Transformatorji in dušilke

Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Danilo Makuc Transformatorji in dušilke Zbirka nalog z rešitvami Danilo Makuc, FE UN LJ, januar 011

Predgovor Zbirka vsebuje rešene naloge iz preteklih pisnih izpitov pri predmetu Transformatorji in dušilke, ki se predava v 4. letniku univerzitetnega študija elektrotehnike, smer Močnostna elektrotehnika. Vsebina nalog je vezana na snov predavanj in avditornih vaj pri tem predmetu, zato se predpostavi, da je študent seznanjen z vsebino le-teh in jih je absolviral. Naloge v zbirki so namenjene pripravi na pisni izpit in so razvrščene po temah, ki se obravnavajo pri avditornih vajah. Rešitve so sicer komentirane, vendar to največkrat ni dovolj za razumevanje obravnavane vsebine, ki je bila natančneje predstavljena na predavanjih in/ali avditornih vajah. Enačb, še posebej tistih, ki so izpeljane za posebne primere, ni potrebno znati na pamet, zato si lahko za reševanje nalog (tudi pri pisnem izpitu) pripravite list z ustreznimi enačbami. Razne vezave, oznake in diagrami ne sodijo na ta list. Računske in druge napake niso izključene, zato prosim, da me o njih obvestite (e-pošta: danilo.makuc@fe.uni-lj.si). Najlepše se zahvaljujem vsem, ki ste pri do zdaj objavljenih rešitvah izpitov že odkrili nekatere napake in me nanje opozorili. Danilo Makuc Ljubljana, januar 011 Transformatorji in dušilke - zbirka nalog

Kazalo 1 Magnetna vezja... 4 Zračne dušilke... 15 3 Stresana reaktanca... 17 4 Dodatne izgube v navitjih... 19 5 Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev... 7 6 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja... 38 7 Projektiranje transformatorja... 51 Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 3

1 Magnetna vezja 1.1 zdelati želimo dušilko, ki jo bomo uporabljali na izmeničnem omrežju. Na razpolago imamo železno jedro z zračno režo, katere dimenzije v mm so označene na sliki, debelina jedra je 40 mm. Dinamična magnetilna krivulja (pri 50 Hz) feromagnetika je podana v diagramu. Koliko ovojev mora imeti dušilka, da bo njena induktivnost čim večja ter konstantna na tokovnem območju od 0 do A (efektivna vrednost) in kolikšna bo induktivnost dušilke na tem tokovnem območju? zračun opravite s pomočjo magnetnega vezja, pri zračni reži pa upoštevajte, da je zaradi robnega efekta, presek le-te večji za 0%. 40 40 1.6 40 1.4 1. 1.0 00 1 B (T) 0.8 0.6 0.4 40 0. 00 0.0 0 00 400 600 800 1000 100 1400 1600 H (A/m) REŠTEV: nduktivnost dušilke določa razmerje med magnetnim sklepom in tokom, ki ga ustvarja. V našem primeru izračun opravimo s pomočjo magnetnega vezja (reluktančnega modela), zato stresanja ne upoštevamo in je magnetni pretok skozi vse ovoje enak. Tako lahko zapišemo osnovno enačbo za induktivnost: Ψ Φ L = = N Če želimo, da bo induktivnost konstantna (neodvisna od toka) na danem tokovnem območju, je potrebno na magnetilni krivulji izbrati ustrezno delovno področje. Linearni del, kjer je permeabilnost konstantna zavzema območje od 0 do 1 T, zato mora biti število ovojev takšno, da pri maksimalnem toku A, gostota magnetnega pretoka v jedru ne preseže vrednosti 1 T. Z upoštevanjem "magnetnega" ohmovega zakona lahko za takšno vzujanje napišemo: V m = Φ R () m N Rm Bmax AFe Rm = Φ = (3) pri čemer ne smemo pozabiti, da so magnetne količine vedno podane kot maksimalne vrednosti, zato je potrebno efektivno vrednost izmeničnega toka pomnožiti s. (1) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 4

Magnetno upornost celotne magnetne poti izračunamo: R R R 1 l 1 δ H l 1 δ µ µ µ 1. Fe max Fe m = Fe + δ = + = + Fe AFe 0 Aδ Bmax AFe 0 AFe z geometrije jedra določimo srednjo magnetno pot po železnem jedru, ki znaša: Magnetna vezja l = 4 160 1 = 639 mm. (5) Fe Z izračunano reluktanco celotne magnetne poti: Rm 00 0.639 1 0.001 A = + = 494341, (6) 7 1 0.04 4π 10 0.04 1. Vs lahko sedaj določimo potrebno število ovojev: Bmax AFe Rm 1 0.04 494341 N = = = 79.64 N = 79 ovojev. (7) zračunajmo še induktivnost, pri čemer ponovno ne smemo pozabiti, da zaradi maksimalnih (amplitudnih) vrednosti magnetnih količin, računamo z amplitudo toka: N Φ N Bmax A Fe 79 1 0.04 L = = = = 0.1578 H. (8) (4) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 5

Magnetna vezja 1. Navitje dušilke ima 100 ovojev in upornost 10 Ω ter je navito na toroidno feritno jedro. a) zračunajte gostoto magnetnega pretoka v jedru, če navitje priključimo na enosmerno napetost UDC = 5 V? Upoštevajte homogeno porazdelitev magnetne gostote v jedru. b) Kolikšna bo efektivna vrednost toka, če navitje priključimo na sinusno napetost frekvence 1000 Hz in efektivne vrednosti UAC = 5 V? Dimenzije jedra: dz =100 mm dn = 60 mm h = 50 mm d n h Magnetne lastnosti ferita: µr = 1000 µ0 = 4π 10-7 Vs/Am), d z REŠTEV: a) Ker v tem primeru upoštevamo konstantno magnetno gostoto po celotnem preseku feritnega jedra, lahko rešitev poiščemo s pomočjo magnetne poljske jakosti H in magnetne permeabilnosti feritnega jedra: B = µ H = µ µ H. (1) r 0 Po Amperovem zakonu lahko za obravnavani toroid zapišemo: N H = π d, () sr pri čemer je dsr srednji premer toroida in določa srednjo dolžino magnetne poti, pa tok, ki teče skozi navitje. Ker je na navitje priključena enosmerna napetost, upornost navitja pa je znana, je vrednost toka: UDC 5 = = = 0.5 A R 10 Tako dobimo: B N N 0.5 100 7 = µ r µ 0 = µ r µ 0 = 1000 4π 10 = ( dn + dz π d ) sr π π (0.1 + 0.06) (3) 0.5 T (4) b) Če navitje priključimo na izmenično napetost, bo nadomestno vezje dušilke izgledalo takole: U R U X U R X Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 6

Magnetna vezja Poleg padca na ohmski upornosti navitja se zaradi izmeničnega toka pojavi še inducirana napetost v navitju, ki jo lahko obravnavamo kot padec napetosti na reaktanci. Magnetne razmere v jedru so linearne, geometrija je znana, tako da lahko izračunamo induktivnost dušilke: Ψ N Φ AFe L = = = N µ = l sr ( ) h ( ) 0.05 = N µ µ = 100 1000 4π 10 = 50 mh ( ) dz dn 0.1 0.06 7 r 0 dz + dn 0.1+ 0.06 π ( ) π Efektivno vrednost toka izračunamo s pomočjo absolutne vrednost impedance dušilke: UAC UAC UAC 5 = = = = = 0.015 A. (6) Z R + ( ω L) R + ( π f L) 10 + (π 1000 0.05) (5) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 7

