BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 8 phút Câu (, điểm) Cho hàm số y = + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm có hoành độ = Câu (, điểm) a) Cho góc α thỏa mãn: π α π < < và tanα sinα = Tính A = + tan α b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: ( + i) z + ( i) z = 6 i Tính môđun của z Câu (, điểm) Giải phương trình: log ( + ) = log Câu 4(, điểm) Giải bất phương trình: + + ( ) Câu (, điểm) Tính tích phân: ( ln )d I = + Câu 6(, điểm) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = a, o ACB =, Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH = a Tính theo a thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Câu 7(, điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oy, cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc đường thẳng : 4 + y = và điểm K (6; 6) là tâm đường tròn bàng tiếp góc O Gọi C là điểm nằm trên sao cho AC = AO và các điểm C, B nằm khác phía nhau so với điểm A Biết điểm C có hoành độ bằng 4, tìm tọa độ của các đỉnh A, B Câu 8(, điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oyz, cho hai điểm A (; ; ) và B(; ; ) Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm O, tiếp úc với (P) Câu 9(, điểm) Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm câu hỏi khác nhau, được đựng trong phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì trong số đó để ác định câu hỏi thi của mình Biết rằng bộ câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính ác suất để câu hỏi A chọn và câu hỏi B chọn là giống nhau Câu (, điểm) Xét số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P ( + + ) = + + ( ) ( ) + + + + + ----------- HẾT -----------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM Môn: TOÁN CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu (, điểm) a) (, điểm) Tập ác định: D = R { } \ Giới hạn và tiệm cận: lim y =, + ( ) lim ( ) y = + ; lim y = lim y = + Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng = và một tiệm cận ngang là đường thẳng y = Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y' = ( + ) > D Suy ra, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; ) và ( ; ) - Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị + Lưu ý: Cho phép thí sinh không nêu kết luận về cực trị của hàm số - Bảng biến thiên: + y' + + y + Đồ thị (C): y O ½
Câu (, điểm) Câu (, điểm) Câu 4 (, điểm) b) (, điểm) Tung độ y của tiếp điểm là: y = y() = Suy ra hệ số góc k của tiếp tuyến là: k = y '() = 4 Do đó, phương trình của tiếp tuyến là: y = ( ) + ; 4 hay y = 4 4 a) (, điểm) Ta có: tanα A = = = = tanαcos α sinαcosα cosα + tan α 6 cos α = sin α = = () Vì α π ; π nên cosα < Do đó, từ () suy ra 4 cosα = () Thế () vào (), ta được A = b) (, điểm) () Đặt z = a + bi, ( a, b R ); khi đó z = a bi Do đó, kí hiệu ( ) là hệ thức cho trong đề bài, ta có: ( ) ( + i)( a + bi) + ( i)( a bi) = 6i (4a b ) + (6 b) i = Do đó { 4 a b = 6 b = z = + = a = { b = Điều kiện ác định: > () Với điều kiện đó, ký hiệu () là phương trình đã cho, ta có: () log ( + ) + log = log ( ( + )) = log + = = (do ()) Điều kiện ác định: + () Với điều kiện đó, ký hiệu () là bất phương trình đã cho, ta có: () + + ( + )( ) ( ) ( )( + ) ( ) ( + ) ( )( ) ( ) ( + ) ( ) + ( + ) () Do với mọi thỏa mãn (), ta có ( ) + ( + ) > nên () ( ) ( + ) 6 4 + (4) Kết hợp () và (4), ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: ; + +,
Câu (, điểm) Ta có: Đặt () I = d + ln d d I 4 I = và I = = = ln d Ta có: I = ln d(ln ) = ln d = ln = ln Vậy I = I + I = + ln, Câu 6 (, điểm) Theo giả thiết, HA = HC = AC = a và SH mp(abc) Xét v ABC, ta có: o BC = ACcos ACB = acos = a Do đó o S ABC = AC BCsin ACB = a asin = a 6a Vậy VS ABC = SH S ABC = a a = 6 Vì CA = HA nên d(c, (SAB)) = d(h, (SAB)) () Gọi N là trung điểm của AB, ta có HN là đường trung bình của ABC Do đó HN // BC Suy ra AB HN Lại có AB SH nên AB mp(shn) Do đó mp(sab) mp(shn) Mà SN là giao tuyến của hai mặt phẳng vừa nêu, nên trong mp(shn), hạ HK SN, ta có HK mp(sab) Vì vậy d(h, (SAB)) = HK Kết hợp với (), suy ra d(c, (SAB)) = HK () Vì SH mp(abc) nên SH HN Xét v SHN, ta có: = + = + HK SH HN a HN a Vì HN là đường trung bình của ABC nên HN = BC = 4 Do đó HK = a + a = 6a Suy ra 66 a HK = () 66a d C, ( SAB ) = Thế () vào (), ta được ( )
