb yb = xb xb = 0 yc = xc xc yc xc xc A= de M de M = de M = de M =± A = = a b c Fie M = a b c a b c a b c xa ya 0 0 M M = I a b c xb yb 0 0 = a b c xc yc 0 0 ax A + bx B + cx C ay A + by B + cy C a+ b+ c 0 0 ax A bx B cx C ay A by B cy C a b c 0 0 + + + + + + = ax A + bx B + cx C ay A + by B + cy C a + b + c 0 0 a+ b+ c = 0 a + b + c = 0 a+ b+ c+ a + b + c + a+ b+ c =. a+ b+ c =

a b c d b a d c Peru abcd,,,, se cosideră maricea A = şi maricea c d a b d c b a raspusă A. V Peru a = c= şi b= d = 0, să se calculeze de ( A ). Să se arae că A A = α I4, ude α = a + b + c + d. Să se demosreze că dacă A O4, auci A ese iversabilă. Soluţie propusă și redacaă de Viviaa Popa, clasa a XI-a A, 0 0 0 0 L +L 0 0 L 0 0 de 4 +L riughiular A = = = = 4 0 0 0 0 0 A A 0 0 0 0 0 deermia a b c d a b c d b a d c b a d c c d a b c d a b d c b a d c b a = = a + b + c + d 0 0 0 0 a + b + c + d 0 0 = = 0 0 a + b + c + d 0 0 0 0 a + b + c + d 0 0 0 0 0 0 = ( a + b + c + d ) = ( a + b + c + d ) I4 = α I4 0 0 0 = α 0 0 0 Dacă A O4 cel puţi uul dire umerele abcd,,, ese eul a + b + c + d > 0 deci Deoarece A A α I4 de de a + b + c + d 0 A = de A vom avea = și de ( A A ) = de ( α I4 ) 4 ( A) de ( A ) α de I = 4 de ( A) = α 4 de ( A) = α dar α = a + b + c + d 0 de ( A) 0 A iversabilă

Se cosideră polioamele [ ] g ax bx c a = + +, cu 0. f, g X, f = X + X +, cu rădăciile complexe x, x şi c b a Fie maricele AV, M ( ), A a c b şi V x x = b a c de V = x x. =. V x x Să se arae că ( ) g g( x) g( x) Să se arae că A V = g xg( x) xg( x). g xg ( x) xg ( x) Să se arae că de ( A ) = 0 dacă şi umai dacă a+ b+ c= 0 sau a b c x = =. Soluţie propusă și redacaă de Corelia Secelea, clasa a XI-a A, b + x+ = 0 S x x a c = = =. a = + = = şi P xx Vadermode de ( V) = x x = ( x x )( x )( x ) = ( x x ) x x x x + = ( x x ). x x = p = S = ± i 0 x x x, x x + + = = = = (rădăcii cubice ale uiăţii) și observăm că: g = a+ b+ c x g x = x ax + bx + c = a x + bx + cx = a + bx + cx = x g x = x ax + bx + c = a x + b x + cx = ax + b + cx și aalog 4 = x = x g x = x ax + bx + c = ax + bx + cx = a + bx + cx x g x = x ax + bx + c = ax + bx + cx = ax + b + cx 4 c b a c + b + a c + bx+ ax c + bx + ax g g x g x A V = a c b x x = a+ c+ b a+ cx+ bx a+ cx + bx = g xg x xg x b a c x x b a c b ax cx b ax cx g xg x xg x + + + + + + c b a deermia a+ b+ c b a b a circular de ( A) = a c b = a+ b+ c c b = ( a+ b+ c b = b a c a+ b+ c a c a c ( a b ( a b c ab ac b ( a b ( a ( a ( b = + + + + = + + + + ( A) ( a b ( a ( a ( b de = 0 + + + + = 0 a+ b+ c= 0 sau ( a + ( a + ( b = 0 a+ b+ c= 0 sau a = b= c

x yz Se cosideră sisemul de ecuaţii x yz ude m. Peru fiecare m, mx y z m oăm cu S m mulţimea soluţiilor reale ale sisemului. V Să se deermie m peru care sisemul are soluţie uică. Să se arae că peru orice m sisemul ese compaibil. mi x y z x, y, z S. Să se deermie Soluţie propusă și redacaă de Sefa Săoescu, clasa a XI-a A, Sisemul are acelaşi umăr de ecuaţii şi ecuoscue deci el are soluţie uică dacă deermiaul asocia sisemului ese eul (Cramer). L L de A m m m m 0 0 m 0m m \. m \sisemul compaibil deermia Dacă m obţiem sisemul x yz x yz A şi de A 0 x yz p rag A deoarece de A 0 Dar c 0 sisemul ese compaibil sisemul ese compaibil peu m xy, ec. pricipale x y x z ec. secudară x y y Dacă S,,. Cosiderăm f :, 4 f x y z 4 5mi f 4a 8

a b c * Se cosideră maricea A= a b c, ude abc,,. V4 a b c Să se calculeze ragul maricei A. Să se arae că exisă d asfel îcâ A = da. K M şi L M A= K L Să se arae că exisă maricele,, asfel îcâ Soluţie propusă și redacaă de Rober Veress, clasa a XI-a A, Fie miorul M = a = a rag ( A). Calculăm oţi bordaţii 0 a b a c a b a c B = = 0, B = = 0, B = = 0, B4 = = 0 rag ( A) = a b a c a b a c Calculăm A a b c a b c a + ab + ac ab + b + bc ac + bc + c A = A A = a b c a b c = a + 4ab + 6ac ab + 4b + 6bc ac + 4bc + 6c + 6 + 9 + 6 + 9 + 6 + 9 a b c a b c a ab ac ab b bc ac bc c a( a+ b+ b( a+ b+ c( a+ b+ a b c = a( a+ b+ b( a+ b+ c( a+ b+ = ( a+ b+ a b c a( a+ b+ b( a+ b+ c( a+ b+ a b c d asfel îcâ A = da ude d = a+ b+ c Fie K = şi L= ( a b a b c K L= a b c = a b c K M a b c ( ) şi ( ) asfel îcâ A= K L, L M,

a b c A= c a b. b c a V5 Să se calculeze de(a). Să se arae că dacă a b c 0 Fie abc,, şi maricea a= b= c. Să se arae că sisemul de ecuaţii liiare soluţia x= y= z = 0. + + şi A u ese iversabilă î M ax + by + cz = x cx + ay + bz = y bx + cy + az = z, auci admie umai Soluţie propusă și redacaă de Cosmi Vezeeu, clasa a XI-a A, a b c a+ b+ c b c b c ciclic de ( A) = c a b = a+ b+ c a b = ( a+ b+ a b = b c a a+ b+ c c a c a = + + + + = + + + + ( a b ( a b c ab ac b ( a b ( a ( a ( b A u ese iversabilă ( A) ( a b ( a ( a ( b 0 de = 0 a+ b+ c 0 + + + + = 0 a b + a c + b c = a = b= c ax + by + cz = x ( a ) x + by + cz = 0 cx + ay + bz = y cx + ( a ) y + bz = 0( ) bx cy az z + + = bx + cy + ( a ) z = 0 Sisemul are acelaşi umăr de ecuţii şi ecuoscue, deci el are soluţie uică dacă deermiaul asocia ese eul (Cramer). a b c abc ( ) 8 8 ( ),, = c a b = a + c + b bc a = umăr impar r. impar b c a r. par deci eul sisemul admie umai soluţia x= y = z = 0, deoarece sisemul ( ) ese omoge.