Magnetna vezja 1.3 Primarno navitje transformatorja ima 1000 ovojev, sekundarno pa 500 ovojev. Transformator priključimo na sinusno napetost frekvence 50 Hz. Kolikšna je efektivna vrednost toka, ki teče v primarno navitje, če je efektivna inducirana napetost na sekundarju 10 V? Stresanje magnetnega polja in upornost navitij zanemarite. b N 1 N d c Dimenzije jedra: a =10 mm b = 80 mm c = 140 mm d = 100 mm debelina jedra: e = 0 mm a Magnetne lastnosti železnega jedra: µr = 4000 µ0 = 4π 10-7 Vs/Am REŠTEV: Glede na to, da imamo podatek o inducirani napetosti na sekundarnem navitju, poznamo pa tudi geometrijo in magnetne lastnosti železnega jedro, bomo izračunali magnetni pretok v jedru, na podlagi tega pa poiskali še tok, ki ga ustvarja. Napetost na sekundarju je podana kot efektivna vrednost, zato lahko uporabimo transformatorsko enačbo za inducirano napetost: π U = f N Φ (1) in izračunamo magnetni pretok: U 10 Φ = = = π f N π 50 500 6 90,03 10 Vs, () pri čemer ne smemo pozabiti, da je vrednost napetosti v enačbi efektivna, magnetni pretok pa je podan kot amplituda oz. maksimalna vrednost. Vse magnetne količine (B, H, Φ) se v primeru izmeničnih signalov podajajo kot maksimalne vrednosti. Zanima nas, kolikšen je primarni tok, ki ustvari izračunani magnetni pretok. Uporabimo "magnetni" ohmov zakon in rešimo reluktančno vezje: lfe Vm = Φ Rm 1 N1 = Φ µ A, (3) Fe pri čemer je lfe srednja dolžina magnetne poti, AFe pa presek železnega jedra, ki ju izračunamo: a + b c + d lfe = + = a + b + c + d = 10 + 80 + 140 + 100 = 440 mm, (4) a b 10 80 AFe = e = 0 = 400 mm. (5) Sedaj lahko izračunamo tok: l 0,44 90,03 10 0,0197 A. (6) Fe 6 1 = Φ = = 7 µ r µ 0 AFe N1 4000 4π 10 0,0004 1000 Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 8

Magnetna vezja Ker pa je bi tok izračunan s pomočjo maksimalne vrednosti magnetnega pretoka, je tudi vrednost toka maksimalna vrednost. Efektivno vrednost sinusnega toka pa dobimo: 1 0,0197 1eff = = = 0,0139 A. (7) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 9

Magnetna vezja 1.4 Dušilka z zračno režo ima navitje s 1000 ovoji in upornostjo 10 Ω, ki je navito na prerezano tračno jedro z relativno permeabilnostjo µr = 4000. Dimenzije jedra in zračne reže (v milimetrih) so podane na sliki. Dušilka je priključena na konstantno enosmerno napetost 1 V. a) Kolikšna je gostota magnetnega pretoka v jedru na skrajnem notranjem in zunanjem robu jedra, če upoštevamo nehomogeno porazdelitev magnetne gostote? b) zračunajte magnetno energijo v dušilki, upoštevajoč homogeno porazdelitev magnetne gostote po preseku jedra. Robni pojav zaradi zračne reže zanemarite. 80 60 140 60 REŠTEV: a) Ker je presek magnetne strukture ves čas enak in se celotno magnetno polje dušilke nahaja le v feromagnetnem jedru in zračni reži, je tudi magnetni pretok (Φ) po celotni dolžini magnetne strukture enak. To pa ne pomeni, da je tudi gostota magnetnega pretoka (B) povsod enaka, saj je zaradi krajše poti ob notranjem robu jedra, magnetna poljska jakost (H) tam večja in obratno je na zunanjem robu. Število ovojev je znano, tok pa znaša: U 1 = = = 0,1 A, (1) R 10 tako da lahko s pomočjo Amperovega zakona zapišemo: HFe lfe + Hd ld = N, () pri čemer je lfe dolžina poti po feromagnetnem jedru, ld pa po zračni reži. Gostota magnetnega pretoka v jedru in zračni reži je enaka, zato lahko zapišemo: B = µ µ H, (3) r 0 Fe B = µ H. (4) 0 d Če ti enačbi vstavimo v prejšnjo dobimo: B B l + ld = N, (5) µ µ µ Fe r 0 0 Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 10

Magnetna vezja tako da gostoto magnetnega pretoka izračunamo z enačbo: B = N µ lfe + ld µ r 0 (6) Z upoševanjem ustrezne dolžine poti lahko sedaj izračunamo B na poljubnni oddaljenosti med notranjim in zunanjim robom jedra, spreminja pa se le dolžina poti po jedru, saj je le-to ukrivljeno. Gostoto na notranjem robu tako izračunamo: l Fe-n = π 0,06 + 0,08 0,00 = 0,3445 m, (7) l = 0,00 = 0,004 m, (8) d B n 7 0,1 1000 4π 10 = = 0,03075 T. (9) 0,3445 + 0,004 4000 Na enak način poiščemo še gostoto na zunanjem robu, pri čemer se spremeni le dolžina poti po jedru: l Fe-z = π 0,14 + 0,08 0,00 = 0,5958 m, (10) B z 7 0,1 1000 4π 10 = = 0,0309 T. (11) 0,5958 + 0,004 4000 b) Magnetno energijo v dušilki bomo izračunali s pomočjo znanega toka in induktivnosti dušilke: L W =. (1) Ker ne bomo upoštevali nehomogene porazdelitve gostote magnetnega pretoka v jedru, lahko induktivnost izračunamo s pomočjo reluktančnega vezja, pri čemer za dolžino magnetne poti vzamemo srednjo magnetno pot: Ψ N Φ N N N L = = = = R R m m, (13) R R R Fe d m = Fe + d = + = µ rµ 0 AFe µ 0 AFe l l 1 π 0,1 + 0,078 A = 0,004 1 365 64,, 7 + = 4 10 0,04 0,06 4000 π Vs (14) tako da znaša induktuvnost dušilke: N 1000 L = = = 0,735 H, (15) R 1 365 64, m magnetna energija pa: W L 0,735 0,1-3 = = = 3,66 10 J. (16) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 11

Magnetna vezja 1.5 Dušilka ima navitje s 1000 ovoji, ki je navito na srednji steber feromagnetnega jedra z zračno režo. Dimenzije jedra v milimetrih so podane na sliki, relativna permeabilnost feromagnetika pa je 3000. Upoštevajte, da je zaradi robnega pojava aktivna površina zračne reže za 10 % večja od preseka železnega jedra. a) Kolikšna je induktivnost dušilke? b) Kolikšna je efektivna vrednost inducirane napetosti na dušilki, če po navitju teče izmenični tok trikotne oblike (glej sliko) s frekvenco 400 Hz? 0 10 40 10 1 i (A) 1 0-1 t 10 10 0 10 10 REŠTEV: a) nduktivnost dušilke v linearnih magnetnih strukturah izračunamo z enačbo: L Ψ =. (1) Ker gre v našem primeru za magnetno strukturo s feromagnetikom, ki ima razmeroma veliko relativno permeabilnost, robni pojav zaradi zračne reže pa je majhen, lahko upravičeno predpostavimo, da je magnetno polje le v jedru in reži. Tako gre skozi vse ovoje, ki so naviti okoli srednjega stebra, celoten magnetni pretok in lahko magnetni sklep zapišemo kot produkt ovojev in magnetnega pretoka. Enačba dobi sedaj obliko: NΦ L =. () Za izračun magnetnega pretoka skozi navitje uporabimo reluktančno vezje, ki ga sestavljata reluktanca železa in reluktanca zračne reže. Ker se magnetni pretok srednjega stebra simetrično razdeli in je v vsakem od stranskih stebrov polovica tega pretoka, lahko pri izračunu obravnavamo le polovico strukture. l sr Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 1

