ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 28 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. Ν βρείτε το ολοκλήρωμ: (8x 3 ημx 5 + 7) dx ex (8x 3 ημx 5 e x + 7) dx = (8x3 ημx 5e x + 7)dx = 8 x4 4 ( συνx) 5( e x ) + 7x + c = 2x 4 + συνx + 5e x + 7x + c 2. Ν υπολογίσετε το όριο: lim x + e 2x 3x 4 { lim x + e2x = + + Απροσδιoριστί της μορφής ( (3x 4) = + + ) lim x + De L Hospitl: lim x + e 2x 3x 4 = 2e 2x lim x + 3 = + Σελίδ / 3
3. Ν δείξετε ότι η εξίσωση 8x 3 27x 2 + 8x 2 = έχει τουλάχιστον μι πργμτική ρίζ (λύση) στο διάστημ (,). Βρίσκουμε το ολοκλήρωμ: (8x 3 27x 2 + 8x 2)dx = 2x 4 9x 3 + 9x 2 2x + c Έστω f(x) = 2x 4 9x 3 + 9x 2 2x Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,] κι πργωγίσιμη στο διάστημ (,) ως πολυωνυμική συνάρτηση. Επιπλέον, f() = 2 9 + 9 2 = = f() Συνεπώς, ικνοποιούντι οι συνθήκες του θεωρήμτος του Rolle κι επομένως υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (,) τέτοιο ώστε f (ξ) =. Δηλδή, 8ξ 3 27ξ 2 + 8ξ 2 = Άρ, η εξίσωση 8x 3 27x 2 + 8x 2 = έχει τουλάχιστον μι πργμτική ρίζ (λύση) στο διάστημ (,). 4. Δίνοντι τ ψηφί, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. () Ν βρείτε πόσους τριψήφιους ριθμούς μπορούμε ν σχημτίσουμε με τ πιο πάνω ψηφί, ν δεν επιτρέπετι η επνάληψη ψηφίου. (β) Ν βρείτε πόσοι πό τους τριψήφιους ριθμούς που σχημτίσμε στο ερώτημ () περιέχουν υποχρεωτικά το ψηφίο 5. (3 μονάδες) () 9 8 7 Βάση της ρχής της πρίθμησης μπορούμε ν σχημτίσουμε 9 8 7 = 54 τριψήφιους ριθμούς. (β) Οι τριψήφιοι ριθμοί είνι της μορφής 5β, 5β, β5 όπου, β 5 κι β. 8 7 Βάση της ρχής της πρίθμησης σε κάθε περίπτωση μπορούμε ν σχημτίσουμε 8 7 = 56 τριψήφιους ριθμούς. Συνεπώς, συνολικά έχουμε 3 56 = 68 τριψήφιους ριθμούς. Σελίδ 2 / 3
5. Έστω Τ το χωρίο που περικλείετι πό τις κμπύλες y = x 2 + κι y = 3x 2 + κι την ευθεί x =. () Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου Τ. (β) Ν υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που πράγετι πό την πλήρη περιστροφή του Τ γύρω πό την ευθεί y =. (3 μονάδες) () Ε = [3x 2 + (x 2 + )] dx (β) = 2x 2 dx = [ 2x3 3 ] = 2 3 τ. μ. V = π [(3x 2 + ) 2 (x 2 + ) 2 ] = π 8x 4 dx = π [ 8x5 5 ] = 8π 5 6. Σε έν κλάθι έχουμε 6 μήλ, x χλάδι κι y ροδάκιν, όπου x, y N. Επιλέγουμε τυχί έν φρούτο πό το κλάθι. H πιθνότητ ν επιλέξουμε χλάδι ή ροδάκινο είνι 3, ενώ η πιθνότητ ν επιλέξουμε μήλο ή ροδάκινο 4 είνι 7. 