UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY FOURIEROVE RADY - PRÍKLADY BAKALÁRSKA PRÁCA 2012 Marti TEFÁNIK

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY FOURIEROVE RADY - PRÍKLADY BAKALÁRSKA PRÁCA tudijý program: tudijý odbor: koliace pracovisko: Vedúci práce: Ekoomická a a á matematika 1114 Aplikovaá matematika Katedra aplikovaej matematiky a ²tatistiky RNDr. ubica Kossaczká, CSc. 2012 Marti TEFÁNIK

92633054 Uiverzita Komeského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a iformatiky ZADANIE ZÁVEREČNEJ PRÁCE Meo a priezvisko študeta: Marti Štefáik Študijý program: ekoomická a fiačá matematika (Jedoodborové štúdium, bakalársky I. st., deá forma) Študijý odbor: 9.1.9. aplikovaá matematika Typ záverečej práce: bakalárska Jazyk záverečej práce: sloveský Názov: Cieľ: Vedúci: Fourierove rady - príklady Obozámiť sa hlbšie s teóriou Fourierových radov a vypočítať príklady. RNDr. Ľubica Kossaczká, CSc. Dátum zadaia: 16.10.2011 Dátum schváleia: 27.10.2011 doc. RNDr. Margaréta Halická, CSc. garat študijého programu študet vedúci

Po akovaie Touto cestou sa chcem po akovat svojej vedúcej bakalárskej práce RNDr. ubici Kossaczkej, CSc. za ochotu, pomoc, odboré rady a podeté pripomieky, ktoré mi pomohli pri písaí tejto práce. akujem aj svojej rodie za trpezlivos a podporu a taktieº priate ke za podporu a pomoc pri skotrolovaí pravopisu.

Abstrakt v ²tátom jazyku TEFÁNIK, Marti: Fourierove rady - príklady [Bakalárska práca], Uiverzita Komeského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a iformatiky, Katedra aplikovaej matematiky a ²tatistiky; ²kolite : RNDr. ubica Kossaczká, CSc., Bratislava, 2012, 42 s. Na²a práca sa zaoberá témou Fourierových radov, spracovaou v kihe [10]. Táto práca má re²er²ý charakter. V práci sme prevzali deície a vety zo zdroja [10]. V tejto kihe boli vety dokázaé, o dôkazy obsahovali my²liekové skoky. My sme tieto dôkazy doplili, roz²írili a my²liekové skoky sme odstráili. V práci sme zadeovali Fourierove rady pre fukcie z priestoru L. alej sme rie²ili po ítaie koecietov pre Fourierove rady a vlastosti Fourierových radov. Vo vetách sme zhruli vlastosti Fourierových radov a eskôr sme sa zamerali aj a vlastosti Fourierových radov v Hilbertovom priestore. V práci sme dokázali Riemaovu lokaliza ú vetu, ktorá hovorí o tom, ºe ak dve fukcie z L avzájom súhlasia v okolí bodu a, tak ich Fourierove rady majú v bode a rovaké koverge é správaie. Tieº sme dokázali vetu o rovomerej kovergecii, ktorá hovorí, ºe ak dve fukcie avzájom súhlasia v otvoreom itervale J a Fourierov rad jedej z fukcií je v kompaktom poditervale I rovomere kovergetý, tak aj Fourierov rad druhej fukcie je v I rovomere kovergetý. V iej asti sme dokázali al²iu vetu a síce vetu o úplosti trigoometrických ortogoálych postupostí, ktorá hovorí, ºe zavedeé ortoormále postuposti sú úplé. Ako jedu z posledých sme dokázali vetu o absolútej kovergecii, ktorá hovorí, ºe ak f AC a derivácia f L 2, tak Fourierov rad fukcie f v R koverguje absolúte a rovomere ku f. V tretej kapitole sme rie²ili príklady, ktorých zadaia pochádzajú zo zdroja [10]. Pri tom sme vyuºili adobuduté vedomosti a aj pozatky adobuduté z kihy [9]. Vieme opísa periodické fukcie, o môºe ájs vyuºitie v matematike alebo fyzike, pri opise trigoometrických systémov, zvuku, i sigálu. K ú ové slová: Fourierov rad, Hilbertov priestor, Trigoometrický rad, Periodická fukcia

Abstract TEFÁNIK, Marti: Fourier series - Examples [Bachelor Thesis], Comeius Uiversity i Bratislava, Faculty of Mathematics, Physics ad Iformatics, Departmet of Applied Mathematics ad Statistics; Supervisor: RNDr. ubica Kossaczká, CSc., Bratislava, 2012, 42p. Our work deal with theme of Fourier series, processed i book [10]. This work has the character of the research. We took deitios ad theorems over from source [10]. I this book were theorems prove, but with ideal jumps. We completed this proofs. We exteded them ad we removed ideal jumps. We deed Fourier series for fuctio from space L i this work. As further we hadled with coutig of Fourier series coeciets ad properties of Fourier series. We compiled properties of Fourier series i theorems ad tha we xated to properties of Fourier series i Hilbert space. I work we proved Riema localisatio theorem, that tells, if two fuctios from L mutually agree i surroud of poit a, the their Fourier series had i poit a the same covergece behaviour. We proved theorem of uiform covergece, too. This tells, if two fuctios mutually agree i opeed iterval J ad Fourier serie of oe from fuctios is uiform coverget i compact subiterval I, the is Fourier serie of secod fuctio uiform coverget i I, too. We proved ext theorem i other part of work. This was theorem about completeess of the orthogoal trigoometric sequeces. The theorem tells, established orthoormal sequeces are complete. As oe of the latest, we proved theorem about absolut covergece, that tells, if f AC ad derivatio f L 2, the Fourier serie of fukctio f R coverge absolut ad uiform to f. I third chapter we solved examples from source [10]. By solvig we used acquired kowledge ad iformatio acquired from book [9]. We kow, how to describe periodic fuctio, what ca be used i mathematics ad physics, by descriptio of trigoometric systems, soud, or sigal. Keywords: Fourier serie, Hilbert space, Trigoometric serie, Periodic fuctio

OBSAH OBSAH Obsah Zozam obrázkov 8 Zozam pouºitých symbolov 10 Úvod 11 1 Fourierove rady 13 2 Hilbertov priestor 27 3 Príklady 37 Záver 51 Zozam pouºitej literatúry 52 Príloha 53 7

ZOZNAM OBRÁZKOV ZOZNAM OBRÁZKOV Zozam obrázkov 1 Sú et prvých 5 leov Fourierovho radu fukcie t 2 pre t...... 37 2 Sú et prvých 10000 leov Fourierovho radu fukcie t 2 pre t... 37 3 Fourierov rad fukcie t 2 pre t.................... 38 4 Fourierov rad fukcie cos (0.3t) pre t................ 39 5 Fourierov rad fukcie cos (1.5t) pre t................ 39 6 Sú et prvých 4 leov Fourierovho radu fukcie sg(t) pre t... 40 7 Sú et prvých 50 leov Fourierovho radu fukcie sg(t) pre t.. 40 8 Sú et prvých 4 leov Fourierovho radu fukcie t pre t...... 41 9 Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu fukcie t pre t..... 41 10 Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu si t + si 2t si 3t si 4t + + +... 42 2 3 4 11 Páre roz²íreie fukcie (t c) + pre c = 2................ 43 12 Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu páreho roz²íreia fukcie (t c) + pre c = 2.............................. 44 13 Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu páreho roz²íreia fukcie (t c) + pre c = 1.............................. 44 14 Nepáre roz²íreie fukcie (t c) + pre c = 2............... 45 15 Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu epáreho roz²íreia fukcie (t c) + pre c = 2.............................. 45 16 Sú et prvých 1000 leov Fourierovho radu epáreho roz²íreia fukcie (t c) + pre c = 2.............................. 45 17 Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu epáreho roz²íreia fukcie (t c) + pre c = 1.............................. 46 18 Nepáre roz²íreie fukcie h(t) pre c = 2................. 47 19 Sú et prvých 1000 leov Fourierovho radu epáreho roz²íreia fukcie h(t) pre c = 2................................ 47 20 Sú et prvých 1000 leov Fourierovho radu epáreho roz²íreia fukcie h(t) pre c = 1................................ 47 21 Páre roz²íreie fukcie h(t) pre c = 2.................. 48 22 Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu páreho roz²íreia fukcie h(t) pre c = 2................................ 49 8

ZOZNAM OBRÁZKOV ZOZNAM OBRÁZKOV 23 Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu páreho roz²íreia fukcie h(t) pre c = 1................................ 49 9

ZOZNAM POUšITÝCH SYMBOLOV ZOZNAM POUšITÝCH SYMBOLOV Zozam pouºitých symbolov V a²ej práci pouºijeme asledové symboly, ktoré v al²om texte upresíme: C k (R ) C k 0 (R ) priestor fukcií, ktoré sú a R k-krát spojite diferecovate é moºiy v²etkých fukcií z C k (R ) s kompaktým osi om (0 k ) C k trieda fukcií, ktoré sú 2-periodické a k-krát spojite diferecovate é a, AC(J) trieda absolúte spojitých fukcií a moºie J AC trieda absolúte spojitých fukcií a moºie, l 2 L p orma Hilbertov priestor postupostí orma, ktorú deujeme ako f p := ( B f(x) p dx) 1/p, 1 p < L p (B) priestor, ktorý obsahuje v²etky a B Lebesgueovsky merate é fukcie s koe ou L p ormou rovomerá kovergecia 10

