Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός Κατεύθυνση κεφάλαιο 98 ασκήσεις και τεχνικές & Θεωρία με ερωτήσεις και αποδείξεις σε 55 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 7 / 5 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα για τις συναρτήσεις Πεδία ορισμού : Ορισμοί από τα παλιά Πεδίο ορισμού : Af Σύνολο τιμών : f () A f q A A f ()() g fάρτια f ()() f f fπεριττή f ()() f g fπεριοδική f ()()() T f T f fτέμνει '() 0f fτέμνει yy ' ό 0 fβρίσκεται πάνω από '() 0f fτέμνει g f ()() g fβρίσκεται κάτω από g f ()() g f ()()() 0g g f () ln(())() g 0 g ()() 0 1 f g g () Προσοχή : μη ξεχνάς ότι εφχ,σφχ είναι κλάσματα Ορισμός και ισότητα συναρτήσεων Πράξεις συναρτήσεων : Βρες το πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης Af, Ag οπότε A Af Ag.Ο αντίστοιχος τύπος θα είναι η αντίστοιχη πράξη των τύπων τους.προσοχή στη συνάρτηση f g θα πρέπει στο πεδίο ορισμού να λάβεις υπόψη ότι g() 0 88. Να εξετάσεις αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες. Αν όχι να βρεις το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο θα μπορούσαν να είναι ίσες : f (),() g 1 1 f (),() g f (),() g 89. Να βρεις τα διαστήματα στα οποία είναι ίσες : Πράξεις κλαδωτών συναρτήσεων : Κάνε όλους τους συνδυασμούς μεταξύ των κλάδων.θα ορίσουμε νέα διαστήματα f () 1 1,() g 90. Δίνονται οι συναρτήσεις : 1 f (),() g 1, να ορίσεις τις συναρτήσεις 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 f g f g f g f g 91. Δίνονται οι συναρτήσεις f () 1,() g 4 fg ; f ; g 1,0 4 1, 5,48 4,15 f (),() g f ; g 9. Δίνονται οι συναρτήσεις : 9. Δίνονται a 1 a a f (),() g, f g ; a a 1 a 1 94. Έστω, : 8()() 4()() 4 f g f g f g g f f g () 95. Δίνονται οι συναρτήσεις f g g f f, :() 10, ν.δ.ο. η g δεν είναι η μηδενική συνάρτηση 96. Έστω συνάρτηση f : f() = ( 1), 1 1, 1, α ε R. Να βρεις το α όταν διέρχεται από Α(α,α) 97. Ν.δ.ο. η συνάρτηση f() = 1 1 είναι περιττή 98. Δίνεται η συνάρτηση f() = 9 9,ν.δ.ο. f()+f(1-)=1 99. Αν f : f()-5f(-)= +4+4 τότε με τι ισούται το άθροισμα των συντελεστών της f() 00. Αν f : f()=αχ+β και fof()=f()+αβ, να βρεις τα α,β 01. Έστω οι συναρτήσεις f()= 1 1 και g()=χ-1 να βρεις για τις διάφορες τιμές του χ τη θέση των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων ( 1) ( 0. Αν f()= και g()= 1) να βρεις το λ ώστε f=g 0. Δίνονται οι συναρτήσεις f()=ημχ και g() =.Να βρεθεί η σύνθεση της f με τη g, η σύνθεση της g με την f και της g με τον εαυτό της
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 04. Αν g()=-, f περιττή συνάρτηση και h(+1)= f (()) g f () να βρεις το h(4) 05. Ν.δ.ο. δεν υπάρχει συνάρτηση φ για την οποία ισχύει f(1-)f(1+)-f(1+)= 06. Δίνεται η συνάρτηση f:[,5] R, να βρεις το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g()=f(-) 07. Αν f( +)= ++, να βρεις την f(). 1 08. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln.να βρεις το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης 1 09. Έστω η συνάρτηση f : f()+f(1-)=4f(0)-.να βρεις τον τύπο της f(). 10. Έστω η συνάρτηση f : f (), 1, να βρεις το α ώστε f( +1)=αf(α-)+f(α+)-6 11. Έστω οι συναρτήσεις f,g ώστε [f()+g()] -[f()-1][g()+1]+4=0.ν.δ.ο. f=g 1. Αν f () 1, 0 1, 0 και g(), 1 να βρεις την τιμή της παράστασης (f+g)()+(fg)(0) 1, 1 Σχετική θέση συναρτήσεων Σχετική θέση συναρτήσεων f,g: Όρισε τη συνάρτηση h()()() f g και κάνε τον πίνακα πρόσημων της h. 1. Να βρεις τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων με τους άξονες : f () 4 4 g() 1 h() 1, 0, 14. Να βρεις τις τιμές του χ για τις οποίες οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων βρίσκονται πάνω από f () 5 6 g () h() ln ln 15. Να βρεις τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική της g : f () 4 1,() g 1 1 f (),() g 1 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 a 4 f (),, a b, A1, 1, B, b 1 7 τα σημεία από τα οποία διέρχεται. 16. Δίνεται η συνάρτηση Να βρεις α,β, τα σημεία που τέμνει άξονες, τα χ για τα οποία βρίσκεται πάνω από τον χχ, τα σημεία τομής με την ευθεία y=1. Σύνθεση συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων fμε g : Agof A f :() f Ag gof g f ()(()) g f 17. Δίνονται οι συναρτήσεις f g ; f f ; g f ; g g ; 1 f (),() g 5 18. Έστω συναρτήσεις : f (),() g 6 f g ; f f ; g f ; g g ; 19. Έστω συναρτήσεις : f (),() g 4 1 f g ; f f ; g f ; g g ; 0. Δίνεται η συνάρτηση : f : 4, 4,()( g 6) f 1. Δίνονται οι συναρτήσεις, να βρεις το πεδίο ορισμού της g f () a b 1,() g,() b f g 4, ; a b 1 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f (),() g,() h 1 f g h;. Αν f () 4 4 f f ; 4