a b Se cosideră mulţimea G= X= ab,, a> 0 0. V6 Să se arae că dacă A, B G, auci AB G. Să se găsească două marici CD, Gperu care CD DC. Să se arae că dacă A G, auci I A+ A G. A G A a b a Soluţie propusă și redacaă de Adrei Vlad, clasa a XI-a A, a b =,,, > 0 0 a b =,,, > 0 0 a b a b aa ab + b a b AB = = = G 0 0 0 0 B G B a b a C = G 0 ude a= aa > 0, ab, b= ab + b D= G 0 C D= = 0 0 0 CD DC DC = = 0 0 0 a b a b a b a ab + A G A= A = = 0 0 0 0 0 a b a ab + I A+ A = + 0 0 0 a + a b + ab + I A+ A = G 0 Ude evide a+ a > 0 deoarece a a+ = a + > 0 4 și a+ a b + ab +

Se cosideră maricele A 8 = şi B = 0. V7 Să se calculeze A B. Să se calculeze de ( I 4 + A+ A + A + A ). Să se arae că ecuaţia X I = are o ifiiae de soluţii î M. Soluţie propusă și redacaă de Marius Borîdel, clasa a XI-a A, Meoda. Calculăm efeciv A și B 0 A = A A= = = I 0 0 0 A B = O 8 8 0 B = B B= = = I 0 X r X X + de X I = O r ( A) = = 0 C H A I = O A = I de ( A) = = 0 A B = O r ( B) = + = 0 C H 8 B I = O B = I de ( B) = = Meoda. Cayley-Hamilo : A = A A= I A= A 4 0 6 5 6 I 4 + A+ A + A + A = I + A= + = A = A A = I 0 0 0 I = I I A I 4 5 6 de ( I + A+ A + A + A ) = = 5 0 Peru că A = I, vom cosrui maricele k X ( k) = de forma maricei A, ude k 0 k k 0 ( X ( k) ) = X ( k) X ( k) = = = I, 0 0 0 deci avem o ifiiae de soluţii î M ( ) deoarece k

0 0 0 Se cosideră maricea A= 0 0 M ( ). V8 0 Să se calculeze A. Să se afle ragul maricei I + A+ A Să se deermie iversa maricei I + A. Soluţie propusă și redacaă de Adria Bufea, clasa a XI-a A, Meoda. Calcul efeciv 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = A A= 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Meoda. Cayley-Hamilo A A + sa di = O, A M A = A A= 0 0 0 0 0 = 0 0 0 = O = r A = 0 0 0 0 0 0 0 s = + + = + + = 0 A = O 0 0 0 d = de A= 0 0 0 0 0 0 0 I + A+ A = 0 0 + 0 0 + 0 0 =. 0 0 0 0 0 0 Deoarece oae elemeele su egale şi eule rag ( I A A ) I = I + A = I + A I A+ A O + + =. I + A I A+ A = I I + A = I A+ A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 + 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 Puem folosi și meoda de calcul a iversei cu formula * M = M, de ( M) 0, M = I + A de M

x+ y+ z+ = x y + z + = 0 Se cosideră sisemul x + y z + = 0 x+ y+ z = 0 Să se calculeze de ( A ). Să se rezolve sisemul. Să se deermie A. şi A maricea sisemului. V9 Soluţie propusă și redacaă de Vlad Cosaiescu, clasa a XI-a A, L L L L deermia L 4 L 0 0 0 riughiular de ( A) = = = 8 0 0 0 0 0 0 x+ y+ z+ = x+ y+ z+ = y = y = x y+ z+ = 0 ( ) x+ y z = 0 x+ y+ z+ = x+ y+ z+ = z = z = x+ y z+ = 0 ( ) x y+ z = 0 x+ y+ z+ = x+ y+ z+ = = = x+ y+ z+ = 0 ( ) x y z+ = 0 x+ + + = x= S =,,,. de A 0 A iversabilă A asfel îcâ A A= A A = I 4 x y z x y z 0 0 0 a b c d a b c d 0 0 0 Dacă A = = e f g h e f g h 0 0 0 j k l m j k l m 0 0 0 x+ y+ z+ = a+ b+ c+ d = 0 x y + z + = 0 a b + c + d = x=, y =, z =, = și a =, b=, c= 0, d = 0 x + y z + = 0 a + b c + d = 0 x+ y+ z = 0 a+ b+ c d = 0 Aalog obţiem e=, f = 0, g =, h= 0 şi j =, k = 0, l = 0, m= 0 0 A = 0 0 0 0 Meoda. A = A, de A= 8 0 de A

ay + bx = c Se cosideră riughiul ABC, cu laurile AB = c, AC = b, BC = a şi sisemul cx + az = b. bz + cy = a V0 Să se rezolve sisemul î cazul a =, b= 4, c= 5. Să se demosreze că, peru orice riughi, sisemul are soluţie uică.,, x, y, z,. Şiid că soluţia sisemului ese ( x y z ), să se demosreze că 0 0 0 0 0 0 Soluţie propusă și redacaă de Alexadra Dele, clasa a XI-a A, Rezolv î cazul geeral şi apoi voi pariculariza peru pucual eul Cramer b a 0 = c 0 a = abc 0 deoarece a,b,c laurile uui. 0 c b Deoarece sisemul ese păraic( ecuaţii, ecuoscue) şi deermiaul asocia x y z sisemul are soluţie uică și x=, y =, z = c a 0 a a c b b + c a abc bc x = b 0 a = a ac ab = a a c b x = = a c b b 0 bb c a a + c b abc ac y = c b a = b bc ba = b b c a y = = 0 c a b b a c c ( c a b ) a + b c z = c 0 b= c ac bc= c( c a b ) z= = abc ab 0 c a 4 + 5 4 + 5 4 + 4 5 a =, b= 4, c= 5 x= =, y = =, z = = 0 45 5 5 5 4 deci 4 S =,,0 5 5 b + c a bc x = = cos A x (,) 0 0 a + c b y0 = = cos B y0, ac a + b c z0 = = cos C z0, ac Nu am ales iervale îchise [,], deoarece ughiurile ABC 0 0 aparţi 0,80.

