d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x

Σχετικά έγγραφα
L A TEX 2ε. mathematica 5.2


iii) x + ye 2xy 2xy dy

Αρµονικοί ταλαντωτές


> ##################### FEUILLE N3 237 ###################################### Exercice 1. plot([cos(3*t), sin(2*t), t=-pi..pi]);

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x


3 + tanx 100 Differentiate G(t) = Answer: G (t) = Differentiate f (x) = lnx + ex 2. Differentiate F(s) = ln ( cos(2s) + 2 ) Answer: F (s) =

= (2)det (1)det ( 5)det 1 2. u

ME 365: SYSTEMS, MEASUREMENTS, AND CONTROL (SMAC) I

Review Exercises for Chapter 7

< h < +. σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3), σ (t) = (2 cos t t sin t, 2 sin t t cos t, 0) r (t) = e t j + e t k. σ (t) = 1 2 t 1 2 k

Κεφάλαιο 7. Μετασχηματισμός Laplace. 7.1 Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Laplace

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace

α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

Rectangular Polar Parametric

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

Answers to Selected Exercises

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor

Equations. BSU Math 275 sec 002,003 Fall 2018 (Ultman) Final Exam Notes 1. du dv. FTLI : f (B) f (A) = f dr. F dr = Green s Theorem : y da

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π.

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ


Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

Παραμαγνητικός συντονισμός


Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

MÉTHODES ET EXERCICES

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

G L (x) =Ax + B, G R (x) =A x + B οπότε από τις συνοριακές συνθήκες έχουμε

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Author : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος.

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

website:

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Basic Formulas. 8. sin(x) = cos(x π 2 ) 9. sin 2 (x) =1 cos 2 (x) 10. sin(2x) = 2 sin(x)cos(x) 11. cos(2x) =2cos 2 (x) tan(x) = 1 cos(2x)

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (3) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

z k z + n N f(z n ) + K z n = z n 1 2N

Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση. Έτσι οι εξισώσεις

Solutions - Chapter 4

Κεφάλαιο 8 Διαφορικές Εξισώσεις

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

LCs 2 + RCs + 1. s 1,2 = RC ± R 2 C 2 4LC 2LC. (s 2)(s 3) = A. = 4 s 3 s=2 s + 2 B = (s 2)(s 3) (s 3) s=3. = s + 2. x(t) = 4e 2t u(t) + 5e 3t u(t) (2)

Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι

Γιάνναρος Μιχάλης. 9x 2 t 2 7dx 3) 1 x 3. x 4 1 x 2 dx. 10x. x 2 x dx. 1 + x 2. cos 2 xdx. 1) tan xdx 2) cot xdx 3) cos 3 xdx.

(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0.

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =

5.2 (α) Να γραφούν οι εξισώσεις βρόχων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.2α. (β) Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης

Inflation and Reheating in Spontaneously Generated Gravity

1. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,1), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.

1 + Φ r /c 2 = 1 (1) (2) c 2 k y 1 + (V/c) 1 + tan 2 α = sin α (3) tan α = k y k x

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης

Διαφορικές εξισώσεις 302.

Πρακτικές μέθοδοι αποδιαμόρφωσης FM. Ανίχνευση μηδενισμών Διευκρίνιση ολίσθησης φάσης Μετατροπή FM σε ΑΜ Ανάδραση συχνότητας

= df. f (n) (x) = dn f dx n

ΤΡΟΠΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ (INTERPOL ATION)


SOLUTIONS & ANSWERS FOR KERALA ENGINEERING ENTRANCE EXAMINATION-2018 PAPER II VERSION B1

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές)

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

x(t) = 4 cos(2π400t π/3) + 2 cos(2π900t + π/8) + cos(2π1200t) h(t) = 2000sinc(2000t) = h(t) = 2000sinc(2000t) H(f) = rect

