Προτεινόμενες Ασκήσεις στις Γενικές Μεθόδους Ανάλυσης Κυκλωμάτων από το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων», Ν. Μάργαρη Πρόβλημα Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος δύο ακροδεκτών του Σχ.. 7Ω 0Ω Ω 6Ω Ω Σχήμα 7Ω 0Ω i j j Ω 6Ω j 3 Ω Σχήμα (α) Για την εύρεση της αντίστασης εισόδου του κυκλώματος του Σχ. συνδέεται στους ακροδέκτες εισόδου μια πηγή τάσης, όπως φαίνεται στο Σχ.(α), και υπολογίζεται το ρεύμα i. Για τον υπολογισμό του ρεύματος αυτού χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των απλών βρόχων. Οι εξισώσεις απλών βρόχων του κυκλώματος του Σχ.(α) είναι οπότε 9 0 j 8 6 j 0 0 6 8 j3 0
i j 8 6 6 8 9 0 8 6 0 6 8 468 0, 0743 () 6. 300 Τέλος, από την Εξ.() προκύπτει eq 3, 46 Ω (3) i 0, 0743 Πρόβλημα Να εφαρμοστεί η μέθοδος των βρόχων για την ανάλυση του κυκλώματος του Σχ., χρησιμοποιώντας τα ρεύματα βρόχων που σημειώνονται. 7Ω 0Ω j 60 j Ω j 3 6Ω Ω Σχήμα i 7Ω i 4 0Ω i i 3 i 5 i 6 60 j Ω j j 3 6Ω Ω Σχήμα (α) Στο κύκλωμα του Σχ.(α) ορίζονται οι φορές αναφοράς των ρευμάτων των κλάδων. Θεωρώντας συζευγμένες φορές αναφοράς, ορίζονται αυτόματα και οι φορές αναφοράς των τάσεων των κλάδων. Οι εξισώσεις των σύνθετων βρόχων, που σημειώνονται στο κύκλωμα του Σχ.(α), είναι
ή 7 7 7 j 60 7 7 0 6 7 0 j 60 7 7 0 7 0 j3 60 9 7 7 j 60 7 3 7 j 60 7 7 9 j3 60 () Η λύση των παραπάνω εξισώσεων είναι j, 4A, j,3 7A και j 0, 685A 3 Τα ρεύματα και οι τάσεις των κλάδων του κυκλώματος προκύπτουν αντίστοιχα i i j j j 4, 456A, i j, 4A, i j j, 056A, 3 5 j, A 6 j3 i 37, i 0, 685A 3 7i 7( j j j3) 3, 9, 3 i 8, 8 4 0i4 0( j j3) 0, 56, 5 6i5 6 j 8, 6, 6 i6 j3 8,, 4 3 Πρόβλημα 3 Στο κύκλωμα του Σχ.3 να εφαρμοστεί η μέθοδος των βρόχων, θεωρώντας τις φορές των βρόχων που σημειώνονται στο σχήμα. Να συγκριθούν τα αποτελέσματα με αυτά που προκύπτουν, όταν οι φορές όλων των απλών βρόχων συμπίπτουν με τη φορά των δεικτών του ρολογιού. 3 5 j j 3 4 j 5 Σχήμα 3 Οι εξισώσεις βρόχων του κυκλώματος του Σχ.3 είναι
0 j 3 4 4 j 0 0 4 4 5 j3 5 Αν αλλάξουν οι φορές και όλα τα ρεύματα βρόχων αποκτήσουν τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού προκύπτει το Σχ.3(α). 3 5 j j 3 4 j 5 Σχήμα 3(α) Οι εξισώσεις βρόχων αυτού του κυκλώματος είναι 0 j 3 4 4 j 0 0 4 4 5 j3 5 () Συγκρίνοντας τις Εξ. και () συνάγεται ότι η αλλαγή των φορών των ρευμάτων βρόχων προκαλεί αλλαγή στα πρόσημα των στοιχείων εκατέρωθεν της κυρίας διαγωνίου και αλλαγές στα πρόσημα των στοιχείων του διανύσματος των πηγών τάσης.