ax + by + cz = b * Peru abc,, se cosideră sisemul cx + ay + bz = a, x, y, z. V bx + cy + az = c Să se arae că deermiaul sisemului ese ( a b ( a b c ab ac b = + + + +. Să se rezolve sisemul î cazul î care ese compaibil deermia. Şiid că a + b + c ab ac bc = 0, să se arae că sisemul are o ifiiae de soluţii ( xyz,,, ) asfel îcâ x + y = z. Soluţie propusă și redacaă de Crisia Ghepes, clasa a XI-a A, a b c a+ b+ c b c b c ciclic = c a b = a+ b+ c a b = ( a+ b+ a b = b c a a+ b+ c c a c a ( a b ( a b c ab ac b ( a b ( a ( a ( b = + + + + = + + + + Sisemul are acelaşi umăr de ecuaţii şi ecuoscue, deci el ese compaibil x y z deermia dacă 0 şi are soluția uică x=, y =, z = ( Cramer) b b c a b c a b b x = a a b = 0, y = c a b =, z = c a a = 0 c c a b c a b c c {} x= 0, y =, z = 0 S = 0,, 0 a b c ab ac bc ( a b ( a ( a ( b + + = 0 = 0 + + + + = 0 a b + a c + b c = 0 a = b= c 0 a a a a = b = c 0 A = a a a raga = a a a p = a 0 aleg x ecuoscuă pricipală, y =α,z=β ecuoscue secudare. Di x + y = z x + = x = x=± α β β α β α cu β α 0. { } Aleg soluția sisemului de forma S (,, ) de soluţii ( xyz,,, ) asfel îcâ x + y = z. = β α α β deci sisemul are o ifiiae

x+ y+ z= 0 Fie sisemul ax + by + cz = 0, cu abc,, disice două câe două şi A maricea ax+ by+ cz= sisemului. V Să se arae că de ( A) = ( a+ b+ ( c ( c ( b. Să se rezolve sisemul î cazul a+ b+ c 0. Să se demosreze că dacă a+ b+ c= 0, auci sisemul ese icompaibil. Soluţie propusă și redacaă de Ramoa Iga, clasa a XI-a A, C-C 0 0 0 0 C-C de ( A) = a b c = a b a c a = ( b ( c a = a b c a b a c a a b + ab+ a c + ac+ a 0 0 deermia C-C riughiular = ( b ( c a 0 = ( b ( c ( c b + ac a = a b + ab + a c b + ac ab = ( b a )( c a ) ( c b )( c + b ) + a ( c b ) = ( b a )( c a )( c b )( a + b + c ) Dacă a+ b+ c 0 și abc,, disice două câe două de ( A) Sisemul x y z ese compaibil deermia şi x=, y =, z = 0 0 0 x = 0 b c = c b, y = a 0 c = a c, z = a b 0 = b a b c a c a b 0 Cramer x=, y =, z = ( b ( c ( a+ b+ ( b ( c ( a+ b+ ( c ( c ( a+ b+ a b c ( A) rag ( A ) + + = 0 de = 0 ( < ) A= a b c a b c. Deoarece a b aleg P = = b a 0 a b 0 C = a b 0 = ( + ) = b a 0 a b a b Rouche sisemul ese icompaibil

0 5 Se cosideră maricea A a 5b = şi mulţimea C( A) = X= ab,. V 0 b a Să se arae că XA = AX, X C ( A). Să se arae că dacă Y C( A) şi Y = O, auci Y = O. Să se arae că dacă Z C( A), Z O şi Z are oae elemeele raţioale, auci de Z 0. Soluţie propusă și redacaă de Adreea Mucha, clasa a XI-a A, a 5b 0 5 5b 5a XA = = b a 0 a 5b XA = AX, X C A 0 5 a 5b 5b 5a AX = = 0 b a a 5b Y = O a 5b a 5b a + 5b 6ab 0 0 = O = Y C( A) b a b a ab a + 5b 0 0 a + 5b = 0 a = 0 0 0 Y = Y = O ab = 0 b = 0 0 0 a 5b Presupuem de Z = 0 ude Z C( A), Z O, Z = b a a 5b 0 a 5b 0 a 5b a 5b b a = = = =± a b Z O Z. cu ab, Dacă b 0 =± 5 fals deoarece ab, b= 0 a= 0 Z= O, dar de 0

Se cosideră o marice A M ( ). Se oează cu A raspusa maricei A. Să se demosreze că z, X M ( ), de ( zx ) = z de ( X ). Să se demosreze că de ( A A ) = 0. A A, să se demosreze că ( ) Şiid că rag A A =. V4 Soluţie propusă și redacaă de Emauel Nazare, clasa a XI-a A, x x x zx zx zx z X = z x x x = zx zx zx de 4 5 6 4 5 6 x7 x8 x 9 zx7 zx8 zx 9 zx zx zx x x x ( z X ) = zx zx zx = z z z x x x = z de ( x) 4 5 6 4 5 6 zx zx zx x x x 7 8 9 7 8 9 Fie B= A A B = A A = A A= B Dar de ( B) de ( B ) de ( B) de ( B) de ( B) = = = ( B) ( B) ( B) ( B) ( A A ) = de de = de de = 0 de = 0 Deoarece ( A A ) rag ( A A ) de = 0 < Presupuem că rag ( A A ) = a b c a d g 0 b d c g A A = d e f b e h = d b 0 f h g h i c f i g c h f 0 Deoarece ragul ese auci oţi miorii de ordi rebuie să fie uli b d = c g = f h= 0 b= d, c= g, f = h A= A dar A A rag ( A A ) =

0 Se cosideră maricele A = şi 0 Să se arae că dacă maricea cos si B =, cu. V6 si cos a b auci exisă ab,, asfel îcâ X =. b a * cos si Să se demosreze că, B =. si cos M ecuaţia Să se rezolve î mulţimea X M verifică relaţia AX XA X = A. =, Soluţie propusă și redacaă de Rares Paroiu, clasa a XI-a A, Fie X a c = b d cu abcd,,, 0 a c b d b= c AX = = 0 b d a c d = a a b X = a c 0 c a a = d b a XA = = b d 0 d b c= b cos si P : B =, si cos cos si = si cos Verificare: P( : ) B ( A) Presupuem P( ) adevăraă şi demosrăm că P P( + ) ( + ) ( + ) cos + si + + P( + : ) B = si cos + cos si cos si B = B B= = si cos si cos ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) cos cos si si cos si si si cos si = = si cos + cos si cos cos si si si cos P adevăraă a a b Meoda. Di X = X X X = X X AX = XA X = = A = A b a X = A de X = de A a + b = a + b = asfel îcâ a= cos şi cos si b= si X = si cos b cos si cos = 0 π X = cg = 0 + kπ k si cos si = 4

π π a = cos = cos + π = cos = 4 4 k = X = π π b = si = si + π = si = 4 4 π π a= cos = cos + π + π = cos π + = 4 4 k = + X = π π b = si = si + π + π = si π + = 4 4 0 X = A de X = de A ; A= 0 Meoda. 0 X de = = de X =± 0 Aplicăm relația lui Cayley Hamilo: X r ( X ) X + de X I = O r ( X ) X = X + de X I deci avem două cazuri: Caz i. de X = = 0 0 X = X + I X = + X = = A 0 0 r ( X ) = r = =± X =± M Caz ii. de X = 0 0 X = X I X = X = = A 0 0 r X = r = =± i X =± M i