ÚVOD ÚVOD Úvod V sú asosti ºije lovek v multimediálej dobe, obklopeý moºstvom techických vymoºeostí, ktoré mu spríjem ujú ºivot. Medzi takéto patria hudobé prehráva e, televízory, po íta e a mohé ié. Ak si chce lovek apríklad vypo u hudbu, zape si rádio alebo hudobý prehráva. Ve ká vä ²ia udí po úva kaºdodee rozhlasové vysielaie bez toho, aby sa zamý² ala ad tým, akým spôsobom sa hlas moderátora alebo speváka zmeí a sigál a opätove a zvuk, ktorý vychádza z rádia. Zvuk, sigál, pohyby plaét, záchvevy pri zemetraseí, eharmoické elektrické veli iy, to v²etko sa dá popísa pomocou matematiky a ísel. Na túto skuto os pri²li uº dáve civilizácie. Babylo aia vedeli, ºe ebeské telesá sa pohybujú pod a prísych íselých zákoov. Grécki Pytagorci objavili, ºe aj hudba sa riadi íselými zákoitos ami. Uchváteí týmto zisteím, pri²li so záverom, ºe podstatou vecí sú ísla a javy a ebi a a zemi sú ovládaé matematickými vz ahmi, ktoré treba ájs. Pytagorasov moochord (struový ástroj) ovplyvil matematiku a mechaiku etu²eým spôsobom. Teória chveia strú viedla k harmoickej aalýze a výviu fukcií v trigoometrických radoch. Teto problém podietil aalýzu asledujúcich storo í viac ako akýko vek iý matematický predmet. Problémom bolo opísa pohyb a oboch kococh upeveej struy d ºky L pomocou fukcie u. Týmto problémom sa zaoberali vo svojich prácach matematici ako Beroulli, D'Alembert, Lagrage a Euler, ktorý a²iel itegrále vyjadreie Fourierových koecietov. Joseph Fourier pojedáva v jedom zo svojich diel moºstvo problémov vedeia tepla cez rozvoje radov. Pri tom hral rozvoj ubovo ých fukcií v trigoometrických radoch osú úlohu. Základý príos k teórii Fourierových radov priiesol Dirichlet. Pomocou Fourierových radov je moºé opísa rôze príklady vleia, ako sú apr. zvuk, sigál, i záchvevy pri zemetraseí. To sa dá vyuºi pri mohých výskumoch alebo prácach, ako je apr. aalýza dát po zemetraseí alebo digitalizácia hudby. Téma Fourierových radov je beºe predá²aá a hodiách matematickej aalýzy [8], je rozpracovaá v mohých publikáciách a lákoch [2], [3], [5], [10], [11] a je témou iektorých závere ých prác [1], [4]. Hlavým zdrojom iformácií pre túto prácu boli texty z kíh o matematickej aalýze [5], [7], [9], [10]. 11

ÚVOD ÚVOD Cie om tejto bakalárskej práce je bliº²ie sa obozámi s teóriou Fourierových radov a vedie aplikova adobuduté vedomosti a rie²eie príkladov k Fourierovým radom. V práci vyslovíme sled deícií a viet pochádzajúcich z kihy [10], ktoré áslede dokáºeme. Pri rátaí príkladov pouºijeme ajmä vedomosti adobuduté v kihách [7], [9] a [10]. 12

1 FOURIEROVE RADY 1 Fourierove rady V asledujúcom texte budeme pouºíva rôze pojmy a za eia, preto si iektoré z ich teraz zadeujeme. Tieto deície pochádzajú z kihy [10]. Deícia 1.1. Deícia pochádzajúca z [10], straa 258. Nosi (support) fukcie f je uzáver moºiy v²etkých bodov v R, kde f ie je ulová, supp(f) =uzáver{x R : f(x) 0}. Fukcia, ktorá je ulová mimo ohrai eej moºiy, sa preto azýva fukcia s kompaktým osi om. Zakom C0 k (R ) sa za ia moºiy v²etkých fukcií z C k (R ) s kompaktým osi om (0 k ). Deícia z kihy [10], straa 358. V R deovaá, 2-periodická fukcia f je z triedy C k, ak je v R k-krát spojite diferecovate á. Deícia achádzajúca sa v [10], straa 341. Nech J R je ubovo ý iterval. Fukcia f : J R sa volá absolúte spojitá v J, skrátee f AC(J), ak sa k ubovo ému ε > 0 dá zada δ > 0 tak, ºe pre kaºdý koe ý systém ((α i, β i )) p i=1 po pároch disjuktých otvoreých iastkových itervalov p J platí, ºe (β i α i ) < δ p f(β i ) f(α i ) < ε. Ak sa tu poloºí p = 1, tak máme i=1 i=1 deíciu rovomerej spojitosti. Ak f AC(J) a φ je a moºie f(j) lip²icovsky spojitá, tak φ f AC(J). Ak f je a J lip²icovsky spojitá, tak f AC(J). Deícia, ktorú sme prebrali z [10], straa 358. V R deovaá, 2-periodická fukcia f je z triedy AC, ak je v, absolúte spojitá. Deícia, ktorú ájdeme v zdroji [10], straa 20. Hilbertov priestor postupostí l 2 deujeme ako priestor v²etkých reálych alebo komplexých postupostí α = {α } =1 s kovergetou kvadratickou sumou, l 2 = {{α } =1; a 2 < }. V tomto priestore sa deuje skaláry sú i cez x, y := =1 x j y j, ktorého orma vzike ako x = x, x = x 2 1 + x 2 2 +... j=1 13

1 FOURIEROVE RADY Deícia pochádzajúca z [10], straa 323. Nech B R je merate á. Fukcia f : B R je Lebesgueovsky itegrovate á, ak J(f) f(x)dx Lebesgueov itegrál existuje. Moºia Lebesgueovsky itegrovate ých B fukcií a moºie B sa za í L(B). Deícia achádzajúca sa v publikácii [10], straa 337. L p -ormu deujeme ako f p := ( B f(x) p dx) 1/p, 1 p <. Priestor L p (B) obsahuje v²etky a B merate é fukcie s koe ou L p ormou. L(B) = L 1 (B), L = L(, ). Ak v texte pouºijeme, ºe fukcia mize, budeme tým myslie, ºe jej hodota je rová ule a ur itej moºie. Teraz si zadeujeme trigoometrický a Fourierov rad. Táto deícia pochádza z kihy [10], straa 358. Deícia 1.2. Trigoometrický rad a Fourierov rad Pod pojmom trigoometrický rad rozumieme výraz vo forme alebo v komplexej forme 1 2 a 0 + (a cos t + b si t) (1) =1 = pri om pre koeciety platia rovice c e it := lim p p = p c e it, (2) c 0 = 1 2 a 0, c = 1 2 (a ib ), c = 1 2 (a + ib ) ( = 1, 2, 3,...). (3) Alebo ekvivalete 14

1 FOURIEROVE RADY a 0 = 2c 0, a = c + c, b = i(c c ) ( = 1, 2, 3,...). (4) Potom platí a cos t + b si t = c e it + c e it ( = 1, 2, 3,...). P-te iastkové sumy oboch radov sú tak idetické, s p (t) = 1 p p 2 a 0 + (a cos t + b si t) = c e it. (5) =1 = p Na R deovaá, 2-periodická fukcia f je z triedy C k prípade AC alebo L, ak je a R k-krát spojite diferecovate á prípade a [, ] absolúte spojitá alebo je z priestoru L(, ). Platí C 1 AC C 0 C L. Pre fukciu f L teraz zadeujme itegrály: a = 1 f(t) cos tdt( 0), b = 1 f(t) si tdt( 1), (6) c = 1 2 f(t)e it dt( Z). Vzorce (6) sa azývajú Euler-Fourierove vzorce, a, b prípade c sa volajú Fourierovými koecietami fukcie f. Ak je uté vyjadri závislos a f, pouºívajú sa oza eia a (f),..., c (f), s p (t; f). Trigoometrický rad utvoreý pod a (1) alebo (2) s týmito koecietami sa azýva Fourierov rad utvoreý fukciou f. Oza uje sa S(t; f), S(t; f) = c e it. = Pokra ujme vetou z kihy [10], straa 359, ktorú dokáºeme. Veta 1.3. Pravidlá rátaia Nech fukcie f, g L 2-periodické. Zakom f a oza me posuutie fukcie f, f a (t) := f(a + t) a zakom f 1 L 1 -ormu f(t) dt. 15

