CAPITOLUL III DINAMICA Dnamca unctulu mateal lbe Pncle dnamc Exemental s-a demonstat cã un co aflat în eaus fatã de Pãmânt ãmâne tot în eaus atâta tm cât asua sa nu actoneazã alte cou cae sã- modfce aceastã stae. Aceastã oetate a coulu de a-s mentne staea de eaus sau de mscae ectlne unfomã, fãã actunea fotelo exteoae oatã denumea de nete. Coule nete sunt coule cae nu-s ot modfca de la sne staea lo de eaus sau de mscae ectlne unfomã. În vtutea nete coule se mscã ectlnu unfom fãã actun exteoae, a datotã nete coule tnd sã-s mentnã aceastã stae de mscae eactonând la actunle exteoae. Cu aceste consdeente asua coulo aflate în eaus sau în mscae ectlne unfomã se oate fomula ncul nete sau legea I a dnamc. Un unct mateal (co) îs ãsteazã staea de eaus sau de mscae ectlne unfomã atâta tm cât asua sa nu actoneazã alte cou cae sã-i modfce aceastã stae. Pentu legea a II-a a dnamc se leacã de la umãtoul exement: Obsevat a) Vteza vaazã lna cu tmul. Acceleata este ootonalã cu fota F s este constantã 87
b) Vteza ceste ma eede. Acceleata se dubleazã da s fota se multlcã, astfel cã în fnal acceleata a este ootonalã cu fota totalã. Sunem cã F = ka. c) Vteza scade cu tmul.aceeas fotã F cae actoneazã asua suafete a douã cou dã nastee la o acceleate a/. Dn exeentele de ma sus ezultã cã F = ma = m dv sau vectoal F = ma = m dv, unde m este un aametu oztv, caactestc unctulu mateal denumt masã netã sau netalã. Legea a II - a a dnamc este datã de elata F = ma (III.), adcã : acceleata cae mmã coulu mscaea este dect ootonalã cu fota alcatã când masa este constantã. Exesa F Geutatea s masa = m a eezntã o defnte dnamcã a fote s manfestã caacteul actv al mase. Geutatea unu co eezntã fota cu cae coul este atas de Pãmânt. Dnamc, geutatea se manfestã n cãdeea coulu lãsat lbe. Statc, geutatea se manfestã n fota cu cae coul aasã e un lan ozontal. Exemental s-a constatat cã în vd, unde nu actoneazã fota de geutate, toate coule cad cu aceeas acceleate g ndeendentã de masa, natua, dmensunle sau foma coulo. Analog cu legea a II - a, F = m a, entu geutate G = mg. Deosebea dnte geutatea s masa unu co Geutatea este o fotã de atacte exectatã de Pãmânt ; vaazã cu alttudnea, lattudnea, fnd deendentã de câmul gavtatonal. Ea se mãsoaã cu dnamometul s este o mãme vectoalã. Masa este o mãme scalaã, o caactestcã ntenã a coulu,ndeendentã de alttudne s lattudne. Masa se mãsoaã cu balanta. Alãtu de nete, o altã oetate a mase este aceea cã oate atage alte cou sau sã fe atasã de alte cou. Aceastã oetate confeã mase caltatea de masã gea, gavfcã (gavtatonalã) s eezntã o mãsuã a nteactun coulu cu câmul gavtatonal. Dec masa, mãme uncã ezntã douã oetãt: neta s gavtata, adcã masa netã este egalã cu masa gavfcã. Adcã statc,se manfestã masa gavfcã a dnamc masa netã. Ambele mase se mãsoaã cu balanta. 88