2 () N υπολογίσετε τις τιμές των x κι y. (4 μονάδες) (β) Ν υπολογίσετε την πιθνότητ ν επιλέξουμε μήλο ή χλάδι. ( μονάδ) () Έστω Α = {ν επιλέξουμε χλάδι ή ροδάκινο} κι x + y Ρ(Α) = x + y + 6 3 4 = x + y 3(x + y) + 8 = 4(x + y) x + y + 6 x + y = 8 Έστω Β = {ν επιλέξουμε μήλο ή ροδάκινο} Ρ(B) = 6 + y x + y + 6 7 2 = 6 + y 6 + y = 4 y = 8 24 κι x = 8 y = (β) Έστω Γ = {ν επιλέξουμε μήλο ή χλάδι} Ρ(Γ) = 6 + = 2 24 3 κ. μ. dx Σελίδ 3 / 3
7. Δίνετι η εξίσωση: x 2 y2 μ + 2 + =, μ R { 2, 3} 3 μ () Ν βρείτε γι ποι τιμή του μ η εξίσωση πριστάνει κύκλο. ( μονάδ) (β) Ν βρείτε γι ποιες τιμές του μ η εξίσωση πριστάνει έλλειψη. (γ) Αν μ ( 2, ), ν δείξετε ότι η έλλειψη που προκύπτει έχει τις εστίες 2 της στον άξον των τετγμένων. () Η εξίσωση πριστάνει κύκλο ότν μ + 2 = 3 μ κι μ + 2 >. μ + 2 = 3 μ 2μ = μ = 2 (β) Η εξίσωση πριστάνει έλλειψη ότν μ + 2 > κι 3 μ > Δηλδή μ > 2 κι μ < 3. Άρ, η εξίσωση πριστάνει έλλειψη ότν μ ( 2,3). (γ) 2 < μ < < μ + 2 < 5 κι 2 2 2 < μ < < μ < 2 5 < 3 μ < 5 2 2 2 Άρ < μ + 2 < 5 < 3 μ κι επομένως η έλλειψη που προκύπτει έχει 2 τις εστίες της στον άξον των τετγμένων. 8. Αν η συνάρτηση f: (, ) (, + ) είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι ικνοποιεί τη σχέση f 2 (x) 2f(x) = e x, ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της f δεν έχει σημεί κμπής. Α τρόπος Πργωγίζουμε τη σχέση δύο φορές f 2 (x) 2f(x) = e x 2f (x)f(x) 2f (x) = e x 2f (x)f(x) + 2 [f (x)] 2 2f (x) = e x 2f (x)(f(x) ) = e x 2 [f (x)] 2 f (x) = ex + 2[f (x)] 2 2(f(x) ) Αφού f(x) >, τότε f (x) <, x < κι επομένως η γρφική πράστση της f δεν έχει σημεί κμπής. Σελίδ 4 / 3
Β τρόπος f 2 (x) 2f(x) + = e x + (f(x) ) 2 = e x + Δεδομένου ότι x < τότε e x + >. Άρ Δεδομένου ότι f(x) > τότε f(x) = ± e x f(x) = + e x Πργωγίζουμε τη συνάρτηση f δύο φορές f e x (x) = 2 e x f (x) = e x e x + e2x 2 2 e x ( e x ) 2 < Αφού f (x) <, x < η γρφική πράστση της f δεν έχει σημεί κμπής. 9. Δίνετι η συνάρτηση f: (, + ) R με τύπο: f(x) = 2 ln x x () Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί. (β) Ν δείξετε ότι: () Βρίσκουμε την πράγωγο ln x e x, x > (3 μονάδες) f (x) = 2 x 2 ln x + 2 x x = 2 ( ln x) x2 Θέτουμε f (x) =. Άρ ln x = x = e Κτσκευάζουμε τον πίνκ μονοτονίς x e + f (x) + f(x) Από τον πιο πάνω πίνκ συμπερίνουμε ότι η f είνι ύξουσ στο (, e] κι φθίνουσ στο [e, + ). (β) Από τον πίνκ συμπερίνουμε ότι η f προυσιάζει ολικό μέγιστο το f(e) = 2 e ln e = 2 e Συνεπώς, f(x) 2 e 2 x ln x 2 e e ln x x ln x e x, x > Σελίδ 5 / 3