1 FOURIEROVE RADY a) f(t)dt = f(a + t)dt f a (t)dt, ²peciále f 1 = f a 1. b) Liearita. c (λf + µg) = λc (f) + µc (g) a podobe pre a, b, s p a S (v prípade kovergecie). c) c (f a ) = e ia c (f). d) s p (t; f a ) = s p (a + t; f), takºe S(t; f a ) = S(a + t; f) v prípade, ºe rad koverguje. e) c (e it f) = c 1 (f). f) c (e it ) = δ m (t.j. = 1 pre = m, = 0 iak). g) Pre f cost.= λ je s p (t; λ) = λ, takºe S(t; λ) = λ. h) c (f) f 1 /2 pre v²etky Z. i) Ak je fukcia f pára resp. epára, tak je b (f) = 0 resp. a (f) = 0 pre v²etky. j) Pre fukciu f C 1 je c (f ) = ic (f), t.j. Fourierove koeciety fukcie f získame tak, ºe Fourierov rad fukcie f zderivujeme le po lee. k) Pre fukciu f C 2 je c (f) K/ 2 pre 0 s K = f 1 /2. Z toho vyplýva, ºe Fourierov rad fukcie f koverguje v R absolúte a aj rovomere. Dôkaz: a) f je 2-periodická. V dôkaze vyuºijeme periodicitu fukcie f a deíciu itegrálu, iºe f 1 = f(t) dt = +a f(t) dt = f(a + t) dt = f a (t) dt = f a 1. +a b) V tomto dôkaze vyuºijeme liearitu a asitivitu itegrálu: c (λf + µg) = 1 (λf(t) + µg(t))e it dt = 1 λf(t)e it + µg(t)e it dt = = 1 2 2 λf(t)e it dt + 1 2 2 µg(t)e it dt = 1 2 λ f(t)e it dt + 16

1 FOURIEROVE RADY + 1 2 µ g(t)e it dt = λc (f) + µc (g) Z a (λf +µg) = 1 = 1 + 1 µ λf(t) cos tdt + 1 b (λf + µg) = 1 = 1 + 1 µ (λf(t) + µg(t)) cos tdt = 1 λf(t) cos t + µg(t) cos tdt = µg(t) cos tdt = 1 λ g(t) cos tdt = λa (f) + µa (g) 0 λf(t) si tdt + 1 (λf(t) + µg(t)) si tdt = 1 µg(t) si tdt = 1 λ f(t) cos tdt + λf(t) si t + µg(t) si tdt = g(t) si tdt = λb (f) + µb (g) 1 f(t) si tdt + S(t; λf + µg) = c (λf + µg)e it = (λc (f) + µc (g))e it = = λc (f)e it + µc (g)e it = S(t; λf) + S(t; µg). c) Tu vyuºijeme, ºe fukcia f(t)e it má periódu 2, c (f a ) = 1 f a (t)e it dt = 1 f(a + t)e it dt = 1 2 2 2 eia f(a + t)e i(a+t) dt = = 1 +a 2 eia +a f(s)e is ds = 1 2 eia f(s)e is ds = e ia c (f). d) V tomto dôkaze pouºijeme práve dokázaú vlastos c). s p (t; f a ) = p c (f a )e it = pravidlo c) = p e ia c (f)e it = = p = p S(t; f a ) = = = = p c (f)e i(a+t) = s p (a + t; f) = = p c (f a )e it = pravidlo c) = c (f)e i(a+t) = S(a + t; f). = e ia c (f)e it = e) Vyplýva z deície koecietu c (f) v rovici (6) c (e it f) = 1 e it f(t)e it dt = 1 f(t)e it( 1+) dt = c 1 (f). f) c (e imt ) = 1 2 2 e imt e it dt = 1 2 2 e it(m ) dt = 17

1 FOURIEROVE RADY = 1 2 1dt = 2 2 = 2 2 = 1 (m = ) = 1 2 [ eit(m ) i(m ) ] = 1 2i(m ) [ei(m ) e i(m ) ] = 1 = [cos (m )+i si (m ) (cos ((m ))+i si ((m )))] = 2i(m ) 1 = [cos (m ) cos ((m ))+i si (m ) i si ((m ))] = 2i(m ) 1 = [cos (m ) cos ((m )) + i si (m ) + i si ((m ))] = 2i(m ) = g) a 0 = 1 i si (m ) i(m ) a = 1 = f(t)dt = 1 si (m ) (m ) = 0 (m ) f(t) cos tdt = 1 λdt = λ 2λ ( + ) = = 0 (m ). λ cos tdt = λ = 2λ si ()) = λ 2λ (si + si ) = si = 0 b = 1 f(t) si tdt = 1 cos ()) = λ (cos cos ) = 0 si t [ ] = λ (si λ si tdt = λ [ cos t] = λ (cos s p (t; λ) = 1a 2 0 + p (a cos t + b si t) = 12λ = λ 2 =1 S(t; λ) = 1a 2 0 + (a cos t + b si t) = 1 2λ = λ. 2 =1 h) V tomto dôkaze vyuºijeme, ºe platí c (f) = 1 1 2 2 f(t)e it dt = 1 2 f(t)e it dt = 1 2 i) Vieme, ºe itegrál epárej fukcie f(t)dt a a, a je 0. To uplatíme v asledujúcom dôkaze: f(x)dx f(t)e it dt f(t) e it dt = 1 a a 2 f(x) dx a e it = 1 : f(t) dt = 1 2 f 1. f je pára g = f(t) si t je epára a ak je f epára, tak h = f(t) cos t je epára a itegrál epárej fukcie = 0, iºe ak f je pára, tak b = 0 a ak f je epára, tak a = 0 18

1 FOURIEROVE RADY g je epára jej itegrál a (; ) je ulový Dôkaz: g(t)dt = dt = ds = 0 0 0 0 g(t)dt + 0 g(t)dt = substitúcia v prvom itegrále t = s, 0 g( s)ds + g(t)dt = g( s)ds + + g(t)dt = g(s)ds + g(t)dt = 0. j) c (f ) = 1 2 0 f(t) e it dt = 1 2 ([f(t)e it ] 0 f(t)( i)e it dt) = = 1 2 [f(t)e it ] = 0 pretoºe f(t)e it je 2 periodická = 1 (0 + 2 + i f(t)e it dt) = ic (f) V dôkaze sme pouºili metódu per partes pre f AC. k) Pod a predpokladu bodu k) f C 2 a teda f C 1. Z toho vyplýva, ºe f AC aj f AC, lebo C 1 AC aj C 2 AC. Teraz môºeme vyuºi bod j): pod a j) c (f ) = 2 c (f) c (f) = c(f ) 2 pod a h) c (f) f 1 2 c (f) = c(f ) 2 = c(f ) 2 f 1 2 2 = = (f ) 1 2 1 2 = K 1 2 ohrai ili sme c (f) postupos ou ezáporých ísel; platí c e it = c a <. Takºe rad je majoratý k radu c. =1 1 2 =1 Z toho vyplýva absolúta kovergecia radu S = K 2 = c e it a spolu s Weierstrass-kritériom dostávame aj rovomerú kovergeciu. =1 V dôkaze sme pouºili Weierstrassovo kritérium z kihy [6]. Weierstrassovo kritérium Nech {f } =1 je postupos fukcií ohrai eých a eprázdej moºie M, ech {j } =1 je postupos ezáporých ísel taká, ºe f (x) j, x M, N. Ak íselý rad j koverguje, tak fukcioály rad f koverguje rovomere a M. =1 Dôkaz: Uvedeá veta je le pomocá a preto ju uvádzame bez dôkazu. =1 alej budeme pokra ova vetou, opä z publikácie [10], straa 360, ktorú dokáºeme. 19

1 FOURIEROVE RADY Veta 1.4. Nech je daý trigoometrický rad = γ e it, ktorý koverguje rovomere a.. Oza me pomocou f jeho sú et, takºe f C 0 a ísla γ sú práve Fourierove koeciety tejto fukcie, γ = c (f). Iými slovami: Rovomere kovergetý trigoometrický rad je Fourierov rad svojho sú tu. Dôkaz: Spojitos f vyplýva z rovomerej kovergecie a f je tieº periodická. Pre iastkové sumy σ p (t) = Ke ºe p = p c k (σ p ) = γ e it platí pod a b) (liearita) a f) (c (e imt ) = δ m ) p = p γ c k (e it ) = γ k pre k p. iastkové sumy σ p (t) rovomere kovergujú k f(t) pre p, môºe sa v predpise c = 1 f(t)e it dt prejs v itegráli k limite, t.j. c 2 k (f) = lim c k (σ p ) = γ k. p Nasledová veta je z kihy [10], straa 340, pouºijeme ju ako pomocú v dôkaze al²ej vety a preto ju ebudeme dokazova. Veta o hustote Nech G R je otvoreá moºia. Potom je moºia C 0 (G) hustá v priestore L p (G), 1 p <, t.j. k fukcii f L p (G) existuje, ak zadáme ε > 0, fukcia φ C 0 (G) s vlastos ou f φ p < ε. Nasleduje veta z literatúry [10],straa 361, ktorú dokáºeme. Veta 1.5. Riema-Lebesgueova veta Pre f L je lim c (f) = 0 aj lim c (f) = 0, + t.j. Fourierove koeciety a, b prípade c, c smerujú k ule. Dôkaz: K ε > 0 vieme pod a vety o hustote ájs fukciu φ C 2 0(, ) takú, ºe f φ 1 < ε. Ak roz²írime φ 2-periodicky a R, tak φ C 2 lebo φ sa v okolí a vyuluje. Pod a 1.3 k) tak získame ohrai eie c (φ) K/ 2. Z bodu 1.3 h) vyplýva, ºe c (f φ) f φ 1 /2 < ε/2. alej platí: c (f) c (φ) = 1 f(t)e it dt 1 2 φ(t)e it dt = 1 2 ( f(t)e it dt φ(t)e it dt) = 1 2 = c (f φ). V aka vz ahu c (f) = c (φ) + c (f φ) platí: c (f) = = c (φ) + c (f φ) c (φ) + c (f φ) < K/ 2 + ε/2. 20 2 (f(t) φ(t))e it dt =