Legea a III - a. Pncul actun s eactun Exemental, s-a constat cã actunea unu co asua altua dã nastee smultan la o eactune a celu dn umã asua mulu. Enunt: actunle ecoce dnte douã cou sunt totdeauna egale în modul s djate în sensu contae. Legea a IV - a. Pncul ndeendente actun fote Sã consdeãm douã fote F s F cae actoneazã smultan asua aceluas unct A de masã m. Aceste fote oduc acceleatle a s a duã elatle F = m a s F = ma. Putem sce a = a + a cu a acceleata ezultantã. Se multlcã amb memb a ecuate cu numãul m s ezultã : ma = m a + m a cae eezntã F = F + F, adcã asua unctulu mateal actoneazã fota ezultantã F cae ezultã dn însumaea geometcã a vectolo F s F s cae oduc seaat efectele lo, ndeendent de exstenta celelalte fote. Teoeme geneale ale unctulu mateal Teoema mulsulu d d Dn legea a II - a a dnamc (III.) F = ma = ( m v) = (III.), unde = m v eezntã mulsul.relata aatã cã fota alcatã unctulu mateal este egalã cu devata mulsulu unctulu mateal în aot cu tmul. Se ma oate sce F = d sau n ntegae ezultã : t = F = d = - = D = m v - m v t unde eezntã mulsul fote F. Cum în mecanca clascã masa ãmâne constantã ezultã m = m = m ezultã teoema mulsulu de foma: t = F = mv - mv (III.3) t adcã mulsul fote ezultante alcate unctulu mateal este egal cu vaata mulsulu unctulu mateal. 89
Caz atcula: Dacã F = 0 ezultã m v = m v, adcã mulsul unctulu mateal se consevã. Dec teoema mulsulu exmã o lege de consevae a mscã matee. Exstenta mulsulu s a leg fzce de consevae a mulsulu este legatã de oetatea de omogentate a satulu (smeta la tanslate). Teoema momentulu cnetc Momentul cnetc în aot cu unctul O al unu unct mateal cae se delaseazã cu vteza v (dec cu mulsul mv ) este defnt n odusul vectoal (Fg.III): L = m v = (III.4) Dec momentul cnetc este un vecto eendcula e lanul fomat de cãte s v. Momentul cnetc vaazã în mãme s decte la delasaea unctulu mateal. Analtc : j k L = = x y z = y z + j z x + k x y x y z ( z y ) ( x z) ( y x ) L = y z ; L = z x ; L = x y x z y y x z z y x Pn devaea momentulu cnetc ezultã : dl d d d w d = ( ) = + = = F = M (III.5) unde d = v = v mv = 0 deoaece v mv. Dec devata momentulu cnetc în aot cu tmul, a unu unct mateal, este egalã cu momentul fote cae se alcã. Fãcând analoge cu teoema mulsulu, ezultã : = t t F a cum M = F se multlcã cu s ezultã : 90
t t t M = F = = L = L L (III.6) t Dec teoema momentulu cnetc este : mulsul momentulu fote alcate unctulu mateal este egalã cu vaata momentulu cnetc al unctulu mateal. Teoema momentulu cnetc exmã o lege de consevae a mscã mecance tansmse de la un co la altul n ntemedul fote în ocesul nteactun. Exstenta momentulu cnetc s a leg fzce de consevae a momentulu este legatã de oetatea de zotoe a satulu (smeta la otat). Fote centale În aagaful ecedent am gãst elata M = dl. Sã analzãm aceastã elate. Dacã momentul fote alcat unctulu mateal este nul ( M =0), atunc dl adcã momentul cnetc este un vecto constant. Cum M = 0 s = 0 s L = ct., M = F utem sune cã F = 0, adcã unctul mateal nu este suus la nco actune exteoaã s dec este un unct mateal lbe. Da M = 0 mlcã fatul cã F, adcã decta vectoulu fotã F tece n unctul O al unctulu mateal.(fg.iii.3) O fotã a cãe decte tece totdeauna nt-un unct fx este denumtã fotã centalã. Dec,când un unct mateal se delaseazã sub actunea une fote centale, momentul sãu cnetc ãmâne constant. Exemlu.Pãmântul se oteste în juul Soaelu sub nfluenta une fote centale a cãe decte este meeu îndetatã se centul Soaelu. Momentul cnetc al Pãmântulu în aot cu Soaele este constant. Deoaece L În mscaea cculaã exstã elata: = ct, mscaea odusã de cãte o fotã centalã este meeu înt-un lan. 9