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Transcript:

y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf

y k f y y yk y y yk y n y n y k n y k f y y yk y y yk y n y n y k n y k n n f n y y yk n y y yk n y n y n y k n n a k + k + + k n y y lny y e y y y y a + 3 k k y y y + e y y y lny + y y 3 y y 3 y + y y y y y 4 y 3y 3 + y k 3 k 4 k 3 y 3 y y 3 y + y y 4 y y y y 3 y 3 y y f y y y n y f y y y n y n f n y y y n d y y 3 y 3 y y 3 : y 3 3 y

d + p + q y : y pty qt < t < t lnt /t t t t + lnt t t t t 3 t t 3 t tt 4 t lnt + lnt + lnt + t E S { / t E : / + t/t { / e E : t / e { / y 3 E : / y / { / z /z 4 E : dz/ y { /t S : t lnt { t S : e t { e S : t y e t { y + e S : y e f n f f E A y y y n yn y y D n+ y n y y f i D E ε + ε φ n φ φ ε > φ y φ n y n φ φ n n 4

t d 4 + 4 d 3 s λ λ 3 Ae t + Be 3t Ae t + Be 3t + Ae t 3Be 3t Ae t Be 3t S Ae t + Be 3t Ae t Be 3t : A B R } 4 t t Ae t Be 3t A + b t t Ae t + Be 3t B A A B 4 t e t + e 3t t e t e 3t y y y d d d y d + ± i λ + t Acost + Bsint B y A y y yt Asint + Bcost y t cost + y sint yt sint + y cost t + yt cos t + sin t + y cos t + sin t + y y + y t yt

gy y y n g g/ y n g/ y g/ D y n y y g D g t gy y y n c gt t D { t : t t R } R 3 t + t t At t At + Bt gt t t t At + Bt At B D B gy y n D g n + k f k y y y n g y k / gt arctan / t / / / f t / f t / g t + f g + f g + + + + g D { t } { Ae t + Be 3t Ae t Be 3t { + 4Ae t 4Be 3t { 4A e t + 4B e 3t D R g t e 3t g t e t + g g

Acost + Bsint y Bcost Asint sint + ycost B cost ysint A D R 3 g t cost ysint g t sint + ycost n y n y y y n y y Fy y y n i y i n y y y n y y y n n : y y y n y n y n y n n y n y y n S : g y y y n A g n y y y n A n A n A g t e 3 y + t + y g e t t e y g + e y t + y g + y t g + y + t n f t n f t n f n t n

n k h k t n n t d f t + f + + f n n n n n n t n n + y + y + t y + y + y + λ p + h + Ae t + Be t p h Ae t + Be t y Ae t + Be t y S : + Ae t + Be t y Ae t + Be t 3 + 8y 3y t d d d 3 + 8y 3 + 8 3 + 8 3y 3 8 4y 3 8 3 3 d y 8 3 8 A t Be t 3Ae t 3Be t Ae t 4 Bet S : t C e t + 4C e t yt C e t C e t t Ae t + Be t C C

t + yt t + yt y + t t + t + d t t + t + d + + t t d t / y t At + B d t y + t A + t At + B A + B t S : At + B y A + B t t 9 y + t 3 3 4y 4 + 5y t 5 4 + 3 sint d 6 + y z 7 y + z 8 d y 5y y 4 3y y + y cost z dz + z + z dz + y d y 9 d + + d 3 + y d + y + d y + y

n u F tudu/ n n 4t t + + + t + + 4t t + du tu u + g +t A + u +t A t g u + t B u S : + + t A + t B + t g g g g g g + + D { t ± } g B g A S : t A + B t A t B t B A t A t B t E : 3 t 3 t 3 + t

u / E A A du E : A 3 t 3 A + E t A + t + B E A At + B t ln At + B +C S : + A ln At + B +C 3 A + t + B E E : y y t y t y t u ty d t ty y + t E ty A du y Bep t A y A E t A y t + A B e t/a y Be t/a E A B y A B A B S : t + e t y e t

+ y 3 y 5 sin cos y cos sin 7 cos cos y + sin sin y f t n f t n y 4 y y 6 e t y y y et sinsiny y n f t n a b a b a n b n λ a + λ a + + λ n a n λ b + λ b + + λ n b n λ n λ λ lnt lnt lnt lnt lnt lnt + tlnt + A dt lnt t + lnt lnt + + dt + + y t + + y B S : tlnt + A + y + t B E : 4y 5 5t 3y 3 4t 3 3 4y 5 t t 4y 5 4 4 5t 3y 5 5 3 4t 5t 3y y y 3 4t 3 + 4 + 5 t + + y

dt + + y d3t + + 5y t + + y B 3t + 4 + 5y A S : 3t + 4 + 5y A t + + y B t y 3 y dp p dq p 5 y yt t 4 t yt y t y t ty 6 t y 7 3t 4y y 3 4 t y 3 + y y a + a y + f t a + a y + f t t f f a a a a f t f t a a X A f F y a a f Y X A X + F gt ht Y A Y + F t a;b a;b a;b Z Y Z Y a;b Wt y t z t y t z t y z y z t a;b