1 FOURIEROVE RADY Zeie vety, ktorá asleduje a ktorú dokáºeme pochádza z kihy [10], straa 361. Veta 1.6. Nech f L a f(t)/t L( δ, δ) pre δ > 0. Potom Fourierov rad fukcie f v bode 0 koverguje k hodote 0, S(0; f) = lim p s p (0; f) = 0. Dôkaz: f(t)/t L(, ). Zavedieme si asledovú premeú g(t) := f(t) 1 e it L. Fukcia φ(t) = it/(e it 1) je a moºie 0 < t spojitá a pre t 0 koverguje k 1 (v aka (e s 1)/s 1 pre (komplexé) s 0). Takºe φ je ohrai eá a síce φ(t) K v itervale [, ]. Z odhadu g(t) = f(t) t 1 i it e it 1 f(t) t 1 K = K f(t) t pre 0 < t a z periodicity g vyplýva g L. Medzi Fourierovými koecietami f a g vzike pod a vlastosti e) z vety 1.3. vz ah f(t) = (1 e it )g(t) c (f) = c (g) c 1 (g). Suma p c (f) je teleskopický rad, p p s p (0; f) = c (f) = c p (g) c p 1 (g) = p a pod a Riema-Lebesgueovej vety (veta 1.5) koverguje pravá straa k 0 pre p. al²iu vetu sme prebrali z publikácie [10], straa 362 a ideme ju dokáza. Veta 1.7. Veta o kovergecii Nech f L, a [, ] a c je (reále prípade komplexé) íslo s vlastos ou, ºe fukcia f(t) c t a L(a δ, a + δ) pre δ > 0. Potom Fourierov rad fukcie f v bode a koverguje k hodote c, S(a; f) = c. Dôkaz: Majme fukciu g(t) = f(a + t) c. Z podmieky vo vete f(t) c t a f(s+a) c s L(a δ, a + δ) dostaeme po substitúcii t = s + a výraz L( δ, δ). Teda g(t) t Pod a 1.3. b),d) a g) získame c = c + S(0; g) = b), g) = = S(0; g + c) = S(0; f a ) = d) = S(a; f). = f(t+a) c t L( δ, δ). Pre g(t) potom platí S(0; g) = 0. 21

1 FOURIEROVE RADY Text asledujúcej vety, ktorú ideme dokáza, ájdeme v literatúre [10], straa 362. Veta 1.8. Ak vyhovuje f L v bode a Hölderovej podmieke f(t) f(a) K t a α pre t a < δ (0 < α 1), tak platí S(a; f) = f(a). Ak je teda f C 0 hölderovsky spojitá (t.j. f(s) f(t) K s t α pre s, t R s 0 < α 1), tak Fourierov rad fukcie f koverguje v kaºdom bode k f. To platí predov²etkým pre fukcie z C 1 a pre lipschitzovsky spojité fukcie. Pre fukcie z C 2 rovomerá. je kovergecia pod a 1.2. k) Dôkaz: Majme spleú Hölderovu podmieku f(t) f(a) K t a α pre 0 < α 1. Ke predelíme výrazy v erovosti výrazom t a, dostaeme f(t) f(a) t a K t a α 1. Teraz sa dá vyuºi veta o kovergecii, kde c = f(a), iºe f(t) f(a) L(a δ, a + δ) pre 1 < α 1 0. Na záver ukáºeme, ºe a+δ t a α 1 dt = substitúcia t a = s dt = ds = δ a+δ a δ t a K t a α 1 t a α 1 dt koverguje. δ s α 1 ds = 2 s α 1 ds = a δ δ = 2 0 δ s α 1 ds = 2[ sα α ]δ 0 = 2 δα α 0 = 2δα α. 0 Veta, ktorou pokra ujeme a ktorú dokáºeme, sa achádza v kihe [10], straa 363. Veta 1.9. Kovergecia v miestach skoku Nech f L, a R a ech sú daé dve ísla c +, c. Ak f(t) c t a L(a δ, a) a f(t) c + t a L(a, a + δ) pre δ > 0, tak Fourierov rad fukcie f koverguje v bode a k hodote c := 1 2 (c+ + c ). Ak sa pri c a c + jedá o jedostraé limity f(a ) a f(a+), tak S(a; f) = 1 [f(a+) + f(a )]. 2 Dôkaz: Majme fukciu g(t) = f(t) λv (t a) s λ = 1 2 (c+ c ) a V (t) = sg(t). Potom f(t) c = g(t) c pre t < a a f(t) c + = g(t) c pre t > a, takºe (g(t) c)/(t a) L(a δ, a + δ) a pod a vety o kovergecii S(a; g) = c. Pod a 1.3. d) S(a; V (t a)) = S(0; V ) = 0 a teda S(a; f) = S(a; g) + λs(0; V ) = c. 22

1 FOURIEROVE RADY al²iu deíciu ájdeme v publikácii [10], straa 364. Deícia 1.10. Páre a epáre roz²íreie Fukcia f deovaá a itervale (0, ) sa dá roz²íri a R tak, ºe zadáme páru resp. epáru 2-periodickú fukciu. Ak oza íme roz²íreie f p resp. f, tak platí f p (t) = f( t) resp. f (t) = f( t) pre < t < 0. V prípade páreho roz²íreia epodliehajú hodoty f p (0) a f p () = f p () ºiademu obmedzeiu, ak ie je zadaé vopred. Naproti tomu vedie podmieka, ºe f je epára a 2-periodická k utosti, aby f (0) = 0 a f () = = f () = 0 (pod a vety o kovergecii v miestach skoku). Ke teraz roz²írime fukciu 2-periodicky, tak zostae pára resp. epára. Fourierov rad f p je pod a 1.3. i) kosíusový rad a Fourierov rad f je síusový. Oba rady predstavujú f a itervale (0, ). Pokra ujeme deíciou, ktorú ájdeme v literatúre [10], straa 364. Deícia 1.11. Prerátaie a ié d ºky periód Nech f je periodická s periódou 2T (T>0). Fukcia g(s) = f( T s) potom má periódu 2 a pre vhodé, kovergeciu zais ujúce predpoklady získame z Fourierovho rozvoja g(s) = c e is odpovedajúci rozvoj pre f. f(t) = = c e it/t kde c = 1 2T T T f(t)e it/t dt alebo v reálej forme f(t) = 1 2 a 0 + =1 (a cos T t + b si T t), a = 1 T T T f(t) cos T tdt ( 0), b = 1 T T T f(t) si tdt ( 1). T Nasleduje veta so zeím z kihy [10], straa 365, ktorú dokáºeme. Veta 1.12. Riemaova lokaliza á veta Ak dve fukcie f, g L avzájom súhlasia v okolí bodu a, tak majú ich Fourierove 23

1 FOURIEROVE RADY rady v bode a rovaké koverge é správaie. To zameá, ºe ak koverguje jeda fukcia v bode a, tak aj druhá a ak jeda diverguje, tak aj druhá. Ak kovergujú, majú tú istú sumu, S p (a; f) S p (a; g) = 0. Dôkaz: Hoci Fourierove koeciety c (f) ako itegrály závisia od priebehu f v celom itervale [, ], sú pre kovergeciu Fourierovho radu v bode a ur ujúce le fuk é hodoty v blízkosti a. Ke ºe fukcia h = f g L mize v itervale (a δ, a + δ), koverguje iastková suma pod a vety o kovergecii s p (a; h) = s p (a; f) s p (a; g) pre p k hodote 0, z oho vyplýva tvrdeie vety. Zeie al²ej vety v poradí, ktorú dokáºeme, pochádza z publikácie [10], straa 365. Veta 1.13. Veta o rovomerej kovergecii Ak dve fukcie f, g L avzájom súhlasia v otvoreom itervale J a Fourierov rad fukcie f je v kompaktom itervale I J rovomere kovergetý, tak je aj Fourierov rad fukcie g v I rovomere kovergetý. Dôkaz: Na základe 1.3d) môºeme á² kompaktý iterval posuú tak, aby mal stred v bode 0, teda tak, aby I = [ γ, γ] a J = [ δ, δ] s 0 < γ < δ <. K fukcii h = f g, ktorá mize a J a k zadaému ε > 0 ur íme pod a vety o hustote, ktorú sme uviedli v dôkaze Riema-Lebesgueovej vety, fukciu φ s vlastos ami φ C, 1 φ = 0 v J, h φ 1 < αε kde α = 1 e i(δ γ) = 1 cos (δ γ)+i si (δ γ) = (1 cos (δ γ)) 2 + si 2 (δ γ) = = 1 2 cos (δ γ) + cos 2 (δ γ) + si 2 (δ γ) = 1 + 1 2 cos (δ γ) = = 2 2 cos (δ γ) = 2 1 cos (δ γ) > 0 iºe α > 0. Teraz aproximujeme h pod a vety o hustote v itervale J = (, δ) cez fukciu z C 1 0(J ). Podobe a itervale J + = (δ, ) a deujeme φ ako sumu týchto dvoch fukcií, 2-periodicky roz²íreú. Následe zvolíme a; a γ. Teraz zavedieme fukcie r(t, a) = h(a + t) 1 e it a ρ(t, a) = φ(a + t) 1 e it pre a γ. Obe fukcie mizú (v aka ohrai eiu pre a) pre t δ γ. Oza me si meovate ako E(t). Ukáºeme si, ºe 1 1 pre t δ γ. E(t) α 1 E(t) 1 α 24

