Ο Νίκος Ζανταρίδης προτείνει... οι λύσεις τους

Ο Νίκος Ζανταρίδης προτείνει... 40 Συστήματα οι λύσεις τους πηγή: http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=09&t=97 40 Συστήματα - 76 λύσεις - 74 Σελίδες - λύτες η έκδοση 09-0-0 Συμμετείχαν στις λύσεις τα παρακάτω μέλη του www. mathematica.gr : Γιαννόπουλος Παναγιώτης Ζερβός Κώστας Ιωάννου Δημήτρης Καλαθάκης Γιώργης Καλδή Φωτεινή Κοντογεώργης Θανάσης Κυριαζής Χρήστος Λάμπρου Μιχάλης Λουρίδας Σωτήρης Μάγκος Θάνος Μαραγκουδάκης Παύλος Μουρούκος Βαγγέλης Ντάβας Χρήστος Παπαπέτρος Ευάγγελος Ραϊκόφτσαλης Θωμάς Ροδόπουλος Γιώργος Τασούλας Θανάσης Τσιφάκης Χρήστος Φίλιππας Σπύρος ArgirisM parmenides5 Επιμέλεια: parmenides5

0. Να λυθεί το σύστημα + + = y + 4 5 e y + y 4y + 5 = e + ( y, ) η / λύση (Γιώργος Ροδόπουλος) Θεωρούμε τις συναρτήσεις f() t = t + ( t ) + και gt () = e t προφανώς θετικές και παραγωγίσιμες στο και παρατηρούμε ότι f() = g() = Είναι f t f() t '() t = + = t + t + ( ) ( ) gt () Θεωρούμε και την ht () = με f() t f() t gt () f() t gt () g () t f() t f () tgt () ( t ) + gt ( )( ( t ) + ) h ( t) = = = 0 f () t f () t f( t) ( t ) + για κάθε t με την ισότητα να ισχύει προφανώς μόνo όταν t = οπότε η h είναι γνησίως αύξουσα. gt () αν t> ht () > h() > gt () > f() t f() t αν gt () t< ht () < h() < gt () < f() t f() t Προκύπτει τώρα πως το σύστημα έχει μοναδική λύση την = y = επιμέλεια : parmenides5

0. Να λυθεί το σύστημα + + = y + 4 5 e y + y 4y + 5 = e + ( y, ) η / λύση (Θάνος Μάγκος) Θέτοντας a = b = y a + + a = e καλούμαστε να λύσουμε το σύστημα b + + b = e b a Η συνάρτηση + + είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως οποιαδήποτε από τις υποθέσεις a> bb, > aοδηγούν σε άτοπο. Άρα a = b και έχουμε τώρα να λύσουμε την εξίσωση a a+ + a = e Αυτή γράφεται και ως = + a a = e a a+ + a e a. Άρα αρκεί να λύσουμε την εξίσωση στο [0, + ). Είναι για 0, a a a a = e + a = e e > 0, + a ( + a ) a > ( ) άρα η a e + a είναι κυρτή στο [0, + ). Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο (0,0) είναι η y =. Άρα a = 0. Τελικά είναι y = =. επιμέλεια : parmenides5

0. Να λυθεί το σύστημα + + = y + 4 5 e y + y 4y + 5 = e + ( y, ) η / λύση (Κώστας Ζερβός) Έστω η συνάρτηση f() = + 4+ 5+ e +, που είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο με 4 5 ( ) + + ( ) + f ( ) = + e = + e + e 4+ 5 4+ 5 4+ 5 + = + e > 0 αφού ( ),. 4+ 5 Άρα είναι γνησίως αύξουσα στο. y + 4 + 5 = e + Το σύστημα γράφεται e + = y+ y 4y+ 5 και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε f( ) = f( y) = y αφού η f είναι. + + > Άρα οι δύο εξισώσεις είναι ίδιες με την + 4+ 5 = e + + ( ) + = e Έστω η συνάρτηση t+ t + gt () =, t e που είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη σ' αυτό με Για t είναι + + + > >. ( t ) t t t 0 g ( t) 0 + + = g () t = ( ) e ( t ) t + + t t+ Για t < έχουμε ( t ) t + + t t+ 0 t t+ ( t) t + και επειδή τα δύο μέλη είναι θετικά, ισοδύναμα έχουμε ( t t+ ) ( t) ( t + ) t 0 που ισχύει και η ισότητα ισχύει μόνο για = 0. Άρα για 0 < είναι g ( ) > 0 και g (0) = 0. Έτσι η g είναι γνησίως αύξουσα στο και g (0) =. Άρα gt () = t= 0. Επομένως + + = = = =. ( ) g ( ) 0 e Δηλαδή το σύστημα έχει λύση την ( y=, ) (, ) που επαληθεύει. e t t + = επιμέλεια : parmenides5 4

0. Να λυθεί το σύστημα + y = y + z = y z + t = z t + = t ( yzt,,, ) η / λύση (Θάνος Μάγκος) Θέτοντας a = b = y το σύστημα γράφεται c = z d = t a + b= b c + d = d + a = 0 + c= 0 0 0 6 Με διαδοχικές αντικαταστάσεις βρίσκουμε a+ a = 0 a = 0ή a =. Στην πρώτη περίπτωση βρίσκουμε a = b= c= d = 0, ενώ στη δεύτερη a= b= c= d =. Τότε = y = z = t = 0 ή = y = z = t =. Όλα δεκτά. 0. Να λυθεί το σύστημα + y = + y = + y ( y, ) 0 0 04 04 Έχω + y = y = () η / λύση (Χρήστος Κυριαζής) Επιπλέον 0 0 04 04 0 0 0 0 + y = + y = y y = y 0 0 y = = ή ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 y = 0 = ή = y = ή = y 0 0 Αν = τότε και y = δεκτή λύση αφού επαληθεύει,ενώ αν ( ) = y τότε και πάλι = y =. (*) Είναι 0 0 = y = y αφού έχουμε περιττό εκθέτη. επιμέλεια : parmenides5 5

04. Να λυθεί το σύστημα ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 5 ) y+ z = + + yz y z+ = y + y+ z z + y = z + z+ y ( yz,, ) η / λύση (Παύλος Μαραγκουδάκης) Ας είναι yz,, για τους οποίους ( ) ( ) ( + ) = ( 4 + + ) ( + ) = ( 5 + + ) y+ z = + + yz y z y y z z y z z y Αν κάποιος από τους yz,, είναι μηδέν, τότε και ένας δεύτερος είναι μηδέν. Οι τριάδες ( k,0,0 ),( 0, k,0 ),( 0,0, k ) όπου k είναι όλες λύσεις του συστήματος. Αυτές είναι οι μόνες λύσεις όπου κάποιος άγνωστος είναι μηδέν. Αν κανένας από τους yz,, δεν είναι μηδέν, τότε + = + + + = + + + = + + ( b c) a a ( c a) b b 4 ( a b) c c 5 όπου a =, b = και y c =. z Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει a b c ab bc ca a b c + + + + + = + + + Άρα ( a+ b+ c) = ( a+ b+ c) + οπότε a+ b+ c= 4 ή a+ b+ c=. Στην πρώτη περίπτωση βρίσκουμε ( abc) 4,, =,, 9 9 οπότε ( yz) 9 9,, =,, 4. Στην δεύτερη περίπτωση βρίσκουμε ( abc) 6 4,, =,, 5 5 οπότε ( yz) 5 5,, =,, 6 4. επιμέλεια : parmenides5 6

05. Nα λυθεί το σύστημα + = 4 y+ = 5 z+ y z y + yz + z = * ( yz,, ) η / λύση (Θάνος Μάγκος) Πρώτα βρίσκουμε τις λύσεις ( yz,, ) με yz>,, 0 αφού τα yz,, είναι ομόσημα. A B C Θέτουμε = εϕ, y = εϕ, z = εϕ, (**) οπότε οι εξισώσεις γράφονται A B C A B C εϕ + εϕ + εϕ + εϕ εϕ εϕ = 4 = 5 = = A B C A 4 B 5 C εϕ εϕ εϕ + εϕ + εϕ + εϕ A B B C C A εϕ εϕ + εϕ εϕ + εϕ εϕ = (). Από τη () προκύπτει ότι τα ABC,, είναι γωνίες τριγώνου, () ηµ ενώ από την () έχουμε A ηµ B ηµ = = C. 4 5 Επειδή ισχύει 0 + 4 = 5, το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο με C = 90, 4 οπότε ηµ C =, ηµ A=, ηµ B=. 5 5 εϕt 4 Με χρήση της ηµ t = από τις (**) λύνοντας τις =, = y,= z + εϕ t 5 + 5 + y + z βρίσκουμε =, y =, z =. Τότε, λύση είναι και η =, y =, z =. επιμέλεια : parmenides5 7

06. Να λυθεί το σύστημα ( )( ) y = 7y + y + y 7 6y + 4 = 0 ( y, ) η / λύση (Παύλος Μαραγκουδάκης) y y y H δεύτερη εξίσωση γράφεται σαν τριώνυμο του ως ( ) + 7 + 6 + 4 = 0. Έχει διακρίνουσα y + 0y 7 και είναι μη αρνητική, οπότε 7 y Αν τη γράψουμε ως τριώνυμο του y βρίσκουμε διακρίνουσα + 6 0, οπότε 0 7 Η πρώτη εξίσωση γράφεται y = y Η συνάρτηση f() t = t είναι εύκολο να δούμε πως είναι γνησίως αύξουσα στους θετικούς. t Με βάση τους περιορισμούς που βρήκαμε παραπάνω, 7 = =. y είναι = f ( ) f ( ) = και y f ( y) f ( ) Άρα η πρώτη εξίσωση επαληθεύεται μόνο όταν ( y, ) = (, ). Το ζευγάρι αυτό δεν επαληθεύει τη δεύτερη εξίσωση, άρα το σύστημα είναι αδύνατο στους πραγματικούς. επιμέλεια : parmenides5 8

07. Να λυθεί το σύστημα y + z + yz = z + + z = 7 + y + y = 5 ( yz,, ) η / λύση (Κώστας Ζερβός) y + z + yz = y + z + yz + = ( y + )( z + ) = z + + z = 7 z + + z + = 8 ( + )( z + ) = 8 y y 5 y y 6 + + = + + + = ( y + ) ( + ) = 6 ( ) Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε ( ) ( y ) ( z ) 576 4 + + + = =, άρα ( + )( y+ )( z+ ) = 4 ή ( + )( y+ )( z+ ) = 4. Αντικαθιστώντας από την () έχουμε 8( y+ ) = 4 y = ( + ) = 4 = 6( z ) 4 + = z = ή ( + ) = 4 y = 8( y+ ) = 4 = 4 6( z ) 4 + = z = 5 Άρα ( yz,, ) = (,, ) ή ( yz,, ) = (, 4, 5) επιμέλεια : parmenides5 9

