Polynómy, algebraické rovnice, korene a rozklad racionálnej funkcie. priesvitka 1

Transcript

1 Polyómy, algebraické rovice, koree a rozklad racioálej fukcie priesvitka

2 Polyómy Defiícia: Polyóm -tého stupňa premeej x (komplexej) je defiovaý vzťahom k P( x) = a0 + ax+ ax ax = akx kde a0, a,..., a k sú koeficiety (komplexé) polyómu. Stupeň polyómu P(x) ozačíme deg ( P) =. k= 0 priesvitka

3 Algebraické operácie ad polyómami Nech P ( x) je možia všetkých polyómov premeej x, P ( x) = P( x) { } Nad takto defiovaou možiou obsahujúcou všetky možé polyómy premeej x môžeme defiovať operácie: () súčiu skalára s polyómom, () súčet a rozdiel dvoch polyómov, (3) súči dvoch polyómov. P x. Pripomeňme, že tieto operácie zachovávajú možiu priesvitka 3

4 Dva polyómy P( x) = a0 + a x ax a 0... (ekvivaleté, P( x) = Q( x) ) vtedy a le vtedy ak platí ( ) Q x b bx b x ( deg deg ) {,,..., } m = m sú si rové P x = Q x = P = Q k a = b def k k Súči skalára α s polyómom 0... P x = a + a x+ + a x α P x = α a x k= 0 k k Súčet (rozdiel) polyómov P( x) = a ax a 0... (predpokladáme, že deg ( P) deg ( Q) Q x = b + + b x m k k k k k= 0 k= m+ P x ± Q x = a ± b x + a x k m m priesvitka 4

5 Súči polyómov P( x) = a a x a 0... Q x = b + + b x P x Q x a b x m = k= 0 k = 0 k k k+ k m m Operácia deleia dvoch polyómov Podiel polyómov P( x) = a a x a 0... m = + + m má tvar Q x b b x P x Q x = R x + S x Q x čo môžeme prepísať do alteratíveho tvaru P x = R x Q x + S x priesvitka 5

6 () V prípade, že platí deg( P) < deq( Q), potom platí S( x) = P( x) a 0 R x =. () Podiel dvoch polyómov je dobre defiovaá operácia le ak je spleá táto podmieka Potom pre stupe R(x) a S(x) platí deg P deq( Q) deg ( R) = deg ( P) deg ( Q) 0 deg ( S ) < deg ( Q) priesvitka 6

7 Príklad 3 Nech P( x) = + x+ x x a Q( x) x x (A5a) spočítame podiel alebo = + +, podľa požadovaej vlastosti 3 + x+ x x S x = R( x) + + x+ x + x+ x 3 + x+ x x = R x + x+ x + S x ( ) Predpokladajme, že polyómy R(x) a S(x) majú tvar R( x) = a0 + ax, = 0 + S x b bx kde a i a b j sú ezáme koeficiety, ktoré určíme tak, aby platila podmieka ( ). priesvitka 7

8 Dosadeím týchto dvoch polyómov do ( ) dostaeme + x+ x x = a + a x + x+ x + b + bx Porovaím pravej a ľavej stray dostaeme rovice, ktoré špecifikujú ezáme koeficiety a i a b j + + = ( + ) + ( + + ) + ( + ) + x x x a0 b0 a0 a b x a0 a x a x Riešeím týchto rovíc dostaeme 3 3 a =, a =, b =, b = Potom riešeie deleia dvoch polyómov má tvar x x x = ( x) + x + x+ x + x+ x priesvitka 8

9 Príklad P Koštrukcia rozkladu racioálej fukcie a tvar ( x ) Q( x) S x = R( x) + Q x môže byť jedoducho realizovaá pomocou stredoškolskej operácia deleie dvoch polyómov, x 3 + x + x+ : x + x+ =?. krok: ( 3 ) :( ) x + x + x+ x + x+ = x 3 x = x x x x x x + x+ 4 priesvitka 9

10 . krok: 3 x + x + x+ : x + x+ = x+ podiel x + 4x+ x = x x x 4 x 3 zbytok 3. krok: x 3 x + x + x+ : x + x+ = x+ + x + x+ 3 x 3 podiel a zbytok priesvitka 0