U Z Y A B X U + A Z + B Y A X A X C E : detλi A X A X C E X X λ λ C E A X e λ t +A X e λ t X A X A X λ X A X λ X A A X i λ λ C E X A X A X i X i + λ X i A X i λ X i X i U i X i + t X i A A { A U + A U } e λ t X i ± i X i α ± i C E X i X i A X i + i X i α ± i X i + i X i U i X i +i X i V AU + BU V V +iv V +V X A X A B E : y + y X t yt A X A X C E : detλi A : λ λ : λ3 λ λ α A X λ X X λ λ { α α α α X α + α AX λ X X { α α α α α X α +

E S : y Ae t + Be t : A + Be t y A Be t A + Be t E : + 3y + y A 3 X X C E : λ 3 λ : λ λ 6 λ λ 4 E γ α A X λ X A X λ X X X θ 3 α 3 γ 3 θ α γ θ 4 { α + 3 α α + { γ + 3θ 4γ γ + θ 4θ α X θ 3 3 γ X E γ θ S : y Ae t + Be 4t 3 : Ae t + 3Be 4t y Ae t + Be 4t B A E : y + 3y X AX A C E : λ λ 3 3 C E : λ 4λ + 4 C E : λ λ

γ A X λ X X θ α X 3 3 γ θ θ γ θ γ θ + α γ θ γ γ + 3θ θ α γ + α α + 3 θ + A X X + λ X { θ γ α + θ X S : X X y γ γ X A U + B U e t { U + t } γ U { A + B : t A + B + Bte t yt A Bte t E } + Bt e t E : + y 4y E X AX A C E : λ 4 λ + : λ 6λ + 9 λ λ 3 AX AX 3X X γ 4 θ α 4 γ 3 θ γ θ X + 3 α X γ θ X α γ + θ 3γ 4γ θ 3θ α + γ + 3α 4α θ + 3 4 X + 3 { θ γ γ + α α γ α γ U t

S : X y X { } A U + B U e 3t α γ U { A E } + B + Bt e 3t : t A + Bte 3t yt A + B + Bte 3t E : 5y y 5 X A X A C E : λ 5 λ + : λ + 9 λ ± 3i c a A X +i X X X d 3 α b 5 a + ci b + di a + ci 3i b + di { a 5b 3c c 5d 3a a b 3d c d 3b + 3i X + i X { a 5b + c 5di 3c + 3ai a b + c di 3d + 3bi { a 5b 3c d c 3b d a 3 c b bc X 3 X U e t cos3t + isin3t X + i X 3 + i 3cos3t sin3t + cos3t 3sin3ti U cos3t + isin3t i sin3t + cos3ti X 5 X 3 5 3i U cos3t + isin3t d 3 a 5 c b U e t cos3t + isin3t X + i X 5cos3t + 5isin3t cos3t + 3sin3t + sin3t 3cos3ti V + V E V A U + B U V + i V 3cos3t 3sin3t V A sin3t cos3t 3sin3t V A + B cos3t + B 5cos3t cos3t + 3sin3t 5sin3t sin3t 3cos3t

S : y V + V : t A + 5Bcos3t + 6A + 5Bsin3t yt A + 4Bsin3t + A Bcos3t E : 3 3y 3 y X X A 3 3 3 C E : λ 3 3 3 λ + : λ λ + 6 λ ± 5i c a A X + i X + X X d b 5i X + i X 3 3 a + ci + +ci 5i 3 b + di b + di { 3a + ci 3b + di + 5ia + ci 3a + ci b + di + 5ib + di { { 3 3b a 5c3 b b 5d 3c 3d 5 + c3c d d + a 3b c 5/ 5b d 3c b 5/ X 5 d 3 a 5 c b bc X U 3 e t cos 5t + ie t sin { } 5 5t + i 3 + ie t 5sin 5t + cos 5t cos 5t U e t 5cos 5t sin 5t 3sin 5t X 3 U e t X 3cos 5t cos 5t + 5sin 5t V A U + B U V + V d 5 a 3 c b U 5 e t cos 5t + isin { } 3 5t + i 5 + ie t 3sin 5 sin 5t 5cos 5t V Ae t 5cos 5 sin 5t 3sin 5t V Ae t 5sin 5t + cos 5t cos 5t V + V E + Be t 3cos 3t cos 5t + 5sin 5t + Be t 3sin 5t sin 5t 5cos 5t