07. Να λυθεί το σύστημα y + z + yz = z + + z = 7 + y + y = 5 ( yz,, ) η / λύση (parmenides5) y + z + yz = ( + y) z = y αν y = 0 = άτοπο, άρα y οπότε y z = () + y 5 y + y + y = 5 ( + y) = 5 y = αφού y () + y Αντικαθιστώντας τις (),() στην z + + z = 7 έχουμε y 5 y y 5 y + + = 7 + y + y + y + y + + + + = + + ( y 5 y)( y) ( y)( y) 7( y y ) y + y 8= 0 y = 4 ή y = Για y = 4 είναι 5 y 5 ( 4) 9 = = = = + y + ( 4) y ( 4) 5 z = = = = 5 + y + ( 4) άρα ( yz,, ) = (, 4, 5) Για y = είναι 5 y 5 = = = = + y + y 9 z = = = = + y + άρα ( yz,, ) = (,, ) επιμέλεια : parmenides5 0

07. Να λυθεί το σύστημα y + z + yz = z + + z = 7 + y + y = 5 ( yz,, ) η / λύση (parmenides5) y + z + yz = ( + y) z = y αν y = 0 = άτοπο, άρα y οπότε y z = () + y Αντικαθιστώντας την () στην z + + z = 7 έχουμε y y + + = 7 + y + y y+ ( + y) + ( y) = 7( + y) + y = () Αντικαθιστώντας την () στην + y + y = 5 έχουμε + + 5 ( ) 0 6 9 0 + + = + + + + = + = = ή = Για = είναι + ( ) + 9 + 8 y = = = = = 4 y ( 4) 5 z = = = = 5 + y + ( 4) άρα ( yz,, ) = (, 4, 5) Για = είναι + + 4 y = = = = y 9 z = = = = + y + άρα ( yz,, ) = (,, ) επιμέλεια : parmenides5

08. Να λυθεί το σύστημα + y = + = ( y, ) 4y 4y η / λύση (Κώστας Ζερβός) Πρέπει [,] και y,. Καταρχήν παρατηρούμε ότι δεν έχει λύση της μορφής (0, k ) ή ( m,0). Για y 0 έχουμε: 4y 4y + = : y 0 4y + 4y = + y 4y 4y + = + = y y y y () Θεωρούμε τη συνάρτηση f( ) = = η οποία έχει πεδίο ορισμού το [, 0) (0,] και είναι περιττή, αφού ( ) f( ) = = f( ). ( ) Για 0< < έχουμε f( ) > f( ) > > > 0 + > + Τα δύο μέλη είναι θετικά άρα έχουμε ισοδύναμα ( + ) > ( + ) ( ( ) )( + ) > 4 που ισχύει γιατί το πρώτο μέλος είναι θετικό και το δεύτερο αρνητικό αφού < < >. επιμέλεια : parmenides5

Έτσι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,]. Για < < 0 έχουμε > > 0 και αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,], θα ισχύει ότι f( ) < f( ) f( ) < f( ) f( ) > f( ). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, 0) Τότε () f( ) = f( y) f( ) = f( y). Αν οι y, είναι ετερόσημοι, τότε θα έχουμε Αν > 0, y< 0, τότε y > 0 και λόγω της μονοτονίας της f η ισότητα f( ) = f( y) ισχύει μόνο όταν = y, όποτε από την + y = έχουμε 0= που είναι αδύνατη, Αν < 0, y > 0, τότε όμοια βρίσκουμε ότι είναι αδύνατο. Άρα y, είναι ομόσημοι και αφού + y =, θα πρέπει > 0, y > 0. Για > 0 έχουμε f( ) 0 0 0<. Αφού f( ) + f( y) = 0 και, y > 0 θα πρέπει 0 < και y ή αντίστροφα. Αν 0 < και y τότε y και αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, 0) θα έχουμε f( y) f f( y) 0 f( ) 0. Και αφού 0 <, θα είναι f( ) 0. Άρα f( ) = 0 =, άρα y = y =. 4 Όμοια αν 0< y και. Επομένως ( y, ) =,. 4 επιμέλεια : parmenides5

08. Να λυθεί το σύστημα + y = + = ( y, ) 4y 4y η / λύση (Θάνος Μάγκος) Με την αντικατάσταση y + w= = w το σύστημα γίνεται w + w = ( w, R) Εξαιτίας της πρώτης σχέσης και επειδή [,], είναι w>, 0. Ας είναι = ηµ a w = ηµ b π με ab, 0,. Τότε, το σύστημα γράφεται π Άρα a+ b= ή a+ b= π Η πρώτη περίπτωση αποκλείεται, ηµ a+ ηµ b= ηµ ( a+ b) = αφού από κοίλο του ημιτόνου και την ανισότητα Jensen θα είχαμε a+ b π ηµ a+ ηµ b ηµ = ηµ = 6 π Άρα a+ b=. a+ b π Τότε, πάλι από την ανισότητα Jensen έχουμε = ηµ a+ ηµ b ηµ = ηµ =. π Άρα a= b=, οπότε = w=, τιμές που ικανοποιούν τις εξισώσεις του συστήματος. Τελικά το αρχικό σύστημα έχει λύσεις τις ( y, ) =, 4 επιμέλεια : parmenides5 4

08. Να λυθεί το σύστημα + y = + = ( y, ) 4y 4y η / λύση (Δημήτρης Ιωάννου) + w= Με την αντικατάσταση y = w το σύστημα γίνεται w + w = u = OA =, v = OB = w, w Θεωρώ τα διανύσματα ( ), και ( ) Tότε uv = u v cosa = cosa = a = 0 αφού u = + = και ομοίως v =. Aν λοιπόν φέρουμε την AK κάθετη στην ευθεία OB, τότε θα είναι Όμως (από απόσταση σημείου από ευθεία) έχουμε o AK =. w + w AK = = w + w Aλλά, w και αφού + w= έπεται οτι οι αριθμοί w,, είναι θετικοί και άρα έχουμε w + w =. w = w 4 w = 4w + 4 w Άρα ( )( ) Από εδώ έχουμε + w w = ( + w) w w = w = 4 4 4 + w= Άρα έχουμε να λύσουμε το σύστημα w = 4 Συνεπώς τα w,, είναι οι ρίζες της εξίσωσης k k+ = 0, η οποία έχει ρίζα διπλή την 4 Άρα = w=, και οι τιμές αυτές επαληθεύουν το δοσμένο σύστημα. Τελικά το αρχικό σύστημα έχει λύσεις τις ( y, ) =, 4 k =. επιμέλεια : parmenides5 5

09. Να λυθεί το σύστημα + y = z+ y z z y ( yz,, ) + = + + = + η / λύση (Γιώργης Kαλαθάκης) + y = z+ () y + z = + () z + = y+ () () () ( z)( + z+ ) = 0 ( z) = 0 ή ( + z+ ) = 0 = z ή z = () () ( y )( y+ + ) = 0 ( y ) = 0 ή ( y+ + ) = 0 y = ή y = () = z α) Αν = 0 = y = z = ή = y = z = y = οπότε ( yz,, ) = (,, ) ή,, () = z β) Αν + + + = + + = 0 y = 7 7 7 7 = ±, z = ±, y = ± = ± 4 4 4 4 + 7 7 + 7 7 + 7 7 οπότε( yz,, ) =,, ή 4 4 4,, 4 4 4 () z = γ) Αν + + + = + + = 0 y = 7 7 7 7 = ±, y = ± = ±, y = z = ± 4 4 4 4 + 7 7 7 7 + 7 + 7 οπότε( yz,, ) =,, ή 4 4 4,, 4 4 4 () z = δ) Αν + = + + = 0 y = 7 7 7 7 = ±, y = = ±, z = ± = ± 4 4 4 4 + 7 + 7 7 7 7 + 7 οπότε( yz,, ) =,, ή 4 4 4,, 4 4 4 επιμέλεια : parmenides5 6

09. Να λυθεί το σύστημα + y = z+ y z z y ( yz,, ) + = + + = + η / λύση (Παύλος Μαραγκουδάκης) Είναι + + = y + y+ = z + z+ = + y + z. Αν f() t = t + t+ τότε f( ) = f( y) = f( z). Η f είναι τριώνυμο, άρα λαμβάνει κάθε τιμή το πολύ δύο φορές. Άρα δύο τουλάχιστον από τους yz,, είναι ίσοι. Για τη συνέχεια υποθέτουμε ότι y = z. Τότε το σύστημα γίνεται + y = y+ y = + Αφαιρούμε κατά μέλη οπότε ( y)( y ) + + = 0, δηλαδή = y ή = y. Αν = y τότε = 0 οπότε ( yz,, ) = (,, ) ή,,. ± 7 Αν = y τότε y + y = 0 οπότε y = και 4 + 7 + 7 + 7 + 7 7 7 ( yz,, ) =,, ή 4 4 4,, 4 4 4 καθώς και όλες οι μεταθέσεις τους. επιμέλεια : parmenides5 7

0. Να λυθεί το σύστημα + y+ z = + yz + y + z + z + y = ( yz,, 0) η / λύση (Γιώργος Ροδόπουλος) + yz = ( + y + z) + yz = ( + y) + z + yz = ( + y)( + z) z+ y+ y+ z+ + z+ y και ομοίως y + z, z + y Με πρόσθεση κατά μέλη + y+ + z + y+ + z z+ y+ y+ z+ + z+ y = + yz + y + z + z + y + + = Επομένως + y = + z = z+ y = y = z = η / λύση (Κώστας Ζερβός) + yz + y + z + z + y (+ + ) + yz + y + z + z + y Είναι ( ) ( ) ( + yz + z + y) 4 yz + z + y με την ισότητα να ισχύει όταν + yz = y + z = z + y Επίσης ( + y + ) ( yz + z + y) yz + z + y με την ισότητα να ισχύει όταν = y = z. Άρα yz + z + y = και για να ισχύουν όλες οι ισότητες πρέπει = y = z =, επομένως η λύση είναι η ( yz,, ) =,, που επαληθεύει. επιμέλεια : parmenides5 8