0 0 se cosideră maricele A 0 = şi I = 0 0. V7 Să se deermie ragul maricei A+ I. Să se demosreze că dacă X M ( ) verifică relaţia AX = XA, auci x 0 exisă xy,, asfel îcâ X =. y x Să se demosreze că ecuaţia Y = A u are ici o soluţie î mulţimea M. Î mulţimea M Soluţie propusă și redacaă de Vlad Roma, clasa a XI-a A, 0 0 0 0 M = A+ I = + = 0 0 0 de ( M ) = = 0 rag ( M ) = 0 0 x z 0 0 AX = = 0 y x z 0 0 z 0 x= x 0 = X = x z 0 0 z 0 x z 0 z = 0 y x XA = = y 0 0 Meoda. x 0 Di Y = Y Y Y = Y Y A Y = Y A Y = y x x 0 x 0 0 0 Y = A = y x y x 0 x 0 0 0 = xy x 0 x = 0 x = 0 fals ecuaţia Y = A u are ici o soluţie. xy = 0 = Meoda. Presupuem că Y M ( ) asfel îcâ Y = A de Y = de A dey = 0 Y = r Y Y r Y Y = A = 0 ( ) = 0 = A r r Y Y = r A r Y = 0 r Y = 0 M = O fals, deci ecuaţia Y = A u are soluţii. Meoda. Presupuem că Y = A are soluţii Y iversabilă dar di 0 0 Y = de ( Y) = 0 Y u e iversabilă Y = A u are soluţii. 0

0 Se cosideră maricea A =. V8 0 8 de A xi = 0. Să se rezolve ecuaţia ( ) Să se arae că dacă maricea X M ( ) verifică relaţia AX XA auci exisă ab,, asfel îcâ a 0 X =. 0 b Să se deermie umărul de soluţii ale ecuaţiei X A, X M =. =, Soluţie propusă și redacaă de Biaca Rusu, clasa a XI-a A, 0 x 0 x 0 A x I = = 0 8 0 x 0 8 x x 0 de 0 0 8 0,8 0 8 x ( A x I ) = = ( x)( x) = x { } a c 0 a 8c XA = = d b 0 8 d 8b a 8c a c c= 0 = 0 a c a c d 8b 8d 8b d = 0 AX = = 0 8 d b 8d 8b Deci exisă ab,, asfel îcâ a 0 X =. 0 b 4 4 a 0 Di X = X X X = X X AX = XA X = 0 b a 0 a 0 a 0 X = X X = = 0 b 0 b 0 b a 0 a 0 a 0 X = X X = = 0 b 0 b 0 b X a 0 0 = A = 0 b 0 8 ( a )( a a ) + + = 0 i ± a, = a = i b 8 = ( b )( b + b+ 4) = 0 b {, ± i } = i Deoarece a poae fi ales î moduri și b o î moduri ecuaţia are = 9soluţii.

x+ y+ z = 0 Se cosideră sisemul mx + y + z = m, m şi maricea A= m. V9 x + my + z = m Să se deermie m peru care de A = 0. Să se arae că peru orice m sisemul ese compaibil. x, y, z cu z 0 =. Să se deermie m şiid că sisemul are o soluţie 0 0 0 Soluţie propusă și redacaă de Emauel Todor, clasa a XI-a A, L L de( A) = m = m 0 0 = ( m )( ) = ( m )( m) = ( m )( m ) m m m ( A) ( m )( m ) m { } de = 0 = 0,. Cramer m \ {, } 0 sisem compaibil deermia Dacă m = = 0 şi aleg 0 Rouche C = 0 = 0 sisem compaibil. Dacă m = = 0 şi aleg 0 Rouche = = 0 sisem compaibil. C Sisemul ese compaibil m. P = = 0. Calculez C. p = = 0. Calculez C. x+ y = Meoda. Ȋlocuim z = mx + y = m Adu ecuaţia cu ecuaţia x + my = 5 x( m+ ) + y( m+ ) = m 8 ( m+ )( x+ y) = m 8 m= = Cramer Meoda. Dacă m \ {, } 0 sisemul are soluţia uică (, 0, ) deci z 0 u poae să fie. Dacă Dacă x+ y+ z = 0 m= x+ y+ z = 0. Scad di ecuaţia, ecuaţia z =. x + y + z = x+ y+ z = 0 m= x+ y+ z =. x + y + z = xy, ecuoscue pricipale p = z = α ecuoscuă secudară

x+ y = α x= S = x+ y = α y = α adică z 0 = dacă m =. {(, αα, )} deci z 0 poae fi egal şi cu,

Se cosideră umerele reale a,b,c, fucţia deermiaţii A= a b c şi B a b c a b c = V0 f ( f ( f ( Să se arae că A= ( a ( b ( c ( a+ b+ f :, f x = x + x+ şi Să se arae că A= B Să se arae că, peru orice puce disice, cu coordoae aurale, siuae pe graficul fucției f, aria riughiului cu vârfurile î acese puce ese u umăr aural divizibil cu. Soluţie propusă și redacaă de Adrei Tudose, clasa a XI-a A, C C 0 0 C C b a c a A= a b c = a a b c a = = a b c a b a c a ( b ( b + ba+ a ) ( c ( c + ca+ a ) = = + + b + ba+ a c + ca+ a ( b ( c ( b ( c c ca a b ba a ( ) ( b ( c ( c ( c a( c ( b ( c ( c ( a b = ( a ( b ( c ( a+ b+ = + + = + + = B= a b c = a b c + a b c + a b c A= B a + a+ b + b+ c + c+ a b c a b c A = 0 = 0 ( ) ( ) Fie Aaf, (, Bbf, b, Ccf, c rei puce disice cu coordoaele aurale. a f ( AABC = = b f ( = a b c = c f ( f ( f ( f (. ( a ( b ( c ( a+ b+ = B = A = Dacă abc,, aurale două dire ele au aceeaşi pariae a b sau b c sau c a par AABC Dacă abc,, aurale oae dau resuri diferie la împărţirea cu sau două dau acelaşi res la împărţirea cu. Caz i. Dacă oae dau resuri diferie a+ b+ c= M A ABC Caz ii. Două dau acelaşi res a b sau b c sau c a = M A ABC.

x+ x x Peru x se cosideră maricea A( x) = M ( ) V Să se verifice că A( x) = xa x Să se deermie oae umerele complexe x peru care 4 ( A( x) ) + ( A( x) ) = O Să se arae că ecuaţia X = A( 0, ) X M ( ) u are soluţii. Soluţie: Soluţie propusă și redacaă de Caica Băja, clasa a XI-a A, Di relaţia Cayley-Hamilo șim că de ra( x) = x ( A( x) ) x A( x) + O I ( ) = O A x = xa( x) de A( x) ( ) A r A A + A I = O ( ) 4 ( ) 4 A x + A x = O xa x + xa x = O x A x + xa x = O i i 8x A x + xa x = O x A x 4x + = O x 4x + = 0 x 0,, O Meoda. Presupuem că X M ( ) asfel îcâ X = A( 0) = de = de de = 0 = = X X M X X r X X M r X X = 0 = M = M = 0 ( ) r M = r r X X r X = 0 r X = 0 M = O deci ecuaţia X = A( 0) u are soluţii. fals, Meoda. Presupuem că X = A( 0) are soluţii X iversabilă dar di X = de ( X) = 0 X u e iversabilă X = A( 0) u are soluţii.