Câu 7 (, điểm) Trên, lấy điểm D sao cho BD = BO và D, A nằm khác phía nhau so với B Gọi E là giao điểm của các đường thẳng KA và OC; gọi F là giao điểm của các đường thẳng KB và OD Vì K là tâm đường tròn bàng tiếp góc O của OAB nên KE là phân giác của góc OAC Mà OAC là tam giác cân tại A (do AO = AC, theo gt) nên suy ra KE cũng là đường trung trực của OC Do đó E là trung điểm của OC và KC = KO Xét tương tự đối với KF, ta cũng có F là trung điểm của OD và KD = KO Suy ra CKD cân tại K Do đó, hạ KH, ta có H là trung điểm của CD Như vậy: + A là giao của và đường trung trực d của đoạn thẳng OC; () + B là giao của và đường trung trực d của đoạn thẳng OD, với D là điểm đối ứng của C qua H và H là hình chiếu vuông góc của K trên () 4 Vì C và có hoành độ = (gt) nên gọi y là tung độ của C, ta có: 4 4 + y = Suy ra y = 6 Từ đó, trung điểm E của OC có tọa độ là ; và đường thẳng OC có phương trình: + y = Suy ra phương trình của d là: y 6 = Do đó, theo (), tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình: { 4 + y = y 6 = Giải hệ trên, ta được A = (; ),
Gọi d là đường thẳng đi qua K(6; 6) và vuông góc với, ta có phương trình của d là: 4 y + 6 = Từ đây, do H là giao điểm của và d nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình: { 4 + y = 4y + 6 = 6 Giải hệ trên, ta được H = ; Suy ra D 6 = ; 6 8 Do đó, trung điểm F của OD có tọa độ là ; và đường thẳng OD có phương trình: + y = Suy ra phương trình của d là: y + = Do đó, theo (), tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình: { 4 + y = y + = Giải hệ trên, ta được B = (; 4) Câu 8 (, điểm) Gọi M là trung điểm của AB, ta có M = ; ; Vì (P) là mặt phẳng trung trực của AB nên (P) đi qua M và AB = ( ; ; ) một vectơ pháp tuyến của (P) là Suy ra, phương trình của (P) là: hay: y + z = ( ) + y + ( ) z + = Ta có d( O, ( P)) = = + ( ) + Do đó, phương trình mặt cầu tâm O, tiếp úc với (P) là: hay + y + z = + y + z = Câu 9 (, điểm) Không gian mẫu Ω là tập hợp gồm tất cả các cặp hai bộ câu hỏi, mà ở vị trí thứ nhất của cặp là bộ câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là bộ câu hỏi thí sinh B chọn Vì A cũng như B đều có C cách chọn câu hỏi từ câu hỏi thi nên theo quy n( Ω ) = C tắc nhân, ta có ( ) Kí hiệu X là biến cố bộ câu hỏi A chọn và bộ câu hỏi B chọn là giống nhau Vì với mỗi cách chọn câu hỏi của A, B chỉ có duy nhất cách chọn câu hỏi giống như A nên n ( Ω ) = C = C Vì vậy X ( Ω ) n X C P( X ) = = = = n( Ω) C ( C )
Câu (, điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oy, với mỗi số thực, ét các điểm A( ; + ), B ; và C ; OA OB OC Khi đó, ta có P = + +, trong đó a = BC, b = CA và c = AB a b c Gọi G là trọng tâm ABC, ta có: OA GA OB GB OC GC OA GA OB GB OC GC P = + + = + +, a GA b GB c GC a ma b mb c mc trong đó ma, m b và m c tương ứng là độ dài đường trung tuyến uất phát từ A, B, C của ABC Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số thực không âm, ta có a ma = a ( b + c a ) a + ( b + c a ) a + b + c = Bằng cách tương tự, ta cũng có: b m b a + b + c và Suy ra P ( OAGA + OB GB + OC GC) a + b + c Ta có: OAGA + OB GB + OC GC OA GA + OB GB + OC GC OAGA + OB GB + OC GC = ( OG + GA) GA + ( OG + GB) GB + ( OG + GC ) GC = OG GA + GB + GC + GA + GB + GC ( ) 4 a + b + c = ( ma + mb + mc ) = 9 Từ (), () và (), suy ra P Hơn nữa, bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy P = khi = Vậy min P = a + b + c c mc () () ()