. Να λυθεί το σύστημα + = y z + t = z + yt = 0 ( + z)( y+ t) = ( yzt,,, ) η / λύση ( Γιώργος Ροδόπουλος) + y = () z + t = () z + yt = 0 () ( + z)( y+ t) = (4) Αν y = 0 (όμοια αν z = 0 ) τότε () =±, () z = 0, () t =±, (4) = t = ή = t = Αν = 0 (όμοια ανt = 0 ) τότε () y =±, () t = 0, () z =±, (4) y = z = ή y = z = Αν yzt 0 τότε yt ) = (5) z (5) () yt () + y = y t + y z = z y ( t + z ) = z y = z y =± z z --- Αν y = z (5) = t () (4) ( + y)( y ) = 4 y + y y = + y 4 y = 0 4 = y (6) Το σύστημα των (), (6) δίνει ( y 4, ) 5, = 5 οπότε ( ) 4 zt, =, 5 5 ή (, ) 5, 4 y = 5 --- Αν y = z (5) = t Ανάλογα βρίσκουμε ( y 4, ) 5, = 5 οπότε ( zt) 4, 5, = 5 ή ( y, ) 4 5, = 5 οπότε ( ) 4 zt, =, 5 5 Οι λύσεις που έχουν αναφερθεί είναι δεκτές αφού επαληθεύουν. οπότε ( zt) 4, = 5, 5 επιμέλεια : parmenides5 9

. Να λυθεί το σύστημα + = y z + t = z + yt = 0 ( + z)( y+ t) = ( yzt,,, ) Έστω a= ( y, ), a = και b= ( zt, ), b = από την η σχέση έχουμε a b άρα θα είναι b= ( y, ) ή b = ( y, ) η / λύση (Φωτεινή Καλδή) Αν b= ( y, ) y = z τότε b= ( y, ) = (,) zt = t = y (4) ( y)( y ) 4y y y 0 + = = = ή --- Αν y = 0 =± Οπότε ( yzt,,, ) = (,0,0,) ή (,0,0, ) y = 4 --- Αν 4 y = =±, 4 5 4 4,,, =,,, 5 5 5 5 ή 4 4,,, 5 5 5 5 y = z Αν b = ( y, ) τότε b= ( y, ) = (,) zt = t Οπότε ( yzt) y = (4) ( y)( y ) 4 y 0 + = = = ή --- Αν = 0 y =± Οπότε ( yzt,,, ) = ( 0,,, 0) ή ( 0,,, 0) = y 4 --- Αν y 4 = y =± 4 5 Οπότε ( yzt) 4 4,,, =,,, 5 5 5 5 ή 4 4,,, 5 5 5 5 επιμέλεια : parmenides5 0

. Να λυθεί το σύστημα + = y z + t = z + yt = 0 ( + z)( y+ t) = ( yzt,,, ) η / λύση (ArgirisM) Από τις δύο πρώτες σχέσεις του συστήματος προκύπτει ότι τα σημεία ( y, ),( zt, ) ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο, άρα υπάρχουν γωνίες 0 φ, φ < π, ώστε ( y, ) = ( συνφ, ηµφ),( zt, ) = ( συνφ, ηµφ) z + yt = 0 συνφσυνφ + ηµφηµφ = 0 συν ( φ φ) = 0 φ φ = kπ + π, k π κι επειδή 0 φ, φ < π θα ισχύει ότι φ φ = ή φ φ = π π Αν φ φ = φ = + φ π τότε π = συνφ = συν + φ = ηµφ = t π y = ηµφ = ηµ + φ = συνφ = z οπότε z = y και t = άρα = ( + z)( y + t) = ( + t)( y ) = 4y + y y = y + y + = () y y συνφηµφ + ηµ φ συν φ = ηµ φ + συν φ συνφηµφ = 4συν φ ηµφ = 0 ή ηµφ 4 = συνφ (4) --- Αν ηµφ = 0 συνφ =± επιμέλεια : parmenides5

= συνφ = y = ηµφ = 0 -------- Αν συνφ = z = y = 0 t = = = συνφ = y = ηµφ = 0 -------- Αν συνφ = z = y = 0 t = = --- Αν ηµφ = 4συνφ ηµφ = συνφ 4 κι επειδή ηµ φ + συν φ = έχουμε 5 4 4 συνφ + συν φ = 6 συν = συνφ =± 5 6 9 ηµ φ = συν φ = = ηµφ =± 5 5 5 ώστε να είναι ομόσημο με το συνφ λόγω (4) 4 = συνφ = 5 y = ηµφ = 4 5 -------- Αν συνφ = 5 z = y = 5 4 t = = 5 4 = συνφ = 5 y = ηµφ = 4 5 -------- Αν συνφ = 5 z = y = 5 4 t = = 5 επιμέλεια : parmenides5

π π Αν φ φ = φ = + φ τότε π = συνφ = συν + φ = ηµφ = t π y = ηµφ = ηµ + φ = συνφ = z οπότε z = y και t = άρα ( z)( y t) ( y)( y ) y y y y y = + + = + = 4 = = + y + y = (5) ας ονομάσουμε (, y ) της λύσεις της (5), και (, y ) τις λύσεις της () παρατηρούμε οτι η εξίσωση (5) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση () αν αντιστρέψουμε τις μεταβλητές της, δηλαδή οι λύσεις (, y ) της εξίσωσης (5) θα είναι ίσες με τις λύσεις ( y, ) της εξίσωσης () οπότε θα έχει στην περίπτωση αυτή θα έχουμε τις λύσεις = = y = 0 y = y = =, z = y = t = = 0 = = y = 0 y = y = =, z = y = t = = 0 = = y = y = y = = 4 z = y = 5 t = = 5 5 4 5 = = y = 5 4 y = y = = 5, 4 z = y = 5 t = = 5 επιμέλεια : parmenides5

y + y = + =. Να λυθεί το σύστημα ( )( y) ( y, ) η / λύση (Χρήστος Ντάβας) Έστω τα διανύσματα a = (, ), b = ( y, y) Παρατηρούμε ότι a = b = a = b + y = ab = τότε έχουμε με τους προφανείς περιορισμούς το σύστημα + + = + y = ( )( + y) = + y = + + = ( ) + ( + ) = ( ) ( + ) + + + = + ( ) 4 + + 4= 0 ( + ) + 4 = 0 = 0ή = διότι το τριώνυμο + 4 έχει αρνητική διακρίνουσα Αν = 0 τότε + + 0 y = = = 0 οπότε ( y, ) = ( 0,), δεκτή Αν = τότε + 0 y = = = = 0 ( ) οπότε ( y, ) = (, 0), απορρίπτεται διότι ( )( y) ( )( ) + = 0 = 0 επιμέλεια : parmenides5 4

y + y = + =. Να λυθεί το σύστημα ( )( y) ( y, ) η / λύση (Θανάσης Κοντογεώργης) π π Θέτω = ηµω, y = ηµφ με ωφ,,. Αντικαθιστώντας στην y + y = έχουμε ηµω ηµ φ ηµφ ηµ ω ηµωσυνφ ηµφσυνω ηµ ω φ + = + = ( + ) = π π π π π ω+ φ = κπ + ω+ φ = διότι φ, φ = ω π οπότε ηµφ ηµ π = ω = συνω και συνφ συν = ω = ηµω Αντικαθιστώντας στην ( )( y) + = έχουμε ( ηµω)( + ηµφ) = ( ηµω)( + συνω) = συνω ηµω = + ηµωσυνω ( συνω ηµω) = ( + ηµωσυνω) ( συν ω + ηµω ηµωσυνω = + ηµ ωσυν ω + ηµωσυνω ηµωσυνω = + ηµωσυνω + ηµωσυνω ( ( ) θέτω A = ηµωσυνω οπότε A= + A A A = 4A A= 4 ή A = 0 Για A = 4 έχουμε ηµωσυνω = 4 ηµωσυνω = 8 ηµ ω = 8 αδύνατη διότι ηµ ω Για A = 0 έχουμε ηµωσυνω = 0 ηµω = 0 ή συνω = 0 --- Αν ηµω = 0 ω = 0 οπότε ( y, ) = ( ηµω, ηµφ) = ( ηµω, συνω) = ( ηµ 0, συν 0) = (0,) δεκτή π --- Αν συνω = 0 ω =± ± π ± π οπότε ( y, ) = ( ηµω, ηµφ) = ( ηµω, συνω) = ηµ, συν = ( ±,0) που απορρίπτονται επιμέλεια : parmenides5 5

y + y = + =. Να λυθεί το σύστημα ( )( y) ( y, ) η / λύση (Σωτήρης Λουρίδας) Κατ' αρχάς θεωρούμε ότι το σύστημα έχει μία τουλάχιστον λύση. Από την πρώτη από τις εξισώσεις του συστήματος και με εφαρμογή της απλής μορφής B-C-S, ( a b )( c d ) ( ac bd ) + + + παίρνουμε άμεσα: ( + y )( y ) 0 ( + y ) + y = (*) 0. Από την δεύτερη από τις εξισώσεις του συστήματος παίρνουμε άμεσα: = + ( + 4) = 0 = 0 ( ) ή y = ( ) y y y y y 4. Από τις σχέσεις (*),() παίρνουμε σαν σύνολο πιθανών λύσεων το σύνολο {( ) ( ) ( ) ( )} 0,,0,,,0,,0. Από αυτές με απλές επαληθεύσεις δεχόμαστε την (0,). Οι σχέσεις (*),() οδηγούν άμεσα σε μη αποδεκτή λύση στο σύνολο επιμέλεια : parmenides5 6

. Να λυθεί το σύστημα y w= 0 w t = 0 t + y = 0 y + wt = 0 (, ywt,, ) η / λύση (Φωτεινή Καλδή) y w = 0 (), w t = 0 () Έστω z = + yi, z = w+ ti,, y, w, t z = ( + yi) = yi + ( yi) = y + yi = ( y ) + ( y) i = w + ( t) i = w ti = w + ti = z z = ( w + ti) = w wti + ( ti) = w t + wti = ( w t ) + ( wt) i = + ( y) i = yi = + yi = z οπότε z = z 4 z = ( z ) z = z z = 0 z = z ή z = Αν z = 0 τότε z = 0 + yi = 0+ 0i = y = 0 z = z = 0 z = 0 w + ti = 0+ 0i w = t = 0οπότε (, y, w, t ) = (0,0,0,0) Αν z = τότε + y = () z = z = z = w + t = (4) () + () = w+ () (4) w w + = + = (5) (5) 4 = w+ (w ) = w+ (4w 4w + ) = w+ επιμέλεια : parmenides5 7

