ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΑΠO ΤΟ ΑΙΣΘΗΤO ΣΤΟ ΝΟΗΤO

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Λίστα πινάκων................................................ 13 Λίστα σχηµάτων............................................... 15 Πρελούδιο................................................... 19 Εισαγωγή................................................... 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΑΠO ΤΟ ΑΙΣΘΗΤO ΣΤΟ ΝΟΗΤO 1.1 Μαθηµατικές έννοιες........................................ 35 1.2 Το σχεδόν τίποτα ως δοµικό στοιχείο του όλου.................... 38 1.3 Οργάνωση εννοιών......................................... 45 1.4 Γλώσσα, έκφραση και νόηµα (Ι)............................... 47 1.4.1 Το τετράγωνο......................................... 50 1.4.2 Η πρόσθεση των κλασµάτων............................. 53 1.4.3 Το σπασµένο τηλέφωνο................................. 54 1.5 Απόδειξη (Ι)............................................... 55 1.5.1 Απόδειξη και αποδείξεις................................. 55 1.5.2 Παράδειγµα απόδειξης.................................. 57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΚΑΙ ΚAΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA 2.1 Τι είναι µαθηµατικά; Επιστηµολογίες για τα µαθηµατικά;........... 59 2.2 Αναπαραστάσεις, αντιλήψεις, εκφράσεις: ένα εργαλείο διερεύνησης και αξιολόγησης...................... 62

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.3 Συστηµική θεώρηση και έρευνα της µάθησης..................... 65 2.3.1 Μαθησιακό σύστηµα................................... 65 2.3.2 Μια συστηµική οπτική Ένα ερευνητικό πλαίσιο............ 67 2.4 ράση και αναστοχασµός: µαθηµατική δραστηριότητα............ 71 2.4.1 Το τρενάκι του λούνα παρκ............................. 74 2.4.2 Μαθηµατική δραστηριότητα............................ 82 2.4.2.1 Χαρακτηριστικά µαθηµατικής δραστηριότητας.......... 83 2.4.2.2 Σχεδιάζοντας µια µαθηµατική δραστηριότητα........... 86 2.4.2.3 Στοχοθεσία µιας µαθηµατικής δραστηριότητας.......... 90 2.4.2.4 Αρχές διδακτικής αλληλεπίδρασης! Όχι «συνταγές»!..... 91 2.4.3 Ρεαλιστικά µαθηµατικά................................ 93 2.4.4 Ανάγκη για αξιωµατικά συστήµατα;...................... 95 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΑΥΤΑ ΠΟΥ ΜΑΣ ΟΡIΖΟΥΝ, ΜΑΣ ΕΝΩΝΟΥΝ ΚΑΙ ΜΑΣ ΙΑΧΩΡIΖΟΥΝ: ΤΑ ΣYΝΟΛΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΧEΣΕΙΣ 3.1 Εγώ και όχι εγώ;.......................................... 99 3.2 Εµείς και όχι εµείς; Αυτοί και οι άλλοι; Αναζητώντας οµοιότητες και διαφορές......................... 100 3.2.1 Αναζητώντας οµοιότητες και διαφορές.................... 100 3.2.2 ιαισθητικά......................................... 103 3.2.3 Μιλώντας για τα σύνολα............................... 104 3.2.3.1 Παράσταση συνόλων.............................. 107 3.2.3.2 Παράσταση καρτεσιανού γινοµένου................... 108 3.2.3.3 Βασικές εκφράσεις συνόλων......................... 110 3.2.3.4 Συνοπτικά και ανεπίσηµα........................... 111 3.2.3.5 Λεξιλόγιο Συµβολισµοί........................... 113 3.2.4 Ένα παράδειγµα...................................... 114 3.2.5 Προς σκέψη......................................... 117 3.3 Σχέσεις................................................ 118 3.3.1 Αυτά που µας συνδέουν................................ 118 3.3.2 Σχέσεις µεταξύ δύο στοιχείων........................... 119 3.3.2.1 Τύποι διµελών σχέσεων............................ 120 3.3.2.2 Ένα εύκολο παράδειγµα και δύο χαρακτηριστικές δυσκολίες 123 3.3.3 Προς σκέψη......................................... 125 3.4 Συνήθη αριθµητικά σύνολα.................................. 125