Se cosideră î sisemul ax + y + z = x + ay + z =, a. V x + y + az = a Să se arae că deermiaul maricei sisemului are valoarea ( a )( a ) Să se rezolve sisemul î cazul î care ese compaibil deermia. Să se rezolve sisemul î cazul a =. +. Soluţie propusă și redacaă de Alexadra Cioca, clasa a XI-a A, a a+ ciclic = a = a+ a = a+ a = a+ a a+ = a+ a a a+ a a CRAMER Dacă sisemul ese compaibil deermia 0 x şi x =, y z =. y z =, x = a = 0 x= 0 a a a y = = 0 y = 0 S = {( 0, 0,) } a a a z = a = z = a a = = 0. Aleg p = = 0. Calculez C C = = 0 Avem: Rouche sisem compaibil xy, ecuoscue pricipale x+ y = α x+ y= α z = αecuoscuă secudară x y = α x 4y = α y= α y= α x= α S = {( α, α, α) } sisem compaibil simplu edeermia.

0 0 0 0 Se cosideră maricele I = 0 0, B= 0 0 0 0 0 0 A = ai + bb + cb a b c. V,,, Să se calculeze B. Să se calculeze B. Să se demosreze că abc,,, ( a+ b+ de ( A) 0. şi Soluţie propusă și redacaă de Adrea Cirsea, clasa a XI-a A, B 0 0 0 0 0 0 = B B= 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B = B B= 0 0 0 0 = 0 0 = I Meoda. 0 0 B = I B B = I B = B = 0 0 0 0 Meoda. calcul efeciv folosid formula =, de 0 de * B B B ( B) a 0 0 0 b 0 0 0 c a b c 0 0 a b 0 0 0 c 0 b c a A = ai + bb + cb = 0 a 0 + 0 0 b + c 0 0 = c a b a b c a+ b+ c b c b c circular = de A = c a b a+ b+ c a b = a+ b+ c a b = b c a a+ b+ c c a c a ( a b ( a b c ab ac b = + + + + = = ( a+ b+ ( a + ( a + ( b ( a+ b+ de ( A) = ( a+ b+ ( a + ( a + ( b 0, a, b, c

4,, 6 şi A = LK. V4 Să se calculeze suma elemeelor maricei A. Să se arae că A = A. * Să se arae că ragul maricei A ese, oricare ar fi. Se cosideră maricele K = ( ) M, L= 5 M Soluţie propusă și redacaă de Mădăli Dermişek, clasa a XI-a A, 4 4 8 A= L K = 5 ( ) = 5 0 5 S = 90 6 6 8 4 8 4 8 8 56 84 6 8 6 8 9 84 576 A = A A= 5 0 5 5 0 5 = 60 0 480 = A : P A = A, Verificare 0 P( ) : A= A adevăra. Presupuem P( ) adevăraă şi demosrăm că P P( ) ( ) : + P + A = A + A = A A= A A= A = A= A P adevăraă,. 4 8 Deci A = 5 0 5 6 8 = 4 = 4 0. Ară că oţi bordaţii de ordi su uli. 4 9 4 4 8 4 B = = 0, B = = 0, B =, B 4 = = 0 5 0 5 5 6 6 8 rag A =. +.

Se cosideră maricele A= 0, B=. V5 4 5 Să se arae că ecuaţia AX = B are o ifiiae de soluţii X M, ( ). Să se verifice că A = 0A. * Să se deermie ragul maricei A, adjuca maricei A. Soluţie propusă și redacaă de Sergiu Herciu, clasa a XI-a A, x x+ y z = A X = B 0 y = x+ y = 4 z 5 x+ 4y z = 5 p = = 0. Calculez C. de ( A ) = 6 8 + + = 0 şi aleg C = = 0 + 6 + 4 4 0 = 0 Rouche Sisem compaibil edermia 4 5 ecuaţia are o ifiiae de soluţii X M, ( ). Meoda. 4 A = A A= 0 0 = 6 8 4 4 6 8 4 0 0 0 A = A A= 6 8 0 = 0 0 0 = 0 A 6 8 4 0 40 0 Meoda. Cayley-Hamilo A A + sa di = O, A M ( ) = r ( A) = 0 0 s = + + = + + = 6 = 0 A 0A= O A = 0A 4 d = de A= 0 Fie A = 4. Calculăm complemeul algebric al fiecărui eleme. 0

4 4 a = = 6; a = = ; a = = 0 0 6 a = = 6; a = = ; a = = A = 6 0 0 6 a = = 6; a = = ; a = = 4 4 Aleg p = 6 0. Calculăm oţi bordaţii de ordi. 6 6 6 6 = 0; = 0; = 0; = 0. 6 6 6 6 Deoarece oţi miorii bordaţi su uli rag ( A ) =.

a b 0 0 Se cosideră maricele A =, O = î c d 0 0 M cu proprieaea că A = O. V6 Să se arae că a+ d = 0 Să se arae că maricea I + A ese iversabilă. Să se arae că ecuaţia AX = O are o ifiiae de soluţii î mulţimea M ( ). Soluţie propusă și redacaă de Vlad Papacea, clasa a XI-a A, Folosim relația A r ( A) A + de ( A) I = O ( Cayley- Hamilo) = = = ude = a+ d A= O A O de A 0 C H A r A A O = O Caz i. = 0 a+ d = 0 Caz ii. A= O a+ d = 0 I = I O = I A = I A I + A ( I + A)( I A) = I I + A iversabilă şi I + A = I A A = O A k = O k A Ak = O şi luăm X = k A deci X = k A are o ifiiae de valori peru k ecuaţia A X = O are o ifiiae de soluţii.

a a+ a+ Se cosideră maricea A= b b+ b+, ab,. V7 a Să se arae că de ( A) = ( a ( a ). Să se calculeze de ( A A ). raga a b. Să se arae că,, Soluţie propusă și redacaă de Ramoa Părîjel, clasa a XI-a A, a a+ a+ C C a a 0 de A = b b+ b+ = b = b 0 = a 0 a 0 a a = = b + ( a ) ( a )( a C C C C Meoda. a a+ a+ a b 0 a+ b a+ A A = b b+ b+ a+ b+ = b a 0 b+ = M a a+ b+ a a b 0 ( M) = ( A A ) = ( A A ) = ( A A) = ( M) = ( ) ( M) de de de de de de ( M) ( M) ( M) ( M) de = de de de = 0 ( A A ) de = 0. Meoda. Calcul efeciv peru 0 a+ b a+ de M = b a 0 b+ a b 0 b b+ = = 0 rag ( A), ab,