+ = + = + + = 4 8w 8w w 0 ( w )(8w 8w ) 0 ( w )(w )(4w w ) 0 w = ή w = ή ---- Αν w = τότε 5 w = ± 4 (5) = = = = w y = w y = w w t = = = t = y = 0 t + y = 0 t + y = 0 t = 0 y + wt = 0 y + t = 0 οπότε (, y, w, t ) = (, 0,, 0) ---- Αν w = τότε (5) = w = = = = 4 y = 4 y w = t = = w= 4 w t = y = y = ± 4 t + y = 0 t+ y = 0 t = y t = y y wt 0 + = y+ t = 0 οπότε (, y, w, t) =,,, (, y, w, t ) =,,,, 4 4 4 4 ---- Αν 5 w = + τότε 4 (5) + 5 6 5 5 + 5 = w = = = = 4 6 4 4 επιμέλεια : parmenides5 8

+ 5 + 5 y = 4 4 y = w + 5 + 5 t = w t = 4 4 t + y = 0 + 5 y + wt = 0 t+ y = 0 4 + 5 y+ t = 0 4 ( S ) που είναι αδύνατο διότι περιέχει το σύστημα t+ ( 5 ) y = 0 y+ ( 5 ) t = 0 που έχει μοναδική λύση την μηδενική, η οποία δεν επαληθεύει το σύστημα ( S ) ---- Αν 5 w = τότε 4 (5) 5 6+ 5 + 5 + 5 = w = = = = 4 6 4 4 + 5 + 5 y = 4 4 y = w + 5 + 5 t = w t = 4 4 t + y = 0 + 5 y + wt = 0 t+ y = 0 4 + 5 y+ t = 0 4 ( S ) που είναι αδύνατο διότι περιέχει το σύστημα t+ ( 5 ) y = 0 y ( 5 + ) t = 0 που έχει μοναδική λύση την μηδενική, η οποία δεν επαληθεύει το σύστημα ( S ). επιμέλεια : parmenides5 9

4. Να λυθεί το σύστημα + y + z = y + yz + z + 0 0 0 + y + z = ( yz,, [ 0,] ) η / λύση (Θάνος Μάγκος) Είναι 0 ( )( y)( z) = ( + y + z) + y + yz + z yz = yz 0. Άρα ισχύει παντού ισότητα. Λόγω και της δεύτερης συνθήκης είναι φανερό ότι ( yz,, ) = ( 0,,) ή (, 0,) ή (,, 0 ) 5. Να λυθεί το σύστημα ( ) y y( y+ ) = z z( z+ ) = ( yz,, ) + = η / λύση (Δημήτρης Ιωάννου) ( ) ( ) ( ) + = y ( + ) + = y+ y y+ = z y( y+ ) + = z+ z z + = z( z+ ) + = + Με πρόσθεση αυτών κατά μέλη, έχουμε: ( + ) + yy ( + ) + zz ( + ) + = ( + ) + ( y+ ) + ( z+ ) ( + )( ) + ( y+ )( y ) + ( z+ )( z ) + = 0 y z y z + + = 0 = = = 0 η / λύση (Χρήστος Τσιφάκης) Αν προσθέσουμε απευθείας κατά μέλη έχουμε y y z z y z y z y z + + + + + = + + + + = 0 = = = 0. επιμέλεια : parmenides5 0

6. Να λυθεί το σύστημα ( )( 4) ( )( 4) ( )( 4) ( yz,, ) + + = y y+ y+ = z z+ z+ = η / λύση (Θανάσης Κοντογεώργης) Είναι + 5 + 4= + + = + 5 + 4= y y 5y 4 z z z. Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε + 5+ 4+ y + 5y+ 4+ z + 5z+ 4= + y+ z + + + y + y+ + z + z+ = 4 4 4 4 4 4 0 + + + + + = ( ) ( y ) ( z ) 0 + = y+ = z+ = 0 = y = z = επιμέλεια : parmenides5

7. Να λυθεί το σύστημα + y+ z+ t = 4 4 4 4 4 + y + z + t = 4 ( yzt,,, ) η / λύση (Δημήτρης Ιωάννου) Για τις τετράδες yzt,,, και,,,έχουμε : ( + y + z + t )( + + + ) ( + y+ z+ t) ( + y + z + t )4 6 Άρα: + y + z + t 4 () Για τις τετράδες, y, z, t και,,, έχουμε : ( + y + z + t )( + + + ) ( + y + z + t ) 4 4 ( + y + z + t ) 4 4 4 4 Άρα: + y + z + t 4 () Από τις (), () έχουμε ότι + y + z + t = 4 y z t = 8() Από υπόθεση, είναι 4 4 4 4 + y + z + t = 4 (4) 4 4 4 4 (4) + () + y + z + t y z t = 4 4 4 4 4 + + y y + + z z + + t t + = 0 Άρα ( ) + ( y ) + ( z ) + ( t ) = 0 Άρα = y = z = t = και δεδομένου ότι είναι από την υπόθεση + y+ z+ t = 4, έπεται ότι οι μόνες δεκτές τιμές είναι =, y =, z =, t = επιμέλεια : parmenides5

7. Να λυθεί το σύστημα + y+ z+ t = 4 4 4 4 4 + y + z + t = 4 ( yzt,,, ) η / λύση (Θανάσης Κοντογεώργης) Είναι 4 ( ) ( ) 4, + + = + + άρα ( ) ( ) ( y ) ( y y ) ( z ) ( z z ) ( t ) ( t t ) + + + + + + + + + + + = 4 4 4 4 = + y + z + t + 4( + y+ z+ t) + = 4 6 + = 0 () Όμως, κάθε όρος του αθροίσματος είναι της μορφής ( a+ ) ( a a+ ), άρα μη αρνητικός και γίνεται μηδέν αν και μόνο αν a =. οπότε από () έχουμε ότι = y = z = t =. επιμέλεια : parmenides5

8. Να λυθεί το σύστημα + y = + y + y = + y ( y, ) 0 0 04 04 4 4 η / λύση (Δημήτρης Ιωάννου) Έχουμε 0 0 04 0 4 ( + y ) = ( + y ) + y = + y () Aλλά έχουμε επίσης και: 04 04 4 4 + y = + y () 00 ()-() y ( y )( y ) = 0 y = 0 ή y = ή y = ή y = Αν y = 0, τότε βρίσκουμε ότι ( y, ) {(0,0),(,0),(,0)} Αν y =, τότε βρίσκουμε ότι ( y, ) {(0,0),(,),(, )} Αν y =, τότε βρίσκουμε ότι ( y, ) {(0,), (,), (,)} Αν τέλος y =, τότε ( y, ) {0, ), (, ), (, )} Από τα πιο πάνω συμπεραίνουμε ότι ( y, ) {(0,0),(,0),(,0),(,),(, ),(0,),(,), (0, ), (, )} Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι πιο πάνω λύσεις είναι δεκτές, αφού επαληθεύουν το δοσμένο σύστημα. επιμέλεια : parmenides5 4

9. Να λυθεί το σύστημα y+ z = + y + z = y + yz z = ( yz,, ) η / λύση (Θανάσης Κοντογεώργης) Είναι ( y + z) = ( y + z)( y + z) = y + z y + y yz + z yz + z = + y + z y + z yz = ( ) + ( y + z ) ( y z + yz) = + y z+ = + y z = ( y+ z) θέτω a= y+ z οπότε Αν a = y+ z = τότε --- για = 0 : + = 0 = ή a = a a a = + = οπότε = 0 ή = y z z z z + = 0+ = 0 =± --- για = : z z z z + = + = = =± = + y z = + y z y = z ---------- για z = y = z = ---------- για z = y = z = άρα έχουμε τις λύσεις (, y, z) = (,,), (, y, z) = (,, ) Αν y+ z = τότε y z = + = + = 0 τότε ± = οπότε απορρίπτεται. επιμέλεια : parmenides5 5

9. Να λυθεί το σύστημα y+ z = + y + z = y + yz z = ( yz,, ) η / λύση (Δημήτρης Ιωάννου) Έχουμε Eπίσης y z ( y z) yz + = + = () y z = () Kαι από την τρίτη εξίσωση του δοσμένου συστήματος λόγω της () έχουμε: ( y z) yz yz + = = + () Η () λόγω (),() γράφεται: ( ) ( ) ( ) 0 + + = + = ( )( ) = 0, οπότε = 0 ή = ή ± = που απορρίπτεται ---για = 0 : z z z + = 0+ = 0 =± ---για = : z z z z + = + = = =± = + y z = + y z y = z ----------για z = y = z = ----------για z = y = z = άρα έχουμε τις λύσεις (, y, z) = (,,), (, y, z) = (,, ) επιμέλεια : parmenides5 6

0. Να λυθεί το σύστημα + y+ z = 5 y + yz + z = + 7 ( yz,, ) η / λύση (Θάνος Μάγκος) Η δεύτερη γράφεται yz + ( y + z) = + 7 και λόγω της πρώτης έχουμε yz + (5 ) = + 7 yz = 4 + 7. Από την ανισότητα ( ) 4 y + z yz προκύπτει (5 ) 4( 4+ 7) ( ) 0 =. Τότε, εύκολα βρίσκουμε y = z =. Λύση είναι η τριάδα ( yz,, ) = (,,). η / λύση (Δημήτρης Ιωάννου) Από y z y z y z y yz z + + = 5 ( + + ) = 5 + + + ( + + ) = 5 y z y z + + + ( + 7) = 5 + + + = () Aπό + y+ z = 5 4+ 4y+ 4z = 0 () ()-() + y + z + 4 4y 4z = 9 ( + ) + ( y 4y+ 4) + ( z 4z+ 4) = 0 ( ) + ( y ) + ( z ) = 0 =, y =, z =, τιμές που επαληθεύουν το σύστημα και άρα είναι δεκτές. η / λύση (Σωτήρης Λουρίδας) Εύκολα παίρνουμε ώστε η εξίσωση ( ) y z yz + = 5, = 4 + 7, απαιτώντας την ύπαρξη πραγματικού, t t 5 + 4 + 7= 0 να έχει πραγματικές λύσεις ως προς t. Άρα η διακρίνουσα της θα πρέπει να είναι θετική ή μηδέν δηλαδή ( ) που άμεσα μας δίνει y = z = 0 =, επιμέλεια : parmenides5 7