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88, 0 4. Δίνονται f (),() g f ; g 1, 0 5. Ν.δ.ο. αν f,gπεριττές τότε g f 6. Ν.δ.ο. αν f άρτια τότε g f άρτια περιττή 7. Ν.δ.ο. αν f περιττή και g άρτια τότε g f 8. Ν.δ.ο. αν f περιττή και g f 9. Δίνεται άρτια περιττή τότε g περιττή f :() f 5f 4(1) ; f Όπου εμφανίζονται σχέσεις της μορφής fof (),() fofof και ζητείται το f () 1 τότε συνήθως φοράω άλλο ένα f στη σχέση ή όπου χ βάζω το f () 1 0. Αν 1. Αν. Αν f g() 5 1,() g 4() ; f f g() 4 6,() f 4() ; g f ( 5) 8 4 () ; f. Συναρτησιακές σχέσεις : f () y f(0):βάζω όπου χ=ψ=0 για άρτια ή περιττή βάζω ψ=-χ ή όπου χ το χ,ψ=0 για σχέση με έναν άγνωστο ψ=0 ή χ=0 ή χ=ψ=χ/ Συναρτησιακές σχέσεις : f () y f(1) : βάζω όπου χ=ψ=1 για σχέση με έναν άγνωστο ψ=1 ή ψ=1/χ Συναρτησιακές σχέσεις με f (),() a f b συνήθως θέτω όπου χ το α-β-χ και σύστημα. Δίνεται η συνάρτηση f :,()()() f y f f y Ν.δ.ο. διέρχεται από αρχή αξόνων, είναι άρτια και f ()()() y f f y, ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι η μηδενική 4. Δίνεται συνάρτηση f :,()()() f y f y yf.ν.δ.ο. η συνάρτηση διέρχεται από αρχή αξόνων και έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων 5. Δίνεται συνάρτηση f :,()()() f y f f y,ν.δ.ο. διέρχεται από το Α(1,0) και 1 f f () 5
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 6. Να βρεις διαστήματα μονοτονίας στις συναρτήσεις : f () 4 f () f () ln 1 Εφαρμογές μονοτονίας Μονοτονία : f ό f ()() f και 1 1 f ό f ()() f 1 1.Αν ζητηθεί μονοτονία και η fείναι παραγωγίσιμη τότε χρησιμοποίησε f '() και δες τον πίνακα προσήμων αλλιώς ξεκίνα με 1 και εξέτασε f ();() f 1 7. Δίνεται συνάρτηση f () a a. Να βρεις τοα ώστε να είναι γνησίως φθίνουσα, Λύση εξίσωσης με f κάνε πράξεις ώστε να εμφανίζεται f( )=f( ) και με την προυπόθεση ότι η f είναι 1-1 διώχνεις τα f και συνεχίζεις Λύση ανίσωσης με f κάνε πράξεις ώστε να εμφανίζεται f( )<>f( ) και εφόσον γνωρίζεις τη μονοτονία της f διώχνεις τα f ( f δεν αλλάζεις φορά ενώ με f αλλάζεις φορά ανίσωσης ) και συνεχίζεις 8. Δίνεται συνάρτηση f () e ln. a, b 0,, a b e e e ln b. Ν.δ.ο. Να λύσεις την ανίσωση 9. Δίνεται η συνάρτηση f () a, a 0,1 b a a b a 1 e e ln 1 ln, να βρεις μονοτονία να λύσεις την ανίσωση a a 40. Δίνεται συνάρτηση f () 5 1. Να βρεις μονοτονία να λύσεις την ανίσωση f f () 7 41. Δίνεται συνάρτηση f () ln, να μελετήσεις μονοτονία να λύσεις την ανίσωση 4. Δίνεται η συνάρτηση f () 10 100 110. ln 4 ln 1 0 Ν.δ.ο. είναι γνησίως αύξουσα και 6
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 να λύσεις τις ανισώσεις : f f 10 100,() 108 1 5 5 5 4. Να λύσεις την ανίσωση : ln 5 1 44. Να βρεις το σημείο της ευθείας y=-1 που έχει ελάχιστη απόσταση από το σημείο Α(1,0) 45. Να βρεις το α ώστε να έχει ελάχιστο το - η συνάρτηση f a () 46. Αν f() = 1 με f: (-1,1) R, να μελετήσεις τη μονοτονία 47. Ν.δ.ο. αν οι συναρτήσεις f,g είναι γνησίως αύξουσες και οι γραφικές τους παραστάσεις είναι πάνω από τον άξονα χχ, η συνάρτηση fg είναι γνησίως αύξουσα. 48. Στην προηγούμενη άσκηση ν.δ.ο. και η gof είναι γνησίως αύξουσα 49. Δίνεται η εξίσωση ln=1-. Ν.δ.ο. έχει μοναδική λύση και να βρεθεί. Επιπλέον δίνεται η εξίσωση f() = 5 Ν.δ.ο. είναι 1-1 και. να λύσεις την εξίσωση 5 5 ln ln(1) 1. 50. Δίνεται η συνάρτηση f : f () () f 0, όπου f:r (1,+ ). Ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι αύξουσα, να βρεις το f() και να λύσεις την ανίσωση f(f())> 1-1 «1-1» : μπορείς να αποδείξεις ένα από τα επόμενα 1 ό f ()() f 1 (μην το χρησιμοπ) f ()() 1 f ό1 Ν.δ.ο. η f είναι γνησίως μονότονη : f '() κ.τ.λ. Σε σχήμα θα πρέπει φέρνοντας οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία να τέμνεις το πολύ σε ένα σημείο Σε κλαδωτή συνάρτηση αποδεικνύουμε ότι είναι 1-1 κάθε κλάδος και μετά θα πρέπει τα σύνολα τιμών των κλάδων να μην έχουν κοινά σημεία. Ν.δ.ο. η συνάρτηση δεν είναι «1-1» : απέδειξε ότι δεν ισχύει ένα από τα παραπάνω ή βρες τιμές για το χ όπου δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. 51. Να εξετάσεις αν είναι 1-1 οι συναρτήσεις : f () 5 f () 5 1 7
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 f () 1 f () e ln f () 4 f () ln 1 5. Να εξετάσεις αν είναι 1-1 η συνάρτηση 6 5, f () 5, 5. Δίνεται συνάρτηση f :,()() f f 1 f Ν.δ.ο. αντιστρέφεται και διέρχεται από το Α(1,1) 54. Δίνεται συνάρτηση f :,() f 4() f Ν.δ.ο. αντιστρέφεται και διέρχεται από το Α(1,1) f :,()() f f f 55. Δίνεται συνάρτηση Ν.δ.ο. είναι αντιστρέψιμη και να λύσεις την εξίσωση : f ()(4) f 56. Δίνεται η συνάρτηση f :,() f 1 () f,ν.δ.ο. δεν είναι αντιστρέψιμη 57. Δίνεται συνάρτηση f :,() f 5f f1 Ν.δ. ο. αντιστρέφεται, f (),() g 1() 4f δεν είναι αντιστρέψιμη 015 Αντίστροφη συνάρτηση 58. Να βρεις τις αντίστροφες των συναρτήσεων: Αντίστροφη συνάρτηση f 1 () : Αποδεικνύεις ότι είναι 1-1 Θέτω f()=yκαι λύνω ως προς χ Αλλάζω το χ με το ψ Το νέο ψ είναι η f 1 () Το νου σου :το σύνολο τιμών f(α)= A 1 f f () g() e 1 8
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 h() f () 5, 1 g() ln 1 h() 59. Δίνεται συνάρτηση 4, 5, 5 f () ()() f 0f, ν.δ.ο. είναι αντιστρέψιμη και να βρεις την f 1 60. Δίνεται συνάρτηση f (())() f f, ν.δ.ο. είναι αντιστρέψιμη και να βρεις την f 1 Ιδιότητες αντίστροφης συνάρτησης f 1 () : Η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική με την f ως προς την ψ=χ 1 Αν f ()() a b f b a Αν f τότε για τα κοινά τους σημεία 1 f 1 1 f ()()()() f f f A f A f A A 1 ()() f 61. Δίνεται συνάρτηση γνησίως μονότονη όπου διέρχεται από το Α(,),Β(,6). Ν.δ.ο. αντιστρέφεται και να λύσεις : 1 1 f f 1, f f e 6. Δίνεται η συνάρτηση 5 f () 1, 6. Δίνεται ν.δ.ο. είναι αντιστρέψιμη και να 1 λύσεις : f f 1 f f f 5 () 4 18 4 4 5 0 f 1 ; f 1 ( 18) ; 9