L = mv = m ω = m dθ dθ (III.7) Da cum entu fotele centale L = ct. ezultã = ct. Când unctul mateal se delaseazã dn P în P aza vectoae baleazã aa hasuatã, cae coesunde unu tungh OP P. În consecntã da=aa tunghulu OP P= dθ a aa mãtuatã în untatea de tm este: da = d da ct =. = ct.(iii.8) cae ne θ aatã cã în mscaea sub actunea fotelo centale, aza vectoae a unctulu mateal mãtuã a egale în ntevale de tm egale. Acest ezultat a dus la descoeea leglo de mscae a lanetelo, cunoscutã sub denumea de legea a II-a a lu Kéle. Lucu mecanc Consdeãm un unct mateal A cae se delaseazã în lungul une cube C sub actunea une fote F (Fg.III.5). Înt-un tm scut, unctul mateal se va delasa dn A în A unde AA = d. Lucu mecanc efectuat de fota F în tmul aceste delasã este odusul scala dw = F d sau dw = Fds cosθ unde θ este unghul fomat de F cu delasae d. Da cum F t = Fcosθ ezultã dw = F t ds. Dec lucu mecanc este egal cu delasaea multlcatã n comonenta fote oentatã duã delasae. Lucu mecanc total efectuat de cãte unctul mateal cae se delaseazã înte unctele A s B este dat de suma tutuo luculo mecance nfntezmale, adcã; = + + L W F d F d 9
Analtc ezultã: sau ( x y z ) W = Fd = F dx + F dy + F dz B B W = Fd = F ds A A t Reezentaea gafcã aatã cã lucu mecanc total W este dat de cãte aa hasuatã cunsã înte A, B s cuba C (Fg.III.6). Untãtle de mãsuã j - este lucu mecanc efectuat de cãte N când unctul mateal se delaseazã cu m în decta fote. kwh = 0 3 w 3600s = 36 0 5 j Puteea Putea este lucu mecanc aotat la tm. dw dp = - este uteea nstantanee, a în functe de vtezã P F d = = Fv (III.9) a uteea mede Pm este datã de exesa : P m = W t Untãt: w = j/s - este uteea une masn cae efectuazã un lucu mecanc de j tm de s. Enega cnetcã Cunoscând exesa luculu mecanc dw = d Fd unde utem consdea F = ezultã : ( ) dw d m v = d m dv = d = mvdv a n ntegae ezultã : W mv mv = mvdv = (III.0) 93
cu v s v vtezele atculelo în unctele s. Exesa de ma sus aatã cã ocae a f functa cae eezntã fota F s taectoa umatã de atculã, valoaea luculu mecanc W efectuat de fotã este meeu egalã cu dfeenta canttãt mv la înceutul sau la sfâstul taectoe. Aceastã mãme mv oatã denumea de enege cnetcã E c, adcã E c = mv = m a elata de ma sus (III.0) devne de foma : W = E c - E c = E c (III.) adcã lucu mecanc efectuat de cãte fota ezultantã alcatã unctulu mateal este egal cu vaata enege sale cnetce cae eezntã teoema enege cnetce. Caz atcula. Dacã ezultanta fotelo alcate este nulã, ezultã enega cnetcã a unctulu mateal se consevã (E c = E c ), adcã un unct mateal nu-s oate modfca enega sa cnetcã numa sub actunea une fote alcate asua lu. În acest caz sunem cã enega cnetcã este egalã cu lucul mecanc cheltut entu a aduce unctul mateal dn eaus ânã la vteza v, sau altfel fomulat,lucul mecanc necesa entu a o unctul mateal. Exstenta mãm fzce scalae enege cnetcã s a leg sale fzce de consevae este legatã de oetatea de omogentate a tmulu (smeta la tanslat temoale). Enega otentalã Sã consdeãm un unct mateal m cae se delaseazã sub actunea une fote constante F în mãme s decte. Când unctul mateal se delaseazã de la A la B umând taectoa () lucu mecanc al fote F este (Fg.III.7): B B W = Fd = F d = F A A ( ) Se vede cla, cã dacã dumul umat este taectoa (), exesa luculu mecanc este aceeas. Dec lucu mecanc nu dende de dumul umat înte unctele A s B c numa de oztle exteme, ntalã s fnalã. De aceea lucu mecanc efectuat de unctul mateal e o taectoe închsã este nul, adcã : B A 94