5 yz = 9. Να λυθεί το σύστημα z ( + 5) = 5 yz,, ( 0, + ) yz ( ) η / λύση (Θάνος Μάγκος) Από ΑΜ-ΓΜ είναι 5 = z + 5 + y z 5 ( yz) = 5. Άρα ισχύει παντού ισότητα, οπότε z = 5 z = 5 και Με αντικατάσταση στην 5 yz = βρίσκουμε 9 = y =. 5= y z = y. η / λύση (Θωμάς Ραϊκόφτσαλης) Αντικαθιστώντας στη πρώτη εξίσωση όπου 5 το 9yz έχουμε ( ) z> 0 :y 9yz + z = 9yz zy 9 yz + z = 9yz zy 9 y + = 9y y y y y + = + + = ( ) y y y y ( ) ( ) y y y + + = ή ( ) y + + = 0 y που επειδή yzθετικοί,, δεν μπορεί να ισχύει, ή ( ) y y = y = = = y 9y = 9 7 = = = και τελικά = y y = και z = 5. επιμέλεια : parmenides5 8

5 yz = 9. Να λυθεί το σύστημα z ( + 5) = 5 yz,, ( 0, + ) yz ( ) η / λύση (Παναγιώτης Γιαννόπουλος) ( z 5) 5 + = zy () 9yz = 5 () Αντικαθιστώντας την () στην () παίρνουμε z> 0 ( z + 9 yz) = 9yz zy (+ 9 yz) = 9y y 9 y + ( 9 y) + y = 0 () Απαιτούμε η διακρίνουσα Δ της () να είναι μη αρνητική, δηλαδή ( 9 y) 4 9 y y 0 08y + 8y 8y+ 0 (y ) (y ) 0 y ή Για y = η () δίνει y = = οπότε με αντικατάσταση στην () έχουμε z = 5 Για 0 < y το γινόμενο των ριζών της () είναι y, που είναι θετικό ενώ το άθροισμα των ριζών είναι 9 y 9y που είναι αρνητικό άρα οι ρίζες της είναι αρνητικές, οπότε απορρίπτονται γιατί πρέπει y > 0 οπότε ( yz,, ) =,5 επιμέλεια : parmenides5 9

. Να λυθεί το σύστημα = y+ y = z + z = + ( yz,, ) η / λύση (Θάνος Μάγκος) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει λύση ( yz,, ) για την οποία δεν ισχύει = y = z. Αν π.χ. > y, από τις πρώτες δύο εξισώσεις προκύπτει y > z, οπότε από τη η και την η εξίσωση βρίσκουμε z >, άτοπο. Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο θεωρώντας οποιαδήποτε άλλη ανισοτική σχέση. Άρα = y = z, οπότε = + = 0 =, αφού 0. Πράγματι, η τριάδα (,,) ικανοποιεί το σύστημα. επιμέλεια : parmenides5 40

. Να λυθεί το σύστημα = y+ y = z + z = + ( yz,, ) η / λύση (parmenides5) θέτω f( ) = +,, +, η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση = f( y) το σύστημα γράφεται στην μορφή (S) y = f( z) z = f( ) Έστω = min{ yz,, }. Τότε έχουμε τις περιπτώσεις y z ή z y. f Αν y z f( ) f( y) f( z) αλλά οπότε ( S ) y z f( y) f( z) f( ) ( ) f( ) f( y) f( z) f( ) f( ) = f( y) = f( z) S = y = z άρα ( yz,, ) = ( aaa,, ) όπου a ρίζα της εξίσωσης f( ) = Για, + είναι f( ) = + = + = = δεκτή ή = απορρίπτεται διότι = + 0 τελικά ( yz,, ) = (,,) f Αν z y f( ) f( z) f( y) αλλά οπότε ( S ) z y f( y) f( ) f( z) ( ) f( ) f( z) f( y) f( ) f( ) = f( y) = f( z) S = y = z οπότε ομοίως βρίσκουμε οτι ( yz,, ) = (,,) επιμέλεια : parmenides5 4

. Να λυθεί το σύστημα = y+ y = z + z = + ( yz,, ) η / λύση (parmenides5) Λήμμα: Σε γνησίως αύξουσα συνάρτηση, οι εξισώσεις f( f( f( ))) =, f( ) = είναι ισοδύναμες. θέτω f( ) = +,, +, η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση = f( y) το σύστημα γράφεται στην μορφή (S) y = f( z) z = f( ) f( f( f( a))) = f( f( b)) = f( c) = a Έστω ( abc,, ) λύση του συστήματος ( S ) τότε f( f( f( b))) = f( f( c)) = f( a) = b f( f( f( c))) = f( f( a)) = f( b) = c άρα οι αριθμοί abc,, είναι ρίζες της εξίσωσης f( f( f( ))) = οπότε λόγω του λήμματος, οι αριθμοί abc,, είναι ρίζες της εξίσωσης f( ) = f( ) = + = + = = γιατί 0, οπότε τελικά ( yz,, ) = (,,) απόδειξη λήμματος ευθύ: έστω d ρίζα της f( f( f( ))) = () με d < f( d) () f () f( f( f( d))) < f( d) f( f( d)) < d f( f( f( d))) < f( d) d < f( d),άτοπο διότι d < f( d) ομοίως προκύπτει άτοπο εαν d ρίζα της () με d > f( d) άρα για κάθε d ρίζα της () θα ισχύει f( d) αντίστροφο: έστω e ρίζα της f( ) άρα f( ) = f( f( f( ))) = = d άρα f( f( f( ))) = f( ) = = τότε f( f( f( e))) = f( f( e)) = f( e) = e, δηλαδή e ρίζα της () επιμέλεια : parmenides5 4

. Να λυθεί το σύστημα y + = + + y z + = + y + z + = + z + ( yz,, ( 0. + ) ) η / λύση (Κώστας Ζερβός) Είναι = + +. Έστω η f() t = t+ t, t, t συνεχής στο (,] και παραγωγίσιμη στο (, ) με f ( ) =. t Έχει μέγιστο το f () =. Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις έχουμε + + + + + = 9. + + y+ y+ z+ z+ Αλλά για κάθε > 0 είναι + > <, + επομένως η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα f + f + f = 9. + y+ z+ Αλλά f() t με την ισότητα να ισχύει μόνο για t =, άρα για να ισχύει η παραπάνω ισότητα θα πρέπει + = y+ = z+ =, από όπου έχουμε ( yz,, ) = (,,) που επαληθεύει. η / λύση (Σωτήρης Λουρίδας) Αν = = = + + + a a. Αρκεί λοιπόν να επιλύσουμε το σύστημα a b b c c a + = 0, + = 0, + = 0, επιμέλεια : parmenides5 4

που οδηγεί στην ισότητα a = b= c= δηλαδή στο = y = z =.. Να λυθεί το σύστημα y + = + + y z + = + y + z + = + z + ( yz,, ( 0. + ) ) η / λύση (parmenides5) θέτω f( ) = + με (0, + ) και g ( ) = με (0, + ) + το σύστημα γράφεται g ( ) = f( y) g( y) = f( z) gz ( ) = f( ) (S) η f( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, + ) διότι ( + ) f ( ) = < 0 + η g ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, + ) διότι g ( ) = < 0 ( + ) Έστω = min{ yz,, }. Τότε έχουμε τις περιπτώσεις y z ή z y. Αν g ( S) f y z g ( ) gy ( ) gz ( ) f( y) f( z) f( ) y z οπότε y z = y = z επιμέλεια : parmenides5 44

άρα ( yz,, ) = ( aaa,, ) όπου a ρίζα της εξίσωσης f( ) = g ( ) Eίναι + ( + ) ( + ) = = = = + + + + + + f( ) = g ( ) + = + = + + + + + + = 0 = 0 + + + = = = + = = δεκτή + + + άρα ( yz,, ) = (,,) Αν g ( S) f z y g ( ) gz ( ) gy ( ) f( y) f( ) f( z) y z οπότε z y z = y = z ομοίως προκύπτει οτι ( yz,, ) = (,,) επιμέλεια : parmenides5 45

4. Να λυθεί το σύστημα y ( ) z + = 5 y + = 5 z + y + z = z + ( yz,, ) η / λύση (Θάνος Μάγκος) Με πολλαπλασιασμό των πρώτων δύο εξισώσεων βρίσκουμε y y ( + )( + ) = 5, ενώ, από την τρίτη, έχουμε + y = z + y ( ). Άρα5 6 + 4 + 9 + 6 = + 6 + 6 + 6 6 = + = 5. Άρα ισχύει παντού ισότητα, οπότε 6 6. = = Άρα y = και z =. Προφανώς η τριάδα (,,) ικανοποιεί τις εξισώσεις του συστήματος. επιμέλεια : parmenides5 46

5. Να λυθεί το σύστημα 6 + = y+ z 5 + = y z+ 4 + = z + y ( yz,, ) η / λύση (Χρήστος Κυριαζής) Αρχικά πρέπει και αρκεί yz,, 0. Τώρα αν τα κάνω ομώνυμα έχω 6 + y + z = ( y + z ) 5 + y + z = y ( + z ) 4 + y + z = z ( + y ) Εξισώνοντας πρώτη με δεύτερη, δεύτερη με τρίτη, τρίτη με πρώτη εξίσωση, 9y 5yz + 4z = 0 έχω μετά από πράξεις: 9y + yz 8z = 0 9y 5yz + 4z = 0 Στη συνέχεια αφού όλες έχουν κοινό όρο το 9y τις αφαιρώ ανά ζεύγη και όλες δίνουν y =. Τότε γυρνάω στην τρίτη αρχική και αντικαθιστώ. Προκύπτει πως z = (εύκολα απορρίπτουμε την περίπτωση =. Αντικαθιστούμε τώρα στην πρώτη αρχική και λαμβάνουμε: + = + Μετά τις πράξεις και τις απλοποιήσεις πρoκύπτει =. Τότε y = και z =, λύση δεκτή αφού επαληθεύει τις αρχικές. επιμέλεια : parmenides5 47

6. Να λυθεί το σύστημα + y+ z = 4 y + yz + z = + y + z = 6 ( yz,, ) η / λύση (Κώστας Ζερβός) Από την η εξίσωση έχουμε + y+ z = 4 Αλλά ( y z) y z ( y yz z) + + = + + + + + (4 ) = 6 4 = ή 4 = = ή =. Για = έχουμε y+ z = και από τη η y + z + zy = yz = και λύνοντας βρίσκουμε ( yz,, ) = (,, ) ή ( yz,, ) = (,, ) που επαληθεύουν τις εξισώσεις. Για = έχουμε y+ z = 5 και από τη η y + z + zy = yz = 4 και λύνοντας βλέπουμε ότι είναι αδύνατο. επιμέλεια : parmenides5 48