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 f 1 () ; 64. Δίνεται η συνάρτηση f () 9 1 f ; f 1 ( 5) ; να λύσεις 1 f f 1 f ()() f ln 0 f () 65. Δίνεται συνάρτηση e f (), να βρεις f 1 f ( 1) f e 66. Δίνεται η συνάρτηση 01 f () e 1, ν.δ.ο. αντιστρέφεται και να βρεις τα κοινά τους σημεία 67. Δίνεται συνάρτηση f () () f, ν.δ.ο. αντιστρέφεται, να βρεις αντίστροφη, μονοτονία και κοινά τους σημεία 68. Έστω f : R R με f (0) 1,()()() f f y f y. Ν.δ.ο. f (0) 0 f () 0, 69. Έστω f : R R όπου διέρχεται από τα σημεία Α(,0) και Β(,1). Να βρεις τη μονοτονία της αν γνωρίζεις ότι είναι 1-1 και να υπολογίσεις 70. Έστω f : R R f (0),(1) f 1 1 1,1-1 όπου διέρχεται από το Α(1,), Β(,4).Να λύσεις την εξίσωση f f 1 4 71. Αν f ()( f1) f δεν είναι 1-1 7. Έστω f : R R,1-1, όπου διέρχεται από Α(,), Β(4,-1). Ποια η μονοτονία της και να λυθεί η ανίσωση f f 1 () 1 10
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 7. Αν f (), [0, ], να υπολογίσεις το f 1 1 74. Έστω f : R R,1-1, όπου f ()() f 1,να υπολογίσεις την f 1 () 75. Αν f (), να υπολογίσεις την f 1 () 76. Έστω f : R R,1-1, διέρχεται από Α(4,), Β(5,1), ποια η μονοτονία της f και να λυθεί f () f 1 77. Αν f () e ln( 1)(1) ; f 1 78. Για τη συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι f(f())=004+005. Ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρεις την αντίστροφη. Να λύσεις την εξίσωση f()= f f ()() f 79. Δίνεται η συνάρτηση Ν.δ.ο. είναι 1-1 και να λύσεις την εξίσωση f ()(4) f 80. Έστω συνάρτηση f αύξουσα και θετική.ν.δ.ο. η g() = f () 1 f () αντιστρέφεται 81. Δίνεται η συνάρτηση f με f ().Να εξετάσεις αν αντιστρέφεται και να βρεις την αντίστροφη 8. Δίνεται η συνάρτηση f : [,+ ) R με f()= 1. 4 Ν.δ.ο. η συνάρτηση f αντιστρέφεται. Να βρεις την αντίστροφη και να εξετάσεις αν έχουν κοινά σημεία 8. Δίνεται η συνάρτηση f με f() =, Ν.δ.ο. είναι 1-1 και,. να βρεις την αντίστροφή της f. 11
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Ερωτήσεις θεωρίας 1) Να δοθεί ορισμός διαστήματος : a, b : a b, a, b : a b [α,β),(α,β] ομοίως για ) Να δοθεί ορισμός συνάρτησης : Έστω Α υποσύνολο του R.Η διαδικασία που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο του Α σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y, Α: πεδίο ορισμού, y:τιμή της f στο ) Ορισμός γραφικής παράστασης : Το σύνολο Μ(,y) όπου y=f(), f η συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α 4) Να δοθεί ορισμός ίσων συναρτήσεων : f g έχουν ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε χεα : f()=g() 5) Πράξεις συναρτήσεων : f g f ()() g, f g f ()() g, fg ()() f f (), g g() 6) Σύνθεση συναρτήσεων : Σύνθεση της f με g συμβολίζω τη συνάρτηση g f ()() και πεδίο ορισμού Ag f Af /() f Ag g f g f 7) Ορισμός γνησίως αύξουσας : f στο D όταν 1, D : 1 8) Ορισμός γνησίως φθίνουσας : f στο D όταν 1 1 11) 84. Ορισμός Αν συνάρτηση αντίστροφης είναι γνησίως συνάρτησης μονότονη : Αν και f αντιστοιχίζει διέρχεται από το χ τα στο σημεία y τότε Α(,) η και αντιστοιχίζει Β(,4), να το λύσεις y στοτην και ανίσωση : f(1+f 1 1 αντιστρόφως : f (-1))>4 ()() y f y 1) Τι γνωρίζω για την αντίστροφη εξίσωση : πεδίο ορισμού της μίας είναι το σύνολο τιμών της άλλης και 85. Δίνεται η συνάρτηση f (), χωρίς να βρεις 1 την αντίστροφη 1 αντίστροφα. Έχουν συμμετρία να υπολογίσεις f 1 ( ). ως προς y=. 4 f f, f f y y. Αν f γνησίως αύξουσα 1 1 τότε 86. Αν συνάρτηση για τα κοινά αντιστρέφεται σημεία των και f, f f ( :()() f 1) f 8 να βρεις το f 1 ή f () ή () f 1 () με τύπο τότε f 1 f, D : τότε f f 1 9) Ορισμός μεγίστου, ελαχίστου : συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α : o ε Α είναι μέγιστο τότε A :()() f f o & o ε Α είναι ελάχιστο τότε A :()() f f o 10) Ορισμός συνάρτησης 1-1 : Αν f : A, 1, A : αν 1 f 1 f ή αν f f 1 1 1 f f g Όρια 0 0 Η f έχει όριο στο () f () f 1 0 o o o 87. Να υπολογίσεις τα όρια : 8 1 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 88. Να υπολογίσεις : 89. Ομοίως 90. Αν 4 1 5 7, 1 1 9 1 1 5 6 f () 7 () f ; 1 1 () f 4 Σε όριο Α.Μ. 0 0 έχεις επιλογές Hornerσε αριθμητή- παρονομαστή Συζυγή παράσταση σε άρρητες μορφές De l Hospital Σε ριζικά με το ίδιο υπόριζο διαφορετικών τάξεων βρίσκεις το ΕΚΠ των τάξεων και θέτεις f () y Αν δίνεται όριο ποσότητας που περιέχει την f() και ζητείται το ()f τότε ΘΕΤΩ βοηθητική συνάρτηση g(). Όριο που περιέχει απόλυτο : σε περίπτωση Α.Μ. κάνε το πινακάκι για το απόλυτο ώστε να δεις το πρόσημό του.στην χειρότερη περίπτωση μπορεί να χρειαστείς πλευρικά όρια Κριτήριο παρεμβολής : Αν για τη συνάρτηση fισχύει...() f... τότε οποιοδήποτε όριο το δουλεύεις κατασκευαστικά. 91. Να υπολογίσεις 6 8 4 6 και 9. 0 4 1 4 1 6 4 1 1 9. Δίνονται οι συναρτήσεις 1, 1 6, f, g :() f,() g, (),() f, ; g a b a b, 1 a b, 1 94. Να βρεις τα α,β αν υπάρχουν τα όρια στο 1,-1 για τη συνάρτηση : 95. Δίνεται η συνάρτηση 96. Αν a b, f (), () f, a; b (a ) b, 7 16 () f 7 4 () ; f a b, 1 f () a, b 1 1, 1 97. Αν h h () 1 () ; 0 1() f 5 4 1 () ; f 98. Αν 1 99. Αν 4() f 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 400. Αν () f ; 1 f () 5 ; 1 1 f () 4() f 4 () ; f 0 401. Να υπολογίσεις τα όρια : 0 4 0 0, 40. Ομοίως : 9 ( ) 7 1 0 4 0 0 5 9 40. Δίνεται η συνάρτηση f () () f 0, 0 0, 0, υπολόγισε τα όρια : f () 0 f () 0 404. Να υπολογίσεις τα όρια : 5 14