0 0 0 A = 0 0 0 a 0 0 M= b a 0 abc,,. V8 c b a Să se calculeze A. Să se arae că dacă X M ( ) şi AX XA A Se cosideră maricea Să se arae că ecuaţia X =, auci X M = u are soluţii î M ( ). şi mulţimea de marice. Soluţie propusă și redacaă de Iria Pecu, clasa a XI-a A, Meoda. Calcul efeciv 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = A A= 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = A A= 0 0 0 0 0 = 0 0 0 = O 0 0 0 0 0 0 Meoda. Cayley-Hamilo A A + sa di = O, A M ( ) = r A = 0 0 0 0 0 0 0 s = + + = + + = 0 A = O 0 0 0 deermia riughiular d = de A = 0 a m u Fie X = b v c p m+ u = 0 a m u 0 0 0 m+ u u 0 u = 0 u = 0 X A= b v 0 0 = + v v 0 + v= a m= 0 c p 0 p 0 + v= m v= 0 0 0 0 a m u 0 0 0 = 0 = a A X = 0 0 b v = a m p+ = a+ b = a 0 c p a+ b m+ u+ v = m+ p = b 0 = u + v

a 0 0 X = b a 0 M c b a Meoda. a 0 0 X = X X X = X X AX = XA X = b a 0 c b a Presupuem că X M asfel îcâ de X = A X = de A deermia riughiular de X = 0 de X = 0 a = 0 a= 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X = X X = b 0 0 b 0 0 = 0 0 0 c b 0 c b 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 Dar di X = A 0 0 0 = 0 0 fals, deci ecuaţia u are soluţii î b 0 0 0 M ( ). Meoda. Presupuem că X = A are soluţii X iversabilă dar di X = A de ( X) = 0 X u e iversabilă X = A u are soluţii.

x+ y+ z = 0 * Se cosideră sisemul ax + by + cz = 0, a, b, c şi A maricea sisemului. V9 bcx + acy + abz = 0 Să se calculeze de ( A ). Să se rezolve sisemul, î cazul î care a,b,c su disice două câe două. Să se deermie mulţimea soluţiilor sisemului,, î cazul î care a= b c. Soluţie propusă și redacaă de Diaa Pop, clasa a XI-a A, Meoda. C C 0 0 C C b a c a de ( A) = a b c = a b a c a = c( b b( c bc ac ab bc ac bc ab bc = ( b ( c ( b ( c ( c c b = Meoda. de a b c ( A) = a b c = abc a b c = a b c = a b c = ( c ( c ( b abc abc abc a b c a b c a b c abc,, disic două câe două de ( A) 0 deermia, dar sisemul ese şi omoge x= y = z = 0. Cramer sisemul ese compaibil a = b c de ( A) = 0 și A= a a c ac ac a 0 Aleg = p c a 0 a c =. Calculez C = a c 0 = 0 Rouche sisem compaibil. ac a 0 yz, ecuoscue pricipale y+ z = k a Fie a= b x= k ecuoscuă secudară ay + cz = ak ay az = ak ay + cz = ak z( c = 0 z = 0 y = k 0 S = {( k, k,0) } sisem compaibil simplu edeermia.

0 0 0 0 Se cosideră maricele I = 0 0, A= 0 0, X = 0 0 0 0 Y = (, ) B = I + A, C = I + aa, a. V40 Să se calculeze S = A XY. Să se deermie a asfel îcâ BC = I. * Să se arae că A + = 4 A,. şi Soluţie propusă și redacaă de Viviaa Popa, clasa a XI-a A, XY = = 9 6 = A S = A XY = A A = O 6 4 = A BC = I I + A I + aa = I I + aa + A + aa = I aa + A + aa = O 4 4 8 dar A = A A= 9 6 9 6 = 4 6 84 = 4 9 6 = 4A 6 4 6 4 8 84 56 6 4 a A+ A+ a 4A= O 5a A+ A= O A( 5a+ ) = O 5a+ = 0 a = 5 + P : A = 4 A, Verificare: P( ) : A = 4A ( A) Presupuem P( ) adevăraă şi demosrăm că P P( ) ( ) : + + P + A = 4A + + + A = A A= 4A A= 4A P adevăraă. +.

Peru pqr,,, se cosideră sisemul x + py + p z = p x + qy + q z = q. V4 x + ry + r z = r = p q q r r p. Să se arae că deermiaul sisemului Dacă p,q,r su disice să se rezolve sisemul. Să se arae că, dacă sisemul are soluţia (,,), auci cel puţi două dire umerele pqr,, su egale. Soluţie propusă și redacaă de Corelia Secelea, clasa a XI-a A, p = q q = ( r p)( r q)( q p),, r p r Vadermode x =, pqr disice 0 Cramer x sisemul ese compaibil şi y z =. y z =, p p p p p = q q q = pqr q q = pqr x = pqr x r r r r r p p p p L L ( q p)( q + qp+ p ) ( q p)( q+ p) y = q q = 0 q p q p = = L L 0 ( r p)( r + rp+ p ) ( r p)( r+ p r r r p r p ) L q + qp+ p q+ p L q + qp+ p q+ p q + qp+ p q+ p = ( q p)( r p) = = r + rp + p r + p r q + rp qp r q ( r q)( p+ q+ r) r q q + qp+ p q+ p = ( q p)( r p)( r q) = ( pq qr rp) y = pq qr rp p+ q+ r p p p p L L q + pq + p z = q q = 0 q p q p = q p r p = q p r p r q + rp pq L L r + rp + p r r 0 r p r p = q p r p r q r + q + p r q = q p r p r q r + q + p = r + q + p z = r + q + p x= + p+ p = p p p p+ = 0 p p p = 0 y = + q+ q = q q q q+ = 0 q q q = 0 z r r r r r r 0 = + + = + = r r r = 0 ( p )( p ) = 0 p { ± } ( q )( q ) = 0 q { ± } cel puţi două dire umerele pqr,, su ( r )( r ) = 0 r { ± } egale.

0 Se cosideră maricele AB, M cu AB BA A şi maricele A 0, B 0 0. V4 0 Să se deermie ragul maricei A 0. Să se arae că A0B0 B0A0 A0. Să se demosreze că A BBA A, peru orice,. 0 0 Soluţie propusă și redacaă de Sefa Săoescu, clasa a XI-a A, 0 0 rag A0 0 0 0 0 0 0 AB 0 0 0 00 0 0 00 0 AB 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A B B A A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Avem: AB BA A AB BA A Demosrăm pri iducție P: A BBA A,, Verificare P : ABBA A ABBAA A la sâga A B ABA A A BBAA AA A BBA A A A BBA A Presupuem P adevăraă şi demosrăm că PP P: A BBA A A BBA A A la sâga A B ABA A A B BA A A A A BBA A A A BBA A A A BBA A P adevăraă,.

a b Se cosideră mulţimea M= abcd,,, şi maricea A= M. V4 c d Câe marice di mulţimea M au suma elemeelor egală cu. Să se arae că A M. Să se deermie oae maricele iversabile B M care au proprieaea B M. Soluţie propusă și redacaă de Rober Veress, clasa a XI-a A, a+ b+ c+ d = abcd,,, marici şi aume ( A) = A iversabilă de umai u umăr ese iar celelale su 0. Deci avem 4 0 0 0 0 0 0,,,. 0 0 0 0 0 0 A = A de ( A) oae aurale. A = A = A = M deoarece elemeele u su B iversabilă B = B şi = ude B şi B M. de B B B I de B B de I de B de B de B de B = = = =± deoarece de B şi de B. a c d b B = B = b d c a = 0 Caz i. de B= B = B dar B M b = c = 0 ad = a = d = B = = I 0 d b Caz ii. de B= B = B = c a = 0 dar B M a = d = 0 bc = bc = b = c = B = 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Se cosideră maricele A = 0 0 şi B =. V44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Să se calculeze AB + BA Să se arae că rag ( A + B) = raga + ragb. * Să se demosreze că ( A+ B) = A + B, AB = O 4 B A= O 4 AB + BA = O Soluţie propusă și redacaă de Cosmi Vezeeu, clasa a XI-a A, 4 Dacă efecuăm rasformări elemearele vom obție: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C4 C 0 0 0 0 L4 L 0 0 0 0 A = rag ( A ) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C 0 0 0 L L 0 0 0 B = rag ( B ) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A+ B= 0 0 0 0 0 = 0. Calculăm bordaţii de ordi. 0 0 0 0 = 0, 0 0 0 0 = 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 + = 0 =, rag ( A B) rag ( A + B) = raga + ragb. 0... A+ B = CA + C A B+ C A B + + C AB + CB deoarece AB = BA = O4 deci A+ B = A + B = O4 = O4 = O4