1 FOURIEROVE RADY α = 1 e i(δ γ) E(t) = 1 e it (1 cos (t)) 2 + si 2 (t) (1 cos (δ γ)) 2 + si 2 (δ γ) 1 2 cos (δ γ) + cos 2 (δ γ) + si 2 (δ γ) 2 2 cos (δ γ) 2 2 cos t 2 2 cos (δ γ) 2 2 cos t 2 cos t 2 cos (δ γ) cos t cos (δ γ) pre t δ γ, 1 2 cos (t) + cos 2 (t) + si 2 (t) o platí. Ukázali sme si, ºe E(t) α pre t δ γ. Chceme ájs platý odhad c (r) pre v²etky a. Vieme, ºe c (r) = c (r ρ) + c (ρ). c (r ρ) (veta 1.3 h)) r ρ 1 2 = t δ γ = 1 α h(a + t) φ(a + t) dt + 1 e it = 1 α t δ γ t δ γ Teraz si odvodíme deriváciu fukcie ρ: rozderivovaím dostávame: r ρ 1 = t δ γ h(a + t) φ(a + t) dt + E(t) h(a + t) φ(a + t) dt + 1 α h(a + t) φ(a + t) dt = 1 e it h(a + t) φ(a + t) dt = 1 e it t δ γ t δ γ 0dt 0dt = h(a + t) φ(a + t) dt = 1 α h(a + t) φ(a + t) 1 = = (veta 1.3 a)) 1 α h(t) φ(t) 1 < 1 αε = ε. α ρ(t) = φ a(t) 1 e it ρ (t) = φ a(t)(1 e it ) φ a (t)( ie it ) (1 e it ) 2 = φ a(t) 1 e it + iφ a(t)e it (1 e it ) 2. ƒiºe ρ (t) = φ a(t) E(t) + iφ a(t)e it E(t) 2. 25

1 FOURIEROVE RADY Derivácia ρ je teda rová φ a/e +ie it φ a /E 2. Z toho a z 1.3 j) dostávame od a ezávislý odhad c (ρ) = c (ρ ) = c ( φ a E ) + c ( ieit φ a ) c E 2 ( φ a E ) + c ( ieit φ a ) E 2 (veta 1.3 h)) φ a E 1 + ieit φ a E 2 1 = = (veta 1.3 a)) φ α dt + = (v α evystupuje t) φ E dt + φ dt = (α > 0) α 2 1 α φ dt + 1 α 2 ie it φ E 2 dt = φ a E dt + φ E dt + φ α dt + ie it φ a dt = E 2 φ α 2 dt = φ E 2 dt φ dt = 1 α φ 1 + 1 α 2 φ 1 =: K(φ). Platí c (r) = c (r ρ) + c (ρ) c (r ρ) + c (ρ) < ε + K < 2ε pre > K ε. Fourierove koeciety r(t) kovergujú rovomere pre a < γ k hodote 0, ak. Ako v dôkaze vety 1.6 c (h a ) = c ((1 e it )r(t, a)) = c (r(t, a)) c 1 (r(t, a)), iºe s p (a; f) s p (a; g) = s p (a; h) = s p (0; h a ) = p = p c (h a ) = c p (r) c p 1 (r). Pravá straa koverguje pre p rovomere pre a [ γ, γ] k hodote 0 a veta je dokázaá. 26

2 HILBERTOV PRIESTOR 2 Hilbertov priestor Deícia, ktorá asleduje v texte pochádza zo zdroja [5]. Deícia 2.1. Cauchyho postupos Postupos {j } X, kde (X,. ) je lieáry ormovaý priestor, sa azýva Cauchyho, ak ε > 0 0 > 0 p N : x +p x < ε. Nasledová deícia je z publikácie [5]. Deícia 2.2. Úplý priestor Lieáry ormovaý priestor (X,. ) sa azýva úplý priestor, ak kaºdá Cauchyho postupos prvkov z X má limitu v X. Deícia, ktorou pokra ujeme, sa achádza v literatúre [10], straa 20. Deícia 2.3. Hilbertov priestor l 2 Uvaºujme priestor v²etkých reálych postupostí x = (x j ) j=1 s kovergetou sumou druhých mocí <. V tomto priestore, oza eom l 2, sa deuje skaláry x 2 j j=1 sú i cez x, y := x j y j, ktorého orma vzike ako x = x, x = = x 2 1 + x 2 2 +.... j=1 Zeie al²ej vety v poradí, ktorú dokáºeme, ájdeme v kihe [10], straa 366. Deícia 2.4. Ortoormále postuposti v Hilbertovom priestore Nech H je reály alebo komplexý Hilbertov priestor s vútorým sú iom u, v a ormou u = u, u. Dva ley u, v H azývame ortogoále, u v, ak u, v = 0. Postuposti (u ) 0 z H azývame ortoormálymi, ak sú u po pároch ortogoále a zormovaé a d ºku 1, ak teda u m, u = δ m. alej sa zameriame a hore uvedeý Hilbertov priestor l 2. Pozostáva zo v²etkých reálych resp. komplexých postupostí α = (α) 0 s kovergetou sumou ²tvorcov, α 2 <. Skaláry sú i 0 dvoch leov α, β l 2 je deovaý v komplexom prípade ako α, β l 2 = α β. 0 27

2 HILBERTOV PRIESTOR Normu v l 2 oza ujeme α l 2. V al²om budeme uvaºova komplexý Hilbertov priestor, ím je zahrutý tieº reály prípad. Koeciety α, β,... sú teda komplexé ísla a {u } je ortoormála postupos. (a)nech A N je koe á idexová moºia a A oza uje cez idexy A ohrai eú koe ú sumu. Pre g = α u, h = β u je A A g, h = α m u m, β u = α m β u m, u = α β A A m, A A a g 2 = α 2. Teraz roz²írime (a) a ekoe ú sumu. Pri tom hrá úplos priestoru A H dôleºitú úlohu. Veta, ktorou pokra ujeme v texte a ktorú dokáºeme, je zo zdroja [10], straa 367. Veta 2.5. Rad α u je kovergetý v H práve vtedy, ke α = (α ) 0 0 α a β z l 2, tak pre g = α u, h = β u platia rovosti 0 0 je z l 2. Ak sú g, h = α β = α, β l 2 a g 2 = =0 a 2 = a 2 l 2. peciále g, u = α. Dôkaz: Ak je rad α u kovergetý a koverguje k prvku, ktorý oza íme u, tak =0 sú iastkové sumy ohrai eé a síce s p 2 u 2. Z (a) vyplýva, ºe aj iastkové sumy α 2 majú ohrai eie u 2 a teda α 2 u 2. Takºe α l 2. Nech teraz α = (α ) 0 je z l2. Uvaºujme iastkové sumy s p = p α u. Ak pouºijeme (a) a moºiu A = {p+1,..., q}, tak dostávame s q s p 2 = q a 2. V aka kovergecii radu α 2 existuje ku ε > 0 idex N taký, ºe =0 p+1 0 q a 2 < ε vypade, pre q > p N. Pre také idexy p, q je teda s q s p 2 < ε a odtia sa dá vidie, ºe iastkové sumy tvoria v H Cauchyovskú postupos. V aka úplosti H kovergujú iastkové sumy k leu g H. Druhú as vety dokáºeme z (a). Pre s p a t p = p β u je s p, t p = p α β 0 0 p a z s p g a t p h vyplýva lim s p, t p = g, h = lim α β = α β. peciály p p 0 0 prípad dostávame, ak zvolíme β = 1, β i = 0 pre i. p+1 28

2 HILBERTOV PRIESTOR Deícia, ktorou pokra ujeme, pochádza z kihy [10], straa 367. Deícia 2.6. Fourierove rady vz ahujúce sa k ortoormálej postuposti Pre f H sa azývajú ísla γ := f, u Fourierovými koecietami fukcie f vz ahujúce sa a ortoormálu postupos {u } 0. Nasledujúca veta, ktorú dokáºeme, sa achádza v literatúre [10], straa 367. Veta 2.7. alej sa budeme zaobera problémom, ako ajlep²ie aproximova f cez sumu α u, kde α C. Pri tom je A koe á idexová moºia. Potom sa dostaeme k A asledovej aproxima ej rovici f A α u 2 = f 2 A γ 2 + A α γ 2. Dôkaz: Nech g = A α u. Potom platí: f g 2 = f g, f g = f 2 + g 2 f, g g, f. Sem dosadíme hodotu f, g = A α f, u = A α γ pod a oza eia, ktoré sme si zaviedli vo vete. alej vyuºijeme g, f = α γ a g 2 = α 2 (pod a 2.4 (a)). Ak A A teraz zoh adíme α γ 2 = α 2 + γ 2 α γ α γ, iºe α 2 α γ α γ = α γ 2 γ 2, dostávame aproxima ú rovicu. f g 2 = f g, f g = f 2 + g 2 f, g g, f }{{} f g 2 = f g, f g = f 2 + α 2 α γ α γ A A A }{{} f g 2 = f 2 A γ 2 + A α γ 2 f A α u 2 = f 2 A γ 2 + A α γ 2. Zeie al²ej vety, ktorú dokáºeme, sme prevzali z publikácie [10], straa 368. Veta 2.8. Veta o aproximácii Nech A je koe á idexová moºia. Medzi v²etkými lieárymi kombiáciami α u A predstavuje le f A = γ u a le teto le ajlep²iu aproximáciu fukcie f. Platí A f f A 2 = f 2 A γ 2 f A α u 2, 29