11 Algebraická rovica, koree C. F. Gauss ( ) Nech P x a a x a x a x stupňa, algebraická rovica priradeá tomuto polyómu má tvar P( x) = a0 + ax+ a x ax = 0 Číslo α sa azýva koreň algebraickej rovice práve vtedy ak platí = je polyóm -tého P( α ) = 0 Fudametála veta algebry (Gauss). Každá algebraická rovica má v oblasti komplexých čísel aspoň jede koreň. Dôkaz tejto vety je etriviála záležitosť, pri jej dôkazu sa obvykle využíva sofistikovaý aparát matematickej aalýzy komplexej premeej. priesvitka

12 Veta. Ak α je koreňom algebraickej rovice P(x) = 0, potom platí formula P( x) = ( x α ) S( x) kde S(x) je polyóm so stupňom o jedotku meším, ako stupeň pôvodého polyómu P(x), deg ( S ) = deg ( P). Lieáry polyóm ( x α ) sa azýva koreňový čle. Dôkaz dôležitej formuly: Nech α je koreňom algebraickej rovice P( x) = a0 + ax+ a x ax = 0 -tého stupňa, potom platí P( α ) = 0. Pre každé x potom platí P x P α = x α a+ x α a x α a ( ) Pre každé k > platí ( k k) ( k k k x ) x x... x upraviť do tvaru P( x) P ( x )( 0 x... x ) α = α α +α + +, Potom ( ) môžeme α = α β +β + +β, kde β 0, β,..., β sú koeficiety ového polyómu S( x) x... x = β +β + +β, QED. 0 priesvitka

13 Dôsledok. Postupým použitím formuly z vety môžeme každý polyóm P(x) prepísať do tvaru, ktorý obsahuje le koreňové čley P( x) = ( x α)( x α )... ( x α ) kde α, α,..., α sú koree algebraickej rovice P( x ) = 0. Koree algebraickej rovice s reálymi koeficietmi Veta. Nech algebraická rovica a0 + ax+ a x ax = 0 obsahuje le reále koeficiety a 0, a,..., a, potom jej koree sú buď reále alebo komplexé vyskytujúce sa po komplexe združeých dvojiciach, α, = a± ib, t. j. α =α. priesvitka 3

14 Dôkaz tejto vety je jedoduchý. Nech platí P α = a0 + aα a α = 0, komplexým združeím tejto formuly dostaeme 0 P α = a + aα a α = 0, t. j. aj α je koreňom algebraickej rovice P( x ) = 0. Súči dvoch koreňových čleov, ktoré sú priradeé avzájom komplexe združeým koreňom má tvar ( x α )( x α ) = x + px+ q, kde p= a, q= a + b, t. j. x + px+ q= 0 je kvadratická rovica s reálymi koeficietmi, ktorá obsahuje dvojicu avzájom komplexe združeých koreňov. priesvitka 4

15 Veta. Polyóm P( x) a a x a x a x elemetárych čleov, ktoré sú priradeé reálym a komplexým koreňom pridružeej algebraickej rovice P(x) = 0 P( x) = ( x α )... x α u x + px+ q... x + pvx+ qv = s reálymi koeficietmi sa rová súčiu reále koree komplexé koree Rozklad polyómu z predchádzajúcej vety môže byť jedoducho zovšeobeceý pomocou kocepcie multiplicity (ásobosti) koreňov do kompaktého tvaru r r s = ( α) ( α ) ( + + ) ( + + ) P x x x x p x q x p x q reále koree komplexé koree kde r i je ásobosť (multiplicita) i-teho reáleho koreňa a s j je ásobosť j-tej dvojice komplexe združeých koreňov. s priesvitka 5

16 Horerova schéma výpočtu fukčej hodoty polyómu K tomu, aby sme efektíve vypočítali fukčú hodotu polyómu P x = a + a x+ a x + + a x pre daé číslo x, upravíme polyóm do tvaru 0... a0 + ax+ ax ax = a0 + a a a3... a x x x x b b3 b b b 0 = P x W. G. Horer ( ) priesvitka 6

17 Pomocou rekurete špecifikovaých koeficietov b i postupe počítame fukčú hodotu polyómu P(x) b = a b = a + bx b = a + b x... b = a + b x P α = b = a + bx 0 0 Hodota koeficietu b 0 sa rová fukčej hodote polyómu P(x) v čísle α. Postupý výpočet týchto koeficietov, od b až poi b 0, azývame Horerova schéma, ktorá je vizualizovaá pomocou tabuľky x α * * a 5 a 4 a 3 a a a 0 + = + = a 5 b 4 b 3 b b 0 b priesvitka 7