3 y y 5 5 + 4y y 4 5y 9 + 4y y + y 3 y y 4 + y 7 4 + y y + y y y + 3y 5 4 3y y 3 y 9 8y y / + 3y B A 3 y y 3 7 + y y y 4 y 9 3y y + 4y 6 / + 3y y 7 6 + y 5 + 3y y 8 5 + 3y + y y 3 + y + y y 3 y + 4y y 5 + y + 3y y 4 3y 4 3y y 5 5 y 3 y y 6 3 + y 4 y y + y 8 4 + y y 9 y + 4y y 5 8y 3 + 3y y y + y/6 y 3 5 + 3y 3 + y y 4 5 y 4 + 3y y 4 y 6 4y y 7 + y 4 + 7y y 8 + 9y + y y 5y 3 y y 9 + 6y X A X F X AX X X c X + c X F c c X p c X + c X E : A 4y + 4t + 4 X y + y + 3 t 4t + F 3 t X AX + F E C E : λ + 4 λ λ + λ 6 λ +λ 3 α A X X X { 4 α α α 4 α α X α +

α A X 3 X X α α 4 α α 3 { α 4 3α α + 3 α 4 X 4 E X h A X e t + B X e 3t X p c X e t + c X e 3t B A c X e t + c X e 3t F e t 4e 3t e t e 3t c c 4t + 3 t c et + 4c e 3t 4 + c et + c e 3t 3 t c 5 6t 4t e t c 3t + 8t + e 3t c t 5 t + 3t e t c t t + te 3t X p c X e t + c X e 3t 5 3t + t S : X X p + X h t + t t / + Ae t E + t + t 4 + Be 3t 4 : t t + t + Ae t + 4Be 3t yt t Aet + Be 3t B A E : 3 + t + t 3y + t + A 3 3 F X AX + F t t + C E : λ + 3

γ α A X X 3 X A X 3 X X X θ 3 γ 3 θ 3 α 3 γ 3 θ γ α 3 θ 3γ + θ 3γ 3θ 3θ 3α + γ 3α 3 θ 3 { θ γ X X α α U X X U + t α S h : h y h { Ae 3t U + Be 3t U : h t Ae 3t + Bte 3t y h t Be 3t + B E k } e 3t + Bte 3t c c X p c e 3t U + c e 3t U c e 3t + c e 3t t { c + tc te3t c t + e3t t t + { c t e 3t c t + e3t c e 3t U + c e 3t U F c 7 9t 6t + c 3t + 9 X p c e 3t U + c e 3t U 4 6t 7 3t + 9 E S : X X p + X h : 4t 4 y 7 9t + 6 + Ae 3t + Be 3t t : t Ae 3t + Be 3t + 8 9 t 4 7 yt Be 3t + t 3 + 9

E : y + sect A X AX + F sect F E C E : λ λ : λ + : λ ± i c a A X + i X i X + i X X X d b a + ci b + di a + ci + i b + di { b di c + ai a + ci d + bi { d a b c X X X X b d c a c a { } U e at cost + isint + i cost sint U + i sint cost { U e t cost + isint U b d c a } + i cost + i sint sint cost V + V E E h Acost Bsint Asint + Bcost V + i V A U + B U + i Asint + Bcost Acost + Bsint cost + sint sint + cost X p V + V A + B sint cost cost + sint X p c cost + sint sint cost + c sint + cost cost + sint c cost + sint sint cost + c sint + cost cost + sint c c sect