Se cosideră maricele { } 0 0 A=, B= şi mulţimea = ( ) =. V45 Să se arae că B C( A). Să se arae că dacă X C( A), auci exisă xy,, asfel îcâ C A X M XA AX x 0 X =. y x Să se rezolve ecuaţia X + X = A. Soluţie propusă și redacaă de Adrei Vlad, clasa a XI-a A, 0 0 0 BA = = 5 BA = AB B C ( A) 0 0 0 AB = = 5 x z Fie X = y 0 x z x z x= x+ z AX = = y x y z + + x+ y = y+ z = 0 x 0 X =. x z 0 x+ z z z+ = = x y x XA = = y y+ z = z b x 0 X + X = X + X X ( X + X ) = ( X + X ) X XA = AX X = y x = A = A x 0 x 0 x 0 x + x 0 X = X X = = X X + = y x y x xy x xy+ y x + x x {, } x + x= x + x = 0 X = A xy + y = y( x+ ) = y = x + x= y = 0 0 X, x= y =

a b 0 0 0 Se cosideră maricele A, O şi I î c d 0 0 0 M ( ). V46 Să se demosreze că x,deaxi x ad xad bc Dacă A O, să se demosreze că a d 0 Şiid că A O, să se calculeze de A I. Soluţie propusă și redacaă de Marius Borîdel, clasa a XI-a A, a x b A xi de A xia xd xbc c d x de A xi x a d x ad bc Di relaţia Cayley-Hamilo avem de CH de 0 0 A r A A A I O Dar A O A raao ra sau A O ad 0 ) de A0 0 a ad bc A O de AxI x. ad 0 ad 0 Dacă luăm xdeai 4.

Se cosideră maricele A =, 4 f : M M ( ), f ( X ) = AX XA. V47 Să se deermie ragul maricei A. f B Să se calculeze Să se arae că ecuaţia f ( X) = B u are soluţii. B = 0 şi fucţia de A = = 0 rag ( A) = 4 f ( B) = AB BA Soluţie propusă și redacaă de Adria Bufea, clasa a XI-a A, AB = = 4 0 7 4 6 f ( B) = = = 4 6 7 4 0 0 BA = = 0 4 4 Presupue că f ( X) = B are soluţii AX XA = B r ( AX XA) = r ( B) Tr ( AX ) Tr ( XA) = dar Tr ( AX ) = Tr ( XA) O = fals ecuaţia u are soluţii.

x+ y+ z = Se cosideră sisemul x y+ z=, ab,,. V48 7x y + az = b Să se deermie a, peru care deermiaul sisemului ese egal cu zero. Să se deermie valorile paramerilor ab, peru care sisemul ese icompaibil. Să se arae că exisă o ifiiae de valori ale umerelor a şi b peru care xyz,, cu x,y,z î progresie arimeică. sisemul admie o soluţie Soluţie propusă și redacaă de Vlad Cosaiescu, clasa a XI-a A, = = a+ 4 + 7 4a+ = 5a+ 0 7 a = 0 5a+ 0 = 0 a = 4. U sisem păraic de ecuații liiare ese icompaibil dacă = 0 şi u deermia caracerisic ese eul Dacă = 0 a = 4 deci maricea sisemului ese A = 7 4 Fie p = = 5 0 c = = b + 4 + 7 + 4b= 5b+ 0. 7 b Dacă oţi miorii caracerisici su uli, auci sisemul ese compaibil (Rouché) c 0 5b+ 0 0 b 4. Sisemul ese icompaibil peru a = 4 şi b 4. xyz,, î ec. x+ z = y y = y y = şi dacă îlocuim 4 ec. & ec. x+ z = x= ec. 4 a 7 = b 0 a= 4b a+ 4b= 0 5 x+ z = 4 4 4 z = 4 4 exisă o ifiiae de valori ale umerelor a şi b asfel îcâ xyz,, î progresie arimeică

x + ay = Se cosideră a, sisemul y + az = a şi A maricea sa. V49 x + z = Să se arae că de A 0. Să se arae că soluţia sisemului ese formaă di rei umere î progresie geomerică. Să se deermie iversa maricei A. Soluţie propusă și redacaă de Alexadra Dele, clasa a XI-a A, a 0 de 0 0 ( A) = a = + a, a a ( A) de A 0 y + az = a y + az = a x+ z = ( ax az = a y ax = 0 y = ax + > 0 de 0 Cramer sisemul compaibil deermia x + ay = x + ay = x+ z = x z = ay z = 0 z = ay = a x xyz,, î deoarece y = xz. ( A) A iversabilă de 0 A = A de ( A) 0 A = a 0. Elemeele maricei adjuce su 0 a 0 a 0 a 0 a = =, a = = a, a = = a a 0 a 0 a 0 0 a = = a, a = =, a = = a 0 a 0 a a a = =, a = = a, a = = 0 0 0 a a A = a a a + a

a a a,,, b b b Pk ak, b k, ude k {,, }. V50 P,, P,4, P, 6. B, oricare ar fi pucele P, P, P. B = dacă şi umai dacă pucele P, P, Psu coliiare pe o dreapă care rece pri origiea axelor. Se cosideră maricele A= M ( ), raspusa A M ( ) B = AA, şi pucele Să se calculeze B şiid că Să se arae că de 0 Să se arae că de 0 Soluţie propusă și redacaă de Crisia Ghepeş, clasa a XI-a A, a b a a a a + a + a ab + ab + ab B= a b b b b = ab + ab + ab b + b + b a b a =, a =, a = + 4 + 9 + 8 + 8 4 8 B = = b =, b = 4, b = 6 + 8 + 8 4 + 6 + 6 8 56 Meoda. de B= a + a + a b + b + b ab + ab + ab de B = ( a + ( ab ) + ( a + ( a + ( ab ) + ( a + ( a + ( ab ) + ( a ( a ( a ( a abab abab abab ( ) Meoda. de B= ab ab + ab ab + ab ab de B 0, P, P, P Șim di iegaliaea C.B.S că ( a + a + a )( b + b + b ) ( ab + ab + ab ) deci ( a a a )( b b b ) ( ab ab ab ) ( B) + + + + + + 0 de 0 ab ab = 0 a b de ( B) = 0 ab ab = 0 ab + ab + ab ab ab ab = 0 a b = 0 ab ab = 0 a b P, P, P coliiare Ecuația drepei d pe care se află pucele P, P, P ese: x a y b d : = a a b b ( y ( a = ( x ( b ya ya ba + ab = xb xb ab + ab y( a = x( b Evide P, P, P su pe o dreapă d care rece pri origiea axelor deoarece ( 0,0) d