Magnetna vezja Da na koncu dobimo celoten magnetni pretok, rezultat podvojimo ali pa pri izračunu uporabimo kar dejanski presek srednjega stebra. Mi bomo uporabili slednjo možnost. Zapišimo sedaj enačbo za induktivnost s pomočjo reluktanc magnetnega vezja: L N Φ N V N N N R R R m = = = = m m m, (3) pri čemer je Vm magnetna napetost, Rm pa reluktanca celotne magnetne poti. Zapišimo enačbo za celotno reluktanco: R R R 1 l 1 Fe m = Fe + δ = + µ rµ 0 AFe µ 0 lδ A δ, (4) kjer količine označene z indeksom Fe pripadajo feromagnetiku, tiste označene z δ pa zračni reži. Preseka magnetne poti izračunamo iz dimenzij geometrije, pri čemer je presek zračne reže zaradi robnega pojava za 10 % večji od preseka feromagnetika: A Fe = 0 0 = 400 mm, (5) A = 1,1 A = δ Fe 1,1 400 = 440 mm. (6) Srednjo magnetno pot po feromagnetiku izračunamo po geometriji, ki je prikazana na zadnji sliki: l Fe = (40 + 5 + 5) + (10 + 5 + 5) 1 = 139 mm, (7) dolžina zračne reže pa je podana in znaša l δ = 1 mm. Tako lahko sedaj izračunamo: R 1 l 1 l 1 0,139 1 0,001 A = + = + = 1900756. (8) 3000 4 10 4 10 4 10 1,1 4 10 Vs Fe δ m 7 4 7 4 µ rµ 0 AFe µ 0 Aδ π π nduktivnost dušilke torej znaša: N 1000 L = = = 0,56 H (9) R 1900756 m b) Za inducirano napetost velja Faraday-ev zakon: U ind dψ =. (10) dt Če teče skozi navitje izmenični tok, ki ima časovni potek kot je prikazan na sliki, ustvari v linearnem magnetnem materialu (µ = konst.) magnetni pretok z enako obliko časovnega poteka, zato lahko enačbo za inducirano napetost zapišemo kot: d di U = ind ( L i) L dt = dt. (11) Časovni potek napetosti bo torej enak obliki časovnega odvoda toka, ki pa je sestavljen iz naraščajoče in padajoče linearne funkcije, tako da bo imela inducirana napetost obliko izmeničnega pravokotnega signala. Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 13

Magnetna vezja i (A) 1 0 t -1 di dt t Amplitudo te napetosti določa največji odvod toka, ki pa je pri linearni spremembi toka seveda le eden in konstanten, tako da lahko amplitudo napetosti izračunamo že iz prve četrtine periode toka: di i 1 A Up = L = L = 0,56 = 841,6 V. (1) dt t 1 1 1 4 400 s Polperiodi napetosti imata seveda enaki amplitudi, pri pravokotnem signalu pa sta efektivna vrednost in amplituda enaki, tako da velja: U eff = U = 841,6 V. (13) p Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 14

Zračne dušilke.1 zdelati želimo zračno dušilko s cilindričnim navitjem in induktivnostjo L = 50 mh. Navitje bo navito z žico preseka ACu = 0, mm in polnilnim faktorjem navitja fcu = 0,7. Določite ustrezno višina navitja h, če sta zunanji in notranji premer tuljave določena ter znašata: dn = 0 mm, dz = 3 mm? h d n d z REŠTEV: Za izračun induktivnosti cilindrične zračne tuljave obstajajo in lahko uporabimo različne (teoretične in izkustvene) enačbe. Uporabili bomo enačbo, ki smo jo izpeljali na osnovi izračuna magnetne energije v zračni tuljavi. V poenostavljeni obliki je enačba taka: µ 0 π N s s L = r a r h + 3, (1) pri čemer je N število ovojev, h višina tuljave, rs srednji polmer in a debelina tuljave. Definirajmo v enačbi uporabljene dimenzije: dn + dz 0 + 3 rs = = = 13 mm, () 4 dz d n 3 0 a = = = 6 mm. (3) Ker imamo podana polnilni faktor navitja (bakra) in čisti presek žice, lahko število ovojev izračunamo na podlagi preseka tuljave (At): N A f a h f t Cu Cu = =. (4) A Cu A Cu Če to enačbo vstavimo v enačbo za izračun induktivnosti: ( a h f ) µ π L = r + a r 0 Cu s s h ACu 3, (5) postane višina navitja neznanka, izpostavimo jo in izračunamo: Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 15

Zračne dušilke L ACu h = = µ 0 π a fcu rs + a rs 3 6 0,05 (0, 10 ) = = 0,130 m. 7 4π 10 π 0,006 0,7 0,013 + 0,006 0,013 3 (6) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 16

3 Stresana reaktanca 3.1 Poznamo nazivne podatke in dimenzije trifaznega energetskega transformatorja. NN VN Nazivni podatki: Sn = 10 MVA U1 = 110 kv U = 0 kv fn = 50 Hz h N1 = 1375 ovojev N = 50 ovojev Dimenzije: r a b c d r = 130 mm a = 40 mm b = 60 mm d = 70 mm h = 750 mm zračunajte potrebno širino hladilnega kanala med VN in NN navitjem, tako da bo padec na stresani reaktanci transformatorja znašal ux = 1%. Pri izračunu stresanega magnetnega polja, višine navitij ni potrebno korigirati s faktorjem Rogovskega. REŠTEV: Relativna stresana reaktanca je določena kot razmerje med padcem napetosti na tej reaktanci (X σ ) pri nazivnem toku in nazivno napetostjo: u x U 3 X 3 X S X S = = = = U U U x σ n σ n σ n n n Un 3 Un n. (1) Če poznamo poenostavljeno enačbo za izračun absolutne stresane reaktance dveh cilindričnih tuljav: 3 7 N1 b d X σ = 8π 10 f Dsr c + + h 3 3, () lahko zapišemo: 3 7 N1 S b d ux = 8π 10 f Dsr c h + + U 3 3. (3) n n Širina kanala med navitjema (c) definira tudi srednji premer, ki ga izračunamo: c Dsr = r + a + b +. (4) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 17

Stresana reaktanca V enačbo vstavimo številčne vrednosti in za neznanko c dobimo kvadratično enačbo, ki jo je potrebno rešiti: c 0.75 110 000 3 3 6 3 7 1375 10 10 0.06 0.07 0.1 = 8π 10 50 0.13 + 0.04 + 0.06 + c + + (5) c + 0.50333 c 0.06511 = 0 (6) Rešitvi kvadratične enačbe sta dve, prava je seveda tista s pozitivnim predznakom, tako da je: c = 0.04807m. Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 18

4 Dodatne izgube v navitjih 4.1 Cilindrično navitje dušilke ima 00 ovojev, srednji premer navitja je 60 cm. Bakreni vodnik, po katerem teče tok 1000 A, je pravokotnega prereza, kot je prikazano na sliki. Delni vodniki so transponirani, tako da se vrtinčni toki zaključijo znotraj posameznega delnega vodnika. Vodniki se nahajajo v zunanjem izmeničnem magnetnem polju Bz = 40 mt, f = 50 Hz. Kolikšne so celotne izgube v navitju pri temperaturi 75 C? Pri izračunu izgub zanemarite: kožni pojav, vpliv ukrivljenosti vodnikov in debelino izolacije delnih vodnikov. (ρcu0 = 0.0175 10-6 Ωm, αcu = 0.0039/K) 40 mm z r 0 mm REŠTEV: Pri izračunu celotnih izgub v navitju (PCu-cel) bomo zaradi zanemaritev upoštevali le tako imenovane R izgube (PCu-osn), ki so posledica toka, ki teče po vodniku z upornostjo R, ter dodatne izgube (PCu-dod) zaradi vrtinčnih tokov, ki so posledica zunanjega izmeničnega magnetnega polja: PCu-cel = PCu-osn + PCu-dod. (1) Najprej izračunajmo izgube PCu-osn: l P = R = ρ. () Cu-osn Cu Cu75 ACu Ker nas zanimajo izgube pri temperaturi navitja 75 C, moramo to upoštevati pri specifični upornosti bakra: ρ = ρ + α = + = Ω 6 6 (1 T Cu75 Cu0 Cu ) 0.0175 10 (1 0.0039 (75 0)) 0.015 10 m Dolžina vseh ovojev je:. (3) lcu = N π Dsr = 00 π 0.6 = 376.991 m, (4) celoten presek paralelno vezanih vodnikov (glej sliko) pa je: A Cu 0.0 0.04 8 10 m 4 = =. (5) Če to vstavimo v enačbo za moč, dobimo: P l 376.991 = ρ = 1000 0.015 10 = 10014 W. (6) Cu 6 Cu-osn Cu75 4 ACu 8 10 Dodatne izgube zaradi zunanjega izmeničnega magnetnega polja so vsota dodatnih izgub v vseh delnih vodnikih, ki jih je 3: Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 19