Πρόβλημα 4 Να βρεθούν τα ρεύματα και οι τάσεις των κλάδων του κυκλώματος του Σχ.4, 4 με τη μέθοδο των απλών βρόχων. Δίνεται ( t) 0 in(0 t 30 ). 5μF 0,4mH Σχήμα 4 I 4 -j4ω I I 3 J 4 I 6 0<-30 o I J J j4ω J 3 I 5 Σχήμα 4(α) Το κύκλωμα του Σχ.4 μετασχηματίζεται στο πεδίο της συχνότητας, όπως φαίνεται στο Σχ.4(α). Οι εξισώσεις απλών βρόχων του κυκλώματος είναι Τα ρεύμα βρόχων προκύπτουν J 4 j5, 9 5,943,875 A
J 5, 34 j0, 9 5, 454 9,63 A J 3 5, 8 j0, 36 5,86.3 A J 4, 5 j, 65,560 A Τα ρεύματα και οι τάσεις των κλάδων του κυκλώματος προκύπτουν αντίστοιχα I = J = 4 j5,9 = 5,9,875 A I = J J = 8,66 j5 = 0 30 A I = J J = 4,09 j3,07 = 5, 36, 9 A I 3 4 = J =,5 j,65 =,560 A 4 4 I5 = J J3 = 0,48 j,43 =,4, 875 A και I = J J = 4,57 j,93 = 4,96, 875 A 6 3 4 = I = 8,66 j 5 = 0 30 = I = 4,09 j3,07 = 5, 36, 9 3 3 = j4 I = 8,66 j5 = 0 30 4 4 = j4 I = 4,57 j,93 = 4,96, 875 5 5 = I = 4,57 j,93 = 4,96, 875 6 6
Πρόβλημα 5 Να βρεθούν οι σύνθετες αγωγιμότητες εισόδου και οι σύνθετες αγωγιμότητες μεταφοράς του κυκλώματος του Σχ.5. 3Ω -j3ω J j5ω J 0Ω 5Ω 3Ω -j3ω J 3 0Ω Σχήμα 5 3Ω -j3ω I I J j5ω J 0Ω 5Ω 3Ω -j3ω J 3 0Ω Σχήμα 5(α) Ο μετασχηματισμός του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας παρουσιάζεται στο Σχ.5(α).Οι εξισώσεις απλών βρόχων αυτού του κυκλώματος είναι 8 j j5 5 J j5 3 j 3 j3 J 5 3 j3 8 j3 J3 0 οπότε τα ρεύματα των βρόχων προκύπτουν
j5 5 J 3 j 3 j3 0 3 j3 8 j3 8 j j5 5 3 j 3 j3 3 j3 8 j3 j5 5 3 j3 8 j3 8 j j5 5 () j5 3 j 3 j3 j5 3 j 3 j3 και 5 3 j3 8 j3 5 3 j3 8 j3 8 j 5 J j5 3 j3 5 0 8 j3 8 j j5 5 j5 3 j3 ( 8 j 5 ) ( ) 5 8 j3 5 8 j3 8 j j5 5 (3) j5 3 j 3 j3 j5 3 j 3 j3 ή 5 3 j3 8 j3 5 3 j3 8 j3 40 j, 5 30 75 J j. 865 j35. 865 j35 (4) και 30 75 4 J j ( ) ( ) (5). 865 j35. 865 j35 Με βάση τους ορισμούς των σύνθετων αγωγιμοτήτων εισόδου και μεταφοράς έχουμε και I Y I J 40 j, 5 0 0 0, 68 9, 5 S (6). 865 j35 J 30 j75 0 S 0 0,047, 68.865 j35 Y (7) I J 30 j75 Y S 0 0 0,047, 68 (8).865 j35 Y I J 4 0 0 0, 00 9, 88 S (9). 865 j35
Πρόβλημα 6 Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων του κυκλώματος του Σχ.6 στο πεδίο της συχνότητας. C C C o Σχήμα 6 jcω jcω G G 3 4 G G G jcω o 5 Σχήμα 6(α) Ο μετασχηματισμός του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας παρουσιάζεται στο Σχ.6(α), όπου τα στοιχεία έχουν εκφραστεί με τις αγωγιμότητες και τις επιδεκτικότητές τους. Θεωρώντας τον κόμβο 5 ως κόμβο αναφοράς, οι εξισώσεις κόμβων του κυκλώματος προκύπτουν G G jcω jcω G 0 E G jcω G jcω 0 jcω E 0 G 0 G jcω G E3 0 0 jcω G G jcω E 4 0 Πρόβλημα 7 Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων του κυκλώματος του Σχ.7 στο πεδίο της συχνότητας.