18 Príklad Majme polyóm P( x) = 6+ x+ x + x 4x + x, ašou úlohou je vzpočítať fukčú hodotu tohto polyómu pre číslo x =. Priamočiary prístup (brute force) k tomuto výpočtu má asledový tvar P( x ) = = = 0 Podstate jedoduchší je výpočet založeý a predchádzajúcej rekuretej schéme b = b b b b () P = 4+ = = + = = + = = + = 3 b0 = 6+ 3 = 0 = 0 Týmto sme aj priamo z defiície dokázali, že číslo x = je koreňom daej algebraickej rovice 6+ x+ x + x 4x + x = 0. priesvitka 8

19 Teto rekuretý postup výpočtu fukčej hodoty polyómu je jedoducho reprezetovaý pomocou tabuľky, ktorá sa azýva Horerova schéma (alebo algoritmus), x a5/ b5 a4/ b4 a3/ b3 a/ b a/ b a / b priesvitka 9

20 Koštrukcia deleia polyómov koreňovými člemi pomocou Horerovej schémy Horerova schéma môže byť efektíve použitá pre deleie polyómov ich koreňovými člemi. P( x) = ( x α ) Q( x) ( ) kde α je reály koreň algebraickej rovice P( x) = ax + a x ax+ a0 = 0, polyóm Q(x) je výsledok deleia polyómu P(x) koreňovým čleom P( x) ( x α) = Q x kde deg Q( x) deg P( x) =. priesvitka 0

21 Predpokladajme, že polyóm Q(x) má tvar Q x = b x + b x b x+ b Z podmieky ( ) dostaeme rozásobeím pravej stray tejto rovice ax + a x ax+ a = x α bx + b x bx+ b = 0... bx + b α b x + b α b x + + b αb x αb porovaím pravej a ľavej stray dostaeme Horerove podmieky pre koeficiety b i Dôsledok: Týmto sme dokázali, že pomocou Horerovej schémy môžeme aj deliť polyómy elemetárym koreňovým čleom ( x α ). () Ak α je koreňom rovice P( x) = a x + a x a x+ a = 0, potom koeficiet b 0 = 0, 0 hovoríme, že polyóm P(x) je deliteľý čleom ( x α ) bez zbytku; () v opačom prípade, ak b 0 0, potom polyóm P(x) je deliteľý čleom ( x α ) so zbytkom b 0. priesvitka

22 Príklad Polyóm P( x) 6 x x x 4x x = budeme deliť čleom x α pre α =,, Horerova schéma má tvar x a5/ b5 / a/ b a / b a / b a/ b a b () Pomocou druhého riadku sme dokázali že α= ie je koreňom algebraickej rovice P( x ) = 0 (t. j. polyóm P(x) je deliteľý čleom x so zbytkom 8, t. j. platí P( x) ( x ) ( x 4 3x 3 x x ) 8 ( x ) = () V treťom riadku je dokázaé, že α = je koreňom algebraickej rovice P x = ; alebo, že polyóm P(x) je deliteľý čleom x bez zbytku, t. j. 0 ( 4 3 3) P x x = x x x x. priesvitka

23 Dôsledok: Zázoreý prístup pre výpočet fukčých hodôt polyómu P(x) pre číslo x =α môže byť efektíve použitý a hľadaie koreňov algebraickej rovice P( x ) = 0. () Ak pre daé číslo x = α dostaeme v posledom stĺpci ulovú hodotu, potom P( α ) = 0, t. j. číslo α je koreňom algebraickej rovice P( x ) = 0. () Prvých ( ) čísel v daom riadku Horerovej schémy sú koeficiety ového polyómu Q(x) x a5/ b5 a4/ b4 a3/ b3 a/ b a/ b a / b x x x x x ( x )( x 4 x 3 x x 3) ( x )( x+ )( x 3 3x + x 3) ( x )( x+ )( x 3)( x + ) Určité problémy spôsobuje staovaie čleov ( x px q) + + so záporým diskrimiatom ktoré sú priradeé komplexým koreňom algebraickej rovice P(x) = 0. D p 4q =, priesvitka 3