2 HILBERTOV PRIESTOR kde α C je ubovo á. Dôkaz: Z predchádzajúcej vety vo výraze f A α u 2 = f 2 A γ 2 + A α γ 2 zvolíme α = γ. Tak dostávame f γ u 2 = f 2 γ 2 + γ γ 2 = A A A = f 2 γ 2 + 0 2 = f 2 γ 2 f 2 γ 2 + α γ 2 = A A A A A = f α u 2. A V aka 0 f f A 2 = f 2 γ 2 majú v²etky sumy a A γ 2 horé ohrai eie f 2. Postupos γ = (γ ) 0 teda patrí do priestoru l 2. Rad γ u je A A potom pod a vety 2.5 kovergetý. Teto rad budeme vola Fourierovym radom f kde γ = f, u je vz ahujúci sa k ortoormálej postuposti (u ) 0. 0 =0 γ u, Pokra ujeme vetou, ktorú sme prevzali zo zdroja [10], straa 368 a ktorú dokáºeme. Veta 2.9. Veta o kovergecii Pre f H je príslu²ý Fourierov rad kovergetý (v H). S oza eím f = γ u, γ = f, u je f f 2 = f 2 γ 2 = f 2 γ 2 l 2 =0 a tieº f f, u = 0 pre v²etky. Zárove γ l 2. Dôkaz: Vz ah f f 2 = f 2 γ 2 = f 2 γ 2 l dostaeme, ak vo vete o 2 =0 aproximácii pre A = {0, 1,..., p} po²leme p do ekoe a, p. Rovos f, u = γ bola dokázaá vo vete 2.5, iºe f, u = γ k u k, u = γ k δ k = γ. k=0 k=0 Deícia, ktorá asleduje pochádza z textu kihy [10], straa 368. Deícia 2.10. Úplos ortoormálej postuposti Ortoormála postupos (u ) 0 sa azýva úplá (alebo maximála), ak z f, u = 0 pre v²etky = 0, 1,... vyplýva f = 0. Iak povedaé, ak je 0 jediý ortogoály le z H ku v²etkým u. =0 V texte budeme pokra ova vetou zo zdroja [10], straa 368, ktorú dokáºeme. 30

2 HILBERTOV PRIESTOR Veta 2.11. Veta o zobrazeí Ak je ortoormála postupos (u ) 0 úplá, tak je kaºdý le f H zobrazeý cez jeho Fourierov rad, f = Platí Besselova rovos f 2 = γ u s γ = f, u. =0 γ 2, t.j. f = γ l 2. =0 Ak má g H Fourierove koeciety δ = g, u, Parsevalova rovos prechádza do tvaru f, g = γ δ = γ, δ l 2. =0 Dôkaz: Pod a predo²lej vety je f f, u = 0 pre v²etky, z oho a základe úplosti ortoormálej postuposti vyplýva f f = 0. ƒiºe vo vete o kovergecii dostávame f f 2 = 0 = f 2 γ 2 l, takºe f 2 = γ 2 2 l. A teda dostávame Besselovu 2 rovos a po odmoceí f = γ l 2. Ak má g Fourierove koeciety δ = g, u, tak pod a prvej asti vety g = δ u. Teraz f, g = γ u, δ u = =0 = pod a vety 2.5 = γ δ. =0 =0 =0 Pozámka: Úplá ortoormála postupos (u ) =0 sprostredkúva lieáre, bijektíve a izometrické zobrazeie U z H do l 2, U : H l 2, Uf = ( f, u ) 0 s iverzým zobrazeím U 1 : l 2 H, U 1 α = α u. =0 Platí f, g = Uf, Ug l 2 o zobrazeí. pre f, g H a teda f = Uf l 2. To je vecý obsah vety Teraz zadáme v Hilbertovom priestore L 2 (, ) ortoormále postuposti zodpovedajúce klasickým Fourierovým radom. 31

2 HILBERTOV PRIESTOR Nasleduje deícia z publikácie [10], straa 337. Deícia 2.12. L p -ormu deujeme ako f p := ( B f(x) p dx) 1 p pre 1 p <. Priestor L p (B) deujeme ako priestor, ktorý obsahuje v²etky a B merate é fukcie s koe ou L p -ormou. Priestor L 2 (B) azývame Baachovym priestorom L 2 (B). 369. Veta, ktorou pokra ujeme a ktorú dokáºeme, sa achádza v literatúre [10], straa Veta 2.13. Hilbertov priestor L 2 V predchádzajúcej deícii sme si zadeovali Baachov priestor L 2 (, ). alej ho budeme oza ova L 2. Budeme uvaºova reály aj komplexý priestor, iºe fukcie s reálymi aj komplexými hodotami. Pre f, g L 2 f, g := f(t)g(t)dt zavedieme sú i (v reálom prípade g = g). Fukcia fg je a základe Hölderovej erovosti itegrovate á a (, ). Dá sa vidie, ºe, vyhovuje podmiekam skaláreho sú iu a f, f = f 2. Priestor L 2 je teda Hilbertovým priestorom. Kovergecia v priestore L 2 zameá, ºe lim f = f v L 2 f(t) f (t) 2 dt 0 pre. 370: Teraz zavedieme ortoormále postuposti v priestore L 2 pod a kihy [10], straa (a) reály prípad: (u ) 0 = 1 ( 1 2 2, cos t, si t, cos 2t, si 2t, cos 3t, si 3t,...), (b) komplexý prípad: (v ) 0 = 1 2 (1, e it, e it, e 2it, e 2it, e 3it,...). Vieme, ºe platia vz ahy (c)v 2 1 + v 2 = 2u 2 1 = v 2 1 v 2 = i 2u 2 = i Ortoormálos (v ) 0 2 cos t, 2 si t pre = 1, 2,.. a u 0 = v 0. vyplýva z dôkazu vety 1.3 f). Fourierove koeciety vytvoreé fukciami u alebo v sú rovaké s predo²lými íslami a,b respektíve c, aº a preásobeie ko²tatami. Sú iy vystupujúce v 32

2 HILBERTOV PRIESTOR odpovedajúcich Fourierovych radoch sú tieº rovaké a (f) cos t + b (f) si t = c (f)e it + c (f)e it = = f, u 2 1 u 2 1 + f, u 2 u 2 = f, v 2 1 v 2 1 + f, v 2 v 2 pre 1 tak ako 1 2 a 0(f) = c 0 (f) = f, u 0 u 0 = f, v 0 v 0. N-té iastkové sumy predo²lých Fourierových radov v reálej (1) aj komplexej (2) forme (obe sa rovajú pod a rovice (5)) sú tieº rové 2-tej iastkovej sume Fourierových radov f, u u a f, v v (aj tieto sa rovajú). 0 0 alej budeme pokra ova vetou zo zdroja [10], straa 370, ktorú dokáºeme. Veta 2.14. Úplos trigoometrických ortoormálych postupostí Ortoormále postuposti (u ) 0 a (v ) 0, ktoré sme zaviedli v (a) a (b) sú úplé. Dôkaz: Dôkaz dokáºeme sporom. Budeme uvaºova le komplexú postupos v, ke ºe ou môºe by vyjadreá postupos u. Nech teraz 0 f L 2 ortogoála ku v²etkým v, f, v = 0 pre. Pod a vety o hustote ε > 0 φ C 2 : f φ 2 < ε. Pod a vety 1.8 kovergujú iastkové sumy s p (t) := s p (t, φ) k φ, s p (t, φ) φ a itervale [, ]. Z toho vyplýva, ºe K > 0 také, ºe s p (t) = s p (t) K pre v²etky p, takºe f(t)s p (t) K(φ) f(t). Z ortogoality f a v, f, v = 0, vyplýva aj ortogoalita f a s p, f, s p = 0. V tejto asti dôkazu si ideme ukáza, ºe lim f(t), s p (t, φ) p f(t), φ(t) = 0. Napí²eme si vz ah pre rovomerú kovergeciu s p k φ: ε 1 p 0 p > p 0 : s p (t, φ) φ(t) < ε 1. Pod a toho áslede platí: f(t), s p (t, φ) f(t), φ(t) = f(t)(s p (t, φ) φ(t))dt f(t) s p (t, φ) φ(t) dt f(t) ε 1 dt ε 1 f(t) dt ε 1 1 L2 f L2. Ke ºe s p φ, tak ε 1 0 pre p. A teda lim f(t), s p(t, φ) f(t), φ(t) = 0 f(t), s p (t, φ) f(t), φ(t) p 33