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΕIΝΑΙ ΑΛHΘΕΙΑ; ΕIΝΑΙ ΣΩΣΤO; ΑΒΕΒΑΙOΤΗΤΕΣ 4.1 Γλώσσα, έκφραση και νόηµα (ΙΙ).............................. 131 4.2 Αλήθεια ή ψέµατα; Ένα παιχνίδι.............................. 137 4.3 Συλλογισµοί.............................................. 143 4.4 Προτασιακός λογισµός..................................... 146 4.4.1 Αφαιρέσεις - Γενικεύσεις............................... 146 4.4.2 Λογικοί σύνδεσµοι.................................... 147 4.4.2.1 Ο λογικός σύνδεσµος άρνηση........................ 147 4.4.2.2 Ο λογικός σύνδεσµος εγκλειστική διάζευξη............. 147 4.4.2.3 Ο λογικός σύνδεσµος αποκλειστική διάζευξη............ 147 4.4.2.4 Ο λογικός σύνδεσµος σύζευξη........................ 148 4.4.2.5 Ο λογικός σύνδεσµος συνεπαγωγή.................... 148 4.4.2.6 Ο λογικός σύνδεσµος ισοδυναµία..................... 149 4.4.3 Προτασιακές µεταβλητές και προτασιακές παραστάσεις...... 150 4.4.4 Παραδείγµατα....................................... 152 4.4.5 Προς σκέψη......................................... 159 4.5 Σύνταξη και σηµασίες...................................... 159 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΠOΣΑ ΕIΝΑΙ; ΑΠΑΡIΘΜΗΣΗ 5.1 Πόσες µονάδες είναι;....................................... 165 5.1.1 Απαρίθµηση......................................... 169 5.1.2 Τα µεταλλικά κουτιά του Martin Hughes................... 170 5.1.3 Κατακτώντας την απαρίθµηση........................... 172 5.2 Αριθµός................................................ 175 5.2.1 Πληθικός αριθµός..................................... 175 5.2.2 ιατακτικός αριθµός................................... 177 5.2.3 Εννοιοποιήσεις του αριθµού: η πολλαπλότητα της µονάδας.... 180 5.2.3.1 Το 6 είναι το 1 λιγότερο από το 7, αλλά και το 2 και 4, και 180 5.2.3.2 Ο αριθµός ως επίθετο και ως ουσιαστικό............... 182 5.2.3.3 Θεωρίες διεργασίας-αντικειµένου.................... 182

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5.3 Πόσες «µονάδες» είναι;..................................... 186 5.3.1 ιαφορετικά συστήµατα αρίθµησης...................... 187 5.3.1.1 Μονάδα και «µονάδα» (Ι): διαφορετικές απαριθµήσεις του ίδιου συνόλου........... 187 5.3.1.2 Παραθετικά συστήµατα αρίθµησης.................... 189 5.3.1.3 Συστήµατα αρίθµησης θέσης (βάσης µε αξία θέσης)...... 191 5.3.1.4 Μετατροπές µεταξύ συστηµάτων αρίθµησης............ 194 5.3.1.5 Πράξεις σε συστήµατα αρίθµησης.................... 196 5.4 Ο αριθµός και οι κοινωνικο-πολιτισµικές προεκτάσεις............. 199 5.5 Προς σκέψη και ευρύτερο αναστοχασµό........................ 200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΠOΣΕΣ ΕΠΙΛΟΓEΣ EΧΩ; ΑΠΑΡIΘΜΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕIΩΝ ΣΥΝOΛΟΥ 6.1 Ένας εκνευριστικός µαθητής................................. 205 6.2 Απαρίθµηση (ΙΙΙ) στοιχείων συνόλου.......................... 207 6.3 Βέβαια ερωτήµατα και αβέβαιες (;) απαντήσεις.................. 213 6.3.1 Η προφορική εξέταση................................. 213 6.3.2 Οι γραπτές εξετάσεις.................................. 214 6.3.3 Το ταξίδι............................................ 218 6.4 Αρχή γινοµένου και αρχή αθροίσµατος......................... 220 6.4.1 Αρχή γινοµένου...................................... 222 6.4.2 Αρχή αθροίσµατος.................................... 222 6.5 ιατάξεις, µεταθέσεις, συνδυασµοί............................ 223 6.5.1 ιατάξεις........................................... 224 6.5.2 Μεταθέσεις.......................................... 228 6.5.3 Συνδυασµοί......................................... 229 6.6 Η έκρηξη των επιλογών..................................... 232 6.7 Προς σκέψη.............................................. 234 6.7.1 Το (Ο)Στοµάχιον..................................... 234 6.7.2 Οι γέφυρες του Koenigsberg............................ 236 6.7.3 Οι 36 αξιωµατικοί.................................... 239 6.7.4 Περισσότερα προβλήµατα............................... 241