W AB = W AB, deoaece oztle ntalã s fnalã concd sau : W AB - W AB = W AB + W BA = 0 Dec înt-un câm consevatv de fote (câmul gavtatonal sau electostatc) lucul mecanc efectuat de cãte fotele câmulu asua unctulu mateal nu dende de taectoa sau de vteza unctulu mateal c numa de oztle ntalã s fnalã a exesa matematcã genealã este de foma : W = Fd = 0 0 Defnta câmulu consevatv de fote : se sune cã un câm de fote este consevatv dacã lucu mecanc efectuat de cãte fotele câmulu asua unctulu mateal este nul e o cubã închsã. Dn elata : W = Fd = F( ) = DE se oate defn enega otentalã. A B Defnte Se numeste enega otentalã E a unctulu mateal ca fnd lucu mecanc cu semn schmbat, efectuat de fotele câmulu asua unctulu mateal entu a-l delasa dn ozta ntalã în ozta sa fnalã. Inves, dacã cunoastem enega otentalã E se ot calcula fotele n devae s anume: de = Fd unde Fd = F dx + F dy + F dz x y z a de E E E x dx y dy = + + z dz n analoge: F sau în geneal : x E E E = ; F = ; F = y z x y z E F = gad E = Intoducând oeatoul ca fnd : = + j + k x y z se oate sce cã : 95
gad E = E = + F (III.3) adcã fota eezntã gadentul cu semn schmbat al enege otentale. Suafete echotentale Reezntã suafetele entu cae enega otentalã este constantã ( E = ct.) Dacã un unct mateal se delaseazã e o astfel de suafatã atunc (Fg.III.8) utem sce : de = 0 = dw = Fd cu F d, adcã fota F este eendculaã e suafetele echotentale s îndetatã în sensul desceste enege otentale. Lnle de fotã sunt cube de-a lungul cãoa vectoul fotã este tangent; ele sunt nomale e suafetele echotentale. Consevaea enege unctulu mateal Înt-un câm de fote consevatv, mscaea unctulu mateal este datã, duã cum am vãzut, de cãte : W = Fd = E c = E sau altfel scsã : E c E ( Ec E ) + = + = 0 adcã E c + E = ct. Pentu oztle A s B ezultã : E ca + E A = E cb +E B = E (III.4) adcã enega mecancã consttutã dn enegle cnetcã s otentalã se consevã. Rezultã teoema de consevae a enege mecance, al cãu enunt este: înt-un câm de fote consevatv ae loc în tmul mscã o tansfomae ecocã a enege cnetce s otentale, suma lo ãmânând constantã. De aceea aceste fote consevatve ma oatã denumea de fote cae devã dnt-un otental. 96
Caz atcula În cãdea lbeã enega otentalã ae exesa : E = mgy = mgh a enega mecancã : (,, ) E = mv + E x y z = E + E c Fotele de fecae Când douã cou sunt în contact exstã totdeauna o ezstentã cae se oune mscã elatve a celo douã cou ( ex. : un co aflat în eaus ). Dacã îmngem coul e masã, el caãtã o mscae cu o anumtã vtezã. Duã încetaea fote alcate, coul încetneste ânã se oeste. Aceastã edee a canttãt de mscae ( muls ) ndcã cã o fotã se oune ( înantã ) mscã; acestã fotã este denumtã fotã de fecae. Ea aae ca o nteactune înte moleculele celo douã