2 HILBERTOV PRIESTOR Pretoºe f je ortogoále a v²etky v a tým aj a v²etky s p, tak f(t), s p (t, φ) = 0 pre v²etky p. Z toho a kovergecie f(t), s p (t, φ) f(t), φ(t) vyplýva, ºe f(t), φ(t) = 0. Teraz si zoberieme postupos fukcií φ k C 2 také, ºe f φ k 2 < 1 k pre k = 1, 2,..., takºe φ k f v L 2. Z f, φ k = 0 a z φ k f v L 2 dostávame f, f = 0, lebo f, f = f, φ k + f, f φ k f, f φ k f L2 f φ k L2 f L2 0 = 0, a teda f musí by ulové, o je spor s a²ím predpokladom. Neexistuje teda ºiada eulová fucia, ktorá by bola ortogoála a v²etky ley postuposti (v ) 0, iºe ortoormála postupos tvoreá týmito lemi je úplá. Veta, ktorou pokra ujeme v texte a ktorú dokáºeme, je v kihe [10], straa 370. Veta 2.15. Nech f L 2 s Fourierovými koecietami c pod a deície 1.2. Potom kovergujú iastkové sumy Fourierovho radu fukcie f k fukcii f, a platí Besselova rovos lim p = f(t) p = p c 2 = 1 2 c e it 2 dt = 0, f(t) 2 dt. Ak je f s reálymi hodotami a a a b sú reálymi Fourierovými koecietami fukcie f, tak limita ostáva s reálymi iastkovými sumami lim p f(t) 1 2 a 0 a Besselova rovos vyzerá takto 1 2 a2 0 + p (a cos t + b si t) 2 dt = 0 =1 (a 2 + b 2 ) = 1 =1 f 2 (t)dt. Dôkaz: V predchádzajúcej vete sme si ukázali, ºe postupos (v ) 0 je úplá. Pod a vety 2.11 (Vety o zobrazeí) je fukcia f H zobrazeá svojím fourierovým radom 34

2 HILBERTOV PRIESTOR f = γ u s γ = f, u. Vieme, ºe priestor L 2 je Hilbertov. ƒley u z vety =0 sú v tejto chvíly ley ortoormálej postuposti v, u = v. ƒley γ = f, u sú v a²om prípade c = f, v. Ke to spojíme, dostávame kovergeciu v L 2, iºe v kvadratickom lee, o vyjadruje lim p p f(t) c e it 2 dt = 0. = p Besselovu rovos dostávame z Besselovej rovosti z Vety o zobrazeí a z toho ako sme si zadeovali sú i v priestore L 2 f 2 = f, f = f(t)f(t)dt. Ke ºe v 2 = v, v = v v dt = 1dt = 2, tak f 2 = f(t) 2 dt = = = = c v, c v = c 2 2, o po predeleí 2 dáva Besselovu rovos. Reálu as vety dostaeme zo vz ahu medzi reálym a komplexým vyjadreím Fourierových koecietov. Nasledujúca veta, ktorú dokáºeme, pochádza z publikácie [10], straa 371. Veta 2.16. Veta o jedoza osti Ak majú dve fukcie f, g L 2 totoºé Fourierove koeciety, tak sú tieto fukcie ako ley Hilbertovho priestoru L 2 rovaké. Z toho vyplýva, ºe f(x) = g(x) pre skoro v²etky x [, ]. Dôkaz:f a g majú rovaké Fourierove koeciety, t.j. f = c v a g = c v, kde c = f, v = g, v. Ke teda f, v = g, v f g, v = 0 f g v f g = 0 v aka tomu, ºe v je úplá. alej asleduje veta z literatúry [10], straa 371, ktorú dokáºeme. Veta 2.17. Veta o absolútej kovergecii Nech f AC a derivácia f L 2. Potom koverguje Fourierov rad fukcie f v R absolúte a rovomere ku f. Toto platí predov²etkým pre lipschitzovsky spojité fukcie, apríklad pre f C 1. 35

2 HILBERTOV PRIESTOR Dôkaz: Nech f má Fourierove koeciety c a f má c. Potom c = c pod a 1.3 j). Aplikovaím Cauchy-Schwarzovej erovosti dostávame ( c e it ) 2 = ( c ) 2 = ( c )2 c 2 1 = 1 2 2 f (t) 2 dt 1 2. V posledej rovosti sme vyuºili Besselovu rovos a dostali sme koe é ohrai eie, ke ºe f (t) L 2 a 1 2 je kovergetá. Na²li sme teda majoratu pre rad c e it a a základe Weierstrass-kritéria sme dokázali rovomerú absolútu kovergeciu Fourierovho radu fukcie f. Fukcia g(t) = lim p s p (t; f) je teda spojitá. Z rovomerej kovergecie vyplýva kovergecia v L 2, lim s p(t; f) = g(t) p g(t) s p (t) 2 dt 0. Z vety o jedoza osti vyplýva, ºe f = g v L 2, teda f(t) = g(t) skoro v²ade. Fukcie f, g sú ale spojité a preto platí rovos pre v²etky t. Veta, ktorá je al²ia v texte a ktorú dokáºeme, sa achádza v publikácii [10], straa 371. Veta 2.18. Dôsledok Ak je fukcia f L absolúte spojitá v otvoreom itervale J a f L 2 (J), tak Fourierov rad fukcie f koverguje v kaºdom kompaktom poditervale J rovomere k f. Dôkaz: Zavedieme si kompaktý iterval I vo vútri J, I J [, ]. Teraz si zadeujeme fukciu φ AC[, ] s osi om suppφ J, ktorá bude a I rová 1. Zadajme si fukciu g = φf. Ak ju 2-periodicky roz²írime, dostávame fukciu s predpokladmi, ktoré mala fukcia f vo vete o rovomerej kovergecii. Tvrdeie vety potom vyplýva z vety o rovomerej kovergecii. 36

3 PRÍKLADY 3 Príklady V tejto kapitole uplatíme adobuduté vedomosti a pomocou ich prerátame príklady, ktoré sa achádzajú v kihe [10], straa 372. Príklad 1: Ukáºte, ºe platí t 2 = 2 + 4 3 1 =1 ( 1) 2 cos t pre t. Rie²eie: t 2 je pára fukcia bude ma le kosíusový rad a 0 = 1 t 2 dt = 1 [ t3 3 ] = 2 + 2 = 22 3 3 3 a = 1 f(t) cos tdt = 1 t 2 cos tdt = 1 si t [t2 ] 1 si t 2t dt = = 2 si 2 si () si t 2t dt = 0 + 0 1 si t 2t dt = = 1 [2t cos t 2 ] 1 = [ 2 2 ( 1) + 2 2 ( 1) ] + 0 = 4 2 ( 1) t 2 = a 0 2 + =1 2 cos tdt = 1 cos cos () (2 + 2 ) 2 si si () [ ] = 2 2 2 2 2 a cos t = 2 3 + =1 4 2 ( 1) cos t = 2 3 + 4 =1 ( 1) 2 cos t Obr. 1: Sú et prvých 5 leov Fourierovho radu fukcie t 2 pre t Obr. 2: Sú et prvých 10000 leov Fourierovho radu fukcie t 2 pre t 37

3 PRÍKLADY Obr. 3: Fourierov rad fukcie t 2 pre t Príklad 2: Ukáºte, ºe platí cos αt = Rie²eie: si α ( 1 α 2α α 2 1 2 cos t + 2α cos 2t α 2 2 2 cos x je pára fukcia bude ma kosíusový rad a 0 = 1 cos αtdt = 1 si αt [ α ] = 1 si α 1 si α α α Pri výpo te a vyuºijeme asledové vzorce: si (x y) = si x cos y si y cos x si (x + y) = si x cos y + si y cos x cos (x + y) = cos x cos y si x si y 2α α 2 3 2 cos 3t +...) pre α / Z, t. = 1 cos (x y) = cos x cos y + si x si y a = 1 cos αt cos tdt = 1 cos (αt+t)+cos (αt t) dt = 2 = 1 si (α+)t [ 2 α+ + si (α )t α ] = 1 2 [ si (α+) α+ + si (α ) α si α α + 1 si (α+)() α+ si α α = 2 si α α si (α )() α ] = = 1 si (α+) si (α ) si (α+) si (α ) [ + + + ] = 1 2 si (α+) 2 si (α ) ( + ) = 2 α+ α α+ α 2 α+ α = 1 2(α ) si (α+)+2(α+) si (α ) 2 = ((α )[si α cos +si cos α)+ 2 α 2 2 2(α 2 2 ) +(α + )(si α cos si cos α)] = 1 (α2 si α cos 2 si cos α) = = 1 (α2 si α( 1) 2 0 cos α) = 2( 1 )α si α (α 2 2 ) cos αt = a 0 2 + = =1 si α ( 1 α 2α a cos t = α 2 1 2 cos t + 2α cos 2t 2α cos 3t +...) α 2 2 2 α 2 3 2 38