. Δίνετι τo ολοκλήρωμ: Ι ν = xν x 2 + dx, ν {,, 2, 3, } () Ν δείξετε ότι Ι 2ν = 2ν Ι 2ν 2, ν N. (β) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ Ι 4. (3 μονάδες) () Αρκεί ν δείξουμε ότι Ι 2ν + Ι 2ν 2 =, ν N 2ν Ι 2ν + Ι 2ν 2 = x2ν x 2 + dx + x2ν 2 x 2 + dx = x2ν + x 2ν 2 x 2 dx + = x2ν 2 (x 2 + ) x 2 dx + = x 2ν 2 dx (β) Από την πιο πάνω σχέση Ι 4 = 2 2 Ι 2 = 3 ( 2 I ) = 2 3 + x 2 + dx = 2 3 + [τοξεφx] = [ x2ν 2ν ] = 2ν = 2 3 + π 4 ΤΕΛΟΣ ΜΕΡΟΥΣ Α Σελίδ 6 / 3
ΜΕΡΟΣ Β Ν λύσετε κι τις 5 σκήσεις του Μέρους Β. Κάθε άσκηση βθμολογείτι με μονάδες.. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο: f(x) = ( x)e 2x Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της, τ σημεί τομής της με τους άξονες των συντετγμένων, τ διστήμτ μονοτονίς, τ τοπικά κρόττ κι τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσής της, ν υπάρχουν, κι ν την πρστήσετε γρφικά. Πεδίο Ορισμού Α = R, Σημεί τομής με τους άξονες Αν x = y = κι ν y = x = Τ σημεί τομής είνι (,) κι (,) Μονοτονί f (x) = e 2x + 2( x)e 2x = e 2x ( 2x) Γι f (x) = x = 2 x 2 + f (x) + f(x) Αύξουσ στο διάστημ (, 2 ] Φθίνουσ στο διάστημ [ 2, + ) Σελίδ 7 / 3
Τοπικά κρόττ Tο τοπικό (ολικό) μέγιστο είνι το f ( 2 ) = e 2, mx( 2, e 2 ) Ασύμπτωτες lim f(x) = ( )(+ ) = x + { lim x ( x) = + lim x e 2x = + x De L Hospitl: lim = lim x e 2x Άρ, lim f(x) = x + Απροσδιoριστί της μορφής ( + ) x 2e 2x = Άρ η γρφική πράστση της f έχει οριζόντι σύμπτωτη στο, την ευθεί y =. Σελίδ 8 / 3
2. Έστω Μ τυχίο σημείο της πρβολής y 2 = 4x με > κι Ο η ρχή των ξόνων. Από το σημείο Μ φέρουμε ευθεί (ε ) πράλληλη προς τον άξον της πρβολής η οποί τέμνει τον άξον των τετγμένων στο σημείο Κ. Στη συνέχει, πό το σημείο Κ φέρουμε ευθεί (ε 2 ) η οποί τέμνει κάθετ το ευθύγρμμο τμήμ ΟΜ στο σημείο Τ. () Ν δείξετε ότι η ευθεί (ε 2 ) διέρχετι πό στθερό σημείο του άξον των τετμημένων. (4 μονάδες) (β) Ν δείξετε ότι η εξίσωση της κμπύλης πάνω στην οποί βρίσκετι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Τ, κθώς το Μ κινείτι στην πρβολή, είνι κύκλος. (6 μονάδες) () Θεωρούμε Μ(t 2, 2t) με t. Κλίση της ΟΜ: λ ΟΜ = 2t t 2 = 2 t Κλίση της ΚΤ: λ ΚΤ = t 2 Εξίσωση της KT: y 2t = t (x ) y = t x + 2t () 2 2 Γι y = πό την () x = 4, άρ το σημείο Λ(4, ) είνι στθερό. (β) Εξίσωση της ΟΜ: y = 2 x (2) κι t Εξίσωση της ΚΛ: y = t (x 4) 2y = tx + 4t (3) 2 Από τις (2) (3) 2y = 2x y (x 4) y2 + x 2 4x = (x 2) 2 + y 2 = 4 2 Άρ είνι κύκλος με κέντρο (2, ) κι κτίν R = 2 Σελίδ 9 / 3