cou în contact, numtã adeentã. Aceastã nteactune este comlcatã s dende de numeos facto ca staea s natua suafetelo, vteza elatvã,etc. Exemental, s-a constatat cã în multe cazu fota de fecae F f este o mãme cae este ootonalã cu o fotã nomalã N alcatã de la un co la altul. Constanta de ootonaltate este denumtã coefcent de fecae s se noteazã cu m. Dec mãmea fote de fecae la lunecae este: F = µ N Fota de fecae de alunecae se oune meeu mscã coulo s ca umae ae o decte ousã înantã ( vteze coulo ) Exemlu: Dacã F este fota alcatã cae delaseazã coul se deata, fota ezultantã este djatã se deata s ae acceleata a cu ma = F F f. În geneal, exstã do coefcent de fecae. Coefcentul de adeentã sau statc ( m s ) este acela cae multlcat cu fota N, dã nastee la fota mnmã necesaã entu a une în mscae elatvã douã cou cae ntal sunt în contact s în eaus. În acest caz este denumtã fota de fecae statcã F = µ N fs s Coefcentul de fecae cnetc (m c ) este acela cae multlcat cu fota nomalã dã nastee la fota necesaã mentne coulo înt-o mscae elatvã unfomã. Aae în acest caz fota de fecae la lunecae. Ffc = µ cn 97
Legle fecã Exemental s-a constatat cã : - fota maxmã de adeentã ( statcã ) s fota de fecae la lunecae ( cnetcã ) dnte douã cou nu dend de aa suafete de contact dnte cou; - fota maxmã de adeentã s fota de fecae la lunecae sunt dect ootonale cu fota nomalã N ( aãsaea ) cae se exectã înte cou la suafata lo de contact. F = µ N, F = µ N, cu µ µ fs s fc c s c Când un co se gãseste în eaus e un lan înclnat, unghul maxm de echlbu ϕ s este dat de tgj s = m s s se numeste ungh de adeentã. Când un co se delaseazã e un lan înclnat ( lunecã unfom ) unghul lanulu ϕ c este dat de elata tgj c = m c s se numeste ungh de fecae la lunecae. Fecaea este o notune statcã deoaece fota F f eezntã suma unu numã mae de nteactun înte moleculele celo douã cou în contact. Dnamca sstemulu de uncte mateale Se consdeã un sstem de uncte mateale ( = n ) unde fecãu unct mateal se atbue o masã m. Asua fecãu unct mateal dn acest sstem actoneazã douã tu de fote s anume: fote nteoae ( ) F s fote exteoae ( ) F e Fe un unct mateal de masã m k asua cãua se exectã fotele nteoae ( ) F kl dn atea celolalte uncte mateale m l ale sstemulu s fotele exteoae sstemulu ( ) F k e cae actoneazã asua acestu unct mateal de masã m k. Deoaece fotele nteoae sunt fote de nteactune dnte unctele mateale ale sstemulu, atunc confom nculu III al Dnamc, fota ( F ) kl exectatã de unctul mateal de masã m l asua unctulu mateal de masã m k (cae eezntã actunea) este egalã cu fota ecocã de eactune ( ) F lk a unctulu mateal m k asua unctulu mateal de masã m l. Matematc se sce : ( ) F kl = - ( ) F lk sau ( ) F kl + ( ) F lk = 0 unde ( ) F kk = 0 Aceste elat exmã cã : totdeauna fotele nteoae ot nteactona numa ca eech douã câte douã egale în modul da de sens conta. 98