P Dodatne izgube v navitjih Cu dod = 3 Pdod-v, (7) zato izračunajmo dodatne izgube v enem delnem vodniku. Dodatne izgube v posameznem delnem vodniku izračunamo z enačbo: π 1 3 Pdod-v = Bz f lcu b a, (8) 6 ρ Cu pri čemer je b višina vodnika oz. dimenzija, ki je vzporedna s komponento magnetne gostote, a pa širina vodnika oz. dimenzija, ki je pravokotna (prečna) na komponento magnetne gostote, za katero računamo dodatne izgube (glej izpeljavo v zapiskih predavanj). V našem primeru, ko ima magnetna gostota smer z osi, znašata: 0.04 b = = 0.01 m, (9) 4 0.0 a = = 0.005 m. (10) 8 Če vse količine vstavimo v enačbo za izračun dodatnih izgub, dobimo: π 1 3 PCu-dod = 3 Bz f lcu b a = 6 ρ Cu75 π 1 3 = 3 0.04 50 376.991 0.01 0.005 = 583.65 W 6 6 0.015 10 Celotne izgube v bakru so tako: PCu-cel = PCu-osn + PCu-dod = 10014 + 583.65 = 10598 W. (1) (11) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 0

Dodatne izgube v navitjih 4. Pravokotni bakreni vodnik navitja dušilke (dimenzije na sliki), po katerem teče tok 1000 A, se nahaja v zunanjem izmeničnem magnetnem polju By = 80 mt, f = 50 Hz. Zaradi zmanjšanja dodatnih izgub bomo vodnik razdelili na vzporedno vezane transponirane delne vodnike, pri čemer bo delitev v obeh dimenzijah enaka. Na koliko delnih vodnikov moramo razdeliti celotni presek, da dodatne izgube pri temperaturi navitja 85 C ne bodo presegle 10% izgub R. Pri izračunu zanemarite kožni pojav, vpliv ukrivljenosti vodnikov in debelino izolacije delnih vodnikov. (ρcu0 = 0.0175 10-6 Ωm, αcu = 0.0039/K) B y 30 mm 15 mm REŠTEV: Tako izgube R, kot tudi dodatne izgube zaradi vrtinčnih tokov v vodnikih, so odvisne od specifične upornosti materiala, zato najprej izračunajmo kolikšna je specifična upornost bakra pri 85 C: ρ = ρ (1 + α (85 0)) = Cu85 Cu0 Cu 6 6 = + = Ω 0.0175 10 (1 0.0039 (85 0)) 0.0193 10 m zgube R zaradi upornosti navitja so: lcu lcu PR = R = ρ = ρ Cu85 Cu85 A a b, () Cu pri čemer sta a in b dimenziji vodnika (a = 15 mm, b = 30 mm). Dodatne izgube so posledica vrtinčnih tokov v vodniku zaradi zunanjega izmeničnega magnetnega polja in jih izračunamo: π 1 3 Pdod = By f lcu b a, (3) 6 ρ Cu85 pri tem pa moramo paziti na pravilno uporabo dimenzij, saj je v našem primeru dimenzija a tista, ki je pravokotna na smer zunanjega magnetnega polja in v enačbi nastopa s tretjo potenco. Da bi zmanjšali dodatne izgube, vodnik največkrat razdelimo na paralelne delne vodnike, ki so vzdolž ovojev transponirani, tako da so toki v vseh delnih vodnikih enaki. V našem primeru mora biti delitev obeh dimenzij enaka in poiščemo tak n (število delitev v vsaki dimenziji), da dodatne izgube ne bodo presegle 10% izgub R: P P dod R 3 π 1 b a n By f lcu ρ ' 6 n Cu85 n = 0.1 =. (4) lcu ρ Cu85 a b (1) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 1

Dodatne izgube v navitjih Če enačbo uredimo, dobimo: π B f b a π n = = = 4.934 = 4.993. (5) 6 0.1 6 1000 (0.0193 10 ) 0.1 4 4 y 0.08 50 0.03 0.015 6 ρ Cu85 Število delitev seveda zaokrožimo navzgor, tako da je n = 5, oziroma 5 delnih vodnikov. Transformatorji in dušilke - zbirka nalog

Dodatne izgube v navitjih 4.3 Masiven pravokotni vodnik iz aluminija (ρal = 0,08 10-6 Ωm), dolžine l = m (ostale dimenzije so na sliki), se nahaja v izmeničnem magnetnem polju (f = 50 Hz), ki ima amplitudo magnetne gostote B = 0,01 T in smer kot je označena na sliki. Kolikšne so izgube zaradi vrtinčnih tokov v vodniku? 0 mm B 30 30 mm REŠTEV: zgube v prevodnikih, ki se nahajajo v zunanjem izmeničnem magnetnem polju, so posledica vrtinčnih tokov, ki jih požene inducirana napetost v teh prevodnikih. Ponavadi te izgube imenujemo dodatne izgube, saj jih večinoma obravnavamo v vodnikih, po katerih teče nek bremenski tok in v njih že imamo tako imenovane izgube R, zaradi upornosti vodnika. Tudi če v prevodniku ni toka, izračunamo izgube na enak način. Z uporabo enačbe: π 1 3 Pd = B l f b a, (1) 6 ρ izračunamo dodatne izgube v vodniku pravokotnega prereza z dimenzijama a in b, pri čemer je smer gostote B pravokotna na stranico, ki jo določa dimenzija a. V našem primeru smer magnetnega polja ni poravnana z nobeno dimenzijo vodnika, zato gostoto magnetnega pretoka razstavimo na dve komponenti in celotne dodatne izgube izračunamo kot prispevek izgub v obeh smereh. Definirajmo daljšo stranico (a = 30 mm) kot dimenzijo v smeri x, krajšo (b = 0 mm) v smeri y, kot med vektorjem gostote magnetnega pretoka in osjo x pa označimo z α. B b B y α B x Določimo komponenti gostote magnetnega pretoka v obeh smereh: Bx a = B cos α, () By = B sin α. (3) Celotne dodatne izgube so: Al ( cos sin ) π B 3 3 Pd = Pd x + Pd y = l f α a b + α b a = 6 ρ ( ) π 0,01 3 3 = 50 cos 30 0,03 0,0 + sin 30 0,0 0,03 = 9,53 W 6 6 0,08 10 (4) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 3