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1 7 1 5 8 405. Να υπολογίσεις τα όρια : 9 1 4 7 1 406. Δίνεται η συνάρτηση f() = k, 0 4, Να βρεις τα κ,λ ώστε να υπάρχει το όριο στο 0 και η γραφική παράσταση να διέρχεται από το Α(1,) 407. Να υπολογίσεις τα όρια : ( ) 4 ( ) 8 0 1 1 408. Να βρεις τα όρια : 1 1 409. Αν 1 0 5 1 1 [4()()] f 4f, να βρεις το όριο της συνάρτησης στο 1 410. Να βρεις το 1 1 1 1 4 411. Να υπολογίσεις 1 1 15
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 «Κατασκευαστικά» 41. Έστω f : R R : 41. Έστω f : R R : () f, να βρεις () f, να βρεις f ()(0) f 0 f () 0 () f 4 0 5() f 414. Έστω f : R R : () f, να βρεις () f 0 f () f () 415. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g ώστε 0 ()() f g 0 a, ()( g 1 1), να υπολογίσεις το 0 416. Δίνεται η συνάρτηση f : R R όπου () f, να βρεις () f 0 f () 0 417. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g ώστε f ()() g() f, ν.δ.ο. τα όρια των συναρτήσεων στο 0 είναι 0 418. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g ώστε [() f ()] g6,[() ()] f g, να βρεις τα όρια των συναρτήσεων στο 419. Δίνεται συνάρτηση f όπου f() ημχ. Να βρεις το όριο της f στο 0. Επιπλέον να υπολογίσεις 0 f ()() f f () 1 40. Αν f (), 0 1() f 1 να υπολογίσεις τα όρια : () f f () 16
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1 f ()() g 41. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : (0,+ ) R και τα όρια a, το όριο f () g () 4. Έστω f : R R f ()() f 5, () 5 ; f () 5 4 : f 4. Αν f () () f () ; f, να βρεις 44. Αν 1 f () f () ; f 45. Έστω f : R R : f () () f 0, να βρεις () f 0 46. Να βρεις τις συναρτήσεις f, g :()() f () g 4() 4f g 47. Αν f ()(0) f ()()() ; 0 f f f () f 7 5 () ; f 48. Αν Λέω να «θέσω» 49. Αν 40. Αν f ()() f ; 1 1 () f 1 41. Αν () f ; f () ; ()() f f 9 ; f () 4 f () () 4 01 ; 4. Αν f () f () 1f () ; f 4. Αν 011 011 44. Αν 1 f (), να βρεις 1 17
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 () f 1 f () 1 1 1 45. Αν (() f 5) 0, να υπολογίσεις τα όρια : () f (() f ) f () 5 (() 6 ) f 4 5 f () 5 1 () 5 6 f 46. Να βρεις το όριο () f, αν ισχύει ότι [() f 1 ] 4 47. Δίνεται συνάρτηση f όπου f () 1 f (), να βρεις το () f 1 48. Δίνεται η συνάρτηση f : [() f ] 5 1, να υπολογίσεις το όριο της f στο 1 και f () 1 () f 49. Αν ()() f () g4() 5f g 0, να βρεις (),() f 0 0 g 440. Αν f () () f () f ; f () 1 441. Αν f () () f () f 1 ; f () 1 f ()() 1 f 5 ; 1 1 44. Αν 1 1 44. Αν f () () f ; 1 1 444. Αν ( 4 1)() 01 () ; f f 18
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 445. Αν 446. Αν 447. Αν 448. Αν 5 1 () f ; 1 f () 1 4() f 16 5 () f ; 4 4 f () () g ; 0 0 f ()() f 4 ; 5 6 449. Αν f () () () 8 f f 1 ; f () 1 4 () f () g 5, 8() 5() f 4 g() ;,() ; f g 450. Αν 451. Αν f f f 4()() 4 () ; 45. Αν ισχύει f () () f 0 () ; f 0 45. Αν f () 1() 1 f f ( 4)(), f 4 ; 7 7 454. Αν () f 4 ( )() f ; f 455. Αν 456. Αν 0 f f () ; 0 0 f ()(7) f 4 ; 0 f ()() 0 f f () 457. Αν fάρτια, gπεριττή και,() g ()() f; g Όρια 0 a Μορφή 0 a : δίνει αποτέλεσμα 458. Να υπολογίσεις τα όρια : 1 4 1 19 Horner σε παρονομαστή Βρες το προβληματικό Σπάσε σε όρια Υπολόγισε το πρώτο και στο δεύτερο κάνε πλευρικά όρια. Το νου σου στο τέλος μπορεί να πάρεις,, (δεν υπάρχει)
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 6 8 1 1 0 459. Αν 460. Αν 4 () g ; g() g() 8 () g ; 1 1 () f 4 461. Αν () f ; () f 5() 7f ; f () 1 46. Να υπολογίσεις τα όρια : 0 1, τα α,β ώστε να υπάρχει το 1 a b 1 46. Αν 464. Αν g() g() a, b 1, a b ; 1 1 b, f (), () f, a; b a6, 465. Να υπολογίσεις για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων α,β το 4 a 9 b 4 1 466. Να βρεις αν υπάρχουν τα όρια 1 ( 1), 4 467. Να βρεις το όριο 1 5 6 468. Να βρεις το όριο 0 0
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Όρια Όρια στο : παίξε με τη μεγαλύτερη δύναμη παντού, σε αριθμητή, παρονομαστή, μέσα στη ρίζα, έξω από τη ρίζα,. 469. Να υπολογίσεις τα όρια : 4 5 4 6 7 8 5 7 8 7 6 4 6 1 5, 4 5 1 1 4 9 1 1 9 4 4 9 5 470. Για τις διάφορες τιμές του α να βρεις το 9( ) 5 a a a 471. Να υπολογίσεις για τις διάφορες τιμές του α το a ( a ) 4 ( ) a a 1 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 47. Για τις διάφορες τιμές του α να βρεις το 1 ( 1) a a 1 47. Αν ( a 4)( 4) a b 1 1 ( b ) 6 a, b ; 474. Αν b 4 a, b ; a 475. Για τις διάφορες τιμές του α να υπολογίσεις τα όρια : 4 a 9 1 4 a a 476. Αν a 1 b 1 a, b ; 477. Να υπολογίσεις τα όρια : e 1 e 478. Να υπολογίσεις τα εκθετικά όρια : 479. 5 5 4 5 1 5 9 4 5 5 9 4 5 480. Να υπολογίσεις : 4 0 1 1 1 4 1 481. Να υπολογίσεις : Όρια εκθετικά-λογαριθμικά Μορφή Εκθετικά όρια στο με α>1 δίνει με α<1 δίνει 0 με α>1 δίνει 0 με α<1 δίνει Στο βγάλε κοινό παράγοντα τη μεγαλύτερη εκθετική Στο βγάλε κοινό παράγοντα τη μικρότερη εκθετική