3 PRÍKLADY Obr. 4: Fourierov rad fukcie cos (0.3t) pre t Obr. 5: Fourierov rad fukcie cos (1.5t) pre t si 2t si 3t si 4t Príklad 3: Ukáºte, ºe platí si t+ + + +... = 2 3 4 Rie²eie: ( + t)/2 pre t < 0, 0 pre t = 0, ( t)/2 pre 0 < t. Najprv si vyrátame dva pomocé príklady, pomocou ktorých vyrátame teto príklad. Tieto príklady ájdeme v literatúre [10], straa 362. Ako prvý vyrátame Fourierov rad pre fukciu V (t) = sg(t) pre t <. V (t) = sg(t) je epára fukcia bude ma síusový rad b = 1 sg(t) si tdt = 1 0 ( 1) si tdt + 1 1 si tdt = = 1 cos t [ ]0 + 1 cos t [ ] 0 = 1 (1 ( 1) ) 1 ( 1 + ( 1) ) = = 1 (1 ( 1) ) + 1 (1 ( 1) ) = 2 (1 ( 1) ) 0 39

3 PRÍKLADY sg(t) = = 4 =1 (si t + si 3t 2 (1 ( 1) ) si t = 3 + si 5t 5 +...) =1 4 si (2 1)t = (2 1) Obr. 6: Sú et prvých 4 leov Fourierovho radu fukcie sg(t) pre t Obr. 7: Sú et prvých 50 leov Fourierovho radu fukcie sg(t) pre t Ako druhý si zrátame rad pre fukciu Z(t) = t pre t <. b = 1 t si tdt = 1 cos t [ t ] 1 cos t dt = 1 = 1 cos [ cos () ] + 1 [ si t 2 = 1 ( 1) 1 ( 1) = 2 ( 1)+1 t = =1 ] = cos [ t cos t cos () = 2 ( 1)+1 si 2t si 3t si 4t si t = 2(si t + +...) 2 3 4 ] + 1 cos t dt = 40

3 PRÍKLADY Obr. 8: Sú et prvých 4 leov Fourierovho radu fukcie t pre t Obr. 9: Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu fukcie t pre t Vyrátali sme teda, ºe: A = si t + a B = si t 4 pre < t < 0, si 3t si 5t + +... = 3 5 4 pre < t < 0, si 2t si 3t si 4t + +... = 2 3 4 0 pre t = 0,,, 1 2 t pre < t <, 0 pre t =,. Zloºeím týchto dvoch radov dostávame ami chceý výsledok: 41

2A B = si t + si 2t si 3t si 4t + + +... = 2 3 4 3 PRÍKLADY ( + t)/2 pre t < 0, 0 pre t = 0, ( t)/2 pre 0 < t. Obr. 10: Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu si t + si 2t si 3t si 4t + + +... 2 3 4 Príklad 4: Ukáºte, ºe platí: Ak je f C 0 hölderovsky spojitá s Hölderovým koecietom α (0, 1], tak c (f) K/ α. Pomôcka: Pod a 1.3 c) c (f f a ) = 2c (f) pre a = /. Rie²eie: c (f f a ) = c (f) c (f a ) = c (f) 1 2 = subst. a + t = s, dt = ds = c (f) 1 = c (f) 1 +a 2 eia +a f(t + a)e it dt = +a 2 +a f(s)e is ds = c (f) e ia c (f) f(s)e i(s a) ds = Ak a = / tak c (f f a ) = c (f) e i c (f) = 2c (f) Teraz c (f) = c(f fa) def 1 (f(t) f(t + a))e it dt 2 4 a teda c (f) = 1 (f(t) f(t + a))e it dt 1 (f(t) f(t + a))e it dt = = 1 4 4 (f(t) f(t+a)) dt 1 = 1 4 K α 2 = K 1 α Dokázali sme, ºe c (f) K 1 α. 4 4 K t (t a) α dt = 1 4 K a α dt = 1 4 K a α 2 = 42

3 PRÍKLADY Príklad 5: Zrátajte Fourierove rady páreho a epáreho roz²íreia fukcií f(t) = (t c) + a h(t) = f 2 (t), 0 < t <. Pri tom je 0 < c < a u + = max{u, 0}. Ur ite koverge é správaie a sumy radov. Rie²eie: Ako prvý zrátame rad pre páre roz²íreie fukcie f(t). Fukcia je pára, iºe rad bude kosíusový. a 0 = 1 f(t)dt = pára fukcia = 2 (t c)dt = 2 [ t2 2 ct] c = c = 2 ( 2 c c2 + 2 2 c2 ) = 1 ( c)2 a = 1 f(t) cos tdt = pára fukcia = 2 (t c) cos tdt = 2 t cos tdt c c 2 c cos tdt = 2 si t [t ] c 2 si t dt 2c si t [ ] c = 2 si 2 c si c + 2 cos t [ ] 2 c 2c c si = 2 ( ( 1) 2 + 2c si c f(t) = a 0 2 + cos c 2 ) =1 = 0 2 c si c c + 2 [ cos t 2 a cos t = 1 2 ( c)2 + 2 ] c 0 + 2c si c ( ( 1) 2 =1 = 2 cos 2 cos c) cos t 2 2 cos c 2 = Ako môºeme vidie a obrázkoch iº²ie, Fourierov rad koverguje k fukcii f(t). Obr. 11: Páre roz²íreie fukcie (t c) + pre c = 2 43

3 PRÍKLADY Obr. 12: Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu páreho roz²íreia fukcie (t c) + pre c = 2 Obr. 13: Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu páreho roz²íreia fukcie (t c) + pre c = 1 Pokra ujeme epárym roz²íreím. Fukcia je epára, takºe rad bude síusový. b = 1 f(t) si tdt = 1 c (t + c) si tdt + 1 (t c) si tdt = 1 c t si tdt+ + 1 c + c +[ c si tdt + 1 t si tdt 1 c si tdt = 1 c c cos t [ ] c + 1 cos t [ t ] c 1 cos t dt c si t] c cos ( c) 2 c + c cos () c cos c cos t [ t ] c c 1 cos t dt+ cos t [ ] c = 1 cos ( c) cos () (c + cos c si t + c + [ ] cos cos c 2 c + c c ) = = 1 cos c cos si ( c) si () cos c cos cos cos c (c + c + c + c + 2 2 si c cos + c c 2 si c + c 2 2 si c 2 cos c ) = 1 cos si c si cos cos ( + + c + 2 cos ) = 1 cos si (( 2 + 2c) + 2 2 2 = 2 ( 1) si c ((c ) ) 2 si c) = 1 2 si 2 si 2 ( 1) ( 2 + 2c) 44

3 PRÍKLADY f(t) = 2 ((c ) ( 1) =1 si c) si t 2 Na obrázkoch iº²ie je vido, ºe rad koverguje k fukcii f(t). Obr. 14: Nepáre roz²íreie fukcie (t c) + pre c = 2 Obr. 15: Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu epáreho roz²íreia fukcie (t c) + pre c = 2 Obr. 16: Sú et prvých 1000 leov Fourierovho radu epáreho roz²íreia fukcie (t c) + pre c = 2 45

3 PRÍKLADY Obr. 17: Sú et prvých 100 leov Fourierovho radu epáreho roz²íreia fukcie (t c) + pre c = 1 Ako al²í zrátame rad pre epáre roz²íreie h(t). Fukcia je epára a teda rad bude síusový. b = 1 h(t) si tdt = 1 c (t + c) 2 si tdt + 1 (t c) 2 si tdt = = 1 + 1 c + 1 c +[c c ( t 2 2tc c 2 ) si tdt + 1 (t 2 2tc + c 2 ) si tdt = 1 c t 2 si tdt+ c 2tc si tdt + 1 c c 2 si tdt + 1 t 2 si tdt + 1 2tc si tdt+ c 2 si tdt = 1 2 cos t ] c + [ t = 1 (( c)2 cos ( c) 2()c cos t ([t2 ] c 2 cos t ] c c c 2t () 2 cos () cos () si t 2c[ ] c 2 2t cos t [2t +c 2 cos ( c) cos t c c dt + [2tc cos t dt + [2tc cos t si t] c 2 + cos 2 cos c si t +2c 2c 2c[ ] 2 cos c 2 c + c c si ( c) si () +2c 2 + [ 2 2 2 c ] c c 2 c 2 cos () +c cos t] c 2 cos c 3 2c 2 cos c 2 cos 2 cos 2 cos c +c c + c + [2t 2 cos c si si c 2 cos 2c 2c + 2c c + c 2 2 2 cos c c ] c 2c cos t 2c si tdt + 2( c)c 2 cos t dt+ cos t dt + [ c2 ] c ) = cos ( c) 2 cos c cos 2 + 2t c 2 cos + ) = 1 cos c (c2 cos + 2c si t] 2 c 2 cos c cos () cos 2 cos si si c +2 +2c c +2 2c 2[ 3 2 2 2 cos c 2 cos ) = 1 (2 ( 1) c 2 cos t dt+ si ( c) si () 2c + 2c + 2 2 si tdt + 2c 2 ) = 1 cos (2 cos cos ( c) 2 + 3 cos t] cos 3 c +2c +2c si c 2 cos c 2 + 2 ( 1) + 2c ( 1) c 2 ( 1) si c 2c + 3 3 2 cos cos c +2 2 + 2c ( 1) si c 2 cos + 2c c 2 ( 1) ) = 3 3 2 = 1 (( 1) ( 2 + 2 3 + 2c c2 + 2 3 + 2c c2 2 cos c ) 4 ) = 3 46