Pentu înteg sstemul de uncte mateale, însumând douã câte douã aceste fote de nteactune, se obtne în fnal o ezultantã nulã : ( ) ( ) F = F = 0 k, l kl Fota nteoaã ezultantã asua unctulu mateal de masã m k este : F ( ) k = n l= F kl ( n - n. total de uncte mateale ale sstemulu ) Pn însumaea acesto fote nteoae entu unctul mateal m k se obtne : F = F = F = 0 (III.5) ( ) ( ) k kl k, l Dec, fotele nteoae unu sstem de uncte mateale dau o ezultantã nulã. Sã vedem ce se întâmlã cu momentul fotelo nteoae. Fe douã uncte mateale de masã m s m s olul O în aot cu cae se consdeã momentul a s, vecto de ozte. Momentul fotelo nteoae este dat de elata (Fg.III9): ( ) M = F = F sau ( ) ( k k ) ( k kl ) k = + = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M F F F F ( ) F F 0 Deoaece M = snα =, α = 0, ( ) F 0 ( ) F Dec M ( ) ( ) = F = F = 0 (III.6) k k k k, l k kl Teoemã Rezultanta fotelo nteoae s momentul ezultant al fotelo nteoae fatã de oce ol O sunt nule. 99
Lucu mecanc al fotelo nteoae Putem sce : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W = F d + F d = F d F d = F ( d d ) = F d kl k lk Pentu coule gde ( nedefomable ) kl = ct. sau ( ) W = F d = 0 (III.7) kl kl l kl k kl l kl kl k l kl Concluze : entu coule gde, lucul mecanc al fotelo nteoae este nul. kl = ct. de unde kl d kl = 0 dec d kl =0 s Mscaea centulu de masã al unu sstem de uncte mateale Fe un sstem fomat dn uncte mateale de mase m, m, s de vteze v, v, în aot cu un sstem de efentã netal( R.I). Defnm vteza centulu de masã ca fnd : v cm = m v m + m v + L m v = = + m + L m m v M La statcã am defnt vectoul de ozte al centulu de masã (C.M) astfel: m m + m + L = = ;ao devãm în aot cu tmul s se obtne: cm m + m + L M d cm m d M M m v v = = = cm Cum mulsul = m v ezultã : v = cm = sau M M = M v cm (III.8) unde = este mulsul total al sstemulu. Relata = M v cm aatã cã mulsul sstemulu este acelas ca s cum toate masele unctelo mateale se gãsesc stuate n centul de masã delaseazã cu vteza v cm ( se ma numeste vteza sstemulu ). cae se Deoaece un co sold este alcãtut dnt-un sstem de uncte mateale se oate sune cã delasaea coulu sold se face cu vteza centulu de masã, v cm, adcã vteza coulu. 00
Înt-un sstem zolat ( = ct. ), confom nculu de consevae al mulsulu, a efeto la centul de masã se sune cã:centul de masã al unu sstem zolat se delaseazã cu o vtezã constantã în tot sstemul. Sstemul nezolat. Se consdeã un sstem S comus dn uncte mateale cae sunt în nteactune cu toate unctele mateale cae sunt în nteoul sstemulu S s cae fomeazã sstemul S. ( Ex. S - stemul sola s S - estul unvesulu ) Notat: - unctele mateale ale sstemulu S - unctele mateale ale sstemulu S j Pncul consevã mulsulu entu un sstem zolat ( S + S ) este: = + = ct j 3 3. sau sst. S sst. S' = + = ct S S '. Aceasta înseamnã cã oce vaate a mulsulu dn sstemul S este însottã de o vaate egalã s ousã în sstemul S a mulsulu. Matematc, = S S'. Dec nteactunea dnte cele douã ssteme S s S este descsã ca o vaate de muls. Pn devae se obtne : d d S d S ' = + = 0 sau d S d = S' unde d S ' ( e ) = F cae eezntã fota exteoaã cu cae sstemul S actoneazã asua sstemulu S. Cum vteza centulu de masã al sstemulu S este v ( e ) F M dv cm = = M a (III.9) cm cm S = ezultã M Adcã: Centul de masã al unu sstem de uncte mateale se delaseazã ca s un sngu unct mateal de masã egalã cu masa totalã a sstemulu s suus une fote exteoae sstemulu. Detemnaea mulsulu s a fote ezultante în cazul fotelo nteoae s exteoae 0