3. Σε έν διγωνισμό δεξιοτήτων οι διγωνιζόμενοι θ περάσουν πό 5 στάδι δοκιμσίς. Η πιθνότητ ένς διγωνιζόμενος ν πετύχει σε έν οποιοδήποτε στάδιο είνι 4 5. Ν υπολογίσετε την πιθνότητ των ενδεχομένων: () Α = {ο διγωνιζόμενος ν πετύχει σε τρί κριβώς στάδι} (4 μονάδες) (β) Β = {ο διγωνιζόμενος ν πετύχει σε τρί κριβώς συνεχόμεν στάδι} (3 μονάδες) (γ) Γ = {ο διγωνιζόμενος ν πετύχει σε έν τουλάχιστον στάδιο} (3 μονάδες) () (β) (γ) P(Α) = ( 4 5 ) 3 P(B) = ( 4 5 ) 3 P(Γ) = ( 5 ) 5 ( 5! 5 )2 3! 2! = 28 625 ( 5 )2 3! 2! = 92 325 = 324 325 Σελίδ / 3
4. Δίνετι η έλλειψη x2 + y2 = κι έν σημείο της Α(9συνθ, 3ημθ) στο πρώτο 8 9 τετρτημόριο. Η εφπτομένη της έλλειψης στο σημείο Α τέμνει τους άξονες των τετμημένων κι τετγμένων στ σημεί Κ κι Λ ντίστοιχ. Ν υπολογίσετε την τιμή του θ γι την οποί το μήκος του ευθυγράμμου τμήμτος ΚΛ είνι ελάχιστο. x 2 8 + y2 9 = 2x 8 + 2yy 9 = y = 9x 8y Επομένως λ εφ = 3συνθ 9ημθ Εξίσωση εφπτομένης: 9yημθ + 3xσυνθ = 27. Γι x = y = 3 Λ (, 3 ) ημθ ημθ Γι y = x = 9 συνθ Κ ( 9 συνθ, ) (ΚΛ) = ( 9 συνθ ) 2 + ( 3 ημθ ) 2 (ΚΛ) = 8τεμ 2 θ + 9στεμ 2 θ d dθ (ΚΛ) = 8 2τεμ2 θεφθ 9 2στεμ 2 θσφθ 2 8τεμ 2 θ + 9στεμ 2 θ d dθ (ΚΛ) = θ = τοξεφ 3 9 θ = π 6 π θ 6 d dθ (ΚΛ) + (ΚΛ) π 2 Από τον πιο πάνω πίνκ συμπερίνουμε το μήκος του ευθυγράμμου τμήμτος ΚΛ είνι ελάχιστο ότν θ = π 6 Σελίδ / 3
5. Δίνετι η συνεχής συνάρτηση f: R R. () Χρησιμοποιώντς την ντικτάστση u = 2 x, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο ν δείξετε ότι: 2 f(2 x)dx = f(x) dx (4 μονάδες) (β) Αν f(x) + f(2 x) = 2β, x R, ν δείξετε ότι 2 f(x) dx = 2β (4 μονάδες) (γ) Χρησιμοποιώντς τ πιο πάνω, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ 4 [(x 2) 28 ημ 29 (x 2) + 3]dx () du = dx κι γι x = u = κι γι x = 2 u = 2 f(2 x)dx = f(u)( du) = f(u)du = f(u)du = f(x)dx (β) 2 f(x) dx = f(x) dx + = f(x) dx + = f(x) dx + 2 f(x) 2 2 dx [2β f(2 x)]dx 2β dx 2 f(2 x) = f(x) dx + [2βx] 2 f(x) dx = 2β(2 ) = 2β dx Σελίδ 2 / 3
(γ) Η f(x) = (x 2) 28 ημ 29 (x 2) + 3 κι = 2 f(4 x) = (4 x 2) 28 ημ 29 (4 x 2) + 3 = (2 x) 28 ημ 29 (2 x) + 3 = (x 2) 28 ημ 29 (x 2) + 3 Άρ f(x) + f(4 x) = (x 2) 28 ημ 29 (x 2) + 3 (x 2) 28 ημ 29 (x 2) + 3 = 6 Συνεπώς, 2β = 6 β = 3 4 [(x 2) 28 ημ 29 (x 2) + 3]dx = 2β = 2 2 3 = 2 Σελίδ 3 / 3