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1 4 5 e 5 4 1 1 48. Να βρεις για κάθε θετική τιμή του α το a a 01 01 Λογαριθμικά όρια στο : Απλά εφάρμοσε ιδιότητες λογαρίθμων της ΒΛ. 48. Να υπολογίσεις τα όρια : ln ln ln 0 4ln ln 1 e ln k 484. Να υπολογίσεις το ln 485. Να βρεις τα όρια 486. Να βρεις τα όρια : 5 6 e e 1 7 (5 ) για τις διάφορες τιμές του κ 4 4 4 5 5 487. Να βρεις το όριο 1 488. Να βρεις το όριο 489. Να βρεις το όριο 1 1 4
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 490. Δίνεται το όριο () f 5 1, να βρεις το όριο της f() 491. Να βρεις το όριο ( )( ) 10 10 10 49. Να βρεις το όριο k 1 Παραμετρικά όρια 49. Να βρεις α,β ώστε 494. Να βρεις α, β ώστε a b 0 a b 1 1 495. Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ να υπολογίσεις το όριο : Παραμετρικά όρια 0 : Αν το λ=0 τότε έχω μορφή 0/0 και δουλεύω ανάλογα. Αν το 0 τότε δούλεψε όπως μορφή α/ο αλλά θα χρειαστείς να πάρεις περιπτώσεις για το πρόσημο του λ. ( 1) 1 496. Δίνεται η συνάρτηση f()= 1.Να βρεις το όριο της συνάρτησης στο 1 για τις διάφορες τιμές του λ 497. Δίνεται η συνάρτηση f() = f () 1, 5,.Να βρεις τα κ,λ ώστε να υπάρχει το όριο στο 498. Δίνεται η συνάρτηση f()=,να βρεις τα α,β ώστε 499. Δίνεται η συνάρτηση f() =.Να βρεις τους α,β ώστε 1 () f 8 1 500. Έστω η συνάρτηση f(α, + ) R τέτοια ώστε τιμή του λ f () () f, 4 1, να βρεις την 501. Να υπολογίσεις το όριο 4 1 για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού μ. 4
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 50. Δίνεται η συνάρτηση f() = πραγματικός αριθμός a,,.να βρεις τα α,β όταν το όριο της συνάρτησης στο είναι 50. Να υπολογίσεις τα παραμετρικά όρια : a 4 b a b a b a ( 1) a 7 a b P()() P 504. Να βρεις πολυώνυμο Ρ(χ) ώστε, () P, 1 505. Να υπολογίσεις τα α,β όταν : 1 f (), () f, () f a b 1 506. Να υπολογίσεις τα α,β όταν : a ( b ) a b 1 4 «Περίεργα» όρια 507. Να υπολογίσεις τα όρια : 508. Να υπολογίσεις τα όρια : 1 1,, 4 0,,, 0 4, 5, 5 7 1 509. Ν.δ.ο. 0 0 510. 1, Μορφή 1 ά 0 0 5
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 511. 1 0 0 e 51. 51. 514. e 515. 516. ln 517. ln 0 518. ln 519. 0 ln 50. e 51. 0 e 5. e 5. e 54. e 0 55. e 56. ln 57. 58. 59. 0 ln e e 50. 51. 5. 5. 0 Μορφή 0 : Πέτα τη μία συνάρτηση κάτω από την άλλη οπότε θα δημιουργήσεις μορφή 0 0 ή και θα συνεχίσεις με DelHospital. Απροσδιόριστη μορφή (),() Μορφές 0 0 ή της ιδιότητας ΒΛ : Κάνε χρήση ln a e Αν εμφανίζονται σε πολ/μο ή διαίρεση βάλε απόλυτα και συνέχισε με κριτήριο παρεμβολής Αν εμφανίζονται σε πρόσθεση ή αφαίρεση βγάλε κοινό παράγοντα για να δημιουργήσεις πολ/μο ή διαίρεση. Κάνε συζυγή αν έχεις άρρητη συνάρτηση.προσοχή αν δε μπορείς να κάνεις συζυγή ίσως να χρειαστεί να προσθαφαιρέσεις χ. Βγάλε κοινό παράγοντα δύναμη του χ ή e ή ln. Στα επιμέρους κλάσματα θα χρειαστείς Del Hospital. 6
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 54. Να υπολογίσεις το όριο 1 55. Να υπολογίσεις τα όρια : 1 1, 1 1 4 ln 56. Να βρεις τα ακόλουθα όρια : ln 4 ln 1, ln() ln 57. Να υπολογίσεις το Συνέχεια συναρτήσεων Συνέχεια σε συναρτησιακή σχέση f(+y) : θέτω o h a όπου f συνεχής στο α,τότε () f (()) f... a h Η f είναι συνεχής στο o () f ()() f f o o o o o Συνέχεια σε συναρτησιακή σχέση f(y) : θέτω h όπου η f o a o συνεχής στο α,τότε () f ()... f h o o a o 58. Να μελετήσεις τη συνέχεια των συναρτήσεων : 1 1, 0, f (),() f, 0 4, 59. Ομοίως : 6 9 1 4,, 0, f (),() f,() f 0, 0, 0 4, 540. Να βρεις το α ώστε να είναι συνεχείς οι συναρτήσεις : a a,, 1 f (),() f a 5, a, 1 541. Αν είναι συνεχής η a b, 1 f (), 1 a b 5, 1, να βρεις τα α,β 54. Να βρεις τα α,β ώστε να είναι συνεχής η, 1 f (), b 1 a, 1 1 7
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 a b, 1 54. Να βρεις τα α,β ώστε να είναι συνεχής η f () 1 5, 1 7 1, 1 544. Να βρεις τα α, β ώστε f () a b να έχει όριο στο 1, 1 1 545. Αν a, 1 f () 1,1 b,, να βρεις τα α,β ώστε να είναι συνεχής στο R 546. Έστω f : R R : f ()()()(0) y f0,()() f y f f f a 547. Έστω f : R R,συνεχής όπου διέρχεται από το Α(1,-1), να βρεις τα α,β αν a f () 5a b, a b, 548. Αν 1 f (),( 1,)() ; f 549. Να βρεις τα α,β ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής και να διέρχεται από Α(0,) : a b f () b a, 1, 1 1 550. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ()(0) ; f () f 10 7 551. Να βρεις τη συνεχή συνάρτηση όπου : 55. Δίνεται συνεχής συνάρτηση : 1 01 f ()(0) ; f * 55. Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο, f :,()()() f y f f y,ν.δ.ο. είναι συνεχής στο R 554. Δίνεται η συνάρτηση f :,()() f () y f f y y,συνεχής στο 0, ν.δ.ο. είναι συνεχής R 555. Δίνεται συνάρτηση f :,()()() f y f f y, συνεχής στο 1 ν.δ.ο. συνεχής στο R 556. Ν.δ.ο. οι παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστο μία ρίζα : 4 Bolzano 8 0,(0,1) 5 1 0,(0,) 557. Ν.δ.ο. οι παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστο μία 8 Ν.δ.ο. η συνάρτηση έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (α,β) : κάνε Bolzanoστη συνάρτηση που δίνεται. Ν.δ.ο. η εξίσωση έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (α,β) : κάνε Bolzanoστη συνάρτηση που θα δημιουργήσεις από την εξίσωση αν τα φέρεις όλα στο πρώτο μέλος. Το νου σου : Αν δεν υπάρχει διάστημα δημιούργησε το μόνος σου.θα μπορούσε να είναι και το. Αν δε φαίνεται το πρόσημο στα f (),() a f τότε δείξε ότι f(α)f(β)<0.