7. Να λυθεί το σύστημα y + = 5 y + = 5 ( y, > 0) η / λύση (Χρήστος Κυριαζής) y y Από τις δοθείσες έχω = a a Αν θεωρήσουμε αρχικά τη συνάρτηση με τύπο: f( a) =, a> 0, αυτή είναι συνεχής,παραγωγίσιμη στο σύνολο ορισμού της και μάλιστα: a a a a a f ( a) = ln ln > 0, a > 0 αφού >, a > 0 > και επιπλέον ln > ln. Με γινόμενο κατά μέλη (όλα θετικά) καταλήγουμε στο παραπάνω συμπέρασμα. Επομένως είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Άρα θα είναι και ένα προς ένα. y y Έχω = f( ) = f( y) = y. Επομένως οι αρχικές δίνουν: + = 5. w w Θεωρώ τη συνάρτηση με τύπο gw ( ) = +, w> 0. Είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο σύνολο ορισμού της με ( ) w w g w = ln+ ln > 0, w > 0. Επομένως είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση άρα και ένα προς ένα. Τότε έχω g ( ) = g() =. Επομένως και y =. η / λύση (Μιχάλης Λάμπρου) y y y y y y y y Αν > y θα είχαμε = ( ) > ( ) = = 5 (5 ) = που y > y 0> 0άτοπο Όμοια δεν μπορεί y >, οπότε τελικά = y. Τότε έχουμε + = 5, άρα = μοναδική λύση γιατί η συνάρτηση f( ) = + 5είναι γνησίως αύξουσα στο.τελικά = y =. επιμέλεια : parmenides5 49

y 9y = z 9yz = 6 8. Να λυθεί το σύστημα y z = z ( yz,, ) η / λύση (Θανάσης Κοντογεώργης) π π θέτω = εφ A με A,0 0, οπότε από την πρώτη εξίσωση έχουμε εφ εφ A A A y A εφ A y A= y = y = y = εφa εφ εφ εφ από την δεύτερη εξίσωση έχουμε z εφ A εφ A εφ A A A z A= 6 z = 6 z = z = εφ4a εφ εφ εφ από την τρίτη εξίσωση έχουμε εφ 4A εφ 4A εφ 4A 4A 4A 4A= = = = εφ8a εφ εφ εφ kπ άρα εφ A= = εφ8a 8 A= A+ kπ A=, k Z 7 Για Για π kπ π k 0 < A< 0 < < 4 0 < 4 < 4 0 < k < 7 k {,,} 7 7 π π kπ k < k < 0 < < 0 4 < 4 < 4 0 7 < k < 0 k {,, } 7 7 οπότε κπ κπ εφ εφ 7 7 4κπ ( yz,, ) =,, εφ 7 με k ± {, ±, ± } επιμέλεια : parmenides5 50

y 9y = z z 8. Να λυθεί το σύστημα 9yz 6 y = 9yz = 6 y z = z ( yz,, ) η / λύση (Σωτήρης Λουρίδας) = 9 Από τις πρώτη και τρίτη εξισώσεις παίρνουμε y ( ) + + 9 + 9 =, και z = ( ) ή z ( ) με τις (),() να προέρχονται άμεσα από την δευτεροβάθμια ως προς z εξίσωση z + z = 0. Ας θεωρήσουμε + 9 = t > 0, τότε + 9 = t 9 = t 9 = t Από την δεύτερη εξίσωση του συστήματος και τις (), () έχουμε την εύρεση του t (άρα και του ) : ( + + 9 )( 9 ) 6( + + 9 ) + + 9 + t 9 = 6 = 6 9 6 ( 9 ) 9 ( + t)( t ) 6( + t) ( t ) 6( + t) ( t ) 6( + t) = 6 = 6 = 6 ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t + ) ( t ) 6 9 ( t ) 4( t ) 4( t)( t ) t 4 4t 4 4t 4 4( t t t ) = + + + = + 4 4 4 4 8 4 8 4 4 4 8 0 t = 0 η t 4t + 4t+ 8= 0 *. 4 t t + t + = t + t t 4 t t + t + t = και καταλήγουμε στην επίλυση των εξισώσεων ( ) Η t = 0 απορρίπτεται οπότε για την επίλυση της (*), χρησιμοποιούμε κατά τα γνωστά τον 4 μετασχηματισμό t = u+ και καταλήγουμε σε επίλυση εξίσωσης της μορφής Αυτή επίσης κατά τα γνωστά επιλύεται με τον προσδιορισμό ab, ώστε u + ku + = u a a u abu + ab( a + b) = u + ku + και μετά από την ισοδύναμη εξίσωση =, απλή u b b διωνυμική. Oπότε χρησιμοποιώντας την σχέση () προσδιορίζουμε τον y και από την σχέση () προσδιορίζουμε τον z.όμοια εργαζόμαστε και με βάση την ισχύ των σχέσεων (),(). 0. επιμέλεια : parmenides5 5

9. Να λυθεί το σύστημα + y+ z = + y + z = ( yz,, ) η / λύση (Θανάσης Κοντογεώργης) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα ( + y+ z) = + y + z + ( + y)( y+ z)( z+ ) το σύστημα είναι ισοδύναμο με το + y+ z =, ( + y)( y+ z)( z+ ) = 8. Θέτουμε + y = a, y+ z = b, z+ = c και το τελευταίο σύστημα γράφεται Από τους abc,, είτε είναι όλοι θετικοί είτε δύο αρνητικοί και ένας θετικός. a+ b+ c= 6, abc = 8. Αν συμβαίνει το πρώτο, τότε αν κανένας δεν ισούται με τότε 6= a+ b+ c + + = 6 οπότε a = b= c= που δίνει τη λύση ( yz,, ) = (,,), ενώ αν κάποιος από αυτός, πχ. ο a, ισούται με τότε b + c = 5, bc = 8 που είναι αδύνατο. Για τη δεύτερη περίπτωση, υποθέτουμε ότι ab<, 0 οπότε έχουμε kl(6 + k + l) = 8 όπου k = a> 0, l = b> 0. Επειδή 6+ k+ l 8 θα είναι 6+ k+ l = 8 που σημαίνει k = l = και άρα ( abc,, ) = (,, 8) που δίνει τη λύση ( yz,, ) = (4, 5, 4). Συνοψίζοντας, λύσεις είναι οι τριάδες (,,), (4, 5, 4), (4, 4, 5), ( 5, 4, 4). η / λύση (Σπύρος Φίλιππας) Έχουμε + y+ z = + y + z + + y y+ z z+ ( ) ( )( )( ) 7 = + ( + y)( y+ z)( z+ ) ( )( y)( z) = 8 () Το 8 μπορεί να έχει τους ακόλουθους παράγοντες αν γραφεί ως γινόμενο τριων παραγόντων:,, 4,, 4,, 4,, 4,,,,,,8,, 8,,8 Όμως σύμφωνα με την () θα πρέπει το άθροισμα των τριάδων να είναι 6, άρα εξετάζουμε τις τριάδες,,,, 8 από τις οποίες δεκτές και οι δύο. Δίνουν τις λύσεις ( yz,, ) = (,,) ή (4, 4, 5) και τα κυκλικά αυτών. επιμέλεια : parmenides5 5

0. Να λυθεί το σύστημα ( ) ( ) ( ) + y z z+ y y+ z + y = + = + z y+ z + y z+ ( yz,, ( 0, + ) ) η / λύση (Θανάσης Κοντογεώργης) Έστω z= ma{ yz,, }. Τότε + y z + z + y + = + + + + + y + z + y + yz + y z z yz y y z z z yz y y + z y + yz + z + z και = z + z y + + y z + z y + y z y + z + y + yz + y οπότε, από την ισότητα, = y = z. επιμέλεια : parmenides5 5

. Να λυθεί το σύστημα y y = y = ( y, ) 6 7 8 4 7 4 η / λύση (parmenides5) θέτω y = k οπότε το σύστημα γίνεται 6k 7k = 8 k (6 7 k ) = 8 4 7k = 4 (4 7 k) = 4 εφόσον (4 7 k ) = 4 0 διαιρούμε κατά μέλη τις τελευταίες εξισώσεις κι έχουμε k 4 7k (6 7 k ) 6k 7k 8 54k 7k 54k 6k 8 0 = = + = () θέτω w= k οπότε η () γίνεται w w w w w w w 6 + 8 = 0 ( + )( 8 + 4) = 0 = ή w = 4± Αν w w= k = = οπότε 4 4 4 4 (4 7 k ) = 4 = = ( ) = = = 4 7 4 7k 4 4 8 4 4 = = = = = και y = k = = 4 4 Αν w 4+ w= 4+ k = = οπότε 4 4 = = = = = 4 7k 4( + ) (7 + 4 ) 0 + 4(5 + ) 4 7 επιμέλεια : parmenides5 54

5 5 5 = = = = 4(5 + ) 4( 5 ) 4(7 5) 8 5 5 = = 8 και y = k = = 4+ 5 (+ ) 5 Αν w 4 w= 4 k = = οπότε 4 4 = = = = = 4 7 4 7k 4( ) (7 4 ) 0 4( 5) + 5 + 5 + 5 = = = = 4( 5) 4( 5 ) 4(7 5) 8 + + = = 8 5 5 και y = k = = 4 + 5 ( ) + 5 οπότε το αρχικό σύστημα έχει λύσεις τις 4 4 (, y) =, 5 (+ ) 5 (, y) =, + 5 ( ) + 5 (, y) =, επιμέλεια : parmenides5 55

. Να λυθεί το σύστημα y y = y = ( y, ) 6 7 8 4 7 4 η / λύση (Θανάσης Κοντογεώργης) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 54 7 + yi = + yi + yi + yi = + i + y + y i π π = (4 7 y ) + (6 y 7 y ) i = 4 + 8i = 8 + 8i = 8 συν + iηµ 4 4 π π κπ + κπ συν 4 + ηµ 4 + yi = zk = 8 + i για k = 0,, οπότε π π 4 4 6 π π z0 = συν + iηµ = συν + iηµ π π π + 4 π + 4 9π 9π συν ηµ συν ηµ 6 6 z = + i = + i 6 6 π i π π συν ηµ συν π iηµ π π = + = + 4 4 4 4 ( ) π π = συν + iηµ = + i = + i 4 4 6 6 6 π π 4π + 4 6 4 π + 4 6 7π 7π z = συν + iηµ = συν + iηµ 6 6 π π i π π συν ηµ ηµ π iσυν π = + = + επιμέλεια : parmenides5 56