C C 3 C 3 4 C 4 5 C 5 Σχήμα 7 jc ω jc 3 ω 3 G G jc ω G 3 G 4 jc 4 ω G G G 5 jc 5 ω 4 Σχήμα 7(α) Ο μετασχηματισμός του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας παρουσιάζεται στο Σχ.7(α). Επιλέγοντας τον κόμβο 4 ως κόμβο αναφοράς, οι εξισώσεις κόμβων του κυκλώματος είναι G G3 jω(c C ) jωc 0 E G jωc G4 jω(c C3 C 4) jωc3 E 0 0 jωc3 G G5 jω(c3 C 5) E3 G Πρόβλημα 8 Να βρεθούν οι τάσεις των κόμβων και η συνάρτηση μεταφοράς τάσης o / του κυκλώματος του Σχ.8. Δίνονται == L =, L=H, C=F και ω= rad/. L C o L Σχήμα 8
/jlω G G 3 G jcω o G L G 4 Σχήμα 8(α) Το κύκλωμα μετασχηματίζεται στο πεδίο της συχνότητας και ταυτόχρονα η πηγή τάσης μετασχηματίζεται σε πηγή ρεύματος, όπως φαίνεται στο Σχ.8(α).Τα στοιχεία του κυκλώματος εκφράζονται με τις αγωγιμότητες και τις επαγωγές τους και οι εξισώσεις κόμβων είναι G G G jlω jlω E G G G jcω G E 0 3 0 G G G E L jlω jlω Αντικαθιστώντας τις τιμές των παραμέτρων η Εξ. γίνεται () j j E j E 0 j j E3 0 Η λύση των Εξ.() είναι (3) E 5 E ( 0, 5 j0, 5) 0, 3536 45 (4) E3 ( 0, 5 j0, 5) 0, 3536 45 (5) Τέλος, η συνάρτηση μεταφοράς τάσης είναι
H o o E3 0, 3536 45 (6) Πρόβλημα 9 Να αναλυθεί το κύκλωμα του Σχ.9 με τη μέθοδο των απλών βρόχων και με τη μέθοδο των κόμβων. A A Σχήμα 9 Για να εφαρμοστεί η μέθοδος των βρόχων, οι πηγές ρεύματος μετασχηματίζονται σε πηγές τάσης, όπως φαίνεται στο Σχ.9(α). Οι εξισώσεις απλών βρόχων είναι 3 j 3 j 3 j3 0 j 3 j j Σχήμα 9(α)
3 A A A 4 Σχήμα 9(β) και τα ρεύματα απλών βρόχων προκύπτουν j = 0,5 A, j =-0,5 A και j 3 =0 A Για να εφαρμοστεί η μέθοδος των κόμβων, η πηγή τάσης μετασχηματίζεται σε πηγή ρεύματος, όπως φαίνεται στο Σχ.9(β). Οι εξισώσεις κόμβων είναι () 3 e 3 e 3 e3 οπότε οι τάσεις των κόμβων προκύπτουν e =,75, e =,5 και e 3 =,75 Πρόβλημα 0 Το ίδιο για το κύκλωμα του Σχ.0 Δίνονται = και I o = A. I o Σχήμα 0
j j 4 3 I j 4 j o 3 I o 5 Σχήμα 0(α) Σχήμα 0(β) Από το κύκλωμα του Σχ.0(α) οι εξισώσεις απλών βρόχων προκύπτουν 4 0 j 0 4 0 j 0 0 4 j3 Io 0 4 j4 Io και τα ρεύματα βρόχων βρίσκονται j =-0,047A, j = 0,047A, j 3 = 0,083A και j 4 = -0,083A Από το κύκλωμα του Σχ.0(β) οι εξισώσεις κόμβων είναι () G 0,5G 0 Ge 0 0,5G G 0,5G G e 0 0 0,5G G G e3 0 G G G 4G e4 I o και οι τάσεις κόμβων προκύπτουν e = 0,467, e = 0,5, e 3 = 0,467 και e 4 = 0,5833 Πρόβλημα Να αναλυθεί το κύκλωμα του Σχ..