{ { c tant c ln cost c c t X p t cost sint ln cost t sint + cost ln cost E S : X X p + X h t cost sint ln cost : y t sint + cost ln cost : cost + sint + A sint cost Acost + sint + Bcost sint + t cost sint ln cost y Asint cost + Bcost + sint + t sint + cost ln cost E sint + cost + B cost + sint 4 + y e t y + 3 y 6e t + 4 + y /e t y 6 + 3y 3/e t 5 + y cost y + y + cost + sint y y + /cost 3 6 { y + tan t y + tant 3 4y + y 3y + t E : 7 + y + 5 5y 37t y sl } 7L } + L { y } + 5 s sl { y } y L } 5L { y } 37 s + 7X + 7Y 5 s X + s + 5Y 37 s Xs 5s + 5s 37 s s + 5 + 37 Ys 47s 59 s s + s + 37 Y L {y} X L }

t L { Xs } { L s } s s + 6 s + 6 + { t e 6t L s } s t e 6t cost + yt L { Ys } { L s 7 } s s + 6 s + 6 + + s + 6 + { 7t e 6t L s } { } s + e 6t L + s + E : 7t e 6t cost + e 6t sint + 3y + t 3 + y y Y L {y} X L } sl } L { X } + 3L { y } + s sl { y } y 3L } + L { y } s Xs 3Ys + s 3Xs + s Ys Xs s + s s s + 4s + 3 3s + Ys s s + 4s + 3 t L { Xs } { L 3 s + 3 4 s + 5 3 s + s + + 3 53 } 56 3 s + + 3 3 + 3 4 s + 5 { 3 e t L s } s + 3 53 { } 56 e t L 3 s + 3 3 + 3 4 t + 5 3 e t cos3t 53 56 e t sin3t yt L { Ys } L { 69 s 3 3 s 69 s + s + + 3 7 69 3 s + + 3 69 3 3 t 69 e t cos3t 7 69 e t sin3t E : d + 4 4 d y 9y y y }

Y L {y} X L } s L } s + sl { y } y 4L } 4sL } 4 s L { y } + sy + y 9L { y } { s Xs 4X + sy 4sX s + 9Y s s s s + 9s 36 Ys s s 4 s + 9s 36 t L { Xs } L 5 s s + + 4 5 s + + 3 3 s + 3 3 3 s 3 5 cos + 4 5 sin t + 3 3t 3 e 3 3 e 3t yt L { Ys } L 6 5 s s + + 3 5 s + + + 3 3 3 s + 3 3 3 3 s 3 S : + 3 4y cost y 3y + t y sl } + 3L } 4L { y } sl { y } y 3L { y } + L } s s s + s + 3X 4Y s s + X + s 3Y + s s Xs 7/ s 5 s + + 3s + Ys 7/ s 5/ s + + Y L {y} X L } s + 4 s s s + s 3 s t L { Xs } 7 et 5 t + 3 cost + sint 4t yt L { Ys } 7 et 5 e t + cost 3t

3y + z y y y y z z z z s X 3Y X + Z s Y + X + Y s Z s Z t 3 4 t 3 4 cost + 3 8 sint 3s X s s + 4 3s Y s s + +4 s + s Z s + yt 3 4 t + 4 cost sint cost 8 zt cost 3 y + y t + y + y 3 + + y y + + y 5y + 4y y y + 9 y y 3y + + 7 y + y 5y y y 4 6 8 + y y + y + y + z + e t z + y + z + 4 z t + y + z + t ty y + z + t 3 y tz + y + z + 4 z + y sinht y + z e t y + z e t + e t z 5 7 9 + y + e t y + y + e t y y z y z y z y z 3t + y z ty + 3y + z y 6tz + 7y + 5z z E : φ + φ + e t φ t + sinh tφ t tφ t e t φ t

Φ s s + s + Φ s + s Φ s Φ s s + s + Φ s s Φ s Φ i L { φ i } s + s Φ s ss s + s 3 s + Φ s s s + s + φ L { Φ s } { L s + s + s + 3 } s s + + e + sin 3 cos φ L { Φ s } { L s s + + s s } s + cos sin + cosh 3 4 5 6 φ φ 4 φ e + φ φ + φ φ e φ φ φ 4 φ φ e t φ t + φ t + 4 e t φ t tφ t + φ t + e t φ t + φ t + 4 φ t tφ t e t φ t tφ t e t φ t + tφ t + φ t + 3 tφ t φ t e t φ t tφ t 4 φ t φ t φ t tφ t φ t tφ t