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 10 0 1 1 ρίζα : 0,(, ) 558. Ν.δ.ο. οι γραφικές παραστάσεις των f () 5,() g 1 τέμνονται σε ένα τουλάχιστο σημείο στο (1,) Bolzano: έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] Συνεχής στο [α,β] Ισχύει f(α)f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστο o στο (α,β) τέτοιο ώστε f () 0 o 559. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f e (). Ν.δ.ο. η εξίσωση f () e έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (0,1) 560. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :[ a, b],() f a018,() b 018 f b a, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα ξ ε [α,β] : f () 018 5 561. Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο [,] ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα χε(,) : f () 5 6 56. Δίνεται συνάρτηση συνεχής f : 0, 0,1, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα ξε(0,) : 56. Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο [α,β]. Ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα ξε(α,β) : 10()(10)()(), f k 0,10 f a kf b k 564. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : 0, 0,1, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα ξ ε (0,] ώστε f () () f 565. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : 0,1, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα 0, f ()() f ώστε f () 566. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :,(1)(5) f f,ν.δ.ο. υπάρχει ξε[1,] ώστε f ()( f) 567. Δίνονται f, g :() f 5 6(), g, g()() g 0. Αν οι αριθμοί, είναι διαδοχικές ρίζες της f, ν.δ.ο. 568. Δίνεται συνάρτηση g :,()()() g k g0, m g n,() 0k m n g, ν.δ.ο. είναι ασυνεχής f, g : 0,1 0,1, f, g υπάρχει ξε(0,1): f g()() g f 1 569. Αν οι συνεχείς 570. Δίνεται συνεχής συνάρτηση στο [α,β] :,,()() a b f a b e f 0a e f b, ν.δ.ο. f()=0 έχει μία τουλάχιστο ρίζα 571. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : a, a 1,()()( f a 1) f a0 f a. Ν.δ.ο. η εξίσωση f()=0 έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο [α,α+1]. 57. Ν.δ.ο. η εξίσωση b b, b 0 έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα που δεν υπερβαίνει το b 57. Ν.δ.ο. η εξίσωση 6 5 1 0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (-1,1) 9
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 574. Έστω συνάρτηση 575. Ν.δ.ο. η εξίσωση f () 7, ν.δ.ο. η συνάρτηση παίρνει την τιμή 7/ όταν χε (-4,4) 16 4 a 576. Δίνεται συνεχής συνάρτηση ( a,) b:() f ab o o o 577. Ν.δ.ο. η εξίσωση 578. Δίνεται συνεχής 1 0 έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (-1,1) f : a, b a, b, ab 0. Ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα 1 1, έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (1,) f : 0,,(0)() f f Ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα α ώστε f ()( a 1) f a 579. Δίνεται συνεχής f : 0, 0,.Ν.δ.ο. υπάρχει ένα τουλάχιστο 580. Δίνεται f :, f 0, :() f o o o o o,συνεχής με 0<f(1)<1.Νδ.ο. υπάρχει ένα τουλάχιστο 1, e :(ln) f ln o o o f : a, b,()()()() a f a b f b f a f b 581. Δίνεται συνεχής, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο μία ρίζα για την εξίσωση f () 0 58. Ν.δ.ο. η εξίσωση 58. Έστω 1 έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (0,1) 1 010 01 f : a, b, ή,()() f a f b a, b : ()() f () f a f b o o,ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα 584. Έστω συνεχής f : 0,1 0,1, ν.δ.ο. o 0,1 :() f o 0 585. Έστω συνεχείς f, g : 0,1 0,1.Ν.δ.ο. υπάρχει ένα τουλάχιστο 0,1 :()() f g v f : 1,0, () f 8 586. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση. Ν.δ.ο η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-1,0) 587. Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [1,] και ισχύει f(1)+f()=8 και f(1).ν.δ.ο. υπάρχει ένα τουλάχιστο ξ ε (1,) ώστε f () 588. Έστω f μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [-,] για την οποία ισχύει f () 4 για κάθε χ ε [-,].Να βρεις τις ρίζες της εξίσωσης f()=0. Ν.δ.ο. η f διατηρεί το ίδιο πρόσημο στο διάστημα (-,).Ποια μπορεί να είναι η f(). 589. Δίνεται η συνάρτηση f: R R, συνεχής για την οποία : (f()-1)(f()-)=0 για κάθε χεr.ν.δ.ο. η f είναι σταθερή στο πεδίο ορισμού της. 590. Ν.δ.ο. η εξίσωση 0 8 1 0 έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (,) 0
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών ΘΕΤ : αν μία συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] είναι συνεχής στο [α,β] και f ()() a f τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (),() a f, υπάρχει ένα τουλάχιστο στο (α,β) τέτοιο ώστε f () o 591. Έστω συνάρτηση συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [α,β]. Ν.δ. ο. υπάρχει ξε(α,β) : f () a b f ()() a f b f 59. Συνάρτηση είναι συνεχής στο [1,4], ν.δ.ο. υπάρχει ξε[1,4] : f () 59. Έστω συνάρτηση f :,(1) f,() f 5. Αν η εξίσωση f () 4 ασυνεχής 594. Έστω συνάρτηση συνεχής o Θεώρημα μεγίστης και ελαχίστης : μία συνάρτηση συνεχής στο [α,β] έχει κάποια μέγιστη και κάποια ελάχιστη τιμή. Εφαρμογή του ΘΕΤ : σε ασκήσεις που θέλουμε ν.δ.ο. η f λαμβάνει μία τιμή κ ή θέλουμε ν.δ.ο. f () v1 f () 1...() vk f v... v f (1) () f 5()(4) f f 10 είναι αδύνατη ν.δ.ο. είναι f : a, b, a b : a, b,ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι συνεχής o 1 k k 595. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:[0,1] R.Ν.δ.ο. υπάρχει ένα τουλάχιστο χ 0 ε [0,1] τέτοιo ώστε f () 0 1 4 5 f f f f f 10 10 10 10 10 5 596. Έστω η συνεχής συνάρτηση f:[κ,λ] R υπάρχει ένα τουλάχιστο ξ ε[κ,λ] τέτοιο ώστε αf(χ 1 )+βf(χ )+γf(χ )=004f(ξ).Αν χ 1,χ,χ ε [κ,λ]και α,β,γ θετικοί ακέραιοι με α+β+γ=004, ν.δ.ο. 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Απόδειξη θεωρίας Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β]. Αν: η f είναι συνεχής στο [ α, β] και f ( α) f ( β) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α) και f (β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0 ( α, β) τέτοιος, ώστε f ( 0 ) η (Θέμα 005) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι f ( α) f ( β). Τότε θα ισχύει f ( α) η f ( β) g( ) f ( ) η, [ α, β], παρατηρούμε ότι: (Σχ. 67). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση η g είναι συνεχής στο [ α, β] και g ( α) g( β) 0, Αφού g( α) f ( α) η 0 και g ( β) f ( β) η 0. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ( α, ) τέτοιο, ώστε g ) f ( ) η 0, οπότε f ( 0 ) η. 0 β ( 0 0
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1) Πότε υπάρχει το όριο στο o : Αν f ορισμένη στο,, o o Ερωτήσεις θεωρίας a U b τότε () f l () () f f l o o o 14) Κριτήριο παρεμβολής : Αν συναρτήσεις f, g, h :()()() h f g κοντά στο χο και () h () g l τότε () f o o o 15) Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης : Αν ομοίως 16) Όριο ρητής συνάρτησης : Αν f () l v P a a a τότε () P a, v v1 () v v1... o a a... a b b b v v1 v v1 o k k 1 k k 1... o 17) Όριο εκθετικής συνάρτησης - Λογαριθμικής συνάρτησης : Για α>1 : Για 0<α<1 : a, a 0, log, log a 0 a, a 0, log, log a 0 av τότε () f b 18) Ορισμός συνέχειας στο o : η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o : ()() f a a o f o k v k v, ομοίως 19) Ποιες συναρτήσεις είναι συνεχείς : Πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές(ημχ,συνχ),εκθετικές και λογαριθμικές 0) Πράξη συνεχών : αν έχω δύο από τις παραπάνω συναρτήσεις συνεχείς στο o τότε οποιαδήποτε πράξη f τους f g, cf, fg,, f, v f g θα είναι συνεχής στο o 1) Σύνθεση συνεχών : σύνθεση των συνεχών f,g (f συνεχής στο χο, g συνεχής στο f(o)) θα είναι συνεχής στο o. ) Συνέχεια σε (α,β) : όταν η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) ) Συνέχεια σε [α,β] : όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον ()(), f ()() f a f f b b 4) Θεώρημα Bolzano : f ορισμένη στο [α,β], f συνεχής στο [α,β] με f(α)f(β)<0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστο ε (α,β) ώστε f( )=0 o 6) Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής : ΑνΣυναρτήσεις f συνεχής στο έξυπνα [α,β] τότε f παίρνει στο [α,β] μία μέγιστη τιμή M και μία ελάχιστη τιμή m. 7) Θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής αν γνωρίζω μονοτονία : o 5) Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών : f ορισμένη στο [α,β], f συνεχής στο [α,β] με f(α) f(β) τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α),f(β) υπάρχει τουλάχιστο ένα ε (α,β) ώστε f( )=η Αν f γν. αύξουσα στο (α,β) τότε Σ.Τ. το (Α,Β) όπου A (), f B () f o a b Αν f γν. φθίνουσα στο (α,β) τότε Σ.Τ. το (Β,Α) όπου A (), f B() f o
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 597. Δίνεται η συνάρτηση f :[1,) R με f () ln 1.Να μελετήσεις τη συνάρτηση ως προς μονοτονία, σύνολο τιμών και να ορίσεις την αντίστροφη συνάρτηση της f. 598. Έστω f, g : R R : f, g. Ν.δ.ο. g f και να λυθεί η ανίσωση g f ( 4)( g 8) f e 599. Ν.δ.ο. οι συναρτήσεις f (),() g ln() e είναι 1-1 και να υπολογίσεις τις αντιστρέψιμές e τους.επιπλέον να λύσεις την εξίσωση 600. Δίνεται η 1-1 συνάρτηση : f g( )() f g g 1 8() g; 1 601. Δίνεται η συνάρτηση f :()() f f 1, να βρεις την f 1 60. Δίνεται η συνάρτηση f :()() f f f, να βρεις την f 1 60. Δίνεται η συνάρτηση 5 f (), ν.δ.ο. υπάρχει η 1 f και να βρεις τα κοινά τους σημεία. 604. Δίνεται συνάρτηση f :()() f f 1, να βρεις την f 605. Αν f()=α+β και 606. Αν f, g : R R, g :1 1 1 1 f (4) 5,() f 6 ;, να λυθεί η εξίσωση : g f ()() 1 g f 607. Αν f () 6, [01,), να βρεις την f 1 608. Να βρεις την μονοτονία της g :()() g f, f f Ασκήσεις επανάληψης 609. Να βρεις το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : f () 4 f () 4 4 f () 5 4 7 10 f () ln ln f () ln 1 f () 1 1 4
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 610. Δίνεται η συνάρτηση a f :,() f ; a a 1 611. Να βρεις τα σημεία τομής των συναρτήσεων με τους άξονες : f () ln 1 4 f () 1 f () 1 61. Δίνονται οι συναρτήσεις f (),() g, να βρεις που τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων καθώς και τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πρώτης βρίσκεται πάνω από της δεύτερης 61. Να βρεις πότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον οριζόντιο άξονα, όπου f () e 1 614. Να βρεις τα α,β ώστε οι συναρτήσεις να τέμνονται πάνω στην ευθεία χ=-1 και στον κατακόρυφο άξονα, όπου f () a b 4,() g a b 615. Ποια η σχετική θέση των συναρτήσεων f, g όπου : f ()() g e 616. Να εξετάσεις αν είναι ίσες οι συναρτήσεις : f () 6 9,() g. Ομοίως για 4 f (),() g 617. Να βρεις τα κ,λ,μ ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις : 618. Αν 1 f () 1,() g f g fg f f g,να ορίσεις τις συναρτήσεις : 619. Αν, :,()() 4()()() 8 ( 1) f (),() g 6 f g f f g f g g f g f g 5