A A Σχήμα 3 A A A 4 Σχήμα (α) Επειδή το κύκλωμα περιέχει ιδανική πηγή ρεύματος, για την ανάλυσή του θα εφαρμοστεί η μέθοδος των κόμβων. Έτσι, η πηγή τάσης μετατρέπεται σε πηγή ρεύματος. Οι εξισώσεις κόμβων προκύπτουν 3 e e 3 e3 οπότε οι τάσεις κόμβων είναι e =,5, e = 3 και e 3 =,5 Πρόβλημα Να γραφούν οι εξισώσεις απλών βρόχων του κυκλώματος του Σχ. και να υπολογιστεί η σύνθετη αγωγιμότητα εισόδου. Δίνεται ( t) 0 συν0 t.
i H i μf Σχήμα I j0 Ω J 3 I 0<0 o J -j0 5 Ω J Σχήμα (α) Οι εξισώσεις απλών βρόχων του κυκλώματος είναι ή 5 5 3 j0 j0 J 00 5 5 j0 j0 0 J I 0 j0 J3 0 5 5 3 j0 j0 J 00 5 5 3 j0 j0 0 J 0 0 j0 J3 0 () Το ρεύμα I προκύπτει οπότε Y I J 3,34 j0,=3,34,89 A (3) I 0,334 j0,000=0,334,89 S (4)
Πρόβλημα 3 Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων του κυκλώματος του Σχ.3 και να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς τάσης. -g m r d g m r d L o Σχήμα 3 -g m g d g m g d G L o 3 Σχήμα 3(α) Οι εξισώσεις κόμβων προκύπτουν gd gd e gm gm gd gd G L e gm Επειδή ισχύουν οι σχέσεις () e (3) οι Εξ. γίνονται ή gd gd e gm gme gd gd G L e gme gd gm gd e gm gd gm gd G L e 0 (4) (5)
Από την Εξ.(5) βρίσκουμε gd gm gm gd gm 0 (gd g m)g m o e gd gm gd gd gdgl gmgl gd gm gd GL (6) οπότε η συνάρτηση μεταφοράς τάσης προκύπτει (g g )g g g G g G o d m m d d L m L Πρόβλημα 4 Το κύκλωμα που βρίσκεται μέσα στο πλαίσιο του Σχ.4 είναι το ισοδύναμο κύκλωμα ενός tranitor. Να βρεθεί η αντίσταση εισόδου και η συνάρτηση μεταφοράς τάσης του κυκλώματος. (7) i b r b r βi b r o be ce L Σχήμα 4 Από το κύκλωμα εξόδου προκύπτει Από το κύκλωμα εισόδου προκύπτει i b o r r ce ce L L r r b be βi b () Από την Εξ.() προκύπτει η αντίσταση εισόδου in rb rbe (3) i Τέλος, από τις Εξ. και () προκύπτει η συνάρτηση μεταφοράς τάσης b
o βrcel ( r )( r r ) ce L b be Πρόβλημα 5 Να βρεθεί η αντίσταση εισόδου και η συνάρτηση μεταφοράς τάσης του κυκλώματος του Σχ.5. Να συγκριθούν τα αποτελέσματα με αυτά του Προβλήματος 4. (4) i b r b r be βi b r ce o L E Σχήμα 5 Η εξαρτημένη πηγή ρεύματος μετατρέπεται σε πηγή τάσης και οι εξισώσεις απλών βρόχων του κυκλώματος του Σχ.5(α) προκύπτουν ή E rb rbe E j r j βr i βr j E E L ce ce b ce E rb rbe E j E βrce E L r ce j 0 () i b r b r ce r be βr ce i b j o L j E Σχήμα 5(α)
Από την Εξ.() προκύπτει (3) και j j ( E L rce) ( r r ( β) r ) ( r )( r r ) E L b be ce L ce b be ( βrce E ) ( r r ( β) r ) ( r )( r r ) E L b be ce L ce b be (4) Από την Εξ.(3) βρίσκεται (5) in j ( r r ( β) r ) ( r )( r r ) r E L b be ce L ce b be E L ce ή in E( L rb rbe ( β) rce) ( L rce)( rb rbe ) r r E L ce E L ce (6) Η τάση εξόδου προκύπτει (7) o j L L ( βrce E ) ( r r ( β) r ) ( r )( r r ) E L b be ce L ce b be οπότε η συνάρτηση μεταφοράς τάσης είναι (8) o βrcel EL ( r r ( β) r ) ( r )( r r ) E L b be ce L ce b be Συγκρίνοντας τις αντιστάσεις εισόδου και τις συναρτήσεις μεταφοράς των Προβλημάτων 4 και 5 συνάγεται ότι η παρεμβολή της αντίστασης E προκαλεί αύξηση της αντίστασης εισόδου και μείωση του κέρδους (συνάρτηση μεταφοράς) τάσης. Πρόβλημα 6 Να υπολογιστούν η αντίσταση εισόδου και το κέρδος τάσης του κυκλώματος του Σχ.6. Δίνονται: =MΩ, =kω, 3 =kω, 4 =5kΩ και μ = 0 /.