π π συν συν π είναι 6 ηµ = = = = π π + συν + συν + π και 6 + συν = = = = 6 + 6 οπότε z0 = + i = ( + + i ) z ( i ) 6 = + ( ) + z = + i = + i + 6 6 κι αφού + yi = zk για k = 0,, έχουμε = + 6 6 ( y, ), ή ή 6 6 ( y, ) =, 6 6 ( y, ) =, + επιμέλεια : parmenides5 57

+ y + z =. Να λυθεί το σύστημα ( )( y)( z) = ( + )( + y)( + z) yz,, [ 0, + ) ( ) η / λύση (Θανάσης Κοντογεώργης) Από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε yz + ( + y + z) = + y + yz + z ή yz = y + yz + z. Αν yz 0 τότε + + =. y z Όμως, + + 9 = 7, οπότε δεν έχουμε λύσεις. y z + y+ z Αν yz = 0 τότε, αν πχ z = 0 έχουμε y = 0 οπότε = 0, y = ή y = 0, =. Έτσι, έχουμε τις λύσεις ( yz,, ) = 0,0,, 0,,0,,0,0 αφού επαληθεύουν. η / λύση (Θάνος Μάγκος) Η δεύτερη συνθήκη, αφού γίνουν οι πράξεις και λόγω της πρώτης συνθήκης, γράφεται y + yz + z = yz ( + y + z)( y + yz + z) = yz ( + y + z)( y + yz + z) yz = 0 ( + y)( y + z)( z + ) = 0. Τότε έχουμε τις λύσεις,0,0, 0,,0, 0,0,. επιμέλεια : parmenides5 58

. Να λυθεί το σύστημα + + = ( yz,, ) 5 y y + 5y+ = z z + 5z+ = η / λύση (Δημήτρης Ιωάννου) Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο πρώτες εξισώσεις, έχουμε ( y)( + y+ 5) = y z () Επίσης αφαιρώντας κατά μέλη την τρίτη από την δεύτερη, έχουμε ( y z)( y+ z+ 5) = z () Ας υποθέσουμε τώρα ότι κάποιο από τα yz,, είναι θετικός. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω ότι > 0 Tότε από την πρώτη εξίσωση της εκφώνησης, έπεται ότι y > 0 και από την δεύτερη έπεται ότι z > 0 Άρα θα είναι + y+ z > 0, () Με πρόσθεση κατά μέλη όλων των εξισώσεων που δίνονται, έχουμε y z y z + + + 4( + + ) + 9 = 0 Θεωρούμε τις τριάδες των αριθμών: yz,, και,, Από την ανισότητα B-C-S έχουμε ( + y + z )(+ + ) ( + y+ z). Άρα ( + y+ z) ( + y+ z) + y + z + y + z + 4( + y+ z) + 9 + 4( + y+ z) + 9 επιμέλεια : parmenides5 59

Άρα ( + y+ z) 0 + 4( + y+ z) + 9 ( + y+ z) + ( + y+ z) + 7 0 Από εδώ, έπεται ότι 9 + y+ z, το οποίο είναι αδύνατον λόγω της () Άρα θα είναι υποχρεωτικά όλοι οι αριθμοί yz,, μικρότεροι από το μηδέν. Το ίσον προφανώς αποκλείεται διότι αν πχ ήταν = 0, τότε y = > 0, που είναι άτοπο. Ας υποθέσουμε τώρα ότι είναι < y< z < 0 (όμοια εργαζόμαστε και αν < z < y< 0 κλπ) Τότε από την () προκύπτει ότι + y+ 5> 0 και από την () ότι y+ z+ 5< 0 Άρα + y+ 5> 0 y z 5> 0 και με πρόσθεση κατά μέλη, έχουμε ότι: z > 0, που είναι άτοπο αφού έχουμε < y< z < 0 Aπό την παραπάνω διαπραγμάτευση, έπεται ότι δύο τουλάχιστον από τους yz,, θα είναι ίσοι και έστω πχ ότι Tότε από την () έπεται ότι y = y. Όμοια εργαζόμαστε και όταν = z ή όταν y = z. = z και άρα θα είναι = y = z Τότε η πρώτη εξίσωση του αρχικού συστήματος, δίνει + 5 + = + 4 + = 0, από όπου προκύπτει ότι = ή = Συνεπώς οι λύσεις που ζητάμε είναι ( yz,, ) = (,, ) ή ( yz,, ) = (,, ) επιμέλεια : parmenides5 60

. Να λυθεί το σύστημα + + = ( yz,, ) 5 y y + 5y+ = z z + 5z+ = η / λύση (parmenides5) + 5+ = y + 5+ 6 = y+ ( + )( + ) = y+ y + 5y+ = z y + 5y+ 6 = z+ ( y+ )( y+ ) = z+ ( S) z 5z z 5z 6 + + = + + = + ( z+ )( z+ ) = + Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη: ( + )( + )( y+ )( y+ )( z+ )( z+ ) = ( + )( y+ )( z+ ) + = 0 ή y + = 0 ή z + = 0 ή ( + )( y+ )( z+ ) = Από την μορφή που έχει το σύστημα ( S ) φαίνεται οτι αν ένα από τα +, y+, z+ είναι ίσο με μηδέν τότε θα είναι και τα τρία ίσα με μηδέν, οπότε αν + = 0 ή y + = 0 ή z + = 0 τότε θα ισχύει + = y+ = z+ = 0 = y = z =, δεκτή λύση αφού επαληθεύει Αν ( + )( y+ )( z+ ) = () + 5+ = y + 4+ + = y + ( + ) = y + τότε y + 5y+ = z y + 4y+ + = z y+ ( y+ ) = z y+ z 5z z 4z z + + = + + + = + ( z+ ) = z+ Προσθέτοντας αυτές κατά μέλη έχουμε ( + ) + ( y+ ) + ( z+ ) = () ( S ) θέτω a = + b = y + οπότε από (),() έχουμε c = z + a + b + c = abc = a + b + c από ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε = = a b c = ( abc) = = κι επειδή ισχύει η ισότητα, θα ισχύει a = b = c = a = y + = y + a = b = c = από το ( S ) έχουμε b = z y+ = z y+ = y = z b z = + = z+ οπότε αρκεί να λύσουμε την ( + ) = + =± + = ή + = = ή = οπότε έχουμε και τις λύσεις ( yz,, ) = (,, ) ή (,, ) δεκτές εφόσον επαληθεύουν. επιμέλεια : parmenides5 6

4. Να λυθεί το σύστημα = = = 4 8y y 4y 8z z 4z 8 ( yz,, ) η / λύση (Κώστας Ζερβός) Αν υποθέσουμε ότι > y (όμοια αν < y ), τότε: y 4 8y 4y 8z y z > + > + + >. Άρα y z z z > + > > > 4+ 8y > 4z+ 8 y > + z > z y > z y z 4y 8z 4z 8 y z > + > + + >. Άρα = + > y+ z > άτοπο. Επομένως πρέπει = y = z και έχουμε τελικά την εξίσωση 4 = 8 = 0 ή = ή =. Επομένως ( yz,, ) = (0,0,0) ή ( yz,, ) = (,, ) ή ( yz,, ) = (,, ) που επαληθεύουν το σύστημα. επιμέλεια : parmenides5 6

4. Να λυθεί το σύστημα = 4 8y y 4y = 8z z 4z = 8 ( yz,, ) η / λύση (parmenides5) Θέτω = +. η συνάρτηση f( ) είναι γνησίως αύξουσα στο f( ) 4, Το σύστημα γράφεται 4+ 8= 8y+ 8 + 4= 8y+ 8 f( ) = 8( y+ ) y 4y+ 8y = 8z+ 8y y + 4y = 8z+ 8 y f( y) = 8( z+ y) z 4z 8z 8 8z z 4z 8 8 z + = + + = + f( z) = 8( + z) Έστω = min{ yz,, }. Τότε έχουμε τις περιπτώσεις y z ή z y. f Αν y z f( ) f( y) f( z) 8( y+ ) 8( z+ y) 8( + z) y+ z+ y + z z+ y + z y κι επειδή y θα ισχύει y = οπότε f( ) = f( y) 8( y+ ) = 8( z+ y) y+ = z+ y = z άρα = y = z y= 4= 8y 4= 8 = ( ) = 0 = 0 ή =± =± άρα το σύστημα έχει λύσεις τις (, y, z ) = (0,0,0), (, y, z ) = (,, ),(, y, z ) = (,, ) f Αν z y f( ) f( z) f( y) 8( y+ ) 8( + z) 8( z+ y) y+ + z z+ y y+ + z y z κι επειδή z y θα ισχύει y = z οπότε f( y) = f( z) 8( z+ y) = 8( + z) z+ y = + z y = άρα = y = z οπότε πάλι προκύπτουν οι ίδιες τρεις λύσεις. επιμέλεια : parmenides5 6

5. Να λυθεί το σύστημα = + y+ y y z = + 4 + 6 z z = 9 + ( yz,, ) η / λύση (Θανάσης Κοντογεώργης) Γράφουμε το σύστημα ως (S) ( )( + + ) = ( y+ ) ( y+ )( y y+ 5) = 4( z+ 4) ( z+ 4)( z 4z+ 7) = ( ) Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη οπότε ( y+ )( z+ 4)( )( + + )( y y+ 5)( z 4z+ 7) = 4( y+ )( z+ 4)( ) ( y+ )( z+ 4)( ) = 0 ή ( + + )( y y+ 5)( z 4z+ 7) = 4 Αλλά + + = + + + = ( + ) + με το ίσον να ισχύει όταν = y y+ 5= y y+ + 4 = ( y ) + 4 4 με το ίσον να ισχύει όταν y = z 4z+ 7 = z 4z+ 4 + = ( z ) + με το ίσον να ισχύει όταν z = πολλαπλασιάζοντας τις παραπάνω ανισότητες κατά μέλη έχουμε πως + + y y+ z z+ με το ίσον να ισχύει όταν ( yz,, ) = (,, ) ( )( 5)( 4 7) 4 άρα + + y y+ z z+ = yz = ( )( 5)( 4 7) 4 (,, ) (,, ) που απορρίπτεται γιατί δεν επαληθεύει το αρχικό σύστημα oπότε ( y+ )( z+ 4)( ) = 0 αλλά λόγω του ( S ) όταν ένα από τα ( y+ ),( z+ 4),( ) είναι μηδέν, τότε θα είναι και τα τρία μηδέν οπότε y+ = z+ 4 = = 0 ( yz,, ) = (,, 4) επιμέλεια : parmenides5 64