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 60. Αν f () 1,() g f ;, g g ; f 61. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0,1], να βρεις το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : g() f h() f ln 6. Αν () :() 1, ; 6. Αν f a b f f f f a b g(),() g ln() f ; f 64. Αν g(), f ln g () ; f 65. Ν.δ.ο. δεν υπάρχει συνάρτηση : f (1)() f, 66. Αν f f () 6 5(1) 1f 67. Αν (1) f () 4f 1,() ; f f :, f y f y y 68. Αν ν.δ.ο. η συνάρτηση διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι περιττή και το f (). Αν η συνάρτηση διέρχεται από το A(1, 1) f ; 69. Να βρεις τη συνάρτηση όπου : f :,() f ( 1) 5f 60. Να βρεις τη μονοτονία των συναρτήσεων : f 5 () 1 f () ln( ) f e () 1 f () f 61. Δίνεται η συνάρτηση () να βρεις τη μονοτονία, 5 f (), να λύσεις την εξίσωση 5, να λύσεις την ανίσωση 5 6. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι γνησίως φθίνουσες, να βρεις τη μονοτονία των συναρτήσεων : f g 6
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 g f 6. Αν συνάρτηση f :()() f f f 64. Αν είναι 1-1 οι συναρτήσεις f,g ν.δ.ο. το ίδιο ισχύει για τη σύνθεση της gμε την f, να λύσεις την εξίσωση f f f :,()() f f f :1 1 f 65. Αν 4 0 66. Δίνεται η συνάρτηση 1 f () e, ν.δ.ο. είναι 1-1, να λύσεις την εξίσωση f () 4, να λύσεις την ανίσωση 1 e 0 67. Δίνεται η συνάρτηση f () e 016, ν.δ.ο. είναι 1-1 και να λύσεις την εξίσωση : e e 68. Να βρεις τις αντίστροφες των συναρτήσεων : f () f () ln f e e 1 1 () 016 f () f (), 018 e 69. Έστω f () 1 ln,() g 1 e 1 g ; g 1 f ; 640. Γνησίως μονότονη συνάρτηση διέρχεται από τα σημεία Α(,),Β(5,9), να βρεις μονοτονία και 1 να λύσεις την εξίσωση f f 1 την ανίσωση f f 9 και 8 641. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g :,() f f 5 9,()() g f, ν.δ.ο. η f διέρχεται από το Α(,) ενώ η g δεν αντιστρέφεται 7
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 10 8 64. Να υπολογίσεις τα όρια :,, 5 1 5 5 1 64. Να βρεις το όριο των συναρτήσεων στο -1 και στο των συναρτήσεων f () 5,, 4, f () 4, 1 1, 1, 1 644. Να βρεις τα α,β όταν η συνάρτηση διέρχεται από το Α(,6) και έχει όριο στο χ=4 όταν a b, 4 f () 64 18, 4 16 645. Να υπολογίσεις τα όρια : 4 4 4 9 9 1 1 646. Να υπολογίσεις τα όρια : 647. Αν 648. Αν 1 0 0 0 1 1 f ()() 1 f 1 1 1 ; f :( f )(),() f f() ; f 1 649. Αν f ()() f a 016 ; 0 0 8
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 f ()()() f f 1 ; 650. Αν 0 0 651. Αν 65. Αν 65. Αν f () 4 () f ; 0 0 () f 4,() a f 5 ; a f :()() f f1, () ; f 1 654. Να υπολογίσεις τα όρια : 0 0 655. Να υπολογίσεις τα παραμετρικά όρια : a m 0 1 a 1 ( ) 7 656. Να βρεις τα α,β ώστε : a 657. Αν 658. Αν 659. Αν a b 4, 1 1 a b 4 10 5 6 1 1 a 1 f () () f ; 0 1 1 0 () f ; 1 f () 1 f () ln () f ; 0, 9
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 660. Να βρεις τα όρια 5 1 4 7 661. Να υπολογίσεις τα όρια : 9 4 5 1 66. Να βρεις τα όρια : 4 4 a a 8 a a ( 4) 1 1 a για τα a 66. Να βρεις τα α,β ώστε 1 a b 664. Να βρεις τις γωνίες,, 665. Αν : 4 4 () 1 () ; f f 1 1 P()() P 666. Να βρεις το πολυώνυμο P() :, 1 1 1 667. Να υπολογίσεις τα τριγωνομετρικά όρια : 4 1 1 5 40
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1 668. Να υπολογίσεις τα εκθετικά όρια : 1 5e e 1 5e e e 1 e e e 1 e 1 1 1 5 9, 5, 5 669. Να υπολογίσεις τα λογαριθμικά όρια : 0 ln ln ln 670. Να μελετήσεις ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις : 5 6,0 1, 0 () 5 f,() f, 0, 0 a k, 1 1, 1 671. Αν συνεχείς συναρτήσεις f (),() a g b m n a,, a, b, k m; n, 1, 1 1 1 67. Αν συνάρτηση συνεχής, f ()(0) ; f 4 1 67. Να βρεις τη συνεχή συνάρτηση :,() 1 5 4() ; f f f 41
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 674. Αν συνάρτηση συνεχής f :,() f 1 να βρεις το f(0) 675. Δίνεται η συνάρτηση f :, συνεχής στο χ=-, περιττή και f () 1( ) ( ) f ; 9 ν.δ.ο. συνεχής στο χ= και να βρεις () f 1 676. Δίνεται η συνάρτηση f :,()()() f y f f y, Να βρεις f(0) και αν επιπλέον είναι συνεχής στο χ=0 ν.δ.ο. είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού 677. Έστω συνάρτηση f :()() f 1 f, ν.δ.ο. είναι συνεχής 678. Ν.δ.ο. η εξίσωση έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (-π,π) 4 4 679. Αν συνεχής f :(1)()() f f 0 f, ν.δ.ο. η εξίσωση f () 0 680. Δίνεται η συνεχής, :() k a b f k kf k k f : a, b a, b, a 0, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα έχει τουλάχιστο μία ρίζα 681. Δίνονται οι μιγαδικοί ρίζα στο [-1,1] z, w,() f z w z w, ν.δ.ο. η εξίσωση f () 0 έχει μία τουλάχιστο 68. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση ώστε 8 4 () f () f, ν.δ.ο. διατηρεί σταθερό πρόσημο 68. Δίνεται η συνάρτηση f : A,() f 4 A ; Να λύσεις την εξίσωση f () 0. Ν.δ.ο. διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-,). Να βρεις τον τύπο της συνάρτησης αν διέρχεται από το σημείο Α(0,-) 684. Αν συνάρτηση συνεχής και γνησίως μονότονη με f (0) 7,(5) f 1, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστον ένα m 0,5 :() f m f (1) () f () f 4(4) f 10 4
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 685. 4