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΒ ΟΜΟ (0), 1, 2, 3, 4, : ΟΙ ΦΥΣΙΚΟI ΑΡΙΘΜΟI 7.1 Από τους αριθµούς στον αριθµό: προς τη δοµή................... 243 7.2 Το µηδέν και το τίποτα...................................... 246 7.3 Ο αριθµός ως διαδικασία και ως αποτέλεσµα απαρίθµησης......... 249 7.3.1 Θεµελίωση µε απαρίθµηση συνόλων (συνολοθεωρητικά Zermelo - Fraenkel)................... 249 7.3.2 Θεµελίωση µε σχέσεις στοιχείων συνόλων................. 251 7.3.3 Αναστοχασµοί........................................ 252 7.3.3.1 Το 0 ως φυσικός και ως µη φυσικός................... 253 7.3.3.2 Ο επόµενος...................................... 253 7.3.3.3 ύο θεµελιώσεις, ένα σύνολο........................ 254 7.4 Μοτίβα αριθµών.......................................... 255 7.4.1 Σχηµατικοί (ή πολύγωνοι) αριθµοί........................ 255 7.4.2 Άρτιοι και περιττοί.................................... 258 7.4.3 Σχέσεις αριθµών και συνόλων........................... 261 7.4.3.1 Από το µέρος στο όλο και αντίστροφα................. 261 7.4.3.2 Περί κλειστότητας................................ 265 7.5 Αρχή µαθηµατικής επαγωγής................................ 267 7.5.1 Ντόµινο............................................ 267 7.5.2 Πρώτη µορφή µαθηµατικής επαγωγής..................... 271 7.5.2.1 Προς σκέψη...................................... 272 7.5.3 Γενικευµένη πρώτη µορφή.............................. 272 7.5.3.1 Ένα παράδειγµα.................................. 273 7.5.3.2 Ένα παράδειγµα απόδειξης µε επαγωγή................ 280 7.5.4 Η αρχή της µαθηµατικής επαγωγής δεν είναι επαγωγικός συλλογισµός!....................... 284 7.6 Πράξεις φυσικών.......................................... 284 7.7 Πολλαπλάσια και διαιρέτες.................................. 286 7.7.1 Αλγόριθµος ευκλείδειας διαίρεσης....................... 286 7.7.2 ιαιρέτες............................................ 287 7.7.2.1 Αναστοχασµός.................................... 287 7.7.2.2 Κριτήρια διαιρετότητας............................ 288 7.7.3 Μ.Κ.. (I)........................................... 290 7.7.3.1 Εύρεση Μ.Κ.. (Ι)................................. 290 7.7.3.2 Εύρεση Μ.Κ.. (ΙΙ)................................. 291 7.7.3.3 Ένα σχόλιο για τον Μ.Κ............................... 293

12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.7.4 Ε.Κ.Π. (I)............................................ 294 7.7.4.1 Εύρεση Ε.Κ.Π. (Ι)................................. 294 7.7.4.2 Εύρεση Ε.Κ.Π. (ΙΙ)................................ 296 7.8 Οι πρώτοι................................................ 297 7.8.1 Εύρεση πρώτων αριθµών............................... 298 7.8.2 Οι πρώτοι αριθµοί είναι άπειροι.......................... 300 7.8.3 Ένας αριθµός είναι πρώτος ή γράφεται ως γινόµενο πρώτων... 301 7.8.4 Πρωτογενής ανάλυση.................................. 303 7.8.5 Μ.Κ.. (ΙΙ)........................................... 306 7.8.6 Ε.Κ.Π. (ΙΙΙ).......................................... 307 7.9 Απόδειξη (IV)............................................. 308 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΓ ΟΟ ΣΧEΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 8.1 Μεγέθη................................................ 311 8.2 Μονάδες και «µονάδες» (ΙΙ)................................. 316 8.3 Σχέσεις σύγκρισης......................................... 317 8.3.1 Προσεγγίζοντας τη σύγκριση............................ 317 8.3.2 Ποσοτικοποιώντας τη σύγκριση......................... 322 8.4 Κλάσµατα, ρητοί και άρρητοι.............................. 329 8.4.1 Κλάσµατα........................................... 329 8.4.2 Πρόσθεση κλασµάτων και στατικές αναπαραστάσεις......... 335 8.4.3 Μια συχνά εµφανιζόµενη σχέση λόγου: τα ποσοστά.......... 342 8.4.3.1 Η περίπτωση µε τον µισθό.......................... 347 8.4.3.2 Το προκαθορισµένο ποσοστιαίο κέρδος................ 349 8.4.4 Αυτοί που λέγονται και είναι, αυτοί που δεν λέγονται και είναι: ρητοί και άρρητοι..................................... 352 8.4.4.1 Ρητοί........................................... 352 8.4.4.2 Ασύµµετροι...................................... 355 8.4.4.3 εν υπάρχει ρητός αριθµός που το τετράγωνό του να είναι 2 356 8.4.4.4 Aσύµµετρα µεγέθη: οι άρρητοι....................... 361 8.5 Πόσοι είναι οι αριθµοί που ξέρω;............................. 362 8.5.1 Πόσοι είναι οι ρητοί;.................................. 364 8.5.2 Πόσοι είναι οι άρρητοι και πόσοι οι πραγµατικοί;............ 370 Ιντερλούδιο................................................ 381 Βιβλιογραφία............................................... 401

ΛΙΣΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 3.1 Στη γλώσσα των συνόλων 106 Πίνακας 3.2α Στη γλώσσα των συνόλων (λεξιλόγιο - συµβολισµοί) 113 Πίνακας 3.2β Στη γλώσσα των συνόλων (λεξιλόγιο - συµβολισµοί) 114 Πίνακας 4.1 Οι δέκα πρώτες εκφράσεις του 1ου µέρους του παιχνιδιού 138 Πίνακας 4.2 Οι δέκα επόµενες εκφράσεις του 1ου µέρους του παιχνιδιού 138 Πίνακας 4.3 Οι δέκα εκφράσεις του 2ου µέρους του παιχνιδιού 141