Dodatne izgube v navitjih 4.4 Po ravnem pravokotnem masivnem aluminijastem vodniku (ρal = 0,08 10-6 Ωm), teče tok 1000 A. Vodnik se nahaja v zunanjem izmeničnem magnetnem polju By = 0,0 T, f = 50 Hz. Ker so celotne izgube v vodniku prevelike, ga razdelimo na paralelne delne vodnike. Na najmanj koliko delnih vodnikov in kako moramo razdeliti masivni vodnik, da se celotne izgube v vodniku zmanjšajo na polovico? Pri izračunu zanemarite kožni pojav, sosedstveni efekt in debelino izolacije delnih vodnikov. 0 mm B y 40 mm REŠTEV: Celotne izgube v vodniku so sestavljene iz izgub R (imenujmo jih izgube zaradi upornosti PR) in dodatnih izgub (Pdod) zaradi vrtinčnih tokov, ki jih v vodniku inducira zunanje izmenično magnetno polje: P = P + P. (1) cel R dod Absolutne posamične izgube izračunamo tako: P R P l A R = = ρal, () dod π B f l b a = 6 ρ 3 Al, (3) pri čemer je a v enačbi za dodatne izgube dimenzija vodnika, ki je pravokotna na B, v našem primeru a = 40 mm. Absolutnih izgub sicer ne bomo mogli izračunati, ker ne poznamo dolžine vodnika, a bomo računali z dolžino l = 1 m in tako dobili vrednost, ki podaja izgube na enoto dolžine. Označimo izgube na dolžinsko enoto z malo črko p. Sledi: pr p 1 6 1 = ρal = 1000 0,08 10 = 35 W/m, (4) A 0,04 0,0 π B f b a π = = = 75,197 W/m. (5) 3 3 y 0,0 50 0,0 0,04 dod 6 6 ρal 6 0,08 10 Celotne izgube so tako: pcel = pr + pdod = 35 + 75,197 = 110,197 W/m. (6) Te izgube želimo razpoloviti, zato bomo vodnik razdelili na paralelne delne, saj lahko zmanjšamo le dodatne izgube. Nove dodatne izgube morajo biti manjše kot: p p 110,197 35 0,1 W/m cel dod = pr = =. (7) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 4

Dodatne izgube v navitjih Vodnik bomo razdelili na n delnih vodnikov v smeri dimenzije a = 40 mm. Nove dodatne izgube izračunamo: p 3 a π By f b 3 n π By f b a dod = n = 6 ρal 6 ρal n S pomočjo te enačbe poiščemo n: Al dod. (8) 3 3 π By f b a π 0,0 50 0,0 0,04 n = = = 1,93. (9) 6 6 ρ p 6 0,08 10 0,1 Ker je število delnih vodnikov lahko le celo število, je potrebno izračunani n zaokrožiti navzgor in bo torej zadostovalo, če vodnik razdelimo na delna vodnika: n =. 0 mm 40 mm zračunajmo še nove celotne izgube po delitvi: pdod 75,197 p cel = pr + p dod = pr + = 35 + = 53,8 W/m. (10) n Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 5

Dodatne izgube v navitjih 4.5 Po pravokotnem aluminijastem vodniku, ki je razdeljen na paralelne transponirane delne vodnike (glej sliko), teče celoten tok 1000 A. Vodnik se nahaja v zunanjem izmeničnem magnetnem polju Bx = 50 mt, f = 50 Hz. Kolikšen delež predstavljajo dodatne izgube napram izgubam R pri temperaturi 80 C. Pri izračunu zanemarite kožni pojav, vpliv ukrivljenosti vodnikov in debelino izolacije delnih vodnikov. (ρal0 = 0,08 10-6 Ωm; αal = 0,0049 K -1 ) B x 30 mm 16 mm REŠTEV: Tako izgube R, kot tudi dodatne izgube zaradi vrtinčnih tokov v vodnikih, so odvisne od specifične upornosti materiala, zato najprej izračunajmo kolikšna je specifična upornost aluminija pri 80 C: ρ = ρ (1 + α (80 0)) = Al80 Al0 Al 6 6 = + = Ω 0,08 10 (1 0,0049 (80 0)) 0,0363 10 m Ker so delni vodniki vezani vzporedno in po vseh teče enak tok, lahko izgube R zaradi upornosti navitja izračunamo, kot da gre za masivni vodnik s podanimi zunanjimi dimenzijami: lal lal PR = R = ρ = ρ Al80 Al80 A a b, () Al pri čemer sta a in b zunanji dimenziji transponiranega vodnika (a = 30 mm, b = 16 mm). Dodatne izgube so posledica vrtinčnih tokov v delnih vodnikih zaradi zunanjega izmeničnega magnetnega polja. V celotnem transponiranem vodniku so dodatne izgube vsota dodatnih izgub v vseh delnih vodnikih, ki jih je 4: 3 b a π B f l 4 = 6 P dod 4, (3) 6 ρ Al80 pri čemer smo dimenzije posameznega delnega vodnika izrazili z zunanjimi dimenzijami celotnega transponiranega voda. Vodnik se po dimenziji a deli na 6 delnih vodnikov, po dimeziji b pa na 4 delne vodnike. Delež dodatnih izgub napram izgubam R je torej: (1) 4 b a π B f l Al a b b a π B f P 3 dod 4 = 6 4 = 4 4 6 = P 6 ρ ρ l 6 ρ R Al80 Al80 Al Al80 4 0,016 0,03 π 0,05 50 3 = 4 4 6 = 0,0451 6 6 0,0363 10 1000 ( ) 3 (4) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 6

5 Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev 5.1 zdelati je potrebno trifazni distribucijski transformator z nazivnimi podatki 1 kv/0.4 kv, 160 kva, Yzn5. a) Narišite vezalni načrt trifaznega distribucijskega transformatorja. Ustrezno označite priključne sponke primarja in sekundarja. b) Določite število ovojev za vse tuljave, če je ovojna napetost 1 V. c) Določite presek žice vseh navitij, pri čemer upoštevajte dopustno gostoto.5 A/mm. REŠTEV: a) Vezalni načrt izdelamo na podlagi kazalčnega diagrama primarnih in sekundarnih napetosti, saj moramo doseči ustrezno fazno številko. Tako primarno kot sekundarno navitje imata zvezdišče, zato lahko narišemo kazalce faznih napetosti, ki pravzaprav določajo fazno številko. V našem primeru je le-ta 5, kar pomeni, da je fazni kot med istoimenskima faznima napetostima primarja in sekundarja 5 30 = 150 : U1 a c b W1 1U W V1 W W V 150 V b V U a U a b U Sekundarno navitje je vezano v vezavo lomljena zvezda (cik-cak), zato je fazna napetost posamezne faze vsota induciranih napetosti dveh tuljavic v tej vezavi, le-te pa sta premaknjeni za 10, saj sta naviti na sosednjihi stebrih. Kazalec fazne napetosti U lahko dobimo le s pomočjo vsote napetosti na stebrih a in b, vendar samo v enem primeru je konec sekundarnega navitja (U) na stebru a, ki pripada tudi primarni napetosti U1. Tako je na sekundarju, pri prvi fazi, v zvezdišče vezana tuljavica s stebra b, zaporedno k tej pa še tuljavica s stebra a, vendar tako, da sta smeri induciranih napetosti orientirane tako je narisano v kazalčnem diagramu. 1U 1V 1W a b c a b c a b c b) Število ovojev posameznih tuljav dobimo tako, da N U V W Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 7

Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev napetost posamezne tuljavice delimo z ovojno napetostjo (napetost, ki se inducira v enem ovoju), ter številko ustrezno zaokrožimo, saj je število ovojev lahko le celo število. Nazivna napetost primarja je 1 kv, kar pomeni da je napetost na posamezni tuljavi enaka fazni napetosti, tako da dobimo: N U 1000 1010.36 3 U 3 1 1n 1 = = = ovoj 1010 ovojev. (1) Na sekundarju dobimo fazno napetost iz dveh zaporedno vezanih tuljavic, katerih napetosti sta premaknjeni za 10. Fazna napetost je za 3 manjša od medfazne, napetost sekundarne tuljavice, pa še za 3 manjša od fazne, tako da napetost posamezne sekundarne tuljavice izračunamo: N U n 1 = = = 11.6 3 3 U ovoj 40 3 1 1 ovojev. () c) Če poznamo dopustno gostoto toka, lahko pri nazivnem toku tuljave izračunamo njen presek: A n Cu =. (3) Jmax V ta namen izračunamo nazivni primarni in sekundarni tok: S n 1n = = = 1n 160000 3 U 3 1000 S n n = = = n 160000 3 U 3 40 4.4 A, (4) 0 A. (5) Kljub temu, da gre v našem primeru za vmesni rezultat, lahko nazivni tok zaokrožimo bolj grobo, saj je to ponavadi podatek transformatorja in se ga ne podaja z veliko decimalkami. Presek žice sedaj izračunamo: A A 4.4 1n Cu1 = = = Jmax.5 0 n Cu = = = Jmax.5 1.76 mm, (6) 88 mm. (7) V praksi je potrebno izračunani presek prilagoditi standariziranim presekom žic, za naše potrebe pa lahko obdržimo tak rezultat. Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 8

Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev 5. zdelati je potrebno trifazni distribucijski transformator z nazivnimi podatki: Sn = 1600 kva, U1n = 0 kv, Un = 0.4 kv, fn = 50 Hz, Dyn5. a) Narišite vezalni načrt transformatorja z ustrezno označenimi priključnimi sponkami. b) Določite število ovojev vseh navitij, če smo izbrali magnetno gostoto v jedru B = 1.6 T, izračunani presek čistega železa pa je AFe = 300 cm. c) Določite presek žice vseh navitij, pri čemer upoštevajte dopustno gostoto toka.4 A/mm. REŠTEV: a) Vezalni načrt izdelamo na podlagi kazalčnega diagrama primarnih in sekundarnih napetosti, saj moramo doseči ustrezno fazno številko. Primarno navitje je vezano v trikot in nima zvezdišča, zato bomo morali kazalec fazne napetosti, ki določa fazno številko, narisati na podlagi trikotnika medfaznih napetosti. V našem primeru je zahtevana fazna številka 5, kar pomeni, da je fazni kot med istoimenskima faznima napetostima primarja in sekundarja 5 30 = 150. Ker lahko navitje na stebru a vežemo med dve medfazni napetosti, je potrebno izbrati tisto, ki nam omogoča, da bo fazna napetost na sekundarju fazno premaknjena za 150 napram fazni napetosti iste faze primarja. V našem primeru so pravilno izbrane smeri na levi sliki primarnih napetosti: 1U 1U 1U 1V 1W c a a b a b c 1W b 1V 1W c 1V 1U W V b c 150 a b c a U N U V W b) Število ovojev posamezne tuljave izračunamo tako, da napetost na tuljavi delimo z ovojno napetostjo, to je napetostjo, ki se inducira v enem ovoju. Ker imamo podatek o gostoti magnetnega pretoka in preseku železnega jedra, lahko s pomočjo enačbe za transformirano inducirano napetost izračunamo ovojno napetost: π π π 4 Uov = f Φ = f B A Fe = 50 1,6 300 10 = 10,663 V/ovoj (1) Sedaj je potrebno določiti napetost na posamezni tuljavi, ko je transformator priključen na nazivno napetost. Ker je primar vezan v trikot, je tuljava vezana na medfazno napetost, zato je tam nazivna napetost, na sekundarju pa so tuljave vezane v zvezdo in je na njih fazna napetost, torej za 3 nižja napetost od nazivne sekundarne napetosti. Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 9

Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev Število ovojev tako določimo: N 1 U1 n 0000 = = = 1875.65 1876 ovojev, () U 10.663 ov N U n 400 = = = 1.65 ovojev. (3) 3 U 3 10.663 ov c) Da bi določili presek žice moramo najprej določiti tok skozi posamezno tuljavo, ko je transformator nazivno obremenjen, saj bomo presek žice izračunali na podlagi dopustne gostote toka v navitjih: A Cu =. (4) J max Primarne tuljave so vezane v trikot, zato tok skozi posamezno tuljavo ni enak linijskemu (nazivnemu) toku, temveč je za 3 manjši. Na sekundarju so tuljave vezane v zvezdo, tako da je tok skoznje enak nazivnemu sekundarnemu toku: S 1n n 1 = = = = 3 3 3 U S 1n 1600000 3 0000 n = n = = = n 1600000 3 U 3 400 Sedaj lahko izračunamo preseke žic: A A 6.67 1 Cu1 = = = Jmax.4 309.4 Cu = = = Jmax.4 6.67 A, (5) 309.4 A. (6) 11.11mm, (7) 96.5 mm. (8) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 30

Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev 5.3 Tuljave primarnega navitja trifaznega tristebrnega transformatorja z nazivnimi podatki: U1 = 1 kv; U = 0,4 kv; f = 50 Hz; Dyn7, imajo po 1700 ovojev in so navite na stebre transformatorskega jedra s presekom AFe = 350 cm. a) Narišite vezalni načrt transformatorja z ustrezno označenimi priključnimi sponkami. b) zračunajte gostoto magnetnega pretoka v stebrih transformatorja v prostem teku. Padca napetosti na upornosti navitja in zaradi stresanja zanemarite. c) Določite nazivno moč transformatorja, če je primarno navitje izdelano iz žice s presekom ACu = 10 mm in znaša dopustna gostota toka j = 3 A/mm. REŠTEV: a) Da bi za podano vezavo in fazno številko transformatorja določili ustrezno vezavo navitij, najprej narišemo kazalčni diagram napetosti. Za primar lahko narišemo napetostni trikotnik in vrišemo kazalec navideznih faznih napetosti, saj je primar vezan v trikot in fazne napetosti niso na voljo. 1U 1W 1V Fazna številka mora biti 7, kar pomeni, da znaša fazni kot med faznima napetostima iste faze primarja in sekundarja 7 30 = 10. Napetostna zvezda sekundarja bo torej orientirana takole: V 1U 10 W U Vidimo, da mora imeti fazna napetost prve faze sekundarja smer medfazne napetosti 1U 1W primarja, kar pomeni, da je tuljava prve faze primarja dejansko med priključnima sponkama 1U in 1W, druga tuljava med 1U in 1V ter tretja med 1V in 1W. Narišimo še smeri induciranih napetostih po posameznih stebrih in v skladu s temi dopolnimo napetostni trikotnik primarja. 1U 1U 1V 1W a b a b c 1W c 1V Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 31

Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev Sedaj je potrebno določiti še vezavo sekundarja. Ker mora biti fazna številka 7, vežemo sekundarne tuljave tako, da inducirane napetosti tvorijo napetostni trikotnik (zvezdo) kot smo prikazali na drugi sliki. Vrhovi puščic pri tem kažejo v zvezdišče (N), saj bi v nasprotnem primeru dobili fazno številko 1. 1U 1V 1W a b c V b N c W a b c a U V W N U b) Gostota magnetnega pretoka v stebru mora biti taka, da se v navitju inducira ustrezna napetost. Ker imamo v našem primeru tuljave primarja vezane v trikot, je na njih nazivna (medfazna) napetost, tako da velja: π U1 = f N1 B AFe. (1) Gostoto torej enostavno izračunamo: B U 1000 1 = = = 4 π f N1 AFe π 50 1700 350 10 1,589 T. () c) Če želimo določiti nazivno moč transformatorja moramo poznati nazivni tok in nazivno napetost le-tega. Nazivna napetost je podana, s pomočjo znanega preseka žice in nazivne (dopustne) gostote toka pa lahko izračunamo nazivni tok skozi posamezno primarno tuljavo: tul = ACu j = 10 3 = 30 A. (3) Ker so tuljave vezane v trikot, je linijski tok za znaša: 3 večji od tega skozi tuljavo, tako da n = 3 = 3 30 = 5,0 A. (4) tul Nazivna moč transformatorja je: S = 3 U = 3 1000 5 = 1,89 MVA. (5) n n n Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 3

Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev 5.4 Trifazni tristebrni transformator ima nazivne podatke: S = 1,8 MVA; U1 = 1 kv; U = 0,4 kv; f = 50 Hz; Dzn4. a) Narišite vezalni načrt transformatorja z ustrezno označenimi priključnimi sponkami. b) Kolikšno je število ovojev posamezne sekundarne tuljave (1/ faznega navitja), če imajo stebri transformatorskega jedra presek železa 33 cm, gostota magnetnega pretoka v jedru pa je 1,5 T? c) Kolikšen mora biti presek žice primarnega navitja, če znaša dopustna gostota toka 3 A/mm? REŠTEV: a) Da bi za podano vezavo in fazno številko transformatorja določili ustrezno vezavo navitij, najprej narišemo kazalčni diagram napetosti. Za primar lahko narišemo napetostni trikotnik in vrišemo kazalec navideznih faznih napetosti, saj je primar vezan v trikot in fazne napetosti niso na voljo. Na ta način so definirani tudi koti medfaznih napetosti 1U-1V, 1V-1W in 1W-1U, ki tudi definirajo magnetne pretoke na stebrih a, b in c. Točne smeri posameznih medfaznih napetosti zaenkrat še niso znane. 1U 1W 1V Fazna številka mora biti 4, kar pomeni, da znaša fazni kot med faznima napetostima iste faze primarja in sekundarja 4 30 = 10. Napetostna zvezda sekundarja bo torej orientirana takole: 1U W 10 V U Pri vezavi lomljena zvezda je fazna napetost posamezne faze vsota induciranih napetosti dveh tuljav, ki pa sta na sosednjih stebrih transformatorja in zato fazno premaknjeni za kot 10. Fazno napetost prve faze sekundarja lahko tako sestavimo z vsoto dveh napetosti, od katerih ima prva enako smer (kot) kakor napetost 1V-1W, druga pa smer (kot) napetosti 1U-1V. Možna je samo kombinacija, ki je na spodnji sliki označena s polno črto, saj se v drugem primeru (črtkana črta) prva faza sekundarja ne bi končala na prvem stebru a, ki pripada prvi fazi. N U Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 33

Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev Vidimo torej, da mora biti navitje prve faze primarja vezano med priključke 1U-1V, tako da za primar že lahko narišemo vezavo in vrišemo pomožne puščice a, b in c. 1U 1U 1V 1W c a a b c 1W b 1V Vemo, da fazno napetost sekundarja U sestavimo iz b in a, pri čemer začnemo z b iz zvezdišča in končamo z a. Sedaj že lahko točneje narišemo smeri: N b a U Ko imamo na voljo sliko vektorjev napetosti, je potrebno samo še enako zvezati navitja sekundarja: a b c a b c ali U V W a b c U V W N a b c N b) Kot smo videli, je pri vezavi lomljena zvezda fazna napetost posamezne faze (Uf) vsota induciranih napetosti (Ut) dveh tuljav, ki pa sta na sosednjih stebrih transformatorja in zato fazno premaknjeni za kot 10 (glej kazalčni diagram). Fazna napetost je zato za 3 večja od napetosti posamezne tuljavice, medfazna (nazivna) napetost (Umf) pa je še za 3 večja od fazne, tako da velja: U = 3 U = 3 3 U = 3 U. (1) mf f t t Ker poznamo nazivno sekundarno napetost, lahko izračunamo inducirano napetost posamezne tuljavice sekundarja: U 40 140 V 3 3 U t = = =. () Število ovojev tuljavice izračunamo iz enačbe za transformirano inducirano napetost: N U 140 t t = = = π f B AFe π 50 1,5 0,033 13 ovojev. (3) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 34

Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev c) Če želimo izračunati presek žice primarnega navitja, moramo poznati tok, ki bo po navitju tekel. Ker je primar transformatorja vezan v trikot, je tok skozi posamezno navitje za 3 manjši od linijskega (nazivnega) toka, ki teče v transformator. Tako je pri nazivnih razmerah tok skozi primarno navitje: 1 1 S 1 1,8 10 6 n nav = 1n = = = 3 3 3 U 3 3 1000 1 8,57 A, (4) kar pomeni, da je pri podani dopustni tokovni gostoti, presek žice primarnega navitja: A j 8,57 3 nav Cu1 = = = 9,5 mm. (5) zračunani presek žice bi bilo v praksi potrebno še korigirati glede na standardne dimenzije uporabljene žice. Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 35

Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev 5.5 Sekundarna navitja trifaznega transformatorja, ki naj bi imel nazivne podatke: 100 kva, 10 kv/0.4 kv, Yzn5, so bila po pomoti napačno povezana. Določite fazno številko in prestavo tako zvezanega transformatorja? 1U 1V 1W U V W REŠTEV: Na podlagi vezalnega načrta narišemo kazalčni diagram napetosti ter določimo fazno številko: 1U 1V 1W a b c a b c 1W c c b 1U W a b c 10 1V a a b c V b a U U V W Ker je med kazalcema faznih napetosti primarja (1U) in sekundarja (U) fazni kot 10, je fazna številka tako zvezanega transformatorja 4 (10 /30 = 4). Prestava transformatorja je razmerje med primarno in sekundarno nazivno napetostjo: p U U 1n =. (1) n V našem primeru so tuljave sekundarnega navitja napačno vezane, zato izračunamo kolikšna je napetost pri taki vezavi. z kazalčnega diagrama vidimo, da je sekundarna fazna napetost enaka napetosti ene tuljavice, zato iz znane nazivne sekundarne napetosti navitij (pravilno) vezanih v lomljeno zvezdo, izračunamo napetost tuljavice. Pri lomljeni zvezdi je razmerje med nazivno napetostjo sekundarja in napetostjo posamezne sekundarne tuljave enako 3, tako da je na posamezni sekundarni tuljavi: U 400 133.33 V 3 3 n U t = = =. () Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 36

Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev Medfazna napetost sekundarja je za 3 večja in prestava je tako: p U 1n = = = t 10000 3 U 3 133.33 43.3 (3) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 37

6 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja 6.1 Opravili smo preizkus kratkega stika trifaznega distribucijskega transformatorja z nazivnimi podatki 1 kv/0.4 kv, 160 kva, Yzn5.. Rezultati so sledeči: Pk =.35 kw, uk = 4%. Določite Kappov trikotnik in izračunajte sekundarno napetost, ko je transformator nazivno obremenjen pri cosϕ = 1. REŠTEV: Pri reševanju si bomo pomagali s kazalčnim diagramom transformatorja. Narišimo obratovalno stanje, ko je transformator obremenjen s čistim ohmskih bremenom (cosϕ = 1): u x u 1 u k ϕ k u r u i Padce napetosti, ki tvorijo Kappov trikotnik bomo izračunali na podlagi rezultatov preizkusa kratkega stika: P P P 3 U P 350 k k k n k cos ϕ k = = = = = = 0.367 Sk 3 Uk k 3 U u k Sn k Sn 0.04 16000 k k, (1) u = u cos ϕ = 0.04 0.367 = 0.01469 u = 1.47%, () r u = u u = = u = 3.7%. (3) x k r 0.04 0.01469 0.0370 x Ker nas zanimajo razmere pri nazivno obremenjenem transformatorju, lahko uporabimo nespremenjene vrednosti padcev napetosti, saj smo jih izračunali s podatki preizkusa kratkega stika, pri katerem je kratkostični tok enak nazivnemu. S pomočjo skice kazalčnega diagrama lahko izračunamo sekundarno napetost u: u = u u u = =. (4) 1 x r 1 0.037 0.01469 0.9846 Ker želimo absolutno vrednost sekundarne napetosti, izračunamo še to: U = Un u = 40 0.9846 = 413.5 V. (5) r Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 38

Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja 6. Na enofaznem transformatorju z nazivnimi podatki: Sn = 5 kva, U1n = 30 V, Un = 4 V, smo opravili preizkus kratkega stika. Rezultati so: Pk = 300 W, uk = 8%. S pomočjo nadomestnega vezja, pri katerem prečno vejo zanemarite, izračunajte sekundarno napetost, ko je transformator nazivno obremenjen s čistim induktivnim bremenom. REŠTEV: Rezultate preizkusa kratkega stika uporabimo za izračun (serijskih) elementov nadomestnega vezja transformatorja: 1 R 1 X 1 X ' R ' ' 0 U 1 R 0 X 0 U ' Upoštevajoč poenostavitev, da zanemarimo elemente prečne veje (R0, X0), lahko serijske elemente združimo in dobimo tako nadomestno vezje: 1 R 1 X 1 X ' R ' ' R k X k 1 U 1 U ' U 1 U ' Vrednosti elementov bomo izračunali s pomočjo rezultatov kratkega stika zato najprej izračunajmo napetost in tok pri preizkusu kratkega stika: S 5000 1.739 A n k = 1n = = =, (1) U1n 30 Uk = uk U1n = 0.08 30 = 18.4 V. () zgube kratkega stika predstavljajo predvsem izgube v bakru, zato lahko izračunamo vrednost elementa Rk: R k P 300 = = = 0.6348 Ω. (3) k k 1.739 Element Xk izračunamo s pomočjo jalove moči kratkega stika: Q = S P = ( U ) P = (18.4 1.739) 300 = 64,57 VAr, (4) X k k k k k k k Q 64.57 = = = 0.5598 Ω. (5) k k 1.739 Elementi nadomestnega vezja so sedaj znani, tako da lahko izračunamo impedanco transformatorja z bremenom, ko teče nazivni tok. Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 39

Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja 1 R k X k U 1 U ' X b Z U 30 1n cel = = = 10.58 Ω, (6) 1n 1.739 Celotno reaktanco sestavljata stresana reaktanca Xk in reaktanca bremena Xb: Xcel = Zcel Rk = 10.58 0.6348 = 10.561 Ω, (7) Xcel = Xk + Xb Xb = Xcel Xk = 10.561 0.5598 = 10.00 Ω. (8) Reducirana sekundarna napetost pri nazivni obremenitvi z induktivnim bremenom je tako: U = X = =, (9) ' b n 10.00 1.739 17.39 V oziroma absolutna nereducirana vrednost: U 17.39 U = = 4 = 39.7 V. (10) 30 ' Un U1n Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 40

Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja 6.3 Na trifaznem transformatorju z nazivnimi podatki: Sn = 1600 kva, U1n = 0 kv, Un = 400 V, fn = 50 Hz, smo opravili preizkusa prostega teka in kratkega stika. Rezultati so sledeči: prosti tek: P0 = 1800 W, 0 = 0,5 A; kratek stik: Pk = 0000 W, uk = 6%. Določite vrednosti elementov enofaznega nadomestnega vezja transformatorja (R1, X1, R0, X0, R', X'). REŠTEV: Elemente nadomestnega vezja bomo izračunali na osnovi rezultatov preizkusov prostega teka in kratkega stika. Napetost na upornosti R0 je dejansko inducirana napetost (Ui), a pri izračunu elementov R0 in X0 padce napetosti na elementih v serijski veji (R1, X1) največkrat zanemarimo, tako da poenostavljeno nadomestno vezje za prosti tek vsebuje le elementa R0 in X0. 0 R 1 X 1 0 U 0 R 0 X 0 U i U 0 R 0 X 0 Delovna moč prostega teka je enaka izgubam v železu. Pri tem ne smemo pozabiti, da so nadomestna vezja trifaznih strojev enofazna, zato moramo to upoštevati pri izračunih (fazna napetost, tretjina moči,...). Moč izgub v železu sedaj izrazimo: PFe P 3 3 U0 ( 3 ) 0 = = (1) R in izračunamo Ro: R 0 0 0 U0 0000 = = =, kω. () P 1800 Celotna jalova moč prostega teka (Qo) predstavlja moč za magnetenje jedra, tako da lahko iz jalove moči izračunamo vrednost elementa Xo. Jalovo moč izračunamo iz navidezne moči in znane delovne moči prostega teka: ( ) ( 3 ) Q = S P = U P = 0 0 0 1n 10 0 = 3 0000 0,5 1800 = 176,7 VAr. (3) Ker gre za paralelno vezavo elementov, X0 izračunamo podobno kot R0: U0 ( 3 ) 0 U0 0000 X0 X0 Q0 Q 3 = = = 176,7 = 30Ω. (4) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 41

Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja Vrednost elementov v serijski veji (R1, X1, R', X1') izračunamo s pomočjo rezultatov preizkusa kratkega stika, saj lahko takrat nadomestno vezje poenostavimo tako, da prečno vejo zanemarimo in dobimo le vezje z elementi te veje. k R 1 X 1 X ' R ' U k Pri preizkusu kratkega stika je preskusni tok enak nazivnemu zato izračunajmo: S n k = n = = = 1n 1600000 3 U 3 0000 46,19 A, (5) kratkostična napetost pa je podana relativno (normirana na nazivno napetost) zato izračunamo absolutno vrednost: Uk = uk U1n = 0.06 0000 = 100 V. (6) Vrednosti elementov R1 in R' izračunamo iz delovne moči kratkega stika, saj ta predstavlja izgube v bakru, pri čemer najprej izračunamo kratkostično ohmsko upornost, ki predstavlja vsoto obeh upornosti v nadomestnem vezju. Ne pozabimo na tretjino moči, saj gre za enofazno nadomestno vezje: P 0000 R = R + R = = = 3,147 Ω. (7) k k 1 3 k 3 46,19 Ker je kratkostična upornost vsota R1 in R', ponavadi vrednost kratkostične upornosti enostavno razpolovimo in dobimo: R R R 3,147 k 1 = = = = 1,56Ω. (8) Vrednosti elementov X1 in X' bomo izračunali iz jalove moči kratkega stika, ki jo, podobno kot pri prostem teku izračunamo s pomočjo navidezne in delovne moči kratkega stika: ( ) ( 3 ) Q = S P = U P = k k k k k k = 3 100 46,19 0000 = 93897,8 VAr. (9) Na kratkostični reaktanci je tretjina jalove moči kratkega stika, zato dobimo: X Q 93897,8 = = = 14,670 Ω. (10) k k 3 k 3 46,19 Kratkostična reaktanca je vsota primarne in sekundarne stresane reaktance in ker boljše delitve ne poznamo, največkrat tudi kratkostično reaktanco kar razpolovimo in dobimo stresano reaktanco: X X X 14,67 k 1 = = = = 7,335Ω. (11) Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 4

Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja 6.4 Poznamo nadomestno vezje trifaznega transformatorja z nazivnimi podatki: Dyn5; S = 1600 kva; U1 = 0 kv; U = 400 V; f = 50 Hz. Vrednosti elementov so: R1 = R' = 1,5 Ω; X1 = X' = 7 Ω; X0 = 0 kω; R0 = 00 kω. zračunajte nazivne izgube v železu, nazivne izgube v bakru in relativno kratkostično napetost transformatorja. REŠTEV: zgube v železu so v nadomestnem vezju transformatorja predstavljene z izgubami na uporu R0. Ker velja, da so izgube v prostem teku transformatorja predvsem izgube v železu, bomo le-te izračunali tako, da upoštevamo nadomestno vezje za prosti tek. Zaradi relativno majhnih vrednosti elementov R1 in X1 napram R0 in X0, lahko pri izračunu vzamemo poenostavljeno vezje za prosti tek: U p R 0 X 0 Ne smemo pozabiti, da so nadomestna vezja trifaznih strojev enofazna zato uporabljamo fazne napetosti, moči v nadomestnem vezju pa predstavljajo tretjino dejanskih. Tako so izgube v železu: P Fe 0 0 0 Un U p 3 Un 0000 = 3 = 3 = = = 000 W (1) R R R 00000 Nazivne izgube v bakru izračunamo kot izgube na upornostih R1 in R', ko skoznje teče nazivni tok: ( ) P = 3 R + R. () Cu n 1 Nazivni tok transformatorja je: S n n = = = n 1 600 000 3 U 3 0 000 tako da izgube znašajo: 46,19 A, (3) ( ) ( ) P = 3 R + R = 3 46,19 1,5 + 1,5 = 1900 W. (4) Cu n 1 Kratkostično napetost predstavljajo padci napetosti na elementih v serijski veji (R1, R', X1, X'), ko je transformator nazivno obremenjen, kar pomeni da skozi omenjene elemente teče nazivni tok. Razmere so enake pri preizkusu kratkega stika, tako da uporabimo kar poenostavljeno nadomestno vezje za kratek stik. Transformatorji in dušilke - zbirka nalog 43