ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

36

Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ. Σ 4. Λ. Λ 3. Λ 4. Λ 3. Σ 4. Σ 43. Σ 4. Λ 5. Σ 44. Σ 5. Σ 6. Σ 45. Λ 6. Σ 7. Σ 46. Σ 7. Σ 8. Σ 47. Σ 8. Σ 9. Σ 48. Λ 9. Σ 3. Λ 49. Λ. Σ 3. Σ 5. Σ. Λ 3. Σ 5. Σ. Σ 33. Σ 5. Λ 3. Λ 34. α) Σ 53. Σ 4. Λ β) Σ 54. Σ 5. Σ γ) Σ 55. Σ 6. Σ 35. Σ 56. Σ 7. Σ 36. Λ 57. Σ 8. Λ 37. Λ 58. Σ 9. Σ 38. Λ 59. Λ. Σ 39. Σ. Σ 4. Σ 363

Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 3. 5.. Β 4. Ε 6. Ε 3. Β 5. 7. Γ 4. 6. Β 8. Β 5. Ε 7. 9. Γ 6. 8. 3. Β 7. Γ 9. Ε 3. 8. Γ. Β 3. Β 9. Β. Β 33. Γ.. Ε 34. Ε. Β 3. Γ 35.. Γ 4. Ε Μερικές ενδεικτικές λύσεις. Ένας τρόπος να απαντήσουµε είναι να «δούµε» τη λύση κάθε διαφορικής (όλες είναι εύκολες) και να διαπιστώσουµε ποια ταιριάζει στο σχήµα. Λύση εκθετικής µορφής έχει µόνο η Β. Ένας άλλος τρόπος είναι να διαπιστώσουµε από το σχήµα ότι η λύση είναι εκθετικής µορφής και µετά να εξετάσουµε ποια διαφορική θα µπορούσε να έχει τέτοια λύση.. Η ερώτηση είναι για τον έλεγχο της γνώσης του ορισµού της µέσης τιµής συνάρτησης. Είναι f = β β - α = ΑΒ, άρα απαντάµε Β. α f () d β - α (β - α) f = α β f () d. Προφανώς 364

5. Εδώ θέλουµε να τονίσουµε ότι το πρόσηµο ενός ορισµένου ολοκληρώµατος εξαρτάται βέβαια από τη συνάρτηση, αλλά και από τα άκρα. Εδώ έχουµε µεν α β e >, αλλά d = (β - α) f (ξ), ξ (α, β), άρα είναι θετικό, µόνο αν e και β - α >, δηλαδή β >. Έτσι απαντάµε. 3. Έξυπνη ερώτηση. Το εµβαδόν ισούται µε (g () - f ()) d. Όµως g () - f () =, άρα (g () - f ()) d = β d = β - α. Σωστή απάντηση α είναι η Β. β α β α 365

Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης. δ. δ γ η 3 α 3 ε 4 α 5 γ 3. γ 4. γ ζ δ 3 α 3 α 4 ε 4 ζ 5. β 6. ε γ γ 3 α 3 ζ 4 ι 5 β 6 θ 7. ε θ 3 δ 4 α 5 β 6 η 366

Απαντήσεις στις ερωτήσεις διάταξης. Ε 4 < Ε < Ε < Ε 3. φ < h < g < f 3. f (3) < f () < f () Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης. G () = α [F (α + β)] = F (α + β) = f (α + β). α) Θέτουµε - γ = u β) Το εµβαδόν παραµένει σταθερό αν η γραφική παράσταση µεταφερθεί κατά διάνυσµα γ r // 3. α) P (t) P (t) = κ ln P (t) = κt + c P (t) = e κt+c P (t) = ce κt µε c = P () β) Ρ (99) = f (9) e κ 7 ln κ = 7 γ) Ρ ().. 4. α) = f () e -κt β) f (t) = γ), kgr f () άρα Τ = ln κ 367

5. Στο [-, ] η g () = δεν είναι - 6. f () = t 996 + t 998 + t + t > 7. α) f () = ηµ. Αν g () = ηµ π π -, τότε g συνεχής στο [, ] και 4 3 g ( 4 π ) = π 4 - > και g ( 3 π ) = π 3 - <, άρα υπάρχει ( 4 π, 3 π ) ώστε g ( ) =, δηλαδή f ( ) = β) Θεώρηµα Bolzano για την g () = f () - στο [ 4 π, 3 π ] 8. α) H h είναι γινόµενο δύο παραγωγίσιµων συναρτήσεων β) h () = h () = γ) Η εφαρµογή του θεωρήµατος Rolle για την h () εξασφαλίζει έναν αριθµό ξ (, ) ώστε h (ξ) = - ξ ξ lnξ = ξ lnt t d 9. Ι λ = (β - α) λ - f () d λ + που είναι τριώνυµο ως προς λ β f () d α β α και γίνεται ελάχιστο όταν λ = - β = β α f () d α = f α (β - α) 368

. α) Μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις καµπυλών που ικανοποιούν τις απαιτήσεις του ερωτήµατος και γίνεται αντιληπτό ότι δεν µπορεί η καµπύλη να παριστάνει µια γνησίως µονότονη συνάρτηση, άρα θα παρουσιάζει ένα τουλάχιστον σηµείο τοπικού ακροτάτου (εφόσον προέρχεται από παραγωγίσιµη συνάρτηση. β) Ας υποθέσουµε ότι f () > στο [, ]. Αν επιχειρήσουµε να «µεταφράσουµε» τα σύµβολα µέσα στο πλαίσιο που καθορίζει το σχήµα της (α), τότε f () d µεταξύ των ευθειών = και =». είναι «το εµβαδόν κάτω από την καµπύλη και f () = f () = f () OA = AB OA είναι «το εµβαδόν του ορθογωνίου ΟΑΒΓ», άρα η ισότητα = f () έχει την ίδια σηµασία που προκύπτει από τα σχήµατα του ερωτήµατος (α). Η τυπική απόδειξη θα µπορούσε να έχει ως εξής: Αν η f είναι γνησίως µονότονη, τότε θα είναι και -. Από γνωστή πρόταση υπάρχει ξ (, ) ώστε f () d = f (ξ) ( - ), δηλαδή f (ξ) = f (), άρα ξ = (άτοπο). f () d 369