În sstemul S se consdeã douã uncte mateale de mase m s m cu fote nteoae F ca fnd actunea lu m asua lu m s F ca fnd actunea lu m asua lu m a F s F sunt fote exteoae. Confom nculu III al actun s eactun ezultã : F = - F Dacã fotele nteoae s exteoae, adcã totale, actoneazã asua maselo m s m ezultã (Fg.III.0): d = F + F (entu m ) d = F + F (entu m ) da cum F + F = 0 d d d = + = F + F sau în geneal d ( e ) = F (III.0) unde F (e) eezntã fota exteoaã cae actoneazã asua unctulu mateal de masã m. Fota exteoaã asua unu sstem de uncte mateale este egalã cu suma fotelo exteoae cae actoneazã asua fecãu unct mateal cae alcãtueste sstemul. Masa edusã Consdeãm douã uncte mateale cae sunt suuse numa nteactun lo mutuale; adcã numa fotele nteoae F (), a fotele exteoae nu actoneazã. Cele douã uncte mateale au masele m s m s vecto de ozte s fatã de un obsevato O dnt-un sstem de efentã netal ( SRI) s sunt suuse fotelo nteoae F s F (Fg.III.). 0
Duã ecuata de mscae (muls) ezultã entu fecae unct mateal: d = F s d = F sau m dv = F s m dv = F Rezultã : dv F = m s dv F = m Scãzând cele douã exes se obtne: dv dv F F = = + m m m m F deoaece F = - F sau d d v a = = ( v v ) s n dentfcae ezultã cã: a m m F a m + m = + ; = m m F ca în fnal mm F = m m a = µ a (III.) + unde µ = m m m + m - este masa edusã a sstemulu de douã uncte mateale. Acest ezultat aatã cã : mscaea elatvã a celo douã uncte mateale suuse numa nteactun lo mutuale ( F ( ) 0, F ( e) = 0) este echvalentã cu mscaea în aot cu obsevato netal a unu unct mateal de masã egalã cu masa edusã sub actunea une fote egalã cu nteactunea lo. Momentul cnetc al unu sstem de uncte mateale Am vãzut cã momentul cnetc al unu unct mateal este: L = = m( v) a elata dnte momentul cnetc L s momentul fote M este: 03
dl = M Fe douã uncte ca în Fg.III. s fotele nteoae s exteoae asua unctulu mateal s momentele cnetcs al fote fatã de unctul O. M = dl ; M = dl Pn însumae ezultã : d + = ( L L ) M + M Pesuunem cã nteactoneazã atât fotele nteoae cât s fotele exteoae atunc avem: F + F = F + F M = ( ) da cum F F + F = F + F = F ( fote nteoae ) ezultã : M = ( ) M + F + F + F = F + F M = ( ) Pentu cã ( ) = =, ( F ) F F 0 Dec d L + L = F + F = M (e) + ( ) M (e) sau dl = M ex (III.) Devata în functe de tm a momentulu cnetc total al unu sstem de uncte mateale în aot cu un unct oaecae este egalã cu momentul total în aot cu acelas unct al fotelo exteoae F (e) cae actoneazã asua sstemulu de uncte mateale. 04
Dacã s ( ) F e = 0 dl = 0 M (e) = 0 L = ct. = L + L + L 3 = ct. Legea consevã momentulu cnetc: momentul cnetc total al unu sstem zolat sau entu cae momentul fote este nul ( M (e) = 0 ) este constant în mãme s decte. Enega cnetcã a unu sstem de uncte mateale Fe un sstem alcãtut dn douã uncte mateale de mase m s m suuse la fotele exteoae F s F s la fotele nteoae F s F. La un moment dat, aceste uncte mateale se gãsesc stuate în oztle dn Fgua III.3 s se ot delasa cu vtezele v s v duã taectole C s C. Ecuatle de mscae entu fecae unct mateal sunt : m a = F + F m a = F + F Înt-un nteval mc, esuunem cã unctul mateal se delaseazã cu d s de aceea se înmulteste scala fecae ecuate de mscae cu d s se obtne: ma d = Fd + Fd m a d = F d + F d s stnd cã F = F, n adunae ecuatlo se obtne : Da v ma d + m a d = Fd + Fd + F( d d) d = s dv a d d dv d = = = v dv = v dv a d d = d( ) = d. Alcate la exesa de ma sus, se obtne: mvdv + m v dv = Fd + Fd + Fd Pn ntegae ezultã: 05