24 Veta. Polyóm P( x) ax a x... ax a0 0 vyjadriť ako súči koreňových čleov algebraickej rovice P( x ) = 0 kde = = s reálymi koeficietmi a i môžeme k k l a = α... α a b + b P x x x x p x q x p x q α i je k i -ásobý reály koreň a kvadratická rovica x pjx qj dvojicu komplexe združeých l j -ásobých koreňov l b + + špecifikuje p ± p q. priesvitka 4

25 Príklad Nájdite koree algebraickej rovice P x = x 5x + x 6x + 7x 3x+ 6= ak pozáme komplexý koreň tejto rovice x= + i. () K riešeiu tohto príkladu využijeme vlastosť, že zo skutočosti, že rovica má reále koeficiety, potom komplexé koree sa vyskytujú po dvojica avzájom komplexe združeé, x, = ± i. Zostrojíme kvadratickú rovicu, ktorá má tieto komplexé koree q( x) = ( x x ) ( x x = x i)( x + ) i = x x+ 3 Týmto kvadratickým polyómom podelíme pôvodú algebraickú rovicu x 5x + x 6x + 7x 3x+ 6 : x x+ 3 = x -3 x +3x -3 x+ priesvitka 5

26 () V ďalšom kroku budeme hladať ďalšie štyri koree riešeím kvartickej 4 3 algebraickej rovice x -3 x+3x -3 x +=0. Pomocou Horerovej schémy dostaeme x a4/ b4 a3/ b3 a/ b a/ b a/ b x x x x ( x )( x 3 x + x ) ( x )( x )( x + ) To zameá, že kompletý rozklad polyómu má tvar = = ( )( )( + 3)( + ) P x x x x x x x x x x x x priesvitka 6

27 Racioále koree algebraických rovíc Ukážeme jedoduchú aplikáciu Horerovej schémy, ako určiť koree algebraickej rovice s celočíselými koeficietami za predpokladu, že existujú racioále koree. Veta A. Ak algebraická rovica s celočíselými koeficietami P( x) = a0 + a x a x = 0 má racioále koree α = pq, kde p a q sú celé esúdeliteľé čísla, potom koeficiet a 0 je deliteľý číslom p a koeficiet a je deliteľý číslom q. priesvitka 7

28 Dôkaz: Nech algebraická rovica P( x ) = 0 má racioály koreň α = pq, potom dosadeím tohto koreňa do algebraickej rovice dostaeme aq 0 + apq + a pq a p = 0 ( ) Túto rovicu prepíšeme do tvaru a0 q ( aq ) a pq... a p = p Pretože pravá straa tejto rovice je celé číslo, potom a 0 p musí byť súdeliteľé (pretože p a q sú esúdeliteľé). Podobým spôsobom prepíšeme ( ) do tvaru a p ( a ) 0 q a pq... a p = q Pretože pravá straa je celé číslo, potom a q musí byť súdeliteľé, QED. priesvitka 8

29 Príklad 3 Hľadajme koree algebraickej rovice 8x 36x + 54x 7= 0. Predpokladajme, že táto rovica má racioále koree typu pq. Na základe predchádzajúcej vety vieme, že ak existuje takýto racioály koreň, potom 7 p a 8 q sú súdeliteľé, potom kadidáti pre p a q majú hodoty 7 p jedeliteľé p =±, ± 3, ± 9, ± 7 8 q je deliteľé q =±, ±, ± 4, ± 8 Potom 6 kadidátov a racioále koree daej algebraickej rovice sú tieto p α= ±, ±, ±, ±, ± 3, ±, ±, ±, ± 9, ±, ±, ±, ± 7, ±, ±, ± q priesvitka 9

30 x a3/ b3 a/ b a/ b a / b / / 8-0 3/ 8 0 To zameá, že pomocou Horerovej schémy sme ukázali, že číslo x = 3 je koreňom algebraickej rovice x 3 x x ( x ) = 8 3 = 0 priesvitka 30

31 Príklad Majme algebraickú rovicu 6+ x x + x 6x + x = 0. Nech táto rovica má racioále koree, potom 6 = deliteľé bez zbytku p =±, ±, ± 3, ± 6 p deliteľé bez zbytku q q = =± Potom racioáli kadidáti a koree sú z možiy p α = ± ± ± ± q {,, 3, 6} priesvitka 3

