ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Ειστήµης Υολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 5 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση. Προφανώς και θee θ e tdt θ t θ [ f t ft t θ f tdt θ t θ t ft t ft N dt c n x n t n N N c n x n t + n t θ ft N c n x n tdt θ n όλοι οι υόλοιοι όροι µηδενίζονται Άρα θee N n n t f tdt ] c n x n t dt c n x n tdt + θ t ftc i x i tdt ftx i tdt + θ t t θ t N n t t N dt c n x n t n ftx i tdt N dt c n x n t n dt t c n x n t c i x i tdt t γιατί όλοι οι όροι του τετραγώνου ου εριέχουν c n, µε n i, µηδενίζονται όταν αραγωγιστούν ως ρος c i, και οι υόλοιοι όροι µηδενίζονται λόγω ορθογωνιότητας. Άρα η δίνει θee ftx i tdt + c i x i tdt t t t ftx i tdt c i t x i tdt c i t t t ftx i tdt x i tdt ου είναι το Ϲητούµενο.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση. E e e tdt f tdt dt + ft 4 sin t dt 8 ft sin tdt + dt 8 sin tdt + 8 6 sin tdt + 8 ] cos t + 8 ] cos t + 8 6 + 6 + 8 ] sin t 6 6 6.9 sin tdt + 6 sin tdt cos tdt Ασκηση 3. i ii µε E x sin tdt c ftxtdt t sin tdt E x E x cos t dt t ] sin t ] 4 Άρα c t sin tdt ] ] sin t t cos t cos + cos + c Άρα η ϐέλτιστη ροσέγγιση είναι ft cxt sin t, t
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 3 iii iv v < e, x > E e t3 3 ] 3 e tdt t sin t dt t 4t sin t + 4 sin tdt t dt 4 t sin tdt +4 }{{} ce x 8 + 4 3 3 3 etxtdt άρα τα et, xt είναι ορθογώνια. sin tdt } {{ } E x 4 3 3 + 3 3 4 3 3 4 t sin t sin tdt t sin tdt sin tdt Ασκηση 4. i
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 4 ii και X T T T tdt T T tdt T t ] T T T X k T xte jkft dt T T T T e jkf t t + jkf jkt jkf e jkf T T + {}}{ T e jk + jkt jk jk + jk j k ] T T te jkf t dt T T e j + jkf jkf {}}{ e jk jkf jkf jk k ej Xk k ej te jkf t dt iii Άρα και X k k ej, k > k e j e j, k < X k k, k Z φ k, k >, k < k ej, k > k e j, k < Το ϕάσµα λάτους και το ϕάσµα ϕάσης ϕαίνονται στο Σχήµα. Σχήµα : Φάσµατα Άσκησης 4.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 5 iv xt + + k k kf t+ k ej + + cos kf t + k + + kf k cos t + Ασκηση 5. Το xt είναι όως στο Σχήµα. ου είναι το σήµα της άσκησης 4, µετατοισµένο δεξιά κατά T. Σχήµα : Σχήµα Άσκησης 5. Σύµφωνα µε την ιδιότητα της µετατόισης, οι συντελεστές του αραάνω σήµατος είναι X k k ej T e jkf k ej e jk k ej k k k ej Το X αραµένει X. Άρα η σειρά Fourier γράφεται ως xt + + k kf t+ k ej k k Ασκηση 6. i Για να αοφανθούµε αν είναι εριοδικό, ρέει να το γράψουµε ως άθροισµα ηµιτόνων.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 6 xt sin 3 7t j ej7t j e j7t 3 3 [e j7t 3 3e j7t e j7t + 3e j7t e j7t e j7t 3] j e j8t 3e j54t 7t + 3e j7t 54t e j8t 8j j sin 8t 3e j7t e j7t 8j j sin 8t 6j sin 7t 8j 4 sin 8t + 3 4 sin 7t 4 cos 8t + + 3 4 cos 7t Άρα ω MK {8, 7} 7, άρα T ω 7 sec. ii Εχει ήδη γραφεί αό το ροηγούµενο ερώτηµα. Ασκηση 7. αʹ Xk ραγµατικό. jk jk και X k j k, άρα το σήµα δεν είναι jk ϐʹ Y k X k jkf jk jkf 3 kt γʹ Z k X k e jkf T jk e jk jk k δʹ W k Y k 3 jkf kt jkf jk Ασκηση 8. αʹ P x k 4 + + + X k + k k + jk 4 + jk 8 k 4 + 8 k 4 + 8 6 4 + 8 6 9 ϐʹ Οι τριγωνοµετρικοί συντελεστές δίνονται για k ±, ±, ±3 και k στο δοθέν ανάτυγµα. Άρα Px 3 3 4 + 8 X k 4 + + 8 4 + 8 85.47% 9 ή 86.56% αν κάνετε ροσεγγιστικά τις ράξεις στο χέρι.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 7 Ασκηση 9. xt k k X k e jkf t k k e j k e jkt ke j kt k + k e j k 4 e j kt k ke j kt+ k + ke j kt+ k e jt+ k + + ejt+ k + + ke j kt+ k + Ισχύει ότι και άρα k a k a, a < xt + + kt+ k e j kt+ k ej 3 + t+ e j t+ 5 4 cos t + ej Ασκηση. k Άρα η αρχική σέση ϑα είναι + k εριττό k εριττό k εριττό k + k + 4 + k k άρτια k }{{} 6 k k εριττό k εριττό + k + k k + 4 6 6 k 6 4 6 3 4 6 3 4 8
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 8 Ασκηση. Αν αραγωγίσουµε το σήµα µας, ϑα έχουµε : Αυτό είναι γνωστό σήµα αό τις διαλέξεις µόνο ου είναι µετατοισµένο κατά T δεξιά. Εστω ˆΧ k οι συντελεστές του σήµατος των διαλέξεων. Άρα αό διαλ.8 έχουµε ότι οι συντελεστές Fourier της αραγώγου είναι : Y k ˆΧ k {}}{ k e jkf T jkt jkt k e jk jkt k k jkt k Άρα οι συντελεστές του αρχικού σήµατος ϑα είναι : και X k X T k jkf jkt k k, xtdt Εµβ. Τριγ. T T T T Εναλλακτικά, µορείτε να ϑεωρήσετε το αραάνω yt dxt dt ως ανάκλαση του αραδείγµατος των διαλέξεων, και άρα οι συντελεστές Fourier του ϑα είναι : Y k ˆΧ k και οι συντελεστές του Ϲητούµενου σήµατος ϑα είναι : k k j kt jkt X k jkf k k k jkt ου δίνεται ως αάντηση στην εκφώνηση. Ξανά µε X όως αραάνω.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 9 Ασκηση. αʹ xt + x t xt λόγω αρτιότητας. xt λόγω xt R. Οότε k X k e jkf t και x t xt + x t xt + x t k X + + k k k R{X k }e jkf t xt X + X k e jkf t, αό ιδιότητες, και άρα X k + X k e jkf t X k + X k ejkf t 4R{X } coskf t xt ϐʹ xt x t xt, λόγω εριττότητας. αό ιδιότητες, και άρα εειδή xt R. Οότε xt x t xt x t k k xt k xt x t ji{x k }e jkf t X k e jkf t k k I{X k }e j e jkf t 4I{X k } cos kf t + R{X k } coskf t. k X k X k e jkf t X k X k ejkf t k X k e jkf t I{X k }e jkf t+ xt I{X k } cos kf t + I{X k } sinkf t