6. Να λυθεί το σύστημα + y+ z = 0 + y + z = 0 7 7 7 + y + z = 50 ( yz,, ) λήμμα Αν + y+ z = 0 με yz,, τότε ισχύουν + y + z + y + z + y + z 7 5 7 7 7 5 5 5 η / λύση (Σωτήρης Λουρίδας) = () και 5( y z )( y z ) 6( 5 y 5 z 5 ) + + + + = + + () Αν θεωρήσουμε πολυώνυμο τρίτου βαθμού με ρίζες τα yz,, αυτό θα είναι της μορφής v + kv + = 0 με y + yz + z = k, yz =, οπότε από το παραπάνω λήμμα έχουμε: 5 5 5 50 + y + z 5 5 5 () = 0 + y + z = 50 7 5 οπότε αντικαθιστώντας στην () έχουμε 5 + y + z 0 = 6 50 50( + y + z ) = 00 + y + z = 6 ( ) + y+ z = 0 () Συνδυάζοντας τα παραπάνω αρκεί να επιλύσουμε τελικά το σύστημα + y + z = 0 (4) + y + z = 6 () 5 () y + z = ( y + z) = ( ) y + z + yz = 0 + yz = yz = 5 (6) (4) () y+ z = ( y+ z) = ( ) y + z + yz( y+ z) = οπότε λόγω των (),(5),(6) έχουμε + = + = + = 6 (5 )( ) 6 5 5 6 0 + = + + = = ή = ± 5 0 ( )( ) 0 Επειδή το σύστημα είναι συμμετρικό ως προς κάθε μεταβλητή, οι τιμές που βρήκαμε για το αντιστοιχούν και στις τιμές για τις άλλες μεταβλητές yz,. Αναζητούμε τις τριάδες αριθμών (όχι απαραίτητα διαφορετικών) από το σύνολο {, +, } που ικανοποιούν το δοθέν σύστημα. Με αντικατάσταση βρίσκουμε πως λύσεις είναι οι όλες οι τριάδες με διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς από το παραπάνω σύνολο, δηλαδή οι επιμέλεια : parmenides5 65

(, y, z ) = (, +, ) (, y, z ) = (,, + ) (, y, z ) = ( +,, ) ( 4, y4, z 4) = ( +,,) ( 5, y5, z 5) = (,, + ) ( 6, y6, z 6) = (, +,) λήμμα Αν a+ b+ c= 0 με abc,, τότε ισχύουν a + b + c a + b + c a + b + c 7 5 7 7 7 5 5 5 απόδειξη = () και 5( a b c )( a b c ) 6( a 5 b 5 c 5 ) Τα abc,, θεωρούμε, ότι είναι οι ρίζες της εξίσωσης s = a + b + c, p = ab + bc + ca, q = abc. Εν προκειμένω, τα abc,, είναι οι ρίζες της εξίσωσης Είναι άρα a = q pa () a = ( q pa) = q p( a + b + c) = q = abc Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της () με a προκύπτει 4 a = q ( a + b + c ) p a = p, αφού Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της () με + + + + = + + () s p q + = 0, όπου = q p. 4 a = qa pa, άρα a + b + c = ab + bc + ca = p a, οπότε είναι 5 a = p a + q a = p q+ q p = pq Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της () με απόδειξη λήμματος (Θάνος Μάγκος) ( ) 5. a 4, οπότε 7 5 4 a = p a + q a = p pq + q p = p q ( 5 ) 7. ( ). 5 a = pa + qa, άρα 7 5 a = pa + qa 4, άρα Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, δίνονται άμεσα οι ζητούμενες αποδείξεις. επιμέλεια : parmenides5 66

6. Να λυθεί το σύστημα + y+ z = 0 + y + z = 0 7 7 7 + y + z = 50 ( yz,, ) η / λύση (Παύλος Μαραγκουδάκης) Θέτουμε S = n + y n + z n. n Είναι y z yz 0 yz = + + = + οπότε = 5 + yz. Άρα n+ n+ n+ 5 yz = + και ομοίως n+ n+ n+ y 5y y z = + και n+ n+ n+ z = 5 z + yz. Προσθέτουμε και προκύπτει Sn+ = 5 Sn+ + yzsn. Είναι S = 0, S = 0 και από την ταυτότητα του Euler S = yz. Για n = βρίσκουμε S4 = 5S = 50. Για n = βρίσκουμε S5 = 5 yz. Για n = 4 βρίσκουμε S7 = 75 yz. Όμως S 7 = 50 οπότε yz =. Επιπλέον + y+ z = 0 και y + yz + zz = 5. Οι yz,, είναι οι λύσεις της εξίσωσης t 5t+ = 0. Η τελευταία έχει λύση το οπότε εύκολα { yz,, } = {, +, }. επιμέλεια : parmenides5 67

7. Να λυθεί το σύστημα = y y = ( y, ) η / λύση (Θάνος Μάγκος) Προφανώς είναι y>, 0. Είναι και =. y y Διακρίνοντας περιπτώσεις > yy, > καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα = y. Mένει να λυθεί η εξίσωση =. Αυτή έχει τις προφανείς λύσεις =, = και άλλη δεν υπάρχει, αφού ( ) = (ln ) > 0. Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι οι (,),(, ). επιμέλεια : parmenides5 68

7. Να λυθεί το σύστημα = y y = ( y, ) η / λύση (Ευάγγελος Παπαπέτρος) Έστω ( y, ) ( 0, + ) ( 0, + ) λύση του συστήματος. Τότε, θα ισχύει ότι y = yκαι = και άρα = log y = + log y = + log y (). y Η συνάρτηση f : με τύπο f() t t = είναι γνησίως αύξουσα, άρα και αντιστρέψιμη, στο πεδίο ορισμού της με σύνολο τιμών το ( 0, + ). Εύκολα βρίσκουμε ότι ( ) = + log, > 0. f t tt Σύμφωνα με τη σχέση (), το y είναι λύση της εξίσωσης f() t = f (), t t > 0. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, + ), η εξίσωση f() t = f (), t t > 0ισοδυναμεί με την f() t = tt, > 0. t Αρκεί να λυθεί η εξίσωση =. t Αυτή έχει τις προφανείς λύσεις t =, t =, οι οποίες είναι και μοναδικές αφού = > t t ( t ) (ln ) 0. Άρα y {, } y = = = = = 0 0 y = = = = =. Παρατηρούμε ότι τα ζεύγη ( y, ) = (,) και ( y, ) = (, ) ικανοποιούν το σύστημα και άρα είναι οι μοναδικές λύσεις αυτού. επιμέλεια : parmenides5 69

y 6 + = + y+ + + 4 y+ = 0+ y+ 8. Να λυθεί το σύστημα ( ) ( ) ( y, [ 0, + ) ) η / λύση (Κώστας Ζερβός) y + 6+ (+ ) + + y y y + + + + + + + + + = = = = y y y y + + + + y+ y+ + + + y+ = = + y+ Έστω η συνάρτηση f( ) =,. Η f είναι συνεχής στο [, + ) και παραγωγίσιμη με ln f ( ) = < 0 για κάθε. Άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ), έτσι αν, y [0, + ), τότε + και + y+ >.. Άρα f + + y+ = f(+ ) = f( + y+ ) + = + y+ y = () + + y+ Έτσι η η εξίσωση γράφεται ( ) ( ) 4 0 ( ) ( ) 4 + + + = + + + + = ( ) 4 0 ( ) 4 0 0 + + = + + = = ή ( + ) + 4 = 0 Στη η θέτουμε = t και γίνεται 4 tt ( + ) + 4t = 0 t + t + t + 5t = 0, από όπου λύνοντας βρίσκουμεt = ή Για = 0, έχουμε y = που απορρίπτεται. t = = ή = = αφού > 0 Για =, έχουμε y = 0, άρα ( y=, ) (, 0) που επαληθεύει. επιμέλεια : parmenides5 70

y 6 + = + y+ + + 4 y+ = 0+ y+ 8. Να λυθεί το σύστημα ( ) ( ) ( y, [ 0, + ) ) η / λύση (Θανάσης Τασούλας) Θεωρούμε την ( ) y f y = ( + y+ ) 6 με y, 0 Είναι ( ) y f y = ( + y+ ) < 0 για y, 0, άρα f γνησίως φθίνουσα και αφού f( ) = 0, 0 άρα f f( y) = f( ) y =. y = + + 4 y+ = 0+ y+ οπότε το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με το ( ) ( ) ( y, [ 0, + ) ) Μετά συνεχίζουμε όπως στην η λύση. επιμέλεια : parmenides5 7

9. Να λυθεί το σύστημα + + + + + = + y + z = 0 ( yz,, ) 6 y 6y z 6z 609 η / λύση (Βαγγέλης Μουρούκος) Από την ανισότητα τετραγωνικού-αριθμητικού μέσου έχουμε ότι: + y + y 6 + y + y, με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν = y. 9 9 6 6 οπότε y z 67 Επομένως, y ( y) ( y z) 609 = 6 + + = + + = 609, cyc cyc = = =. η / λύση (Κώστας Ζερβός) Έστω τα διανύσματα a = ( 6, y), b = ( 6 y, z) και c = ( 6, z ) Τότε a + b + c = 6 + y + 6y + z + 6z + = 609. a+ b + c = 6( + y+ z), ( + y+ z) = 0 6,0 6 Επίσης ( ) ( ) Άρα a+ b + c = 0 6 + 0 = 9 0 = 609. Άρα a + b + c = a+ b + c. Αλλά a + b + c a+ b + c a+ b + c με τις ισότητες να ισχύουν όταν a b και a + b c, άρα όταν a b c... Αυτό σημαίνει yz,, ομόσημοι και Από τις δύο πρώτες έχουμε z = y 6 y 6 y 6y z = = = 0 άρα yz = 6y z 6z 6z y = z z( y) = ( y )( y+ ) ( y )( + y+ z) = 0 0( y ) = 0 y =. και από την τρίτη = z = z. Τότε = 0 = 67, άρα ( yz,, ) = (67,67,67) επιμέλεια : parmenides5 7