4 μ 3 o in o Σχήμα 6 4 μ j 3 j o in o Σχήμα 6(α) Οι εξισώσεις απλών βρόχων του κυκλώματος του Σχ.6(α) προκύπτουν Όμως, επειδή ισχύει η σχέση j 3 4 j μ η Εξ. γίνεται ( j j ) j j ( ) j () 3 3 ή j j μ[ j ( )j ] 3 4 3 (3)
j ( μ) ( μ)( ) j μ 3 4 (4) Από την Εξ.(4) προκύπτουν τα ρεύματα απλών βρόχων j μ ( μ)( 3 ) 4 ( μ) ( μ)( 3 ) 4 4 ( μ) 3 ( μ)[ 3 3 ] ( ) 4 (5) και j (6) ( μ) μ ( μ) ( μ)( 3 ) 4 μ ( μ)[ 3 3 ] ( ) 4 Έτσι, έχουμε και [ μ 4 ( μ) 3 ] o ( j j ) ( μ)[ ] ( ) in j 3 3 4 ( μ )[ ] ( ) ( μ ) 3 3 4 3 4 (7) (8) (9) και Αντικαθιστώντας στις Εξ.(7) και (8) τις τιμές των παραμέτρων προκύπτουν τελικά in, 389 MΩ o 8 0 3 / (0) Πρόβλημα 7 Να βρεθεί το κέρδος τάσης του κυκλώματος του Σχ.7.
4 μ 3 -μ 5 o Σχήμα 7 4 μ 3 -μ 5 o j j Σχήμα 7(α) Οι εξισώσεις απλών βρόχων του κυκλώματος είναι Επειδή και οι Εξ. γίνονται 3 0 j μ 0 j μ 4 5 j () j (3) 3 ( μ) 3 0 j μ μ j 0 3 4 5 (4) Από τις Εξ.(4) προκύπτει οπότε j ( μ) 3 μ μ3 0 μ 3 ( μ) 3 0 ( 4 5 )[( μ) 3 ] μ3 4 5 (5)
και τελικά j o 5 o μ 35 ( )[( μ) ] 4 5 3 μ 35 ( )[( μ) ] 4 5 3 Πρόβλημα 8 Να γραφούν οι εξισώσεις απλών βρόχων του κυκλώματος του Σχ.8 και στη συνέχεια να βρεθεί η τάση εξόδου o. (6) (7) o μ μ Σχήμα 8 j μ μ j Σχήμα 8(α) Οι εξισώσεις απλών βρόχων του κυκλώματος του Σχ.8(α) είναι Επειδή () και j μ( ) 3 j μ
(3) η Εξ. γράφεται (4) ή (5) Από την Εξ.(5) προκύπτει (6) οπότε μ j j μ( ) μ 3 j μ μj j μ (3 μ) j 0 0 ( 3 μ) ( 3 μ) μ j ( 3 μ) ( 3 μ) (3 μ)μ o j 5 4μ ( 3 μ) μ ( 5 4μ) Πρόβλημα 9 Να βρεθεί η τάση εξόδου o του κυκλώματος του Σχ.9. (7) o μ μ 3 Σχήμα 9
o G G 3 μg μg G G 3 G 4 Σχήμα 9(α) Το κύκλωμα μετασχηματίζεται, όπως φαίνεται στο Σχ.9(α), ώστε να εφαρμοστεί η μέθοδος των κόμβων. Οι εξισώσεις κόμβων προκύπτουν Επειδή () και (3) η Εξ. γράφεται G G G 0 e μg G G G3 G e μg μg 0 G G G e3 μg e e G G ( μ)g 0 e μg G ( μ)g G3 G e μg ( ) 0 ( μ)g G G e3 μg (4) (5) Από την Εξ.(4) προκύπτουν e μ (6) και τελικά e 3 μ e3 e μ o ( ) (7)