32 Pomocou Horerovej schémy vykoáme verifikáciu, ktorý z 8 kadidátov je koreň x a5/ b5 a4/ b4 a3/ b3 a/ b a/ b a / b Verifikovali sme, že čísla α =,,3 sú koree daej algebraickej rovice. V x +. To zameá, že posledom štvrtom riadku schémy sú koeficiety zbytku polyóm P( x) 6 x x x 6x x = môžeme prepísať do tvaru súčiu koreňových čleov P x = 6+ x x + x 6x + x = x x x 3 x + Algebraická rovica má tri reále koree α =,,3 a dva komplexé koree α =± i. priesvitka 3

33 Rozklad racioálej fukcie a sumu elemetárych parciálych zlomkov Racioála fukcia R(x) premeej x je defiovaá ako podiel dvoch polyómov P( x) R( x) = Q( x) pričom predpokladáme, že deg Q( x ) > 0 (t. j. meovateľ ie je koštata, potom by sa polyómy R(x) a P(x) líšili le koštatou). Rozklad racioálej fukcie rozdelíme do 3 krokov. priesvitka 33

34 . krok: Racioálu fukciu deleím upravíme tak, aby stupeň čitateľa bol meší ako stupeň meovateľa P( x) S( x) R( x) = = U( x) + Q( x) Q( x) V prípade, že deg P( x) > deg Q( x), potom pomocou deleia P( x) : Q( x ) zížime stupeň P(x) tak, aby bol meší ako stupeň Q(x), pričom zbytok deleia je S(x). Teto krok budeme ilustrovať jedoduchým príkladom S( x) P( x) x x x x x 8x 8x 9x 7 R( x) = = = 4 3 x Q( x) x 3x + 3x 3x+ U( x) x 3x + 3x 3x+ Qx priesvitka 34

35 . krok: Polyóm Q(x) vyjadríme ako súči elemetárych čleov. Najprv odhademe kadidátov a racioále koree α { ±, ± }, použitím Horerovej schémy vykoáme verifikáciu jedotlivých kadidátov a racioále koree, dostaeme dva koree α =, α =, pričom zbytok je x +, potom 4 3 ( = = + ) Q x x x x x x x x 3. krok. Rozklad S( x) Q( x ) má tvar 3 S x 8x 8x + 9x 7 A B Cx+ d = = + + Q x x x x + ( x )( x )( x + ) priesvitka 35

36 Ak vyásobíme fiály rozklad Q(x) dostaeme 3 8x 8x + 9x 7= A x x + + B x x + + C x x Cx+ D Porovaímľavej stray s pravou straou dostaeme systém 4 lieárych rovíc pre 4 ezáme A, B, C a D A + B+ C = 8 A B C+ D= 8 A B+ C 3D= 9 A B+ D= 7 Riešeím tohto systému dostaeme A = 7, B= 9, C = 6, D= S x Q x má fiály tvar To zameá, že rozklad racioálej fukcie 3 S x 8x 8x + 9x x = = + + Q x x x x + ( x x x + ) priesvitka 36

37 Veta. Nech polyóm Q(x) má tvar (A7), potom racioálu fukciu S( x) Q( x) môžeme vyjadriť ako sumu jedotlivých elemetárych racioálych fukcii, ktoré sú pridaé buď k x α i pre i a () reálemu čleu i ( i) ( i) ( k ) i A A A x α x α x α i i i () alebo komplexému čleu ( x + p x+ q ) j () () ( lj) ( lj) B j + Cj x Bj + Cj x Bj + Cj x x + p x+ q x + p x+ q x + p x+ q j lj k i j j j j j j l j priesvitka 37

38 Študujme racioálu fukciu x Príklad + x 3 3 ( x x 3 x + x+ ) Rozklad tejto ravioálej fukcie a elemetáre zlomky má tvar x + x 3 A A A3 B B = x x 3 x + x+ x x x x 3 x 3 C+ Dx + x + x+ Kde koštaty A, A, A 3, B, B, C, D sú určeé tak, aby sa pravá straa rovala ľavej strae. x + x x = x x 3 x + x+ 3 x 69 x 3 3 x x + x+ priesvitka 38

39 The Ed Pieter Bruegel the Elder (55 569): The Fight Betwee Carival ad Let A moder aalogy of the multiaget system (MAS), where sigles, pairs ad triples of agets (people) mutually iteract priesvitka 39