v v B m v dv m v dv F d F d F d + = ( + ) + v 0 v 0 4444 44443 I Patea dn stãnga a egaltat(i) se sce : A 444444443 II I : m v m v0 + m v m v 0 = m v + m v mv 0 m v 0 E c E + = c 0 a atea dn deata a egaltãt (II) se sce : B Wext = F d + F d A este lucu mecanc efectuat de cãte fotele exteoae. II : B Wnt = F d A este lucu mecanc efectuat de cãte fotele nteoae. Dec,n fnal : E c - E c0 = W ext + W nt (III.3) Vaata enege cnetce a unu sstem de uncte mateale este egalã cu lucu mecanc efectuat asua sstemulu de fote exteoae s fote nteoae. Consevaea enege sstemulu de uncte mateale Pesuunem cã fotele nteoae devã dnt-un otental s dec exstã o functe E., deendentã de coodonatele celo douã uncte mateale s astfel: B Wnt = F d = E E A 0 unde E este valoaea enege otentale la tmul t s E 0 este enega otentalã la tmul t 0. Intodusã în elata (III:3), se obtne : E c - E c0 = W ext + E 0 - E sau (E c + E ) - (E c + E ) 0 = W ext Notãm cu : 06
U = E + E = m v + m v + E uncte mateale. c In geneal, entu sstemul de uncte mateale: În concluze U = E c + E nt = m v + E toate m.. toate eechle j (III.4) se obtne enega oe a sstemulu de unde E c = m v = mv + m v + m 3v 3 + L a toate m.. 3 3 E nt = E = j E + E + L E + L toate eechle U - U 0 = W ext (III.5) Vaata enege o a unu sstem de uncte mateale este egalã cu lucu mecanc efectuat asua sstemulu de cãte fotele exteoae. Pentu sstemul zolat entu cae W ext = 0, U - U 0 = 0, sstemulu de uncte mateale zolate ãmâne constantã ( se consevã). U = U 0, enega oe a Cocn Când douã uncte mateale se aoe unul de altul, nteactunea lo mutualã modfcã mscaea lo oducând de fat o vaate a mulsulu s a enege. În acest caz sunem cã a avut loc o cocne. În geneal, nteactunea ae loc când cele douã uncte mateale sunt aoate oducând o vaate mãsuablã a mscãlo lo în tm scut. Deoaece la cocne contbue numa fotele nteoae, atunc mulsul s enega se consevã. Fe s mulsule celo douã uncte mateale înante de cocne s s mulsule duã cocne. Confom consevã mulsulu, se obtne (Fg.III.4): 07
+ = + sau ' m v + m v = m v + m v ' Ma notãm cu E c s E c enegle cnetce înante s duã cocne s cu E s E enegle otentale înante s duã cocne atunc,confom consevã enege: E c + E = E c + E Da E c = m v + m v = + m m ' ' ' E c = m v' + m v' = + m m Se ntoduce canttatea Q : Q = E c - E c = E - E ca fnd vaata eneglo cnetce s otentale (ntalã - fnalã). Dec entu ocesul de cocne sunt sufcente umãtoaele exes: E c - E c = Q adcã sau ' ' + = + + Q a m m m m + = + m v + m v = m v + m v s m v + m v = m v' + m v' +Q Obsevat : 08
Dacã Q = 0, nu exstã vaate de enege cnetcã (E c =E c ) s sunem cã cocnea este elastcã adcã : m v + m v = m v + m v m v + m v = m v' + m v' (III.6) Dacã Q 0 avem cocne neelastcã ( lastcã ). Dacã Q < 0, E c scade da ceste E - cocne neelastcã endoenegetcã. Dacã Q > 0, E c ceste s E scade - cocne neelastcã exoenegetcã. 09