. α) Εκ πρώτης όψεως φαίνεται ότι Ε = Ε β) lim λ + λ lim + λ λ d = lim ( - λ + d = lim ( - + λ ) = αυτό είναι το Ε λ ) = + αυτό εκφράζει το µέγεθος του Ε λ Μια πρόταση για γεωµετρική ερµηνεία είναι η παρακάτω: Αν το χωρίο Ε διαιρεθεί σε ορθογώνια µε πολύ µικρή βάση, τότε τα ύψη των ορθογωνίων µικραίνουν µε τέτοιο ρυθµό, ώστε αν και το πλήθος είναι θεωρητικά άπειρο, το άθροισµα των εµβαδών τους να είναι πραγµατικός αριθµός, πράγµα που δεν συµβαίνει στο Ε.. α) f () - g () = e - > και f () - = e - > β) E = (f () - g ()) d = ( - e γ) E = (f () - ) d = - e - - ) 3. To OAB έχει εµβαδόν ΟΒ ΑΒ = α, άρα θα πρέπει ν α ν d = ( ν α ), άρα ν = 3 και f () = α 3 37

4. α) = = ln + c και = - = - + c, = ln + c β) Αν (, ) είναι σηµείο τοµής δυο καµπυλών, εκ των οποίων η µία να είναι λύση της πρώτης και η άλλη λύση της δεύτερης εξίσωσης, τότε οι συντελεστές διεύθυνσης λ, λ των εφαπτοµένων σε κάθε καµπύλη είναι αντίστοιχα και -, οπότε λ λ = -. Για να εξασφαλίσουµε ότι δυο οποιεσδήποτε καµπύλες, µία από κάθε εξίσωση, τέµνονται, θα πρέπει να δειχθεί ότι η εξίσωση ln + c = - + c έχει για οποιαδήποτε c, c λύση ή ότι υπάρχει > ώστε ln + = c - c για κάθε c, c. Η συνάρτηση f () = ln + έχει σύνολο τιµών το R, άρα για κάθε c - c υπάρχει > ώστε f () = c - c. 5. α) f () = +, άρα f () = β) f () = + d = 4 3 γ) f () = άρα f () = 5 6. α) f () d = f () - f (5) <, αφού f (5) η µέγιστη τιµή 3 β) f () d >, αφού το εµβαδόν της ετικέτας κάτω από τον είναι αρκετά µικρότερο από αυτό που φαίνεται να βρίσκεται πάνω από τον 6 5 γ) f () d = f (6) - f (5) όµως f (5) = και f (6) <, αφού στο σηµείο αυτό η καµπύλη «κατέρχεται». 37

7. α) (β - α) f (α) = εµβαδόν ορθογωνίου, (β - α) f (α) + f (β) = εµβαδόν τραπεζίου f (α) + f (β) β) (β - α) β α f () d + γ) f και f () > άρα < Ι < (β -α) f (β),7 Γ Α α B β β α 8. f () d = f (β) - f (α) = εφ π π - εφ = - 3 4 3 9. α) Τ (t) =, άρα t = β) Τ ( ) γ) Για διακριτά ποσά η µέση τιµή έχει τη µορφή ν (α + α + + α ν ). Για συνεχείς µεταβολές (όπως είναι η µεταβολή του χρόνου) η αντίστοιχη σχέση θα είναι: β - α Τ = T (t) dt β α f (t) dt, άρα στην περίπτωση του προβλήµατος. f () >, άρα f (), οπότε f (β) - f (α) > και f () >, άρα β α = f (β) - f (α) >. (Στα ίδια συµπεράσµατα θα µπορούσαµε να φτάσουµε αν χρησιµοποιήσουµε την ιδιότητα: f () > στο [α, β], τότε β α f () d f () d > ). Αν Α ο συνολικός πληθυσµός f η ζητούµενη συνάρτηση τότε df = K (A - f (t)) και f (t) = A + ce - κt dt 37

. Η f δεν είναι συνεχής στο. 3. συν = συν στο [, π] 4. Α. d = 3 Β. d = Γ. (- + ) d. - d - 3 5. α) π/ f () d = - π π/ f () d π π β) είναι εµβαδόν ηµικυκλίου -3 3 γ) εµβαδόν τραπεζίου 3 5 δ) Ε > Ε ½ E 5 E 373

6. α) (Α Β ) = 3ln3 - β) (O Γ) = 9, (ΑΟΓΒ) = 9 - (3ln3 - ) λόγω συµµετρίας 7. α) λ - κ λ κ d = 3 β) Υπάρχει ξ (κ, λ) ώστε 3 λ - κ λ - κ 3 λ - κ = 3 (κ + κλ + λ ) λ κ d = f (ξ) = ξ 8. α) Ε = lnλ, Ε = λ - λ β) Ι = + Ι = 9. α) β) Στο [, ] η f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα f () f () d f () γ) 4 9 δ) α 9 f () d = 8 3. α) [ln f ()] = - β) 4 ( - ) e e 3. α) f () = e + γ) Ε (λ) = - e λ e - και g () = - e - e δ) 374