Fie şirul ( F ), da de F + = F + F, *, F0 = 0, F = şi maricea A = V5 0 Să se verifice relaţia A = A+ I. Să se arae că dacă X M( ), X O şi AX = XA, auci X ese iversabilă. F+ F Să se arae că A =,. F F Soluţie propusă și redacaă de Tibor Gocz, clasa a XI-a A, Meoda. Calcul efeciv A = A A= = 0 0 = + 0 A+ I = + = 0 0 A A I Meoda. Di relaţia Cayley-Hamilo avem de r ( A) = A r A A + A I = O A A I = O A = A+ I de ( A) = = 0 x y Fie X = M( ), X O z x y x+ z y+ x+ z = x+ y AX = = 0 z x y AX = XA y+ = x y = z x y x+ y x x= z+ = x y XA = = z 0 z+ z y = z x y x y X = de ( X) = = y x y y x y = 5 y y y± 5y = x xy y x, = x, Evide y u poae să fie zero, deoarece dacă y = 0 x= 0 X = O dar X O, deci x xy y 0, x, y de ( X) 0, xy, X F+ F P : A =, F F F F F+ F0 Verificare P( : ) A= = ( A) F F = 0 0 0 P P + Presupuem P( ) adevăraă şi demosrăm că P : A F F + + + = F F A A A = F + F F F + F F F F + + + + + + = = F F = = 0 F + F F F+ F F + P adevăraă ese iversabilă

Peru orice marice de A M ( ), se oează C ( A) = { X M AX = XA}. Se cosideră maricele E = 0, E 0 0 0 0 0 =, E =, E 4 = V5 0 0 0 0 0 0 Să se arae că dacă XY, C( A), auci X + Y C( A). Să se arae că dacă E, E C( A) auci exisă α asfel îcâ A= α I. Să se arae că dacă C( A ) coţie rei dire maricele E, E, E, E 4, auci o coţie şi pe a para. XY, C( A) Soluţie propusă și redacaă de Ramoa Iga, clasa a XI-a A, AX = XA AY = YA A X + Y = AX + AY A X + Y = X + Y A X + Y C A X + Y A = XA + YA = AX + AY a b A = c d a b 0 0 a b 0 a c d c= 0 E C ( A) AE = EA = = c d 0 0 0 0 c d 0 c 0 0 a = d a b 0 0 0 0 a b b 0 0 0 b= 0 E C ( A) AE = EA = = c d 0 0 c d d 0 a b a = d a 0 0 A = = a = ai α asfel îcâ A= α I ude α = a 0 a 0 Fără a resrâge geeraliaea puem alege,, E E E C A A= α I AE = αi E = αe 4 4 4 EA= E αi = αe 4 4 4 E 4 C A

0 Se cosideră maricele A = şi 0 Să se verifice că AB BA. 4 6 Să se arae că A + B = I. B 0 =. V54 * Să se arae că, peru orice, AB I. Soluţie propusă și redacaă de Adreea Mucha, clasa a XI-a A, 0 0 AB = = 0 0 0 0 0 B A= = 0 AB BA 0 0 0 A = A A= = = I 0 0 0 4 A = A A = I I = I 0 0 B = B B= = 0 0 0 0 0 B = B B= = = I 6 B = B B = I I = I + = + = 4 6 A B I I I C = AB = 0 C = C C = = 0 0 0 P : C =, 0 = 0 Verificare P( : ) C ( A)

Presupuem că P( adevăraă ) şi demosrăm că P P( + ) ( ) + P( + : ) C + = 0 + + C = C C = = = 0 0 0 0 P adevăraă ( AB) I, deoarece 0.

a b b a x+ x = A,. V55 y y Maricea A= M ( ) şi şirurile ( x), ( y) verifică + Să se arae că + + ( ) x + y = a + b x + y., Să se arae că, dacă a + b, auci şirurile ( x), ( y) mărgiie. Să se arae că, dacă a = şi b =, auci x 6 64 x, 0 + =. su Soluţie propusă și redacaă de Emauel Nazare, clasa a XI-a A, x+ x x+ a b x x+ ax by = A = = y y y b a y y bx + ay + + + x+ = ax by şi y = bx + + ay + + + = + + = x y ax by bx ay a x abx y + b y + b x + abx y + ay = = x a + b + y a + b = a + b x + y Fie d = x + y d+ x+ y+ ( a b )( x y) ( a b ) d ( a b )( a b )( x y ) ( ) ( + ) ( + a b d ) (... a b d0 x+ y+ a b x0 y0) = + = + + = + = + + + = = + = = + + = + + dar + + a + b d x0 + y0 = x0 + y0 =M x + y 0 x M M x + + + 0 y+ M şi y mărgiie x+ 6 x+ 5 x+ 4 x + x 6 = A= A = A =... = A y y y y y + 6 + 5 + 4 + 6 Acum calculăm A A A A = = = 8 0 0 8 A = A A = = = I 6 A = A A = 8I 8I = 64I 8 x+ 6 x x+ 6 64x = 64I = x+ 6 = 64 x, 0 y+ 6 y y+ 6 64y

Se cosideră maricea A= M ( ) şi fucţia ( ) =. V56 Să se arae că f ( A) = I. Să se arae că, Să se arae că fucţia f ese bijecivă. f : M M, f X AX f X + f X = X + f X X M. Soluţie propusă și redacaă de Rareş Păroiu, clasa a XI-a A, 0 f A = A A= = = I A = A 0 ( ) f X + f X = A X + f X = A X + AX = AX + A X = f X + X O fucţie f : A B ese bijecivă peru orice y B f ( x) = y admie o soluţie uică x A. Fie ecuaţia f ( X) = Y =I, ecuaţia AX = Y A la sâga ( A iversabilă A = A, vezi pucul ) Avem: A A X = A Y X = AY M ( ) adică ecuaţia are soluţie uică.

x y Fie maricele A= M ( ) şi M ( ), cu x 4 =, y = 0. V57 Să se deermie x, x, y şi y 0 0 x + y = +,. Să se arae că x+ 6x+ + x = 0, 0. Să se arae că, x+ x = A, şi y y + Soluţie propusă și redacaă de Vlad Roma, clasa a XI-a A, x x 0 x 4 x x = = A = y y 0 y = 0 y y = x x x 4 x 7 x = A = = y y y y y P : x + y = +, Verificare P( 0 ) : x + y = ( + ) = ( A) 0 0 0 = 7 = Presupuem P( ) adevăraă şi demosrăm că P P( ) ( : ) ( ) + + + = + P x y + + +. Deoarece x 4 x x = x + 4y = y y y = x + y + + + + şi vom avea x+ + y+ = x + 4y + x + y x+ + y+ = x + + y 4+ = x + + y + + x+ + y+ = + x + y = + P = ( + ) adevăraă. Di prima formulă de recureţă Acum îlocuim î a doua formulă de recureţă x+ x+ x+ x = x + 4 4 x+ x+ = 8x + x+ 9x x+ 6x+ + x = 0, 0 x x x = = x. 4 4 + + + y y+ şi avem